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2014-2015学年点拨高中数学必修4(R-A版)过关测试卷:第一章+三角函数+过关测试卷


第一章过关测试卷 (100 分,45 分钟) 一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 1.若 600°角的终边上有一点( ? 4 ,a),则 a 的值是( A. ? 4 3 2. 1 ? sin 2 A. cos
3π 5

)

B. ? 4 3
3 π 化简的结果是( 5

C. 3 ) C. ? cos
3π 5

D. 4 3

B. ? cos

3π 5

D. cos

2π 5

3. 函数 y ? sin??x ? ? ? 的部分图象如图 1 ,则 ? , ? 可以取的一组值是 ( )

图1
π , 2 π B. ? ? , 3 π C. ? ? , 4 π D. ? ? , 4

A. ? ?

π 4 π ?? 6 5π ?? 4 π ?? 4

??

4.〈福建文〉将函数 y ? sin x 的图象向左平移 个单位长度,得到函数
y ? f ?x ?的图象,则下列说法正确的是(

π 2

)

A. y ? f ?x ?是奇函数 B. y ? f ?x ?的周期为π C. y ? f ?x ?的图象关于直线 x ?
π 对称 2

? D. y ? f ?x ?的图象关于点 ? ? ? ,0 ? 对称 π ? 2 ?

5.〈福建三明模拟〉已知函数 f ?x? ? ?cos x ? m?2 ? 1 在 cos x ? ?1 时取得最 大值,在 cosx ? m 时取得最小值,则实数 m 的取值范围是( A. m ? ?1 C. 0 ? m ? 1 B. m ? 1 D. ? 1 ? m ? 0 ) )

6.函数 y ? 2 cos x ? 1 的定义域是(
π π? A. ? ?2kπ? ,2kπ? ??k ? Z ? ? 3 3? π π? B. ? ?2kπ? ,2kπ? ??k ? Z ? ? 6 6? π 2π? C. ? ?2kπ? ,2kπ? ??k ? Z ? ? 3 3 ? 2π 2π? D. ? ,2kπ? ?2kπ? ??k ? Z ? ? 3 3 ?

π? 7.〈陕西理〉函数 f ?x ? ? cos? ? 2 x ? ? 的最小正周期是( ? 6?

)

A.

π 2

B.π

C. 2π

D. 4π

8. 〈成都石室中学高三上学期“一诊”模拟考试(理) 〉设函数
2 π π π? ? 对称, 它的周 f ?x? ? 3sin??x ? ? ? ? ? ? 0,? ? ? ? ? 的图象关于直线 x ? 3 2 2? ?

期是π,则(

)
? 2? 5 π ? ,0 ? ? 12 ?

1? A. f ?x ? 的图象过点 ? ? 0, ?

B. f ?x ? 的图象的一个对称中心是 ? ?

C. f ?x ? 在 ? ? ,

π 2 π? ? 上是减函数 ?12 3 ?

D.将 f ?x ? 的图象向右平移 ? 个单位长度得到函数 y ? 3 sin ?x 的图象 二、填空题(每题 6 分,共 18 分) 9. 〈福建三明模拟〉已知∠ A 为△ ABC 的内角,且 sinA= ,则 A= 10.函数 y ? .
2 ? cos x 的最大值为 2 ? cos x
1 2

.

11. 〈 内 江 高 三 第 三 次 模 拟 考 试 数 学 ( 理 )〉 如 果
sin 3 ? ? cos3 ? ? cos5 ? ? sin 5 ? , 且 ? ? ?0,2π? , 那 么 ∠ ? 的 取 值 范 围 7



.

三、解答题(12 题 12 分,其余每题 15 分,共 42 分) 12.〈内江高三第三次模拟考试数学(理) 〉已知 (1)求 tan x 的值;
sin x ? cos x ?3. sin x ? cos x

(2)若 x 是第三象限的角,化简

1 ? sin x 1 ? sin x ,并求值. ? 1 ? sin x 1 ? sin x

π? π? ?π 3 13.已知 y ? ?2a sin ? ? 2 x ? ? ? 2a ? b , x ? ? , ? ,是否存在常数 a, b ?Q, ? 6? ?4 4 ?

使得此函数的值域为 ?y | ?3 ? y ? 3 ? 1??若存在,求出 a,b 的值;若 不存在,说明理由.

14.已知函数 f ?x? ? A sin??x ? ? ? ? B ? A ? 0, ? ? 0? 的一系列对应值如下表: x y
? π 6 π 3 5π 6 4π 3 11π 6 7π 3 17π 6

-1

1

3

1

-1

1

3

(1)根据表格提供的数据求函数 f ?x ? 的一个解析式;

(2) 根据 (1) 的结果, 若函数 y ? f ?kx? ?k ? 0? 的周期为

2π π? , 当x?? 0, ? ? 3 ? 3?

时,方程 f ?kx? ? m 恰有两个不同的解,求实数 m 的取值范围.

参考答案及点拨 一 、 1.A
a ? ?4 3 .

点 拨 : 因 为 tan 600 ? ?

a ? tan ?540 ? ? 60?? ? tan 60 ? ? 3 , 故 ?4

2.B 点拨: 1 ? sin 2 3.D 点拨:∵

3 π 3 π 3 π 3 π ? cos2 ? cos ? ? cos . 5 5 5 5

T π π π ? 3 ? 1 ? 2 ,∴ T ? 8 , ? ? ,又由 ? 1 ? ? ? ? 2kπ , 4 4 4 2 π π k ? Z,得 ? ? ? 2kπ,k ? Z,取 k=0,得 ? ? . 4 4

4.D 5.C 点拨:设 t ? cosx ,则 g ?t ? ? ?t ? m?2 ? 1, t ? ?? 1,1? ,依题意知 g ?t ? 在

t ? ?1 时取得最大值,而在 t ? m 时取得最小值,结合二次函数的图象

可知 ?

??-1-m ?2 ? 1 ? ?1 ? m ?2 ? 1, ? g ?? 1? ? g ?1?, ?m ? 0, 即? 也就是 ? 所以 ?? 1 ? m ? 1, ?? 1 ? m ? 1, ?? 1 ? m ? 1,

0 ? m ? 1 ,故选

C.
1 ,∴ 2

6.D 点 拨 : 由 题 意 可 得 , 2 c o xs ? 1 ? 0 , 即 c o xs ? ?
2kπ? 2 π 2 π ? x ? 2kπ? ,k? Z. 3 3

7.B
π π? 8.B 点拨:函数 f ?x? ? 3sin??x ? ? ? ? ? ? ? 0,? ? ? ? ? 的周期是π,所以 ? 2 2?

? ? 2 ;图象关于直线 x ?

2 π π 2 π 对称,所以 2 ? ? ? ? ? kπ, k ? Z , 3 3 2

???

5 π π π π 5 π ? ? kπ, k ? Z.因为 ? ? ? ? , 所以 k ? 1, ? ? .因此可知 ? ? ,0 ? 是 6 2 2 6 ? 12 ?

f ?x ? 的图象的一个对称中心.

二、9. 或

π 6

5π 6

π? 点拨:依题意可知 A ? ?0,π? ,又 y ? sin x 在 ? ? 0, ? 上单 ? 2?

1 π π? ?π ? 调递增,所以当 A?? ? 0, ? 时 , s i nA ? ? A ? , 当 A ? ? ,π? 时 , 2 6 ? 2? ?2 ? 1 π 5 π ? π? π? A? ? sin A ? ? π? A ? ,即 A ? ,综上可 π? A ? ? 0, ? ,所以 sin ? 2 6 6 ? 2?

知A?

π 5π 或 . 6 6

10.3 点拨: y?2 ? cos x? ? 2 ? cos x ,cos x ?
1 ? y ? 3. 3

2y ? 2 2y ? 2 ? ?1 ? ? 1 ,解得 y ?1 y ?1

11. ? ? ,

π 5 π? ? ?4 4 ?

点拨:注意到不等式 sin 3 ? ? cos3 ? ?

cos5 ? ? sin 5 ? 等价于: 7

1 1 sin 3 ? ? sin 5 ? ? cos 3 ? ? cos 5 ? . 7 7 1 显 然 f ?x ? ? x 3 ? x 5 是 ?? ?,??? 上 的 增 函 数 , 于 是 有 不 等 式 7 π 5 π 从而, 得 sin ? ? cos ? , 再结合 ? ? ?0,2π? , 便得 ? ? ? . f ?sin ? ? ? f ?cos? ?, 4 4 sin x ? cos x ?3, 三、12.解: (1)∵ sin x ? cos x tan x ? 1 ? 3, ∴ tan x ? 1

解之得 tan x ? 2 . (2)∵ x 是第三象限的角, ∴
?
1 ? sin x 1 ? sin x ? ? 1 ? sin x 1 ? sin x

?1 ? sin x ?2 ?1 ? sin x ?2 ? ?1 ? sin x ? ? ?1 ? sin x ? ?1 ? sin x ? ? ?1 ? sin x ?

1 ? sin x 1 ? sin x 1 ? sin x 1 ? sin x ? ? ? ?2 tan x. ? ? cos x ? cos x cos x cos x

由(1)可知:原式= ? 2 tan x ? ?4 . 13.解:存在 a ? ?1 , b ? 1 满足要求. ∵ ?x?
π 4 3 π 2 π π 5 π π? 3 ? 2x ? ? ,∴ ,∴ ? 1 ? sin? , ? 2x ? ? ? 4 3 6 3 6? 2 ?

若存在这样的有理数 a,b,则

(1)当 a>0 时, ? ? (2)当 a<0 时, ?

?? 3a ? 2a ? b ? ?3, ? ?2a ? 2a ? b ? 3 ? 1,
?2a ? 2a ? b ? ?3,

无解; 解得 ?
?a ? ?1, ?b ? 1,

?? 3a ? 2a ? b ? 3 ? 1,

即存在 a ? ?1, b ? 1 满足要求. 14.解: (1)设 f ?x ? 的最小正周期为 T,则 T ? 由T ? 令? ?
2 π

11 π ? π? ? ?? ? ? 2 π, 6 ? 6?

?

,得 ? =1,又 ?

?B ? A ? 3, ? A ? 2, 解得 ? ?B ? A ? ?1, ?B ? 1,

5 π π 5 π π π ? ? ? , ,即 ? ? ? ,解得 ? ? ? , 6 2 6 2 3

π? ∴ f ?x ? ? 2 sin? ? x ? ? ? 1. ? 3?

答图 1
2π π? (2)∵函数 y ? f ?kx? ? 2 sin? , ? kx ? ? ? 1 的周期为

?

3?

3

且 k>0,∴ k=3,
π π? π? ? π 2 令 t ? 3 x ? ,∵ x ? ? ?0, ? ,∴ t ? ?? , ? ,由答图 1,可知 sin t ? s 在 3

?

3?

? 3 3 ?

? 3 ? π? ? π 2 s ? 上有两个不同的解,则 ? , ? ,1? ? 3 3 ? ?, ? ? ? 2 ?

π? ∴方程 f ?kx? ? m 在 x ? ? 0 , ? ? 时恰好有两个不同的解,则 m ? 3 ? 1,3 , ? 3?

?

?

即实数 m 的取值范围是 3 ? 1,3? .

?


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