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1立体几何二面角的求法


六种方法求二面角
一 定义法: 二面角的定义: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面。定义法——在棱上取点,分别在 两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。注:o 点在 棱上,用定义法。 1 如图 5.在锥体 P-ABCD 中,ABCD 是边长为 1 的菱形, 且∠DAB=

60 ? , PA ? PD ? 2 ,PB=2, E,F 分别是 BC,PC 的中点. (1) 证明:AD ? 平面 DEF; (2) 求二面角 P-AD-B 的余弦值. P F

A

G

D



B

C E S





取 AD 中点 G,连接 PG,BG,BD ∵PA=PD=√2, 所以 AD⊥PG, 又 ABCD 是边长1的菱形,且∠DAB=60°, ∴BG⊥AD ∴AD⊥面 PBG 又∵E,F 分别是 BC,PC 的中点, ∴EF∥PB, 而 DE∥BG, ∴面 DEF∥面 PBG ∴AD⊥平面 DEF. 解:(2) 由(1)知 ?PGB 为二面角 P ? AD ? B 的平面角, 在 Rt ?PGA 中, PG ?
2 2 1 7 1 3 2 ? ( ) 2 ? ;在 Rt ?BGA 中, BG 2 ? 12 ? ( ) 2 ? ; 2 4 2 4

在 ?PGB 中, cos ?PGB ?

PG 2 ? BG 2 ? PB 2 21 ?? . 2PG ? BG 7

二 垂线法(三垂线定理法)——利用三垂线定理作出平面角,通过解直角三角形求角的大 小。注:o 点在一个半平面上,用三垂线定理法。

例 1 如图 1-125,PC⊥平面 ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角 B-PA-C 的平面角的正切值。 (三垂线定理法)

分析 由 PC⊥平面 ABC,知平面 ABC⊥平面 PAC,从而 B 在平面 PAC 上的射影在 AC 上, 由此可用三垂线定理作出二面角的平面角。

解 ∵ PC⊥平面 ABC

∴ 平面 PAC⊥平面 ABC,交线为 AC 作 BD⊥AC 于 D 点,据面面垂直性质定理,BD⊥平面 PAC,作 DE⊥PA 于 E,连 BE,据三垂线定理,则 BE⊥PA,从而∠BED 是二面角 B-PA-C 的 平面角。

设 PC=a,依题意知三角形 ABC 是边长为 a 的正三角形,∴ D 是

∵ PC

=

CA=a , ∠ PCA=90 ° , ∴

∠ PAC = 45 ° ∴



Rt △

DEA

例 2.(2009 山东卷理) 如图,在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,底面 ABCD 为等腰梯形, AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1 、F 分别是棱 AD、AA 1 、AB 的中点。

(1) 证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2) 求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。 D1 A1 C1 B1 D E A 证(1)略 解(2)因为 AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱 AB 的中点,所以 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形,取 CF 的中点 O,则 OB⊥CF, 又因为直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,CC1⊥平面 ABCD,所 以 CC1⊥BO,所以 OB⊥平面 CC1F,过 O 在平面 CC1F 内作 OP⊥C1F,垂足为 P,连接 BP,则∠OPB 为二面角 B-FC 1 -C 的一 个平面角, 在△BCF 为正三角形中, OB ? 3 ,在 Rt△CC1F 中, △OPF∽△CC1F,∵ E1 E A F A1 F B C

E1

D1 F1 P O

C1 B1 C B

D

OP OF 1 2 ∴ OP ? , ? ?2 ? CC1 C1 F 2 22 ? 22

2 OP 7 1 14 2 2 ? 2 ? 在 Rt△OPF 中, BP ? OP ? OB ? , cos ?OPB ? ,所以 ?3 ? BP 7 2 2 14 2
二面角 B-FC 1 -C 的余弦值为

7 . 7

三 垂面法——通过做二面角的棱的垂面, 两条交线所成的角即为平面角。 注: 点O在 二 面角内,用垂面法。

例 2 在 60°二面角 M-a-N 内有一点 P,P 到平面 M、平面 N 的距离分别为 1 和 2,求点 P 到直线 a 的距离。(图 1-126)(垂面法)

分析 设 PA、PB 分别为点 P 到平面 M、N 的距离,过 PA、PB 作平面α ,分别交 M、N 于 AQ、BQ.

同理,有 PB⊥a,

∵ PA∩PB=P,

∴ a⊥面 PAQB 于 Q

又 AQ、BQ

平面 PAQB

∴ AQ⊥a,BQ⊥a.

∴ ∠AQB 是二面角 M-a-N 的平面角。

∴ ∠AQB=60°

连 PQ,则 PQ 是 P 到 a 的距离,在平面图形 PAQB 中,有

∠PAQ=∠PBQ=90°

∴ P、A、Q、B 四点共圆,且 PQ 是四边形 PAQB 的外接圆的直径 2R

在△PAB 中,∵ PA=1,PB=2,∠BPA=180°-60°=120°,由余弦定理得

AB2=1+4-2×1×2cos120°=7

由正弦定理:

四 射影面积法( cos q =

s射影 S

)凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一

个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式(cos ? ?

S射 S斜

)求出二面角的大小。

例 5.已知正方体 AC',M、N 分别是 BB',DD'的中点,求截面 AMC'N 与面 ABCD,CC'D'D 所成的角。 (射影面积法) 解:设边长为 a,易证 ANC'M 是菱形 且 MN = 2a ,AC' = 3a A’ N M D A
2 ∴ S□ABCD = a

D’ B’

C’

∴S□AMC'N =

1 6 2 MN ? AC' ? a 2 2

由于 AMC'N 在面 ABCD 上的射影即 为正方形 ABCD

C B



cos?1 ?

a2 6 2 a 2

?

6 3



6 ?1 ? a r c c o s 3

取 CC'的中点 M',连结 DM' 则平行四边形 DM'C'N 是四边形 AMC'N 在 CC'D'D 上的射影, S□DM'C'M



1 2 a 2 1 2 a 6 co? s2 ? 2 ? 6 6 2 a 2
=

如图 5, E 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点, 求平面 AB1E 和底面 A1B1C1D1 所成锐角的余弦值. A D1 A1 B1 D B E C1 C

图5 五 补棱法 本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时, 要将两平面 的图形补充完整,使之有明确的交线(称为补棱) ,然后借助前述的定义法与三垂线法解题。 即当二平面没有明确的交线时,一般用补棱法解决 例 3(2008 湖南)如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠BCD= 60°,E 是 CD 的中点,PA⊥底面 ABCD,PA=2. (Ⅰ)证明:平面 PBE⊥平面 PAB; (Ⅱ)求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角(锐角)的大小. P

分析:本题的平面 PAD 和平面 PBE 没有明确的交线,依本法 显然要补充完整(延长 AD、BE 相交于点 F,连结 PF.)再在 完整图形中的 PF.上找一个适合的点形成二面角的平面角解 之。 (Ⅰ)证略 解: (Ⅱ)延长 AD、BE 相交于点 F,连结 PF. 过点 A 作 AH⊥PB 于 H,由(Ⅰ)知 P 平面 PBE⊥平面 PAB,所以 AH⊥平面 PBE. 在 Rt△ABF 中,因为∠BAF=60°, 所以,AF=2AB=2=AP. 在等腰 Rt△PAF 中,取 PF 的中点 G,连接 AG. 则 AG⊥PF.连结 HG,由三垂线定理的逆定理得, PF⊥HG.所以∠AGH 是平面 PAD 和平面 PBE 所成

D A

E C

B

G

F H D E C

A B

二面角的平面角(锐角). 在等腰 Rt△PAF 中, AG ? 在 Rt△PAB 中,

2 PA ? 2. 2

AH ?

AP AB ? PB

AP AB AP ? AB
2 2

?

2 2 5 ? . 5 5

2 5 AH 10 所以,在 Rt△AHG 中, sin ?AGH ? ? 5 ? . AG 5 2
故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角(锐角)的大小是 arcsin

10 . 5

例 4 如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直,且 AB =BC =BD,∠ABC =∠DBC = 120 ,求二 面角 A-BD-C 的余弦值。 (补棱法和射影面积法) 解:过 A 作 AE⊥CB 的延长线于 E, 连结 DE, ∵ ∴ ∴ ∴ 面 ABC⊥面 BCD AE⊥面 BCD E 点即为点 A 在面 BCD 内的射影 △EBD 为△ABD 在面 BCD 内的射影 则 AE =DE =ABsin60°= E B C A

0

设 AB =a

3 a 2

D

∴ AD =

6 1 cos?ABD ? , 2 4
15 4




sin∠ABD =



S ?A B D?

1 2 15 15 2 a ? ? a 2 4 8 1 3 1 3 2 ? a? a ? a 2 2 2 8

BE ?

1 a 2



S ?B D E?



co? s?

S?B D E 5 ? S?A B D 5



向量法 向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法, 可以说所有的立体几何题 都可以用向量法求解,用向量法解立体几何题时,通常要建立空间直角坐标系,写出各点的 坐标,然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量,进行向量计算解题。 例 4: (2009 天津卷理)如图,在五面体 ABCDEF 中,FA ? 平面 ABCD, AD//BC//FE, AB ? AD,M 为 EC 的中点,AF=AB=BC=FE=

1 AD 2

(I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (II) 证明平面 AMD ? 平面 CDE; 求二面角 A-CD-E 的余弦值。 现在我们用向量法解答:如图所示,建立空间直角坐标系,

, 以点 A 为坐标原点。 设 AB ? 1 依题意得 B?1 , 0, 0?, C ?1, 1, 0?,

D?0, 2, 0?, E ?0, 1, 1?, F?0, 0, 1?,
?1 1? M? , 1, ?. ?2 2?
(I) 解: BF ? ?? 1 , 0, 1?, DE ? ?0, ?1 , 1?,

于是 cos BF, DE ?

BF ? DE BF DE

?

0 ? 0 ?1

1 ? . 2? 2 2
0

所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60 . (II)证明:由AM ? ? , 1, ?,CE ? ?? 1 , 0, 1?,AD ? ?0, 2, 0?,可得CE ? AM ? 0 ,

?1 ?2

1? 2?

CE ? AD ? 0.因此,CE ? AM,CE ? AD.又AM ? AD ? A,故CE ? 平面AMD .
而CE ? 平面CDE,所以平面 AMD ? 平面CDE.
(III) 解:设平面 CDE的法向量为u ? ( x,y,z ),则?

? ?u ? CE ? 0, ? ?u ? DE ? 0.

?? x ? z ? 0, 于是? 令x ? 1,可得u ? (1, 1, 1 ) . ?? y ? z ? 0.
0, 1). 又由题设,平面 ACD 的一个法向量为 v ? (0,


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