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第二讲 空间中的平行与垂直(学生版)


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第2讲
【知识梳理】

空间中的平行与垂直

1.线面平行与垂直的判定定理、性质定理 a∥b? 线面平行的判定定理 b?α??a∥α a?α ? ?

?

a∥α 线面平行的性质定理

/>
? ? a?β ??a∥b α∩β=b? ?

a?α,b?α? 线面垂直的判定定理 a∩b=O

? ??l⊥α l⊥a,l⊥b ? ?
a⊥α? ? ??a∥b ? b⊥α?

线面垂直的性质定理 2. 面面平行与垂直的判定定理、性质定理

面面垂直的判定定理

a⊥α? ? ??α⊥β ? a?β? α⊥β

面面垂直的性质定理

α∩β=c a?α a⊥c a? β

? ? ??a⊥β ? ?

面面平行的判定定理

? ? ??α∥β a∩b=O ? a∥α,b∥α?
b?β α∥β

面面平行的性质定理

? ? α∩γ=a??a∥b β∩γ=b? ?

提醒 使用有关平行、垂直的判定定理时,要注意其具备的条件,缺一不可.

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3. 平行关系及垂直关系的转化示意图

【考点解析】 考点一 空间线面位置关系的判断 例1 (1)l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面 (2)设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是 A.若 l⊥m,m?α,则 l⊥α B.若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α C.若 l∥α,m?α,则 l∥m D.若 l∥α,m∥α,则 l∥m (1)(2013· 广东)设 m, n 是两条不同的直线, α, β 是两个不同的平面, 下列命题中正确的( A.若 α⊥β,m?α,n?β,则 m⊥n B.若 α∥β,m?α,n?β,则 m∥n C.若 m⊥n,m?α,n?β,则 α⊥β D.若 m⊥α,m∥n,n∥β,则 α⊥β (2)平面 α∥平面 β 的一个充分条件是 A.存在一条直线 a,a∥α,a∥β B.存在一条直线 a,a?α,a∥β C.存在两条平行直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α D.存在两条异面直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α ( ) ) ( ) ( )

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考点二 线线、线面的位置关系 例2 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90° ,∠BAC= ∠CAD=60° ,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点,PA=2AB. (1)若 F 为 PC 的中点,求证:PC⊥平面 AEF; (2)求证:EC∥平面 PAB.

如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BC=BB1,D 为 AC 的中点. (1)求证:B1C∥平面 A1BD; (2)若 AC1⊥平面 A1BD,求证:B1C1⊥平面 ABB1A1; (3)在(2)的条件下,设 AB=1,求三棱锥 B-A1C1D 的体积.

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考点三 面面的位置关系 例3 如图, 在几何体 ABCDE 中,AB=AD=2, AB⊥AD, AE⊥ 平面 ABD.M 为线段 BD 的中点,MC∥AE,AE=MC= 2. (1)求证:平面 BCD⊥平面 CDE; (2)若 N 为线段 DE 的中点,求证:平面 AMN∥平面 BEC.

如图所示, 已知 AB⊥平面 ACD, DE⊥平面 ACD, △ACD 为等边三角形,AD=DE=2AB,F 为 CD 的中点. 求证:(1)AF∥平面 BCE; (2)平面 BCE⊥平面 CDE.

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考点四 图形的折叠问题 例4 (2012· 北京)如图(1),在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一点,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如图(2). (1)求证:DE∥平面 A1CB; (2)求证:A1F⊥BE; (3)线段 A1B 上是否存在点 Q, 使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由.

(2013· 广东)如图(1),在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 上的点, AD=AE,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G.将△ABF 沿 AF 折起,得到如图(2)所示的三棱锥 A -BCF,其中 BC= 2 . 2

(1)证明:DE∥平面 BCF; (2)证明:CF⊥平面 ABF; 2 (3)当 AD= 时,求三棱锥 F-DEG 的体积 VF-DEG. 3

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1. 证明线线平行的常用方法 (1)利用平行公理,即证明两直线同时和第三条直线平行; (2)利用平行四边形进行转换; (3)利用三角形中位线定理证明; (4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明. 2. 证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的判定定理,把证明线面平行转化为证线线平行; (2)利用面面平行的性质定理,把证明线面平行转化为证面面平行. 3. 证明面面平行的方法 证明面面平行,依据判定定理,只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可,从而将证 面面平行转化为证线面平行,再转化为证线线平行. 4. 证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊平面图形的性质,如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直; (2)利用勾股定理逆定理; (3)利用线面垂直的性质,即要证线线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在平面即可. 5. 证明线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理,把线面垂直的判定转化为证明线线垂直; (2)利用面面垂直的性质定理,把证明线面垂直转化为证面面垂直; (3)利用常见结论,如两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面等. 6. 证明面面垂直的方法 证明面面垂直常用面面垂直的判定定理, 即证明一个面过另一个面的一条垂线, 将证明面面垂直转 化为证明线面垂直,一般先从现有直线中寻找,若图中不存在这样的直线,则借助中点、高线或添 加辅助线解决.

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【反馈练习】 1. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 1 E,F,且 EF= ,则下列结论中错误的是 ( 2 A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD C.三棱锥 A-BEF 的体积为定值 )

D.△AEF 的距离与△BEF 的面积相等 2. 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中 点. (1)证明:平面 ADC1B1⊥平面 A1BE; (2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F∥平面 A1BE?证明你 的结论.

【过手练习】 一、选择题 1. 已知 α,β,γ 是三个互不重合的平面,l 是一条直线,下列命题中正确的是 A.若 α⊥β,l⊥β,则 l∥α B.若 l 上有两个点到 α 的距离相等,则 l∥α C.若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β D.若 α⊥β,α⊥γ,则 γ⊥β 2. 已知直线 m,n 和平面 α,则 m∥n 的必要不充分条件是 A.m∥α 且 n∥α C.m∥α 且 n?α B.m⊥α 且 n⊥α D.m,n 与 α 成等角 ( ) ( )

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3. 如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45° ,∠BAD=90° ,将△ADB 沿 BD 折起, 使平面 ABD⊥平面 BCD,构成三棱锥 A-BCD.则在三棱锥 A-BCD 中,下列命题正确的是( )

A.平面 ABD⊥平面 ABC C.平面 ABC⊥平面 BDC

B.平面 ADC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC

4. 下列命题中,m、n 表示两条不同的直线,α、β、γ 表示三个不同的平面. ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n;②若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β;③若 m∥α,n∥α,则 m∥n;④若 α∥β, β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ. 正确的命题是 A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ ( )

5. 一正四面体木块如图所示,点 P 是棱 VA 的中点,过点 P 将木块锯开, 使截面平行于棱 VB 和 AC,若木块的棱长为 a,则截面面积为( a A. 2
2

)

a B. 3

2

a2 C. 4

a2 D. 5

6. 在正三棱锥 S-ABC 中,M,N 分别是 SC,BC 的中点,且 MN⊥AM, 若侧棱 SA=2 3,则正三棱锥 S-ABC 外接球的表面积是 A.12π C.36π 二、填空题 7. 设 x,y,z 是空间中的不同直线或不同平面,下列条件中能保证“若 x⊥z,且 y⊥z,则 x∥y”为 真命题的是________(填出所有正确条件的代号). ①x 为直线,y,z 为平面;②x,y,z 为平面;③x,y 为直线,z 为平面;④x,y 为平面,z 为直线; ⑤x,y,z 为直线. 8. 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D 是 A1C1 的中点,点 F 在线段 AA1 上,当 AF=________时,CF⊥平面 B1DF. B.32π D.48π ( )

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9. 如图,AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆周上(异于点 A,B),直线 PA 垂 直于圆 O 所在的平面,点 M 为线段 PB 的中点.有以下四个命题: ①PA∥平面 MOB;②MO∥平面 PAC; ③OC⊥平面 PAC;④平面 PAC⊥平面 PBC. 其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号). 三、解答题 10.(2013· 重庆)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,PA=2 3, π BC=CD=2,∠ACB=∠ACD= . 3 (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC,求三棱锥 P-BDF 的体积.

11.(2012· 广东)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥平面 PAD,AB∥CD,PD=AD,E 是 PB 的中 1 点,F 是 DC 上的点且 DF= AB,PH 为△PAD 中 AD 边上的高. 2 (1)证明:PH⊥平面 ABCD; (2)若 PH=1,AD= 2,FC=1,求三棱锥 E-BCF 的体积; (3)证明:EF⊥平面 PAB.

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