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2012上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷


2012 上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷
【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题(本题满分 60 分,前 4 题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) 1.如图,正六边形 A 1B 1C1D 1E1F 1 的边长为 1,它的 6 条对角线又围成一个正六边 形 A2 B2C2 D2 E2 F2 ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 2.已知正整数 a1

, a2 , .

3 . ? ,1 ? i ? j ? 10 ,则 a10 的最小可能值是 ai 2 17 4 3.若 tan ? ? tan ? ? tan ? ? , cot ? ? cot ? ? cot ? ? ? , cot ? cot ? ? cot ? cot? ? cot ? cot ? 6 5 17 ? ? ,则 tan ?? ? ? ? ? ? ? . 5 4.已知关于 x 的方程 lg ? kx ? ? 2lg ? x ? 1? 仅有一个实数解,则实数 k 的取值

, a10 满足:

aj

范围是 . 5.如图, ?AEF 是边长为 x 的正方形 ABCD 的内接三角形,已知 ?AEF ? 90? , AE ? a, EF ? b, a ? b ,则 x ? . 6.方程 2 ? 3 ? 3
m n n ?1

? 2m ? 13 的非负整数解 ? m, n ? ?



7.一个口袋里有 5 个大小一样的小球,其中两个是红色的,两个是白色的,一个是黑色的,依次从中摸 出 5 个小球,相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 . (用数字作答) 8.数列 ?an ? 定义如下: a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ?

2 ? n ? 1? n an ?1 ? an , n ? 1, 2, n?2 n?2

.若 am ? 2 ?
D

2011 ,则正 2012
C

整数 m 的最小值为 . 二、解答题 9. (本题满分 14 分)如图,在平行四边形 ABCD 中, AB ? x , BC ? 1 , 对角线 AC 与 BD 的夹角 ?BOC ? 45? ,记直线 AB 与 CD 的距离为 h( x) . 求 h( x) 的表达式,并写出 x 的取值范围.
A

O B

10. (本题满分 14 分)给定实数 a ? 1 ,求函数 f ( x) ?

(a ? sin x)(4 ? sin x) 的最小值. 1 ? sin x

11. (本题满分 16 分)正实数 x, y, z 满足 9 xyz ? xy ? yz ? zx ? 4 ; 求证: (1) xy ? yz ? zx ?

4 ; (2) x ? y ? z ? 2 . 3

12. (本题满分 16 分)给定整数 n(? 3) ,记 f ( n) 为集合 1, 2,
n

?

, 2n ? 1? 的满足如下两个条件的子集 A 的

元素个数的最小值:① 1? A, 2 ? 1? A ;②A 中的元素(除 1 外)均为 A 中的另两个(可以相同)元素 的和. (1)求 f (3) 的值; (2)求证: f (100) ? 108 .
1

2012 上海市高中数学竞赛(新知杯)参考答案
1、 5、

9 3 4
a2 a 2 ? ( a ? b) 2
OB 2 ? OC 2 ?

2、92 6、 ?3, 0? ,

3、11

4、 ? ??,0? 7、

?4?
8、4025

? 2, 2?

2 5

9.解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得

1 1 ( AB 2 ? BC 2 ) ? ( x 2 ? 1) . ① ???????(2 分) 2 2 2 2 2 在△OBC 中,由余弦定理 BC ? OB ? OC ? 2OB ? OC cos ?BOC , 所以 ② OB2 ? OC 2 ? 2OB ? OC ? 1 , 2 x ?1 由①,②得 . ③ ???????(5 分) OB ? OC ? 2 2 1 x2 ?1 所以: S ABCD ? 4 S ?OBC ? 4 ? OB ? OC sin ?BOC ? 2 OB ? OC ? , 2 2 x2 ?1 x2 ?1 ? 故 : AB ? h( x) , 所以 : h( x) ? . ???????(10 分) 2 2x 2 由③可得, x ? 1 ? 0 ,故 x ? 1 . 1 2 x2 ?1 2 2 因为 OB ? OC ? 2OB ? OC ,结合②,③可得: ( x ? 1) ? 2 ? , 2 2 2
解得(结合 x ? 1 ) 综上所述, h( x) ?
2

1 ? x ? 2 ?1 .

x ?1 ,1 ? x ? 2 ? 1 . ???????(14 分) 2x (a ? sin x)(4 ? sin x) 3(a ? 1) ? 1 ? sin x ? ? a ? 2. 10.解 f ( x) ? 1 ? sin x 1 ? sin x 7 3(a ? 1) ? a ? 2 ? 2 3(a ? 1) ? a ? 2 , 当 1 ? a ? 时, 0 ? 3(a ?1) ? 2 ,此时: f ( x) ? 1 ? sin x ? 3 1 ? sin x 且当 sin x ? 3( a ? 1) ? 1 ?? ? ?1,1?? 时不等式等号成立,故 fmin ( x) ? 2 3(a ?1) ? a ? 2 . ???(6 分)
7 3(a ? 1) 时, 3(a ?1) ? 2 ,此时“耐克”函数 y ? t ? 在 0, 3(a ? 1) ? 内是递减, ? 3 t 3(a ? 1) 5(a ? 1) ?a?2? 故此时 f min ( x) ? f (1) ? 2 ? . 2 2 7 ? 2 3(a ? 1) ? a ? 2, 1 ? a ? ; ? 3 综上所述, f min ( x) ? ? ???????(14 分) ? 5( a ? 1) 7 ? , a? . ? 3 ? 2
当a ?

?

11.证 (1)记 t ?

xy ? yz ? zx ,由平均不等式: xyz ? 3
3 2

?

3

( xy)( yz )( zx)

?

3 2

? xy ? yz ? zx ? 2 ?? ? . 3 ? ?

3

???????(4 分) 于是 所以

4 ? 9xyz ? xy ? yz ? zx ? 9t ? 3t ,

? 3t ? 2 ? ? 3t 2 ? 3t ? 2 ? ? 0 ,

2 而 3t ? 3t ? 2 ? 0 ,所以 3t ? 2 ? 0 ,即 t ?

2 4 ,从而 xy ? yz ? zx ? . 3 3
2

???????(10 分)

(2)又因为: ( x ? y ? z)2 ? 3( xy ? yz ? zx) , 所以 故 12. 解 (1) 设集合 A ? 1, 2, 不满足(b) ,故 A ? 3 . 又 ?1,2,3,7?, ?1,2,4,7?, ?1,2,5,7?, ? 1,2,6,7?, ?1,3,4,7?, ?1,3,5,7?, ?1,3,6,7?, ,故 A ? 4 . ?1, 4,5,7?,?1, 4,6,7?,?1,5,6,7? 都不满足 (b) 而集合 ?1,2,4,6,7? 满足(a) , (b) ,所以 f (3) ? 5 . (2)首先证明: f (n ? 1) ? f (n) ? 2, n ? 3, 4, 事实上,若 A ? 1, 2, 令B ? A . ???????(6 分) ①

?

, 23 ? 1? , 且 A 满足 (a) , (b) . 则 1? A, 7 ? A . 由于 ?1, m,7?? m ? 2,3,

( x ? y ? z )2 ? 4 , x ? y ? z ? 2.

???????(16 分)

,6?

?2

?

n ?1

? 2, 2n ?1 ? 1? ,由于 2n ?1 ? 2 ? 2n ? 1 ,故 B ? f (n) ? 2 .

, 2 ? 1? ,满足(a) , (b) ,且 A 的元素个数为 f ( n) .
n

又 2n?1 ? 2 ? 2(2n ?1), 2n?1 ?1 ? 1 ? (2n?1 ? 2) ,所以,集合 B ? 1, 2, (b) .从而: f (n ?1) ? B ? f (n) ? 2 . 事实上,设 A ? 1, 2, 令B ? A 由于 所以 B ? 1, 2, ???????(10 分) . 其次证明: f (2n) ? f (n) ? n ? 1, n ? 3, 4,

?

, 2n ?1 ? 1? ,且 B 满足(a) ,



?2(2

?

, 2 n ? 1? 满足(a) , (b) ,且 A 的元素个数为 f ( n) . , 2n (2 n ? 1), 2 2 n ? 1? ,

n

? 1), 22 (2n ? 1),

?

, 22 n ? 1? ,且 B ? f (n) ? n ?1 .

2(2n ?1) ? 22 (2n ?1) ?

? 2n (2n ?1) ? 22n ?1 , , n ?1 , 22n ?1 ? 2n (2n ?1) ? (2n ?1) ,

而 2k ?1 (2n ?1) ? 2k (2n ?1) ? 2k (2n ?1), k ? 0,1, 由①,②得

从而 B 满足(a) , (b) ,于是: f (2n) ? B ? f (n) ? n ?1 . ???????(14 分)

f (2n ? 1) ? f (n) ? n ? 3 . ③ 反复利用②,③可得 f (100) ? f (50) ? 50 ? 1 ? f (25) ? 25 ? 1 ? 51 ? f (12) ? 12 ? 3 ? 77 ? f (6) ? 6 ? 1 ? 92 ? f (3) ? 3 ? 1 ? 99 ? 108 . ???????(16 分)

3


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