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高中生数学建模


关于水车上任意一点距离水面的高度与水流速 的关系的研究
1.问题的提出 水车又称孔明车,是我国最古老的农业灌溉工具,是先人们在征服 世界的过程中创造出来的高超劳动技艺,是珍贵的历史文化遗产。相 传为汉灵帝时华岚造出雏形, 经三国时孔明改造完善后在蜀国推广使 用,隋唐时广泛用于农业灌溉,至今已有 1700 余年历史。 现代,水车作为一种古老而独具智慧的艺术品出现在我们的生

活 中,人们在惊异古老智慧的同时,是否想过它身上所蕴含的数学问 题?

图1 比如:水车上一点距离水面的高度与水流速有何关系? 由 图 1 可知,水车的高度具有一定的周期性,故,此模型应为研 究周期现象的模型。在研究过程中,不考虑其他影响水车转速或水流 速的因素。

为了更好地学习数学知识,并将它充分运用到实际生活中,我对此 问题想做进一步的研究。

2.问题的分析 问题的条件有两点: 1.题目中要求建立数学模型来研究水车上一点距离水面的高度与 水流速的关系,属于周期现象。 2.研究过程中不需要考虑其他因素对水流速与转速的影响。

3.模型的假设与符号说明 假设水流速为恒定值。 符号 h v w r t b 说明 水车上一点距离水面的高度 水流速 水车的角速度 水车的半径 时间 水车圆心与水面的距离

α

水车上一点转过的角度

4.模型建立

图2 如图 2,水车半径为 r,其中心 O 距离水面距离为 b,规定水流速 为 v,向左为正方向,任意一点 P 点距离水面的高度为 h。 求 h 与 v 的函数解析式。 5.模型求解

水流速即可看为水车的线速度,则由已知可得水车的角速度 w=v/r. 为了方便, 不妨从当 OP 与水面平行时开始计时, 即从 ON 处开始计时, 在 t 时刻水车转动的角度 α =wt=vt/r ③

如图 2 所示,过点 P 向水面作垂线,交 ON 于点 Q,交水面于点 A, PA 即为点 P 距离水面的高度。 h=PA=PQ+QA=PQ+OM PQ=OP·sinα ① ②

把②式,③式代入①式得: h=r·sin(t·v/r)+b 这就是水车上任意一点距离水面高度 h 与水流速 v 的函数解析式。 6.结果分析 研究函数 h= r·sin(t·v/r)+b 的性质 (1):确定周期 T=2π /w=2π /(t/r)=2π r/t (2):确定频率

f=1/T=t/2π r (3):讨论性质 当 vt/r∈【2kπ -π /2,2kπ +π /2】(k∈Z), 即 v∈【2kπ r/t-π r/2t,2kπ r/t+π r/2t】(k∈Z)时,函数递增。 当 vt/r∈【2kπ +π /2,2kπ +3π /2】(k∈Z), 即 v∈【2kπ r/t+π r/2t,2kπ r/t+3π r/2t】(k∈Z)时,函数递 减。 7.研究拓展 如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少,将造成水车中心 O 与水 面距离的改变,而使函数解析式中所加参数 b 发生变化。水面上涨时 参数 b 减小,水面回落时参数 b 增大。如果水流速度加快,将使周期 T 减小,转速减慢时则使周期 T 增大。 8.方案评价 (1).本文把所解决的实际问题转化为函数周期问题,建立模型思 路清晰合理。 (2).简化了水车模型,计算起来更加简便。 (3).将研究结果进行拓展,增强了实用价值

(4).但在实际运用中还应考虑自然因素对水流速的影响,根据实 际情况进行灵活改变。 (5).面对实际问题建立数学模型,是一项重要的基本技能,通 过这个问题的研究,我更加熟练的掌握了把问题提供的“条件”逐条 地“翻译”成“数学语言”。


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