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2015届浙江高三文科数学函数大题集锦(含答案)


22. (本题满分 15 分)已知函数 f ? x ? ? ? x x ? a ? 1 ? x ? R ? . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求使 f ? x ? ? x 成立的 x 的值; (Ⅱ)当 a ? ? 0,3? ,求函数 y ? f ? x ? 在 x ??1, 2? 上的最大值; (Ⅲ) 对于给定的正数 a , 有一个最大的正数 M ? a ? , 使 x?? 都有 f

? x ? ? 2 , ? 0, M ? a ? ? ? 时, 试求出这个正数 M ? a ? ,并求它的取值范围.

(22)解: (Ⅰ) x ? 1 …………3 分
2 ? ?? x ? ax ? 1 2 ? ? x ? ax ? 1

(Ⅱ)当 f ? x ? ? ?

? x ? a ? ,作出示意图,注意到几个关键点的值: ? x ? a?

a a2 f ( x) ? 2 f (0) ? f (a)=1, f ( ) ? 1 ? ,最大值在 f (1), f ? 2? , f ? a ? 中取. 2 4
当 0 ? a ? 1时, f ? x ? 在?1,2?上递减,故f ? x ?max ? f ?1? ? a ; 当 1 ? a ? 2时, f ? x ? 在?1, a?上递增, ?a,2?上递减,故f ? x?max ? f ? a? ? 1 ;

a ? a? ?a ? 当2 ? a ? 3时, f ? x ? 在 ?1, ? 上递减, , 2? 上递增,且x= 是函数的对称轴, ? 2 ? 2? ?2 ? a? ?a ? ? 由于 ? 2 ? ? ? ? ? 1? ? 3 ? a ? 0, 表明:f ? x ?max ? f ? 2 ? ? 5 ? 2a 2? ?2 ? ?

(0 ? a ? 1) ?a ? (1 ? a ? 2) …………9 分 综上: f ? x ? ? ? 1 ?5 ? 2a (2 ? a ? 3) ?
(Ⅲ) ? 当x ?? 0, ??? 时, f ( x)max ? 1 ,故问题只需在给定区间内 f ? x ? ? ?2恒成立 , 由 f ( ) ? 1?

a 2

a2 ,分两种情况讨论: 4

当1 ?

a2 ? ?2 时, M ? a ? 是方程 x2 ? ax ? 1 ? ?2 的较小根 4

即 a ? 2 3 时, M ? a ? ?

a ? a 2 ? 12 6 ? ? 0, 3 ? ? 2 2 a ? a ? 12

?

当1 ?

a2 ? ?2 时, M ? a ? 是方程 ? x2 ? ax ? 1 ? ?2 的较大根 4

即 0 ? a ? 2 3 时, M ? a ? ?

a ? a 2 ? 12 ? 2

?

3, 3 ? 6

?
? ?

? a ? a 2 ? 12 a?2 3 ? ? 2 综上 M ? a ? ? ? , 且M ? a ? ? 0, 3 ? 6 . …………15 分 2 ? a ? a ? 12 0?a?2 3 ? ? 2

?

?

?

?

20. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x ) =

1 + x. | x+2 |

(I)判断函数 f ( x) 在 (- 2, - 1) 上的单调性并加以证明; (II)若函数 g ( x) = f ( x) - 2 x - m 有四个不同的零点,求实数 m 的取值范围.

20. (本题满分 14 分)
ì 1 ? ? + x, x > - 2 ? ? x+2 (I)解:函数 f ( x) = ? …………………………1 分 í ? 1 ? , + x, x < - 2 ? ? ? ? x+2

函数 f ( x ) 在在 (?2, ?1) 上递减,………………………………2 分 证明如下: 设 x1 , x2 ? (?2, ?1) ,且 x1 ? x2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( ? ( x1 ? x2 )[1 ?

1 1 ? ) ? ( x1 ? x2 ) x1 ? 2 x2 ? 2

1 ] ……………4 分 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

Q ?2 ? x1 ? x2 ? ?1 ,? x1 ? x2 ? 0, 0 ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 1
?1 ? 1 ?0 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 所以函数 f ( x ) 在 (?2, ?1) 上递减. ……………………6 分
(II)解法一: 函数 g ( x) = f ( x) - 2 x - m 有四个零点 1 + x - 2 | x | - m = 0 有四个实根 ? 方程 | x+2 |

? 函数 h( x ) = ? 函数 h( x ) =

1 图像与函数 y = 2 x - x + m 图像有四个交点 | x+2 | 1 图像与函数 | x+2 |

ì x ? 0, ? x + m, 图像有四个交点……8 分 y= ? í ? ? ? - 3x + m, x < 0,

结合图像 (1)当 x ? 0 时, 1 若函数 h( x) = 图像与函数 y = x + m 图像有一 x +2 个交点,则 m ? (2)当 x ? 0 时, 若函数 h( x ) =
1 图像与函数 y = - 3x + m | x+2 |
E

1 ………10 分 2

Y

图像恰好有 3 个交点符合要求。 当直线 y = - 3x + m 与 y =
1 (x > - 2) x +2

D

4

2

相切时,在 ( ??, 0) 内只有两个交点。
-4 -2

C
O

B
2 X

ì 1 ? ? (x > - 2) ? y= 消去 y 得 x+2 í ? ? ? y = - 3x + m ? 1 = - 3x + m 整理得 x +2

-2

3x2 + (6 - m) x + 1- 2m = 0 \ D = (6 - m)2 - 4创 3 (1- 2m) = 0 解得 m = - 6 - 2 3 (舍去) , m = - 6 + 2 3 …………………13 分 1 \ 当 m ? ( 6 + 2 3, ) 时,函数 g ( x) 有 4 个零点……………….…14 分 2 解法二:
函数 g ( x) 有 4 个不同零点,即方程 方程化为:① ?

1 +x ? 2 | x | ? m ? 0 有 4 个不同的实根. x?2

? x?0 2 ? x ? (m ? 2) x ? (2m ? 1) ? 0 ? x ? ?2 ? ? 2 <x ? 0 与② ? 2 与③ ? 2 ?3x ? (6 ? m) x ? (2m ? 1) ? 0 ? 3x ? (6 ? m) x ? (2m ? 1) ? 0
………………………………………………………………………………………7 分 2 2 记 v( x) ? x ? (m ? 2) x ? (2m ?1) , u( x) ? 3x ? (6 ? m) x ? (2m ? 1) , w( x) ? 3x2 ? (6 ? m) x ? (2m ?1) u( x), v( x), w( x) 开口均向上. 对①:由 v(?2) ? ?1 ? 0 知 v( x) 在 [0, ??) 最多一个零点. 当 v(0) ? 2m ? 1 ? 0 ,即 m ?

1 时, v( x) 在 [0, ??) 上有一个零点 2

1 时, v( x) 在 [0, ??) 没有零点。………………9 分 2 对②:由 u(?2) ? ?1 ? 0 知 u ( x) 在 (??, ?2) 有唯一零点.…………………10 分 对③:为满足 g ( x) 有 4 个零点, w( x) 在 (?2, 0) 应有两个不同零点.
当 v(0) ? 2m ? 1 ? 0 ,即 m ?

? w(0) ? 1 ? 2m ? 0 ? w(?2) ? 1 ? 0 ? 1 ? 2 ∴ ? ? ? (6 ? m) ? 12(1 ? 2m) ? 0 ? ?6 ? 2 3 ? m ? .……………………13 分 2 ? 6?m ? ?2 ? ? ?0 6 ? ?
1 综上所述:当 m ? ( 6 + 2 3, ) 时,函数 g ( x) 有 4 个零点……………….…14 分 2

20、 (根据丽水市 2015 年高考第一次模拟测试改编) (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? mx2 ? bx ? c (m ? 0) 满足 ,对于任意 R 都有 ,且

,

令 (Ⅰ)求函数 的表达式;

.

(Ⅱ)当 x ? ?? 1,1?时,求函数 y ?| f (ax) ? ax ? 1 | ?ax (a ? 0) 的最大值 M (a) .

20、(1) 解:∵

,∴

.

∵对于任意

R 都有

,

∴函数

的对称轴为

即?

b 1 ? ? ,得 m ? b . ……2 分 2m 2
R 都成立,

又 ∴ m ? 0 ,且 ∵

,即 mx2 ? (b ? 1) x ? 0 对于任意 .………………4 分 , ∴ b ? 1, m ? 1 . ∴

.………………6 分

1 x ?? 2 2 ? ? a x ? ax ? 1 ? a ( 2 )设 g ( x) ?| f (ax) ? ax ? 1 | ?ax (a ? 0) ? g ( x) ? ? 2 2 ? ?a x ? ax ? 1 x ? ? 1 a


…… 8

1? 1? ? 1 ? ? ?1 1 ? ? 1 ? g ( x) 在 ? ? ?, ? , ? ,? ? 上单调递减,在 ? , ? , ?? ,?? ? 上单调递增 a ? ? 2a a ? ? a 2a ? ? a ? ? 1 1 ? ?1 ,即 a ? ? 时 g ( x) 在 ?- 1,1? 上单调递减 (1)当 2a 2 2 ……10 分 ? 此时 M (a) ? g (?1) ? ?a ? a ? 1 1 1 1 1? ? (2)当 ? ?1 ? ,即 ? 1 ? a ? 时 g ( x) 在 ?- 1, 上单调递增 2 a 2a ? 2a ? ? ?1 ? g ( x) 在 ? ,1? 上单调递减 ? 2a ? 1 5 ……12 分 ? 此时 M (a ) ? g ( ) ? 2a 4 1 ? 1? ? 1 1? (3)当 ? 1 ? ,即 a ? ?1时 g ( x) 在 ?- 1, ? , ? ,? ? 上单调递减 a ? a ? ? 2a a ? ?1 1 ? ? 1 ? g ( x) 在 ? , ? , ?? ,1? 上单调递增 ? a 2a ? ? a ? 5 1 ? ? ? ? ? 此时 M (a) ? max? g (?1), g ( ), g (1)? ? max?a 2 ? a ? 1, , a 2 ? a ? 1? 2a 4 ? ? ? ? 1 ? 10 ) ?a 2 ? a ? 1 ( a ? 5? ? ? 2 2 ……13 分 ? max?a ? a ? 1, ? ? ? 5 4? ? ? 1 ? 10 ( ? a ? ?1) ?4 2 1 ( ? ? a ? 0) 2 ?? a ? a ? 1 2 ? 1 ? 10 1 ?5 M ( a ) ? ( ? a ? ? ) . ……15 分 综上所述: ? 2 2 ?4 2 ? ?a ? a ? 1 (a ? 1 ? 10 ) 2

20. (14 分) (2015?浙江模拟)已知函数 f(x)=x2﹣(a+1)x﹣4(a+5) ,g(x)=ax2﹣x+5, 其中 a∈R (1)若函数 f(x) ,g(x)存在相同的零点,求 a 的值 (2)若存在两个正整数 m,n,当 x0∈(m,n)时,有 f(x0)<0 与 g(x0)<0 同时成立, 求 n 的最大值及 n 取最大值时 a 的取值范围.

解: (1)解方程 x ﹣(a+1)x﹣4(a+5)=0 得:x=﹣4,或 x=a+5, 解答: 由函数 f(x) ,g(x)存在相同的零点, 2 则﹣4,或 a+5 为方程 ax ﹣x+5=0 的根, 将﹣4 代入 ax ﹣x+5=0 得:16a+9=0,解得:a=
2

2



将 a+5 代入 ax ﹣x+5=0 得:a +10a +24a=0,解得:a=﹣6,或 a=﹣4,或 a=0, 综上 a 的值为 ,或﹣6,或﹣4,或 0;

2

3

2

(2)若存在两个正整数 m,n,当 x0∈(m,n)时,由 f(x0)<0 与 g(x0)<0 同 时成立, ∵f(x)<0, ∴{x|a+5<x<﹣4}或{x|﹣4<x<a+5}, ∵g(x)<0 同时成立,∴只需 ,解得;﹣6<a<﹣4,

可得得出:f(x0)<0,{x0|﹣4<x0<a+5}, n 的最大值为 5﹣4=1, 故 n 的最大值为 1 及 n 取最大值时 a 的取值范围:﹣6<a<﹣4. 20.已知函数 f ( x) ? log22 x ? m log2 x ? a , g ( x) ? x2 ? 1 . (1)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 在 x ? [1, 4] 上的最小值; (2) 当 a ? 0, m ? 2 时, 若对任意的实数 t ?[1, 4] , 均存在 xi ?[1,8] ( i ? 1, 2 ) , 且 x1 ? x2 , 使得 g ( xi ? a) ? 2a ? f (t ) 成立,求实数 a 的取值范围. xi

m? m ? 解: (1) f ? x ? ? log x ? m log2 x ? 1 ? ? log 2 x ? ? ? 1 ? ,其中 2? 4 ?
2 2

2

2

0 ? log2 x ? 2 .所以①当
即 m ? 4 ,此时 f ? x ?min

m m ? 0 ,即 m ? 0 ,此时 f ? x ?min ? f ?1? ? 1,②当 ? 2 , 2 2 m ? f ? 4? ? 5 ? 2m ,③ 0 ? m ? 4 时,当 log 2 x ? 时, 2

f ? x ?min ? 1 ?

m2 . 4
? ?1, m ? 0 ……………………………………………………6 分 ? ? ?5 ? 2m, m ? 4 ? m2 ?1 ? ,0 ? m ? 4 ? 4
2

所以,

f ? x ?min

(2)令 log2 t ? u(0 ? u ? 2) ,则 f (t ) ? u ? 2u ? a 的值域是 [a ? 1, a] . 因为 y ?

( x ? a ) 2 ? 1 ? 2a (a ? 1)2 ? x? ? 2a(1 ? x ? 8) ,利用图形可知 x x

?1 ? a ? 1 ? 8 ?0 ? a ? 7 ?a ? 1 ? 2 ?a ? 3 ? ? ? 2 ,即 ? , ?a ? a ? 2 ?a ? R ? ?a ? 11 ? 2 14或a ? 11 ? 2 14 ?a ? 8 ? 1 (a ? 1) 2 ? 2a ? ? 8 ?
解得 3 ? a ? 11 ? 2 14 ……………………………………………………………………14 分 19. (本题满分 15 分)设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 为函数 f ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? a 2 (a ? 0) 的两个零 点. (Ⅰ)若 x1 ? x2 ? 2 2 ,求

b2 的最大值; a a(3a ? 2) 2 . 12

(Ⅱ)若 x1 ? x ? x2 ,且 x2 ? a, g ( x) ? f ( x) ? a( x ? x1 ) ,求证: g ( x) ?


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