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用数学思维解决物理题目


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第三讲 常见的数学方法
数学作为工具学科,其思想、方法和知识始终渗透、贯穿于整个物理学习和研究的过程中,为物理概 念、定律的表述提供简洁、精确的数学语言,为学生进行抽象思维和逻辑推理提供有效的方法,为物理学 中的数量分析和计算提供有力工具.中学物理《考试大纲》中对学生应用数学工具解决物理问题的能力作 出了明确要求,要求考生有“应用数学处理物理问题的能力”.高考物理试题的解答离不开数学知识和方法 的应用,借助物理知识考查数学能力是高考命题的永恒主题. 所谓数学方法,就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来,并进行推导、演算和分 析,以形成对问题的判断、解释和预测.可以说,任何物理试题的求解过程实质上是一个将物理问题转化 为数学问题再经过求解还原为物理结论的过程.本讲中所指的数学方法,都是一些特殊、典型的方法.处 理中学物理问题,常用的数学方法有极值法、几何法、图象法、数学归纳推理法、微元法、等差(比)数列 求和法等.如下表: 名称 内容 1.三角函数求极值:y(θ)=cosθ+μsinθ,ymax= 1+μ2 4ac-b2 2 2. 二次函数求极值: y = ax + bx + c , y = m 极限法 4a (a>0 时,有 ymin;a<0 时,有 ymax) 3.均值不等式:a+b≥2 ab( a>0 ,b>0), a+b+c≥3 abc( a>0 ,b>0, c>0) 1.对称点的性质、镜像对称 2.两点间的直线距离最短 几何法 a b c 3.正弦定理:sinα = sinβ = sinθ;余弦定理:a2=b2+c2+2bccosα 4.全等、相似三角形的特征 5.圆轨道及圆的相关性质、圆方程 1.直线型图象:y=kx+b 2.正(余)弦曲线型图象 3.抛物线型图象 4.描述一个物理量随另一个物理量变化的曲线等,如闭合电路中各物理量间关系 n(a1+an) n(n-1) 1.等差数列:其和 Sn= = na 1+ 2 2 d(d 为公差) a1(1-qn) 2.等比数列:Sn= (1-q) ,a1 为首项,q 为公比,当 q<1 时,qn→0. 无穷小等分,往往对其中的一个微元作处理. 对于一个复杂的过程由特殊到一般,归纳成某一通式,求解. sin2θ+cos2θ=1,sin2θ=2sinθcosθ,cos2θ=2cos2θ-1=1-2sin2θ=cos2θ-sin2θ 直线方程,一元二次方程的判别式,椭圆方程,二次函数,圆方程等 另外还有比值法、不等式法
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图象法

数列法 微元法 数学归纳法 三角函数变换 方程法

2

探究——思维拓展 典题分析
【例 1】 [2008 年高考上海卷· 4· 向量与矢量三角形] 如图 7-1 所示,在竖直平面内的直 角坐标系中,一个质量为 m 的质点在外力 F 的作用下,从坐标原点 O 由静止沿直线 ON 斜向下运动,直线 ON 与 y 轴负方向成 θ 角(θ<π/4) 。则 F 大小至少为____________; 若 F=mgtanθ,则质点机械能大小的变化情 况是______________________________。 跳出陷阱 某同学这样解第 2 问,若 F=mgtanθ 时,正好 F 力的方向沿着 x 轴正方 向,因此外力 F 与运动位移方向成锐角,质点的机械能增加。 指点迷津

图 7-1

实际上该同学忽视了题干只给出外力 F 的大小,而未给出该力的方向。F=mgtanθ 时,外力 F 的方向 不仅仅为沿着 x 轴正方向,还可能有其它方向。为了能够严密的找出 F=mgtanθ 时的所有可能性,需要运 用力的矢量三角形定则。 正确析解 如图 7-2 所示,质点受到的力有重力 mg 和外力 F,合力的方向沿着 ON 方向,将重 O 力、外力、合力归结到一个三角形中,该质点受到重力和外力 F 从静止开始做直线运动, θ 说明质点做匀加速直线运动,如图中显示当 F 力的方向为 a 方向(垂直于 ON)时,F 力 c 最小为 mgsinθ;若 F=mgtanθ,即 F 力可能为 b 方向或 c 方向,故 F 力的方向可能与运 a 动方向相同,也可能与运动方向相反,除重力外的 F 力对质点做正功,也可能做负功,故 b 质点机械能增加、减少都有可能。两空分别填:mgsinθ,增大、减小都有可能。 mg N 方法归类 图 7-2 力的矢量三角形定则是从平行四边形定则中演绎出来的新的数学方法,解决共点力 问题有很好的作用,特别是动态平衡问题、力的合成与分解中的多解分析,这样的方法非常严密。矢量三 角形的处理原则: 1、抓住“定”量,比如重力的大小和方向对应矢量三角形的边长和方向,这点很重要,它直接确定了三 角形的两个顶点和一个边;再比如墙壁上的弹力方向始终不变,这确定了动态三角形中的某个边的方向; 2、找到“变”量,往往以某个力的角度发生变化引起三角形另外两个边的变化,有时候是边长变化、有 时候是方向发生变化。 一题多变 物体放置在水平地面上,物理与地面之间的动摩擦因数为 ?, 物体重为 G, 欲使物体沿水平地面做匀速直线运动, 所用的最小拉力 F 为多大? 画龙点睛 该题的已知量只有 ? 和 G,说明最小拉力的表达式中最多只含 有 ? 和 G ,但是,物体沿水平地面做匀速直线运动时,拉力 F 可由夹角的不同 f 值而有不同的取值。 因此, 可根据题意先找到 F 与夹角有关的关系式再作分析。 析解 方法一:如图 7-3,对物体受力分析,设拉力 F 与水平方向的夹角为 θ,根 据题意可列平衡方程式, 即 Fcosθ-f=0 ① N+Fsinθ=G ② f=?N ③ 联立① ② ③ 解得:

N F θ

mg
图 7-3

?G ?G F? ? ? sin ? ? cos ? 1 ? ? 2 (sin ? cos ? ? cos ? sin ? )
?

F f

/

N

Φ

F

?G
1 ? ? 2 sin(? ? ? )

,
G 图 7-4

3

1 其中 tanф= ?,故 Fmin ?

?
1? ? 2

G
F F

方法二:向量就是物理学中的矢量,当物体受三力平衡时,将三矢量首尾相连 F'' 后,必定构成三角形。利用点到直线的垂直线段最短可求极值。对本题我们也可用 矢量知识求极值。 将摩擦力 f 和地面对木块的弹力 N 合成一个力 F', 如图 7-4, F'与竖直方向的夹 f 角为 tanф= N =?(为一定值) 。这样木块可认为受到三个力:重力 G,桌面对木块的 作用力 F'和拉力 F 的作用。尽管 F 大小方向均未确定,F'方向一定,但大小未定, 但三力首尾相连后必构成三角形,如图 7-5 所示。只有当 F 与 F'’垂直时,即拉力与 水平方向成 ф 角时,拉力 F 最小为 F=Gsinф 而 sin ? ?

Φ
F' F'' ' F

Φ
G

tan ?

1 ? tan 2 ?

?

?

1? ? 2

,故 F ? G sin ? ?

?G

图 7-5

1? ? 2

一题多变 [2008 年高考四川延考卷· 21· 正弦定理与矢量三角形]两个可视 为质点的小球 a 和 b,用质量可忽略的刚性细杆相连,放置在一个光滑的半球 面内,如图 7-6 所示。己知小球 a 和 b 的质量之比为 3,细杆长度是球面半径 ) 的 2倍。两球处于平衡状态时,细杆与水平面的夹角 θ 是 ( A.45° B.30° C.22.5° D.15° 画龙点睛

图 7-6 通过对 a 和 b 两小球的受力分析,抓住受力的共同特点:轻杆对小球的作 用力等大、反向,以及重力均竖直向下,大小关系在题干已经给出,还有重要的几何关系即细杆的长度是 球面半径的 2倍。 分别将两小球受到的共点力归结到矢量三角形中, 最后利用数学的正弦定理列方程求解。 正确解析 O 如图 7-7,对 a、b 分别受力分析,将三个力归结到三角形 Oac 与 Obc 中, b 由牛顿第三定律可设两球受到杆的作用力大小 Nac=Nbc,依题意可知,ab= 2 c a Oa= 2Ob,故三角形 Oab 为等腰直角三角形。 3mg 可设∠ aOc=90°-∠ bOc=α,根据矢量三角形定则及正弦定理可得: sin45° = 图 7-7 Nac mg Nbc sinα,sin45° = sin(90°-α),解得 α=30°,由几何关系可得 θ=15° 。本题还有其 他解法,比如杠杆平衡条件解题、利用质心找到平衡点等方法,不妨试一试。 追问 1、试讨论一下 a 球和 b 球质量比为 n 发生变化时,细杆与水平面的夹角 θ 如何变化? 2、若撤去光滑的半球面,Oa、Ob 为细绳,a、b 为同性电荷,其它条件不变,思考一下结果还是不是 一样? 【例 2】 [2008 年高考全国Ⅰ 卷· 21· 不等式与极值] 一束由红、蓝两单色光组成的光线从一平板玻璃砖的 上表面以入射角 θ 射入,穿过玻璃砖自下表面射出。已知该玻璃对红光的折射率为 1.5。设红光与蓝光穿 过玻璃砖所用的时间分别为 t1 和 t2,则光线从 0? 逐渐增大至 90? 的过程中 ( ) A.t1 始终大干 t2 B.t1 始终小于 t2 C.t1 先大干后小于 t2 D.t1 先小于后大于 t2 跳出陷阱 sinθ c 高考中某些考生解法如下:设折射角为 α,玻璃砖的厚度为 h,由折射定律 n=sinα ,且 n=v ,在玻璃 h h2n4 2 砖中的时间为 t=vcosα ,联立解得 t =c2(n2- sin2θ) 。研究这个函数,若对变化的入射角 θ,和不同光的折

4

h2n14 射率 n,设红光的折射率为 n1,蓝光的折射率为 n2,且 n2>n1>1,讨论:当 t 红 2= t 蓝 2 时,有c2(n 2- sin2θ) =
1

c2(n22- sin2θ) n12 n22 n12 1 2 2 ,化简得 sin θ = 2 4 2 2 > h n2 2 >2,由 sin θ≤1,可得 n1< 2时,即当红光的折射率 n1= 2 n1 +n2 时出现极值,n1> 2时,入射角 θ 从 0? 逐渐增大至 90? 的过程中,一定有 t1<t2 ,故 B 正确。实际上, 1 当 sin2θ > 2,即 θ > 45°时,t1>t2 。 指点迷津 实际上能够在列出函数方程后,利用强大的数学功底,应用函数变化和不等式知识得到最后结果,是 非常困难的,也会耗掉很多时间,这在高考临场中是一大禁忌。我们不禁发问高考物理试题难道要这么强 大的数学函数功底才能解决问题吗?其实作为选择题,有灵活的数学处理方法。本题存在一个转折点,就 是给出的该玻璃对红光的折射率为 1.5 这个条件。要想快速解题,列出简单的函数方程对计算量的简化和 思维时间有很大的帮助。 正确析解 h hn hsinθ 2hsinθ 我们从时间的表达式开始,t = vcosα = ccosα = csinαcosα = csin2α ,对红光的折射角 α1,蓝光的折 sin2α2 射角 α2,则 t 红 : t 蓝= sin2α ,由于 α1 >α2 ,故在 2α1≤90°,即 α1≤45°时总有 t1<t2 ,要入射角 θ 从 0? 1 sinθ 逐渐增大至 90? 的过程中总成立,要求红光的折射率 n1= sinα > 2,由于题干给定 n1=1.5,故总有 t1< 1 t2 ,B 正确。 方法归类 高考中对处理物理情景后列出数学函数方程,然后运用数学不等式的知识灵活处理临界问题,一直是 考生的一大瓶颈。处理临界值问题时可以考虑: 1、运用二次函数极值公式求极值;2、利用一元二次方程求极值;3、利用配方法求极值;4、利用不 等式求极值;5、利用三角函数的有界性求极值;6、利用“化一法”(即正弦、余弦、正切等三角函数转换 为同名三角函数)求三角函数极值;7、利用向量求极值;8、图象法求极值;9、利用数学求导的方法求 极值; 以上求极值的方法是解高中物理题的常用方法。在使用中,还要注意题目中的条件及“界”的范围。求 最大和最小值问题,这类问题往往是物理学公式结合必要的教学知识才得出结论,这就要求学生不仅理解 掌握物理概念、规律,还要具备较好的运用数学解决问题的能力。 解决极值问题的关键是扎实掌握高中物理的基本概念,基本规律,在分析清楚物理过程后,再灵活运 用所学的数学知识。无论采用何种方法解物理极值问题,首先都必须根据题意,找出符合物理规律的物理 方程或物理图象,这也是解决物理问题的核心,决不能盲目地将物理问题纯数学化。 一题多变 [2008 年高考全国Ⅱ 15· 卷· 函数与极值]一束单色光斜射到厚平板玻璃的一个表面上,经两次 折射后从玻璃板另一个表面射出,出射光线相对于入射光线侧移了一段距离。在下列情况下,出射光线侧 ) 移距离最大的是 ( A.红光以 30°的入射角入射 B.红光以 45°的入射角入射 C.紫光以 30°的入射角入射 D.紫光以 45°的入射角入射 跳出陷阱 高考中某些考生思路如下: 因为同种介质对紫光的折射率较大, 故入射角相同时, 紫光侧移距离较大, sini 排除 A、B 选项;设入射角为 i,折射角为 r,玻璃砖厚度为 d 则侧移距离△ x = d(tani-tanr)cosi,由 n=sinr 代 入化简得: ?x ? 指点迷津 这个函数已经列出来了,思路上没有出错,而且折射率 n>1 时,△ x 随着入射角 i 的增大而增大,但 要怎么该函数为单调递增函数并不容易。通过精确画图的确可以很快得到结果,而且最大侧移距离趋近于 玻璃砖的厚度。利用数学函数分析以及高三教材的数据可以更加清晰的看到侧移距离的变化。

d sin i(1 ? cosi) n 2 ? sin 2 i



5

正确析解 dsin(i-r) ,在高三教材中,折射定律这一节有入射角与折射角的数据表 cosr 格,从数据可知,入射角增大时,折射角也增大,且入射角与折射角的差值也在增大,故随着入射角 i 的 增大,sin(i-r)增大,cosr 减小,故△ x 必定增大。从而选择 D 选项。从这个结论中总结规律,同一种单色 光,入射角增大时,侧移距离逐渐增大到玻璃的厚度;同样的入射角的前提下,折射率增大,侧移距离增 大。 我们重新列函数方程:△ x = 【例 3】 [2007 年高考全国Ⅰ 卷· 24· 数学归纳法与碰撞] 如图 7-8 所示, 质量为 m 的 由绝缘材料制成的球与质量为 M=19m 的金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直 方向成 θ=60°的位置自由释放,下摆后在最低点处与金属球发生弹性碰撞。在平衡 位置附近存在垂直于纸面的磁场。已知由于磁场的阻尼作用,金属球将于再次碰撞 前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于 45°。 跳出陷阱 θ

这是一道碰撞中的动量与能量守恒问题,试题没有给出磁场的阻尼作用如何产 M m 生,但给出了磁场,您考生容易产生错觉,以为要运用磁场相关知识解决问题。对 图 7-8 于两个金属球的运动过程,题目给出的描述并不是一目了然。特别是碰撞多次,每 次碰撞过程中绝缘球的动能损失并不是一个常量,这给解决问题带来了困难。 指点迷津 对于每次碰撞过程中绝缘小球的动能损失量不是一个常量,那么有什么规律呢?为了找到 规律,数学中常常以数学归纳法来寻找通项公式。 正确析解 设在第 n 次碰撞前绝缘球的速度为 vn-1,碰撞后绝缘球、金属球的速度分别为 vn、Vn。由于碰撞过程 中动量守恒、碰撞前后动能相等,设速度向左,则

mvn?1 ? MVn ? mvn 1 2 1 1 2 mv n ?1 ? MV n2 ? mv n 2 2 2 9 1 v n ?1 , Vn ? v n ?1 解得: v n ? 10 10
第 n 次碰撞后绝缘球的动能为: E n ?

1 2 mv n ? (0.81) n E 0 2

E0 为第 1 次碰撞前的动能,即初始能量。 绝缘球在 θ=θ0=60°与 θ=45°处的势能之比为

E m gl(1 ? cos? ) ? ? 0.586 E0 m gl(1 ? cos? 0 ) En 经 n 次碰撞后有: ? (0.81) n E0

易算出(0.81)2=0656,(0.81)3=0.531,因此,经过 3 次碰撞后 θ 小于 45° 。 方法归类 该题除了考查碰撞中的动量守恒定律以及能量守恒定律外,还运用了数学归纳法寻找通项公式,即绝 缘小球每一次碰撞前与碰撞后的动能关系,从而找到了绝缘小球每次碰后的动能与初动能的关系。找不到 这个通项关系,而使用递推法解题的计算量会非常大。 在解决某些物理过程比较复杂的具体问题时,常从特殊情况出发,类推出一般情况下的猜想,然后用 数学归纳法加以证明,从而确定我们的猜想是正确的。此类题要求注意在书写 上的规范,以便于找出其中的规律。 一题多变 [2008 年高考四川卷· 25· 递推法与碰撞] 如图 7-9, 一倾角为 θ= 45°的斜面固定于地面,斜面顶端离地面的高度 h0=1m,斜面底端有一垂直于

图 7-9

6

斜面的固定挡板。在斜面顶端自由释放一质量 m=0.09kg 的小物块(视为质点) 。小物块与斜面之间的动 2 摩擦因数 μ=0.2。当小物块与挡板碰撞后,将以原速返回。重力加速度 g=10 m/s 。在小物块与挡板的前 4 次碰撞过程中,挡板给予小物块的总冲量是多少? 画龙点睛 在小物块与挡板的前 4 次碰撞过程中,每一次挡板给予小物块的冲量是一个定量、还是变量,需要事 先通过物理规律列方程求解,实际上试探第一次与第二次挡板给予小物块的冲量即可知晓。在这里可以运 用两种途径来试探,一种是动能定理,另一种是牛顿运动定律。 正确析解 方法一:设小物块从高为 h 处由静止开始沿斜面向下运动,到达斜面底端时速度为 v。 1 h 由功能关系得 mgh ? mv2 ? ?mg cos? ① 2 sin? 以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理,碰撞过程中挡板给小物块的冲量 I ? mv ? m(?v) ② 设碰撞后小物块所能达到的最大高度为 h’,则 1 2 h? ③ mv ? mgh? ? ?mg cos? 2 sin? 1 h? 同理,有 mgh? ? mv?2 ? ?mg cos? ④ 2 sin? I ? ? mv? ? m(?v?) ⑤ 式中,v’为小物块再次到达斜面底端时的速度,I’为再次碰撞过程中挡板给小物块的冲量。由① ② ③ ④ ⑤ 式 得 I ? ? kI ⑥ t a? n ?? 式中 k ? ⑦ t a? n?? 由此可知,小物块前 4 次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数,首项为
I1 ? 2m 2gh0 (1 ? ? c o? t)


2 3

总冲量为 由 得

I ? I1 ? I 2 ? I 3 ? I 4 ? I1 (1 ? k ? k ? k )

⑨ ⑩ ⑾ ⑿

1 ? k ? k 2 ? ?k n?1 ? I?

1? k ) 1? k
n

1? k 4 2m 2gh0 (1 ? ? cot? ) 1? k 代入数据得 s I ? 0.43(3 ? 6 ) N·

方法二:设小物块从高为 h 处由静止开始沿斜面向下运动,小物块受到重力,斜面对它的摩擦力和支 持力,小物块向下运动的加速度为 a,依牛顿第二定律得 mg sin? ? ?mg cos? ? ma ① h 设小物块与挡板碰撞前的速度为 v,则 v 2 ? 2a ② sin? 以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理,碰撞过程中挡板给小物块的冲量为 I ? mv ? m(?v) ③ 由① ② ③ 式得
I1 ? 2m 2gh(1 ? ? cot? )



设小物块碰撞后沿斜面向上运动的加速度大小为 a’, 依牛顿第二定律有 mg sin? ? ?mg cos? ? ma? ⑤ 小物块沿斜面向上运动的最大高度为 h? ? 由② ⑤ ⑥ 式得 式中
k?
h? ? k 2 h

v2 sin? 2a?

⑥ ⑦ ⑧

tan? ? ? tan? ? ?

同理,小物块再次与挡板碰撞所获得的冲量

7

I ? ? 2m 2gh?(1 ? ? cot? )



由④ ⑦ ⑨ 式得 I ? ? kI ⑩ 由此可知,小物块前 4 次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数,首项为
I1 ? 2m 2gh0 (1 ? ? c o? t)


2 3

总冲量为 由 得
1 ? k ? k 2 ? ?k n?1 ? I?

I ? I1 ? I 2 ? I 3 ? I 4 ? I1 (1 ? k ? k ? k )

⑿ ⒀ ⒁

1? k ) 1? k
n

代入数据得 ⒂ 【例 4】 [2007 年高考上海· 8· 函数与物理图象] 物体做自由落体运动,Ek 代表动能,Ep 代表势能,h 代表 下落的距离,以水平地面为零势能面。下列 7-10 所示图象中,能正确反映各物理量之间关系的是( )

1? k 4 2m 2gh0 (1 ? ? cot? ) 1? k s I ? 0.43(3 ? 6 ) N·

图 7-10 跳出陷阱 这是一道典型的函数与图象数学、物理两个学科相联系的试题。考查运用数学知识处理物理问题的能 力。需要通过给定的运动列出物理运动方程,即拿出函数关系式。函数均为势能 EP 与相关时间、速度、动 能、高度的关系。 指点迷津 该题应该从数学函数与物理图象相联系。在自由落体运动中,势能与下落的高度成正比,下落的高度 与时间的平方成正比;任意高度的势能值等于该处的动能值,与速度的平方成正比。再根据函数方程对应 的图象即可获取答案。 正确析解 1 1 由机械能守恒定律: EP=E-EK, 故势能与动能的图像为倾斜的直线, C 错; 由动能定理: EK =mgh=2mv2=2 1 mg2t2,则 EP=E-mgh,故势能与 h 的图像也为倾斜的直线,D 错;且 EP=E-2mv2,故势能与速度的图像为 1 开口向下的抛物线,B 对;同理 EP=E-2mg2t2,势能与时间的图像也为开口向下的抛物线,A 错。本题答 案 B。 方法归类 本题的突破口在于建立数学函数与运动学方程的关系,转换为图象。考查了对图象的理解与认识。解 决此类问题往往需要理解图象的物理意义,是一次函数还是二次函数或其它函数,一次函数中的斜率的大 小、倾斜的方向、横轴和纵轴的截距等都是重要信息;二次函数中要注意图象的开口、对称轴以及与横轴 的交点等信息;还有圆方程、椭圆方程以及双曲线方程等,都是要注意掌握的数学知识。 一题多变 [2008 年高考海南卷· 5· 分段函数与图象] 一质子和中于是由更基本的粒子即所谓“夸克”组 成的. 两个强作用电荷相反 (类似于正负电荷) 的夸克在距离很近时几乎没有相互作用 (称为“渐近自由”) ; 在距离较远时,它们之间就会出现很强的引力(导致所谓“夸克禁闭”) .作为一个简单的模型,设这样的两 夸克之间的相互作用力 F 与它们之间的距离 r 的关系为:

? 0, ? F ? ? ? F0 , ? 0, ?

0<r<r1 r>r2

r1≤r≤r2

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式中 F0 为大于零的常量,负号表示引力.用 U 表示夸克间的势能,令 U0=F0(r2—r1),取无穷远为势能零 点.下列 7-11 所示 U-r 图示中正确的是 ( ) U O
-U0

r1

r2 r

U O
-U0

r1

r2 r

U O
-U0

r1

r2 r

U U0

O C

r1 D

r2 r

A

B

图 7-11 画龙点睛 该题在基本物理知识的背景下,实际上纯粹考查数学知识,即数学分段函数的理解。能够从物理知识 与情景中找到数学分段函数即可获取正确的图象。在物理知识中需要运用势能值与两夸克之间的相互作用 力做功的值大小相等,这样从无穷远处开始逐渐缩小距离到 r=r2,从 r=r2 到 r=r1,从 r=r1 缩小到最小距离, 三个过程,三段函数图象。 正确析解 从无穷远处电势为零开始到 r = r2 位置,势能恒定为零,在 r = r2 到 r = r1 过程中,恒定引力做正功,势 能逐渐均匀减小,即势能为负值且越来越小,此部分图像为 A、B 选项中所示;r < r1 之后势能不变,恒 定为-U0,由引力做功等于势能将少量,故 U0=F0(r2-r1)。本题答案 B。

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训练——能力提升
【训 1】 [2008 年高考四川卷· 18· 函数与物理图象]一物体沿固定斜面从静止开始向下运动,经过时间 t0 滑至斜面底端。已知在物体运动过程中物体所受的摩擦力恒定。若用 F、v、s 和 E 分别表示该物体所受的 合力、物体的速度、位移和机械能,则下列图象中可能正确的是
F v s E

O A.

t0

t

O B.

t0

t

O C.

t0

t

O D.

t0

t

【答案】AD 【解析】物体在沿斜面向下滑动过程中,所受的合力为重力沿斜面向下的分力及摩擦力,故大小不变,A 1 正确;而物体在此合力作用下作匀加速运动,v=at,s=2at2,所以 B、C 错;物体受摩擦力作用,总的机械 能将减小,D 正确. 【训 2】 [改编题· 函数与物理图象] 如图所示,水平地面上放置一个质量为 m 的 v 物体,在与水平方向成 θ 角的斜向右上方的拉力 F 的作用下沿水平地面运动,物体 与地面间的动摩擦因数为 μ。求: F (1)若物体在拉力 F 的作用下能始终沿水平面向右运动,拉力 F 的大小范围; θ (2)若物体受到拉力 F 的作用后,从静止开始向右做匀加速直线运动,2 s 后撤去 拉力,已知 F=100 N、m=10 kg、μ=0.5、θ=37°,撤去拉力后物体滑行的时间 t; (3)已知 m=10 kg、μ=0.5,若物体以恒定加速度 a=5 m/s2 向右做匀加速直线运动, ,维持这一加速度 的拉力 F 的最小值。 【解析】 (1)要使物体运动时不离开水平面,应有 Fsinθ≤mg, 要物体能向右运动,应有 Fcosθ≥?(mg μmg mg -Fsinθ) ,所以 ≤F≤ cosθ+μsinθ sinθ (2)Fcosθ-?(mg-Fsinθ)=ma1,a1=6 m/s2, ?mg=ma2,a2=5 m/s2, v=a1t1=a2t2,所以 t2=2.4s (3)Fcosθ-?(mg-Fsinθ)=ma, μmg+ma μmg+ma 1 - F= F= ,其中?=sin 1 , 2 cosθ+μsinθ 1+? sin(θ+?) 1+?2 μmg+ma 当 sin(θ+?)=1 时 F 有最小值,Fmin= =40 5N≈89.4N 1+?2 【训 3】 [模拟题· 矢量三角形] 一条河宽 L=60m,水速 v 水=4m/s,船在静水中的开行速度 v 开=3m/s。 (1)求小船渡河的最短时间 t,这样渡河船的位移是多少? (2)小船渡河的最小位移是多少? s

v开

【解析】 (1)小船渡河的运动可看作是小船在静水中的运动与水的运动两个运 动的合成。由分运动之间互不影响,且河岸的宽度是一定的,只要小船在垂直 于河岸方向的分速度越大,小船渡河的时间就越短,即当小船船头垂直于河岸 方向运动时(如图 a) ,时间最短: tmin=L/v 开=60/3s=20s, s=v 合 tmin=5×20m=100m (2)运动的合成与分解遵循平行四边形定则,由 v 开< v 水,即小船不可能 垂直到达对岸。只有当 v 开、v 水两个速度的合速度与河岸的夹角越大,则小船 θ

v合 v水
a

v合 v开 v水
b

s

10

的实际位移越小。把代表 v 开的有向线段移到代表 v 水的有向线段端点,如图 b 所示,可见:改变船头的 方向,有向线段 v 开的箭头端点始终在一圆弧上。随着船头方向的改变,合速度的方向也随之改变。只有 当船头的朝向与合运动的方向垂直时,θ 有最小值。由几何知识可得:cosθ=v 开/ v 水=3/4,又 cosθ=L/smin, 即 smin =80m。 【训 4】 [模拟题· 函数与极值] 一轻绳一端固定在 O 点,另一端拴一小球,拉起小球使轻绳水平,然后 无初速度的释放,如图所示,小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中,小球所受重力的瞬时功率在何处 取得最大值? 【解析】当小球运动到绳与竖直方向成 θ 角的 C 时,重力的功率为: A L P=mgvcosα=mgvsinθ O 1 T θ 小球从水平位置到图中 C 位置时,机械能守恒有:mgLcosθ=2mv2,联立解 C 得: 2 θ P=mg 2gLcosθsin θ, α 1 1 v mg 令 y=cosθsin2θ= 2(2cos2θsin4θ) = 2(2cos2θsin2θsin4θ) B 根据:2cos2θ+sin2θ+sin2θ=2(sin2θ+cos2θ)=2,由基本不等式 a+b+c≥3 abc, 3 定和求积知:当且仅当 2cos2θ = sin2θ,y 有最大值。由 2cos2θ=1-cos2θ,得:cosθ= 3 。 3 即:当 cosθ= 3 时,功率 P 有最大值。 【训 5】 [2008 年高考四川卷· 24· 判别式与极值] 如图,一半径为 R 的光滑绝缘半球面开口向下,固定在 水平面上。整个空间存在匀强磁场,磁感应强度方向竖直向下。一电荷量为 q (q>0) 、质量为 m 的小球 P 在球面上做水平的匀速圆周运动,圆心为 O’。球 π 心 O 到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为 θ(0<θ<2) 。为了使小球 能够在该圆周上运动,求磁感应强度大小的最小值及小球 P 相应的速率。重力 加速度为 g。 【解析】据题意,小球 P 在球面上做水平的匀速圆周运动,该圆周的圆心为 O’。P 受到向下的重力 mg、球面对它沿 OP 方向的支持力 N 和磁场的洛仑兹力:f=qvB 式中 v 为小球运动的速率。洛仑兹力 f 的方向指向 O’。根据牛顿第二定律: v2 Ncosθ-mg=0,f-Nsinθ=mRsinθ 联立解得: v 2 ? 由此得 B≥
2m q 4 gR sin2 ? qBRsin? qRsin2 ? ? qBRsin? ? ≥0 v? ? 0 ,由于 v 是实数,必须满足 ? ? ? ? ? m cos? m cos? ? ?
2

3

g , R cos? 2m q g R cos?

可见,为了使小球能够在该圆周上运动,磁感应强度大小的最小值为 Bmin ? 此时,带电小球做匀速圆周运动的速率为: v ? 故: v ?
gR sin? cos?

qBmin R sin? 2m

【训 6】 [模拟题· 数学归纳法与碰撞] 滑块 A 质量 m=0.01kg,与水平地面间的动摩擦因数 μ=0.2。用细 线悬挂的小球质量均为 m' =0.01kg 且沿 x 轴均匀排列,A 与第一只小球及小球与相邻小球距离均为 s=2m, 从左至右悬挂小球的线长分别为 L1、L2、L3……。当 A 与第一只球间距为 2 m 时的运动速度 v0=10m/s 且正好 沿着 x 轴正向运动,不计滑块和小球大小且当滑块与球发生碰撞时机械能不损失,碰后任一小球均恰好能 在竖直平面内作完整的圆周运动。求: (g=10m/s2) (1)最左侧悬挂小球的线长 L1 为多少?

11

(2)滑块在运动中能与几个小球发生碰撞。 (3)求出碰撞中第 n 个小球悬线长 Ln 的表达式。 O1 L1

O2 O3 L2 L3 x

m

【解析】由于 m 滑块=m 小球,所以,当滑块与球或球与滑块发生弹性正碰时,碰撞前后两者的速度发 生互换,因此每次球与滑块碰后滑块均沿某初速方向向前运动直至停止。 1 1 (1)设滑块与第一个球碰前的速度为 v1 ,由动能定理 -mgμs=2mv12-2mv02 滑块与第一个球碰后瞬间球的速度 v'1=v1,对球在上升过程中,由机械能守恒定律有: 1 1 mv22 2 2 mv = 2 mgL + mv ,又因为球在最高点时,由牛顿第二定律有: mg = 1 2 1 2 2 L1 2 v0 - 2μgs 悬挂在最左侧第一个球的绳长 L1= 5g =1.84m 1 (2)对滑块由动能定理:-μmgs0=0-2mv02 ,滑块滑行的总路程:s0=25m s0 则滑块在滑行过程中与小球碰撞的个数:N= s =12.5,即 12 个。 (3)设滑块与第 n(n≤12)个球碰前速度为 vn 1 1 则-μmgns=2mvn2-2mv02 ,则滑块一球碰后,球的速度 v'n=vn ,若连接第 n 个球的悬线长为 Ln, 1 1 球运动到最高点的速度为 v" n,对小球,由机械能守恒定律2mv'n2=2mv"n2 -2mgLn,且在最高点,由牛顿 mv"n2 v02 - 2μgns 第二定律 mg= L ,联立可得 Ln= =2-0.16n(m) ,其中 n=1,2,3,……,12 。 5g n


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