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河北省唐山市开滦二中2013届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案


开滦二中 2013 届高三上学期期中考试数学(理)试题
说明:一、本试卷共 4 页,包括三道大题,22 道小题,共 150 分.时间为 120 分钟. 二、做选择题时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑. 如需改动,用橡皮将原选涂答案擦干净后,再选涂其他答案. 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四

个选项中,有且 只有一项符合题目要求.) 1. 设集合 A ? x x ? 2 ? 2, x ? R , B ? A. R 2. 若复数 B. x x ? R, x ? 0

?

?

? y | y ? ? x , ?1 ? x ? 2? ,则 C
2

R

? A ? B ? 等于(



?

?

C. ?0?

D. ?

a?i 是纯虚数,则实数 a 的值为( ) 1 ? 2i 1 1 2 A. 2 B. ? C. D. ? 5 2 5 3.已知 {a n } 为等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? ? ,则 cos(a 2 ? a8 ) 的值为(
A. ?



1 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D. )

3 2

4.已知 M ?

?

1 ?1

x dx ,

N ? cos 2 15 0 ? sin 2 15 0 ,则 (
B. M ? N C. M ? N

A. M ? N

D. 以上都有可能

5. 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=1,AC=2, BC= 3,D、E 分别是 AC1 和 BB1 的中点, 则直线 DE 与平面 BB1C1C 所成的角为 ( ) A. π 6 π B. 4 π C. 3 D. π 2

6.已知 a ? ? cos x,sin x ? , b ? (sin x, cos x)记f ( x) ? a ? b ,要得到函数 y ? cos x ? sin x
2 2

?

?

? ?

的图像,只需将函数 y ? f ( x) 的图像(



? 个单位长度 2 ? C.向左平移 个单位长度 4
A.向左平移

? 个单位长度 2 ? D.向右平移 个单位长度 4
B.向右平移

7. 已知 ?ABC 中 , AB ? AC ? 4, BC? 4 3 , 点 P 为 BC 边 所在 直线 上的 一个 动点,则

??? ??? ???? ? ? AP ? ( AB ? AC ) 满足(
A.最大值为 16

) C.为定值 8 D.与 P 的位置有关

B.最小值为 4

(x 2 ?
8. . 二项式

2 x

)10
的展开式中的常数项是( )

A.第 10 项
3

B.第 9 项

C.第 8 项

D :第 7 项

9.若函数 f ( x) ? x ? 6bx ? 3b 在 ? 0,1? 内有极小值,则实数 b 的取值范围是 A. ? 0,1? B. ? ?? ,1? C. ? 0, ?? ?

D. ? 0, ?

? ?

1? 2?

10. 把6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票分发给4个人,每人至少1张,最多分2张,且这 两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是( A.168 B.96 C.72 ) D.144

11.已知正项等比数列 ?a n ? 满足: a3 ? a2 ? 2a1 ,若存在两项 a m , a n ,使得 am an ? 4a1 ,则

1 4 ? 的最小值为 m n 3 5 A. B. 3 2

( C.



25 6

D.不存在

12. 已 知 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 [?3, ??) , 且

f (6) ? f (?3) ? 2 , f ' ( x) 为 f ( x) 的 导 函 数 , 函 数
f ' ( x) 的 图 象 如 右 图 所 示 . 若 正 数 a , b 满 足
第 12 题图

f ( 2a? b) ,则 ? 2
A. ( ?

b?3 的取值范围是 a?2
9 C. ( ? , 3) 2

3 ,3) 2

9 B. ( ??, ? ) ? (3, ??) 2

3 D. (??, ? ) ? (3, ??) 2

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题卡上.)

2sin 2 ? ? sin 2? ? 1 ? 13.已知 tan(? ? ) ? ,且 ? ? ? ? 0 ,则 ? ? 4 2 2 cos(? ? ) 4
14. f ( x ? 1) 是偶函数,则函数 y ? f (2 x) 的图象的对称轴为__________. 15. 已知公比不为 1 的等比数列 {an } 的首项为 1,若 3a1 , 2a2 , a3 成等差数列, 则数列 {

1 } 的前 5 项和为__________ an

16.给出下列四个命题: ①函数 f(x)=lnx-2+x 在区间(1 , e)上存在零点;

②若 f ?( x0 ) ? 0 ,则函数 y=f(x)在 x=x0 处取得极值; ③若 m≥-1,则函数 y ? log 1 ( x 2 ? 2 x ? m) 的值域为 R;
2

④“a=1”是“函数 f ( x) ? 其中正确的是

a ? ex 在定义域上是奇函数”的充分不必要条件。 1 ? ae x



三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分10分) 已知不等式 2 x ? 3 ? x ? 4 ? 2a (1) 若 a ? 1 ,求不等式的解集; (2) 若已知不等式的解集不是空集,求 a 的取值范围。

18. (本小题满分 12 分) 已知数列{ a n }中, a1 ? 2 , a n ?1 ? a n ? cn ( c 是不为 0 的常数, n ? N ),
*

且 a1 , a 2 , a 3 成等比数列 (Ⅰ)求数列{ a n }的通项公式;

(Ⅱ) 若 bn =

an ? c ,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn. n ? cn

19. (本小题满分 12 分) 已知 a ? (cos x, 2 3 cos x), b ? (2cos x,sin x) ,且 f ( x) ? a ? b (1) 求 f ( x) 的最小正周期 (2) 求 f ( x) 的图像与其对称轴的交点坐标 (3) 求 f ( x) 的单调递增区间.

?

?

? ?

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

a ? x ? (a ? 1) ln x ? 15a, 其中 a<0, x

讨论函数 f ( x) 的单调性;

21. (本小题满分 12 分) 己知在锐角ΔABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 tan C ? (Ⅰ)求角 C 大小; (Ⅱ)当 c ? 1 时,求 a 2 ? b 2 的取值范围.

ab . a ? b2 ? c2
2

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x (a ? R ) . (Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处切线的斜率; (Ⅱ)设 g ( x) ? x ? 2 x ? 2 ,若对任意 x1 ? (0, ??) ,均存在 x2 ? ? 0, 1? ,
2

使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 a 的取值范围.

唐山市开滦二中 2012~2013 学年度高三年级期中考试

理科数学参考答案

18 、(Ⅰ)由已知 a2 ? 2 ? c , a3 ? 2 ? 3c , 则 (2 ? c) ? 2(2 ? 3c) 得 c ? 2 ,从而 a n ?1 ? a n ? 2n ,
2

n ? 2 时 an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an?1 )
= 2 ? 2 ?1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n = n ? n ? 2
2

n=1 时, a1 ? 2 也适合上式,因而 a n ? n ? n ? 2
2

(Ⅱ) bn =

an ? 2 n ? 1 0 1 2 n ? 2 n ?1 ? n ,则 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn = ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? n n 2 2 n?2 2 2 2 2

1 0 1 2 n ? 2 n ?1 n ?1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n?1 ,错位相减法,求得 Tn ? 1 ? n 2 2 2 2 2 2 2

19

(2) ? (3)

?? ? ? 2? ? ? k? ,3 ? 或 ? ? k? , ?1? ?6 ? ? 3 ?

(k ? Z )

20、

(3)a= -1 时,f(x) (0, ??) 单调递增 21. (Ⅰ)由已知及余弦定理,得

C ? 30?.
(Ⅱ)由正弦定理,得

sin C ab 1 ? ,sin C ? , 因为 C 为锐角,所以 cos C 2ab cos C 2
?????4 分

a b c 1 ? ? ? ? 2, sin A sin B sin C 1 2 ?????6 分 ? a ? 2sin A, b ? 2sin B ? 2sin( A ? 30?). 1 ? cos 2 A 1 ? cos(2 A ? 60?) a 2 ? b2 ? 4[sin 2 A ? sin 2 ( A ? 30?)] ? 4[ ? ] 2 2
1 1 1 3 ? 4[1 ? cos 2 A ? ( cos A ? sin 2 A)] ? 4 ? 2 3 sin(2 A ? 60?). 2 2 2 2
由 得 60? ? A ? 90?. ? 0? ? A ? 90?, ? ?0? ? 150? ? A ? 90?

? 60? ? 2 A ? 60? ? 120?,

3 ? sin(2 A ? 60?) ? 1.? 7 ? a 2 ? b 2 ? 4 ? 2 3. 2


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