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【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 简单的线性规划问题学案 理 新人教A版


简单的线性规划问题
导学目标: 1.从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意 义,能用平面区域表示二元一次不等式组.3.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划 问题,并能加以解决.

自主梳理 1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)判断不等式 Ax+By+C>0 所表示的平面区域, 可在直线 Ax+By+C=

0 的某一侧的半 平面内选取一个特殊点,如选原点或坐标轴上的点来验证 Ax+By+C 的正负.当 C≠0 时, 常选用______________. 对于任意的二元一次不等式 Ax+By+C>0(或<0),无论 B 为正值还是负值,我们都可以 把 y 项的系数变形为正数,当 B>0 时, ①Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C=0______的区域; ②Ax+By+C<0 表示直线 Ax+By+C=0______的区域. (2)画不等式 Ax+By+C>0 表示的平面区域时,其边界直线应为虚线;画不等式 Ax+By +C≥0 表示的平面区域时,边界直线应为实线.画二元一次不等式表示的平面区域,常用 的方法是:直线定“界”、原点定“域”. 2.线性规划的有关概念 (1)线性约束条件——由条件列出一次不等式(或方程)组. (2)线性目标函数——由条件列出一次函数表达式. (3)线性规划问题:求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题. (4)可行解:满足________________的解(x,y). (5)可行域:所有________组成的集合. (6)最优解:使______________取得最大值或最小值的可行解. 3.利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是: (1)在平面直角坐标系内作出可行域. (2)作出目标函数的等值线. (3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数等值线,从而确定__________. 自我检测 1.(2011·北京东城 1 月检测)在平面直角坐标系中,若点(-2,t)在直线 x-2y+4= 0 的上方,则 t 的取值范围是( ) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-1,+∞) D.(0,1) 2.不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是 ( )

x≥0, ? ? 3.(2010·重庆)设变量 x,y 满足约束条件?x-y≥0, ? ?2x-y-2≤0,
值为( ) A.0 B.2 C.4 D.6

则 z=3x-2y 的最大

1

x+3y-3≥0, ? ? 4. (2010·浙江)若实数 x, y 满足不等式组?2x-y-3≤0, ? ?x-my+1≥0,
则实数 m 等于( A.-2 ) B.-1 C.1 D.2

且 x+y 的最大值为 9,

x+y≥2, ? ? 5.(2010·天津河西高三期中)已知实数 x,y 满足?x-y≤2, ? ?0≤y≤3,
值 ________.

则 z=2x-y 的最大 为

探究点一 不等式组表示的平面区域 例1

x-y+5≥0, ? ? 画出不等式组?x+y≥0, ? ?x≤3

表示的平面区域,并回答下列问题:

(1)指出 x,y 的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点?

变式迁移 1 (2011·安庆模拟)在平面直角坐标系中,有两个区域 M、N,M 是由三个不 等式 y≥0, y≤x 和 y≤2-x 确定的; N 是随 t 变化的区域, 它由不等式 t≤x≤t+1 (0≤t≤1) 所确定.设 M、N 的公共部分的面积为 f(t),则 f(t)等于( ) 1 2 2 A.-2t +2t B. (t-2) 2 1 2 1 2 C.1- t D.-t +t+ 2 2 探究点二 求目标函数的最值 例 2

x+y≤3, ? ? (2010·天津)设变量 x,y 满足约束条件?x-y≥-1, ? ?y≥1,
C.8 D.2

则目标函数 z=4x

+2y 的最大值为( ) A.12 B.10

x-y+2≥0, ? ? 变式迁移 2 (2010·山东)设变量 x,y 满足约束条件?x-5y+10≤0, ? ?x+y-8≤0,

则目标函

数 z=3x-4y 的最大值和最小值分别为( ) A.3,-11 B.-3,-11 C.11,-3 D.11,3 探究点三 线性规划的实际应用 例 3 某公司计划 2010 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告
2

总费用不超过 9 万元. 甲、 乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分和 200 元/分. 假定甲、 乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万 元.问:该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收 益是多少万元?

变式迁移 3 (2010·四川)某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品, 由乙车间加工出 B 产品,甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时,可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产品 获利 40 元,乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时,可加工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产 品获利 50 元.甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工 时总和不得超过 480 小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( ) A.甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 B.甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 C.甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 D.甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱

数形结合思想的应用 例

x-4y+3≤0, ? ? (12 分)变量 x、y 满足?3x+5y-25≤0, ? ?x≥1,

(1)设 z=4x-3y,求 z 的最大值;

y x 2 2 (3)设 z=x +y ,求 z 的取值范围.
(2)设 z= ,求 z 的最小值; 【答题模板】 解

x-4y+3≤0, ? ? 由约束条件?3x+5y-25≤0, ? ?x≥1
作出(x,y)的可行域如图所示.

3

?x=1 ? 由? ?3x+5y-25=0 ?

? 22? ,解得 A?1, ?. 5? ?

? ?x-4y+3=0 ,解得 C(1,1).由? , ?x-4y+3=0 ?3x+5y-25=0 ? ? 解得 B(5,2).[4 分] 4 z (1)由 z=4x-3y,得 y= x- . 3 3 4 z z 当直线 y= x- 过点 B 时,- 最小,z 最大. 3 3 3 ∴zmax=4×5-3×2=14.[6 分] y y-0 (2)∵z= = ,∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率. x x-0 2 观察图形可知 zmin=kOB= .[9 分] 5 2 2 (3)z=x +y 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方.结合图形可知,可行 域上的点到原点的距离中, dmin=|OC|= 2,dmax=|OB|= 29.∴2≤z≤29.[12 分] 【突破思维障碍】 1.求解目标函数不是直线形式的最值的思维程序是:

由?

? ?x=1

画出可行域 →

明确目标函数 结合图形 求目标函 → → z的几何意义 找最优解 数的最值

2.常见代数式的几何意义主要有以下几点: 2 2 (1) x +y 表示点(x,y)与原点(0,0)的距离; x-a 2+ y-b 2表示点(x,y)与点(a,b)的距离.

y x y-b 表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率. x-a

(2) 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率;

这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化,往往是解决问题的关键. 【易错点剖析】 本题会出现对(2)(3)无从下手的情况, 原因是学生没有数形结合思想的应用意识, 不知 道从目标函数表示的几何意义入手解题.

1. 在直角坐标系 xOy 内, 已知直线 l: Ax+By+C=0 与点 P(x0,y0),若 Ax0+By0+C>0, 则点 P 在直线 l 上方,若 Ax0+By0+C<0,则点 P 在直线 l 下方. 2.在直线 l:Ax+By+C=0 外任意取两点 P(x1,y1)、Q(x2,y2),若 P、Q 在直线 l 的 同一侧,则 Ax1+By1+C 与 Ax2+By2+C 同号;若 P、Q 在直线 l 异侧,则 Ax1+By1+C 与 Ax2+By2+C 异号,这 个规律可概括为“同侧同号,异侧异号”. 3.线性规划解决实际问题的步骤:①分析并将已知数据列出表格;②确定线性约束条 件;③确定线性目标函数;④画出可行域;⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解;⑥ 实际问题需要整数解时,应适当调整,以确定最优解.

(满分:75 分)
4

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2011·龙岩月考)下面给出的四个点中,位于?
? ?x+y-1<0, ?x-y+1>0 ?

表示的平面区域内的

点是( ) A.(0,2) B.(-2,0) C.(0,-2) D.(2,0) 2.在平面直角坐标系 xOy 中,已知平面区域 A={(x,y)|x+y≤1,且 x≥0,y≥0}, 则平面区域 B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为( ) 1 1 A.2 B.1 C. D. 2 4

?0≤x≤ 2, 3. (2011·广东)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组?y≤2, ?x≤ 2y



→ → 定,若 M(x,y)为 D 上的动点,点 A 的坐标为( 2,1),则 z=OM·OA的最大值为( ) A.4 2 B.3 2 C.4 D.3 4. (2011·安徽)设变量 x, y 满足|x|+|y|≤1, 则 x+2y 的最大值和最小值分别为( ) A.1,-1 B.2,-2 C.1,-2 D.2,-1 5. (2011·四川)某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人, 有 8 辆载重量为 10 吨的甲型 卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车.某天需送往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车需 满载且只运送一次,派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的 每辆乙型卡车需配 1 名工人, 运送一次可得利润 350 元. 该公司合理计划当天派用两类卡车 的车辆数,可得最大利润 z 等于( ) A.4 650 元 B.4 700 元 C.4 900 元 D.5 000 元 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分)

x+y-11≥0, ? ? 6.(2010·北京改编)设不等式组?3x-y+3≥0, ? ?5x-3y+9≤0
x

表示的平面区域为 D.若指数函

数 y=a 的图象上存在区域 D 上的点,则 a 的取值范围是________. 7. (2011·长沙一中月考)已知实数 x、 y 同时满足以下三个条件: ①x-y+2≤0; ②x≥1; ③x+y-7≤0,则 的取值范围是______________. 2x+y-6≤0, ? ? 8.(2011·湖南师大月考)设不等式组?x+y-3≥0, ? ?y≤2

y x

表示的平面区域为 M,若函

数 y=k(x+1)+1 的图象经过区域 M,则实数 k 的取值范围是____________. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)(2010·广东)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐 含 12 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要 的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物,42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求, 并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?
5

x-y+2≥0, ? ? 10.(12 分)已知?x+y-4≥0, ? ?2x-y-5≤0,
求:(1)z=x+2y-4 的最大值; 2 2 (2)z=x +y -10y+25 的最小值; 2y+1 (3)z= 的范围. x+1

11.(14 分)(2011·杭州调研)预算用 2 000 元购买单件为 50 元的桌子和 20 元的椅子, 希望使桌子和椅子的总数尽可能的多,但椅子数不少于桌子数,且不多于桌子数的 1.5 倍, 问桌子、椅子各买多少才行?

学案 35 自主梳理

简单的线性规划问题

6

1.(1)原点(0,0) ①上方 ②下方 2.(4)线性约束条件 (5)可行解 (6)目标函数 3.(3)最优解 自我检测 1.B 2.C 3.C 4.C 5.7 课堂活动区 例 1 解题导引 在封闭区域内找整点数目时,若数目较小时,可画网格逐一数出; 若数目较大,则可分 x=m 逐条分段统计.

解 (1)不等式 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及右下方的点的集合.x+y≥0 表 示直线 x+y=0 上及右上方的点的集合,x≤3 表示直线 x=3 上及左方的点的集合. 所以,不等式组

x-y+5≥0, ? ? ?x+y≥0, ? ?x≤3

表示的平面区域如图所示.

? 5 ? 结合图中可行域得 x∈?- ,3?,y∈[-3,8]. ? 2 ?
?-x≤y≤x+5, ? (2)由图形及不等式组知? ? ?-2≤x≤3,且x∈Z.

当 x=3 时,-3≤y≤8,有 12 个整点; 当 x=2 时,-2≤y≤7,有 10 个整点; 当 x=1 时,-1≤y≤6,有 8 个整点; 当 x=0 时,0≤y≤5,有 6 个整点; 当 x=-1 时,1≤y≤4,有 4 个整点; 当 x=-2 时,2≤y≤3,有 2 个整点; ∴平面区域内的整点共有 2+4+6+8+10+12=42(个).

y≥0 ? ? 变式迁移 1 D [作出由不等式组?y≤x ? ?y≤2-x
面区域,

组成的平面区域 M,即△AOE 表示的平

当 t=0 时, 1 1 f(0)= ×1×1= , 2 2 当 t=1 时, 1 1 f(1)= ×1×1= , 2 2
7

当 0<t<1 时,如图所示,所求面积为 f(t)=S△AOE-S△OBC-S△FDE 1 1 2 1 1 2 2 = ×2×1- t - [2-(t+1)] =-t +t+ , 2 2 2 2 1 1 1 2 即 f(t)=-t +t+ ,此时 f(0)= ,f(1)= , 2 2 2 综上可知选 D.] 例 2 解题导引 1.求目标函数的最值,必须先准确地作出线性可行域再作出目标函 数对应的直线,据题意确定取得最优解的点,进而求出目标函数的最值. 2.线性目标函数 z=ax+by 取最大值时的最优解与 b 的正负有关,当 b>0 时,最优解 是将直线 ax+by=0 在可行域内向上平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的,当 b<0 时,则是向下方平移. B

[画出可行域如图中阴影部分所示,目标函数 z=4x+2y 可转化为 y=-2x+ , 2
? ?x+y=3, z 作出直线 y=-2x 并平移,显然当其过点 A 时纵截距 最大.解方程组? 2 ?y=1 ?

z

得 A(2,1),∴zmax=10.] 变式迁移 2 A [作出可行域如图所示.

3 1 目标函数 y= x- z,则过 B、A 点时分别取到最大值与最小值.易求 B(5,3),A(3,5). 4 4 ∴zmax=3×5-4×3=3,zmin=3×3-4×5=-11.] 例 3 解题导引 解线性规划应用问题的一般步骤是:(1)分析题意,设出未知量; (2)列出线性约束条件和目标函数;(3)作出可行域并利用数形结合求解;(4)作答. 解 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元,

x+y≤300, ? ? 由题意得?500x+200y≤90 000, ? ?x≥0,y≥0.
目标函数为 z=3 000x+2 000y.

x+y≤300, ? ? 二元一次不等式组等价于?5x+2y≤900, ? ?x≥0,y≥0.

8

作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图所示. 作直线 l:3 000x+2 000y=0,即 3x+2y=0. 平移直线 l,从图中可知,当直线 l 过点 M 时,目标函数取得最大值.
?x+y=300, ? 由方程? 解得 x=100,y=200. ?5x+2y=900, ? 所以点 M 的坐标为(100,200). 所以 zmax=3 000x+2 000y=700 000(元). 答 该公司在甲电视台做 100 分钟广告, 在乙电视台做 200 分钟广告, 公司的收益最大, 最大收益是 70 万元. 变式迁移 3 B [

设甲车间加工原料 x 箱,乙车间加工原料 y 箱, 由题意可知

x+y≤70, ? ?10x+6y≤480, ?x≥0, ? ?y≥0.
甲、乙两车间每天总获利为 z=280x+200y. 画出可行域如图所示. 点 M(15,55)为直线 x+y=70 和直线 10x+6y=480 的交点,由图象知在点 M(15,55)处 z 取得最大值.] 课后练习区 1.C 2.B 3.C 4.B 5.C 6.(1,3] ?9 ? 7.? ,6? ?5 ? 解析 由?
? ?x=1 ?x+y-7=0 ?

9

? A(1,6), ?x-y+2=0 ?
? ? ?x+y-7=0

?5 9? ? B? , ?, ?2 2?
9 ∴kOA=6,kOB= . 5 y ?9 ? ?9 ? ∴k∈? ,6?,即 ∈? ,6?. x ?5 ? ?5 ? ? 1 1? 8.?- , ? ? 4 2? 解析

作可行域,如图. 因为函数 y=k(x+1)+1 的图象是过点 P(-1,1),且斜率为 k 的直线 l,由图知,当直 1 1 ? 1 1? 线 l 过点 A(1,2)时, k 取最大值 , 当直线 l 过点 B(3,0)时, k 取最小值- , 故 k∈?- , ?. 2 4 ? 4 2? 9.解 设该儿童分别预订 x,y 个单位的午餐和晚餐,共花费 z 元,则 z=2.5x+4y.(2 分)

? ?6x+6y≥42, 可行域为?6x+10y≥54, x≥0,x∈N, ? ?y≥0,y∈N,
12x+8y≥64, 作出可行域如图所示:

? ?x+y≥7, 即?3x+5y≥27, x≥0,x∈N, ? ?y≥0,y∈N.
3x+2y≥16,

(6 分)

(9 分) 经试验发现,当 x=4,y=3 时,花费最少,为 2.5×4+4×3=22(元).故应当为儿童 分别预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐.(12 分) 10.解

作出可行域如图所示,并求出顶点的坐标 A(1,3)、B(3,1)、C(7,9).
10

(1)易知可行域内各点均在直线 x+2y-4=0 的上方, 故 x+2y-4>0, 将点 C(7,9)代入 z 得最大值为 21.(4 分) 2 2 2 2 (2)z=x +y -10y+25=x +(y-5) 表示可行域内任一点(x,y)到定点 M(0,5)的距离 的平方,过 M 作直线 AC 的垂线,易知垂足 N 在线段 AC 上, 9 2 故 z 的最小值是|MN| = .(8 分) 2 ? 1? y-?- ? 1? ? 2? ? (3)z=2× 表示可行域内任一点(x,y)与定点 Q?-1,- ?连线的斜率的两 2? x- - ? 倍, 7 3 因此 kQA= ,kQB= , 4 8 ?3 7? 故 z 的范围为? , ?.(12 分) ?4 2? 11.解 设桌子、椅子分别买 x 张、y 把, 目标函数 z=x+y,(2 分) 把所给的条件表示成不等式组,

? ?y≥x, 即约束条件为?y≤1.5x, x≥0,x∈N , ? ?y≥0,y∈N .
* *

50x+20y≤2 000, (6 分)

? ?50x+20y=2 000, 由? ?y=x, ?

200 ? ?x= 7 , 解得? 200 ? ?y= 7 ,

所以 A 点的坐标为?

?200,200?. 7 ? ? 7 ?
x=25, ? ? 解得? 75 y= . ? 2 ?

? ?50x+20y=2 000, 由? ?y=1.5x, ?

75? ? 所以 B 点的坐标为?25, ?.(9 分) 2? ?

所以满足条件的可行域是以 A?

?200,200?、B?25,75?、 ? 7 ? 2? ? 7 ? ? ?

O(0,0)为顶点的三角形区域(如图).(12 分) 由图形可知,目标函数 z=x+y 在可行域内的最优解为 ? 75? ?x=25, ? B?25, ?,但注意到 x∈N*,y∈N*,故取? 2 ? ? ?y=37. ?
11

故买桌子 25 张,椅子 37 把是最好的选择.(14 分)

12


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