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新课标人教版高中数学必修4


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2013~2014 学年度高中数学必修 4 期末测试题
一、选择题(每小题 4 分,共 40 分)
1.与 ?463? 终边相同的角可以表示为 (k ? Z) ( )
D C O B

A. k ? 360? ? 463? B. k ? 360? ? 103?

E C. k ? 360? ? 257? D. k ? 360? ? 257? 2 如图,在正六边形 ABCDEF 中,点 O 为其中心, 则下列判断错误的是 ( ) F
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A. AB ? OC C. AD ? BE

B. AB ∥ DE
A

D. AD ? FC
12 , sin ? ? ( ) 13 5 5 C D ? 12 12
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3. ? 是第四象限角, cos ? ? A
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5 13
2

B

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?

5 13
2

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4. log A
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sin

5 ? ? log 12
B
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cos

5 ? 的值是( 12
C
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) D
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1

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?1

5. 设 f ( x) ? a sin(?x ? ?) ? b cos(?x ? ?) +4,其中 a、b、?、? 均为非零的常数, 若 f (1988) ? 3 ,则 f (2008) 的值为( A.1 B.3 C.5 ) D.不确定

6. 若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M,N 两点, 则 MN 的最大值为( A.1 B. 2 ) C. 3 D.2 )

π? ? 7. 为得到函数 y ? cos ? 2 x ? ? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像( 3? ?
5π 个长度单位 12 5π D.向右平移 个长度单位 6 ? 8.函数 y ? A sin(?x ? ?)(? ? 0, ? ? , x ? R) 的部分图 2 象如图所示,则函数表达式为( ) 5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6

A.向左平移

B.向右平移

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? ? ? ? A. y ? ?4 sin( x ? ) B. y ? 4 sin( x ? ) 8 4 8 4 ? ? ? ? C. y ? 4 sin( x ? ) D. y ? ?4 sin( x ? ) 8 4 8 4

?? ? 9. 设函数 f ( x) ? sin ? x ? ? ( x ? R ) ,则 f ( x) =( 3? ?
? 2? 7 ? ? A.在区间 ? , ? 上是增函数 ?3 6 ? ?? ?? C.在区间 ? , ? 上是增函数 ?8 4?



?? ? B.在区间 ? ??, ? ? 上是减函数 2? ? ? ? 5? ? D.在区间 ? , ? 上是减函数 ?3 6 ?

10 . 设 D 、 E 、 F 分 别 是 △ABC 的 三 边 BC 、 CA 、 AB 上 的 点 , 且
DC ? 2BD, CE ? 2EA, AF ? 2FB, 则 AD ? BE ? CF 与 BC (

)

A.互相垂直 C.反向平行

B.同向平行 D.既不平行也不垂直

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)
11.

3 ? sin 70 ? 2 ? cos 2 10

?? ? 12.已知函数 f ( x) ? 2sin ? ?x ? ? 的图象与直线 y ? ?1 的交点中最近的两个交点 5? ? ? 的距离为 ,则函数 f ( x) 的最小正周期为 。 3 ? 13 . 已 知函 数 f ( x) ? sin( x ? ?) ? cos( x ? ?) 是 偶 函 数, 且 ? ? [0, ] , 则 ? 的 值 2 为 .

14.下面有五个命题: ①函数 y=sin4 x -cos4 x 的最小正周期是 ? . k? ②终边在 y 轴上的角的集合是{a|a= , k ? Z } . 2 ③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点. ? ? ④把函数 y ? 3sin(2 x ? ) 的图像向右平移 得到 y ? 3sin 2 x 的图像. 3 6 ? ⑤函数 y ? sin( x ? ) 在 [0 ,?] 上是单调递减的. 2 其中真命题的序号是 .

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三、解答题(共四个小题,共 44 分)
15. (本题满分 10 分,每小题 5 分) (1)化简:

sin(? ? ? ) cos(3? ? ? ) tan(?? ? ? ) tan(? ? 2? ) . tan(4? ? ? )sin(5? ? a )

(2)若 ? 、 ? 为锐角,且 cos(? ? ?) ?

12 3 , cos(2? ? ?) ? ,求 cos ? 的值. 13 5

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16. (本小题满分 10 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们的终 边分别与单位圆相交于 A、B 两点,已知 A、B 的 横 2 5 3 10 坐标分别为 . , 5 10 (1)求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 ? ? ? 的值.

17. (本小题满分 12 分)
1 3 已知函数 f ( x) ? cos 2 x ? sin x cos x ? 1 , x ? R . 2 2

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期;

? ? (2)求函数 f ( x) 在 [ , ] 上的最大值和最小值,并求函数取得最大值和最小值 12 4 时的自变量 x 的值.

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18. (本小题满分 12 分)

1 π? 已知函数 f ( x) ? cos2 ? ? x ? ? , g ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x . 12 ? ?

(1)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值; (2)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间.

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参考答案
一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)
11. 13. 2 12. 14.

?
①④

? 4

三、解答题(共四个小题,15、16 题各 10,17、18 题各 12 分,共 44 分)
15. (本小题满分 10 分) (1)化简:

sin(? ? ? ) cos(3? ? ? ) tan(?? ? ? ) tan(? ? 2? ) . tan(4? ? ? )sin(5? ? a )
12 3 , cos(2? ? ?) ? ,求 cos ? 的值. 13 5 12 3 , cos(2? ? ?) ? 13 5

(2)若 ? 、 ? 为锐角,且 cos(? ? ?) ? 解: (1)原式= sin ?

(2)因为 ? 、 ? 为锐角,且 cos(? ? ?) ?
2 5 4 所以 sin(? ? ?) ? , sin(2? ? ?) ? 13 5 16 ∴ cos ? ? cos((2? ? ? ) ? (a ? ? )) ? . 65

? ? ? ? ? ?[ 0 , , ] 2? ? ? ? [0, ]
2

16. (本小题满分 10 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们的终 边分别与单位圆相交于 A、B 两点,已知 A、B 的横坐标分别为 (1)求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 ? ? ? 的值.
解:由条件得 cos ? ?

y

2 5 3 10 , 5 10

2 5 3 10 , cos ? ? 5 10 5 10 ,sin ? ? ?、? 为锐角,? sin ? ? 5 10 1 1 ? tan ? ? , tan ? ? 2 3

A B O

x

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1 1 ? tan ? ? tan ? 2 3 ?1 (1) tan(? ? ? ) ? ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? 1 ? 1 7 3 2 1 1 ? tan ? ? tan ? 2 3 ?1 (2) tan(? ? ? ) ? ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? 1 ? 1 2 3


?、? 为锐角,? 0 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?

?
4

17. (本小题满分 12 分)
1 3 已知函数 f ( x) ? cos 2 x ? sin x cos x ? 1 , x ? R . 2 2

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期;

? ? (2)求函数 f ( x) 在 [ , ] 上的最大值和最小值,并求函数取得最大值和最小值 12 4 时的自变量 x 的值.
1 3 解: f ( x) ? cos 2 x ? sin x cos x ? 1 2 2 1 3 5 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 4 4 4

1 ? 5 ? sin(2 x ? ) ? 2 6 4 2? (1) f ( x) 的最小正周期 T ? ?? 2 ? ? ? ? 2 ? (2) x ? [ , ] ? 2 x ? ? [ , ] 12 4 6 3 3

∴当 2 x ? 当 2x ?

?

?

6

?

?

6

?

?

2

,即 x ?

?

3

或 2x ?

?
6

6 ?

时, f ( x)max ?

2? ? ? 时,即 x ? 或 x ? 时, 3 12 4 1 5 3 f ( x)min ? ? ? ? 2 4 4

1 5 7 ? ? 2 4 4

18. (本小题满分 12 分)

1 π? ? 已知函数 f ( x) ? cos2 ? x ? ? , g ( x) ? 1 ? sin 2 x . 2 12 ? ?

(1)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值; (2)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间.

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1 π 解: (I)由题设知 f ( x) ? [1 ? cos(2 x ? )] . 2 6

因为 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,所以 2 x0 ?
π ( k ?Z ) . 6 1 1 π 所以 g ( x0 ) ? 1 ? sin 2 x0 ? 1 ? sin(kπ ? ) . 2 2 6

π ? kπ , 6

即 2 x0 ? kπ ?

1 ? π? 1 3 当 k 为偶数时, g ( x0 ) ? 1 ? sin ? ? ? ? 1 ? ? , 2 ? 6? 4 4
1 π 1 5 当 k 为奇数时, g ( x0 ) ? 1 ? sin ? 1 ? ? . 2 6 4 4

(II) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1? π ?? 1 ? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? ? 1 ? sin 2 x ? 2? 6 ?? 2 ?

?

? 3 1? ? π? ? 3 1? 3 1 cos 2 x ? ? sin 2 x ? ? cos2 x ? sin 2 x ? ? ? ? ? 2 2? 2 ?? 2 2? 6? 2 ? ? ? ? ?

1 ? π? 3 ? sin ? 2 x ? ? ? . 2 ? 3? 2
π π π 5π π 当 2kπ ? ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,即 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ( k ? Z )时, 2 3 2 12 12

1 ? π? 3 函数 h( x) ? sin ? 2 x ? ? ? 是增函数, 2 ? 3? 2 5π π? ? 故函数 h( x) 的单调递增区间是 ? kπ ? ,kπ ? ? ( k ? Z ) . 12 12 ? ?

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