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平面向量的数量积


平面向量数量
【三年高考全收录】
1. 【2014 大纲,文 6】已知 a、b 为单位向量,其夹角为 60 ? ,则(2a-b)· b =( A. -1 B. 0 C. 1 D.2 )

2. 【2014 湖北,文 12】若向量 OA ? (1,?3) , | OA |?| OB | , OA ? OB ? 0 ,则 | AB |? ___

_____.

O 为原点,A ? ?1,0? ,B 0,3 , C ? 3, 3. 【2014 湖南, 文 10】 在平面直角坐标系中, 动点 D 满足 CD ? 1 , 0? ,
则 OA ? OB ? OD 的取值范围是( A. ? 4, 6? )

?

?

,19+1? B. ? 19-1 ? ?

2 7? C. ? 2 3, ? ?

,7 +1? D. ? 7-1 ? ?

4. 【 2014 江苏 12】如图在平行四边形 ABCD 中,已知 AB ? 8, AD ? 5 , CP ? 3PD, AP ? BP ? 2 ,则

AB ? AD 的值是

.

o s ?? 5. 【2014 江西, 文 12】 已知单位向量 e1 , e2 的夹角为 ? , 且c

1 , 若向量 a ? 3e1 ? 2e2 , 则 | a |? _______. 3

6. 【2014 辽宁,文 5】设 a, b, c 是非零向量,已知命题 p :若 a ? b ? 0 , b ? c ? 0 ,则 a ? c ? 0 ;命题 q : 若 a / /b, b / /c ,则 a / / c ,则下列命题中真命题是( A. p ? q B. p ? q C. (?p) ? (?q) )

D. p ? (?q)

7. 【2014 全国 2,文 4】设向量 a, b 满足 | a ? b |? 10 , | a ? b |? 6 ,则 a ? b ? ( A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

? ?

?

?

?

?

? ?



8. 【2014 山东,文 7】已知向量 a ? 1, 3 , b ? ?3, m? .若向量 a, b 的夹角为 (A) 2 3 (B) 3 (C)0 (D) ? 3

?

?

π ,则实数 m =( 6



9. 【2014 四川,文 14】平面向量 a ? (1, 2) , b ? (4, 2) , c ? ma ? b ( m ? R ) ,且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,则 m ? .
1

10. 【2014 天津,文 13】已知菱形 ABCD 的边长为 2 ,?BAD ? 120? ,点 E ,F 分别在边 BC 、DC 上,

BC ? 3BE , DC ? ? DF .若 AE ? AF ? 1, ,则 ? 的值为________.
11. 【2014 浙江, 文 9】 设 ? 为两个非零向量 a 、b 的夹角, 已知对任意实数 t , ( | b ? at | 的最小值为 1 A.若 ? 确定,则 | a | 唯一确定 C.若 | a | 确定,则 B.若 ? 确定,则 | b | 唯一确定 D.若 | b | 确定,则 )

? 唯一确定

? 唯一确定
,则 a ? b ? ____.

12. 【2014 重庆,文 12】已知向量 a 与 b 的夹角为 60 ,且 a =(-2,-6) ,| b | ?1 0

13. 【2014 上海,文 17】如图,四个边长为 1 的正方形排成一个大正方形,AB 是在正方形的一条边,

P i (i ? 1, 2,
(A)7

,7) 是小正方形的其余各个顶点,则 AB ? AP i (i ? 1,2,
(B)5 (C)3 (D)1

,7) 的不同值的个数为(



14. 【2014 安徽,文 10】设 a , b 为非零向量, b ? 2 a ,两组向量 x1, x2 , x3, x4 和 y1, y2 , y3 , y4 均由 2 个 a 和 2 个 b 排列而成,若 x1 ? y1 ? x2 ? y2 ? x3 ? y3 ? x4 ? y4 所有可能取值中的最小值为 4 a ,则 a 与 b 的夹角为 ( A. ? )
2

2 3

B.

? 3

C.

? 6

D.0

15. 【2013 湖北,文 7】已知点 A(?1, 1) 、 B(1, 2) 、 C (?2, ? 1) 、 D(3, 4) ,则向量 AB 在 CD 方向上的投影 为( A. )
3 2 2

B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2

b 的夹角为 60 , 16. 【2013新课标I, 文13】 已知两个单位向量 a , 若b?c ? 0 , 则 t ? _____. c ? ta ? (1 ? t )b ,
17. 【2013 新课标Ⅱ,文 14】 已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 AE ? BD =_______. 18. 【2013 山东,文 15】在平面直角坐标系 xOy 中,已知 OA ? (?1, t ) , OB ? (2, 2) ,若 ?ABO ? 90 ,
o

则实数 t 的值为_____.
2

19. 【2013 福建,文 10】在四边形 ABCD 中, AC =(1,2) , BD = ? ?4, 2 ? ,则该四边形的面积为( A. 5 B. 2 5 C. 5 D. 10



20. 【2013 湖南,文 8】 已知 a , b 是单位向量, a b ? 0 .若向量 c 满足 c ? a ? b ? 1 ,则 c 的取值范围是 ( )

, 2+1? A. ? 2-1, ? ?

, , 2+2? B. ? 2-1 ? ?

, 2+1? C. ?1, ? ?

, 2+2 ? D. ?1, ? ?

21. 【2013 安徽,文 13】若非零向量 a, b 满足 a ? 3 b ? a ? 2b ,则 a, b 夹角的余弦值为_______.

BE ? 1 , 则 22. 【2013 天津,文 12】在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, ?BAD ? 60? , E 为 CD 的中点. 若 AC·
AB 的长为 .

23. 【2013 上海,文 14】 已知正方形 ABCD 的边长为 1.记以 A 为起点,其余顶 点为终点的向量分别为 a1 、

1, 2, 3?且 i≠j,k≠l,则 a2 、 a3 ;以 C 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 c1 、 c2 、 c3 .若 i,j,k, l ∈ ?

? a ? a ? · ?c
i j

k

? cl 的最小值是

?

.

24. 【2013浙江,文17】设 e1 , e2 为单位向量,非零向量 b ?

xe1 ? ye2 , x、y ? R,

若 e1 , e2 的夹角为

| x| ? ,则 的最大值等于_______. 6 |b|
24. 【2013 大纲,文 3】已知向量 m ? (? ? 1,1) , n ? (? ? 2,2) ,若 (m ? n) ? (m ? n) ,则 ? =( A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 )

25.【2013 江苏,15】已知 a= (cos ? , sin ? ),b ? (cos ? , sin ? ) , 0 ? ? ? ? ? ? . (1)若 | a ? b |?

2 ,求证: a ? b ;

(2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值. 26. 【20 12 重庆,文 6】设 x ? R ,向量 a ? ( x,1), b ? (1, ?2), 且 a ? b ,则 | a ? b |? (A) 5 (B) 10 (C) 2 5 (D) 10 )

27. 【2012 浙江,文 7】设 a,b 是两个非零向量,则下列命题正确的是( A.若|a+b|=|a|-|b|, 则 a⊥ b B.若 a⊥ b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 a=λb D.若存在实数 λ,使得 a=λb,则|a+b|=|a|-|b|

28. 【2012 陕西,文 7】设向量 a =(1. cos ? )与 b =(-1, 2 cos ? )垂直,则 cos 2? 等于(


3

A

2 2

B

1 2

C .0

D.-1

29. 【2012 辽宁,文 1】已知向量 a = (1,—1), b = (2, x ).若 a ? b = 1,则 x = (A) —1 (B) —

1 2

(C)

1 2

(D)1

30. 【2012 广东,文 10】对任意两个非零的平面向量 ? 和 ? ,定义 ? ? ?

? ?? . 若两个非零的平面向量 ? ??

?n ? ?? ? ? n ? Z  a , b 满足 a 与 b 的夹角 ? ? ? , ? ,且 a b 和 b a 都在集合 ?   ? 中,则 a b ? 2 4 2

?

?

?

?

A.

5 2

B.

3 2

C. 1

D.

1 2

31. 【2102 福建,文 3】已知向量 a =( x -1,2) , b =(2,1) ,则 a ⊥ b 的充要条件是 A.

x =-

1 2

B.

x -1

C.

x =5

D.

x =0

32.【2012 天津, 文 8】 在△ABC 中, AB=1, AC=2, 设点 P, Q 满足 AP = ? AB , ? A=90°, AQ = (1 ? ? ) AC ,

? ? R ,若 BQ ? CP =-2,则 ? =
(A)
1 3

(B)

2 3

C)

4 3

(D)2

[来源:Zxxk.Com]

? 33. 【2012 新课标,文 15】已知向量 a, b 夹角为 45 ,且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ;则 b ? _____

34. 【2012 安徽,文 11】设向量 a ? (1,2m) , b ? (m ? 1,1) , c ? (2, m) ,若 (a ? c) ? b ,则 | a |? ______. 35. 【2012 湖南,文 15】 如图 4, 在平行四边形 ABCD 中 , AP⊥BD, 垂足为 P, AP ? 3 且 AP AC =

[

.

36. 【2012 浙江,文 15】在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则 AB ? AC =________. 37. 【2012 江西,文 12】设单位向量 m=(x,y) ,b=(2,-1) 。若 m ⊥ n ,则 | x ? 2 y | =_______________ 38. 【2012 江苏,9】如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 2 ,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上, 若 AB AF ? 2 ,则 AE BF 的值是 .

4

39. 【2012 上海,文 12】在矩形 ABCD 中,边 AB 、 AD 的长分别为 2、1,若 M 、 N 分别是边 BC 、CD 上的点,且满足

BM BC

?

CN CD

,则 AM ? AN 的取值范围是

40. 【2012 湖北,文 13】已知向量 a =(1,0) , b =(1,1) ,则 (Ⅰ)与 2 a + b 同向的单位向量的坐标表示为____________; (Ⅱ)向量 b -3 a 与向量 a 夹角的余弦值为____________。 41. 2102 北.京, 文 13】 已知正方形 ABCD 的边长为 1, 点 E 是 AB 边上的动点, 则 DE ? CB 的值为________,

DE ? DC 的最大值为______。

【考点 1】平面向量数量积及其几何意义 【考点针对训练】 1. 正三角形 ABC 中, AB ? 3 , D 是边 BC 上的点,且满足 BC =2BD ,则 AB ? AD =( A. )

21 2

B.

27 4

C.

13 2

D.

9 2
.

2. 已知向量 a, b 满足 a ? 3, b ? 2 3 ,且 a ? a ? b ,则 b 在 a 方向上的投影为 【考点 2】向量垂直问题与向量夹角问题 【考点针对训练】

?

?

3. 已知 AB 和 AC 是平面内两个单位向量,若 2 AB ? AC 与 CA 垂直,则 AB 和 AC 的夹角是



0 4. 已知向量 AB 与 AC 的夹角为 60 ,且 AB ? 2, AC ? 3 ,若 AP ? ? AB ? AC 且 AP ? BC ,则实数 ? 的

值为( A.

) B. 13 C. 6 D.

3 7

12 7
5

【考点 3】平面向量模与向量的数量积的综合运用 【考点针对训练】

5. 已知向量 a, b 满足 a ? 1, a ? b ? A.

3 , a 与 b 的夹角为 60 ? ,则 b ? 2
C.

(

)

1 2

B.

1 3

1 4

D.

1 5

6. 已知点 P(2, 0) ,正方形 ABCD 内接于 O 旋转时, PM ? ON 的取值范围为(

O : x2 ? y 2 ? 2 ,M,N 分别为 AB,BC 中点,当正方形绕圆心


, ? A. ??11

? ? B. ? ? 2, 2 ?

2? C. ? ?2,

? 2 2? ? , ? ? D. ? 2 2 ?

【两年模拟详解析】
1. 【2014 稳派信息卷(五)】在平面直角坐标系 xoy 中,点 A(2,3) 和点 P(1, y ) 满足:向量 OP 在向量 OA 上 的投影为 ? 13 ,则 | AP | 的值为( A.5 B. 3 13 C.8 )

D. 65

2. 【2014 浙江东阳中学 3 月考】 已知 e1 , e2 为互相垂直的单位向量,若向量 ? e1 ? e2 与 e1 ? ? e2 的夹角等 于 60 ? ,则实数 ? = . .

3. 【2014 温州市上期期末十校联考】已知 a ? b ? a ? 2b ? 1 ,则 2a ? b ?

3. 【2014 重庆五区学业抽测(1)】 若向量 a ? (?1, k ) , b ? (3,1) ,且 a ? b 与 a 垂直,则实数 k 的 值为 .

4. 【湖北八校 2014 届高 三第二次联考数学(文)试题】如图,在半径为 R 的圆 C 中,已知弦 AB 的长为 5,则 AB AC ? A. ( ) B.

5 2

25 2

C.

5 R 2

D.

25 R 2

6

5. 【2014 山东青岛 3 月质量检测 2】若 Ai ( i ? 1,2,3,?, n )是 ?AOB 所在的平面内的点,且

OAi ? OB ? OA ? OB .
给出下列说法:① | OA 1 |?| OA 2 |?

?| OAn |?| OA | ;② | OAi | 的最小值一定是 | OB | ;
) D. 3 个.

③点 A 、 Ai 在一条直线上.其中正确的个数是( A. 0 个. B. 1 个.

C. 2 个.

6. 【2014 福建毕业班质检】 若 ?ABC 满足 ?A ? ③ CA CB 中为定值的式子的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 )

?
2

,AB ? 2 , 则下列三个式子: ① AB AC , ② BA BC ,

7. 【2014 东北三省二模】已知 ABC 中, BC ? 10, AB ? AC ? ?16 ,D 为 BC 边的中点,则 AD 等于 A.6 B.5 C.4 D.3

8. 【2014 浙江东阳中学 3 月考】 在 Rt△ABC 中, ∠BCA=90 ? , CA=CB=1,P 为 AB 边上的点, 且 AP ? ? AB , 若 CP ? AB ? PA ? PB ,则 ? 的取值范围是( A. [ ,1] )

1 2

B. [

2? 2 ,1] 2

C. [ ,

1 1? 2 ] 2 2

D. [

1? 2 1? 2 , ] 2 2

9. 【2014 山东烟台 3 月质检】若函数 f ( x) ? 2sin(

?

x ? )(?2 ? x ? 14) 的图象与 x 轴交于点 A ,过点 A 8 4


?

的直线 l 与函数的图象交于 B 、 C 两点,则 (OB ? OC) ? OA ? (其中 O 为坐标原点) ( A. ?32 B. 32 C. ?72 D. 72

10. 【2014 河北衡水中学上期第五次调研考试】 已知向量 a , (a ? c) ? (b ? 2c) b, c 满足| a |=| b |= a ? b =2, =0,则 | b ? c | 的最小值为( )

A.

3 ?1 2

B.

7? 3 2

C.

3 2

D.

7 2 ? ?

11. 【2013 山东泰安上学期期考】设向量 a ? ? cos ? , ?1? , b ? ? 2,sin ? ? ,若 a ? b ,则 tan ? ? ? A. ?

??

? 等于 4?

1 3

B.

1 3

C. ?3

D.3

12. 【2013 河南 三门峡一练】.在平面直角坐标系中,若定点 A(1,2)与动点 P( x , y )满足向量 OP 在向
7

量 OA 上的投影为 ? 5 ,则点 P 的轨迹方程是 A. x ? 2 y ? 5 ? 0 B. x ? 2 y ? 5 ? 0 C. x ? 2 y ? 5 ? 0 D. x ? 2 y ? 5 ? 0

13. 【2013 上海市闸北一模】已知向量 a , b 满足:| a |?| b |? 1,且 | k a ? b |? 3 | a ? k b | ( k ? 0 ).则向 量 a 与向量 b 的夹角的最大值为 ( (A) ? (B) ? 6 3 ) ? (C) 56
? (D) 23

14. 【2013 天津新华中学上期第三次月考】 已知向量 a, b 夹角为 45? , 且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ; 则 b ? ___ ___. 15. 【2013 上海徐汇一模】在△ABC 中,∠A=60? ,M 是 AB 的中点,若|AB|=2,|BC|=2 3 ,D 在线段 AC 上运动,则 DB ? DM 的最小值为 .

【一年原创真预测】 1. 已知平面向量 a , b 满足 a ? b ? 4 , (a + 2b) ? (a ? b) = ?8 ,则 a 在 b 上的投影为
2. 已知向量 a ? ?1, 2 ? , b ? ? x, y ? ,则“ x ? ?2 且 y ? 1 ”是“ a ? b ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )



3. 已知向量 a 、 b 满足 | a |? 2 , | b | =1 ,且 (a ?

5 b) ? (a ? b) ,则 a 、 b 的夹角 ? 为 2

. )

4. 已知 A(0,1), B(0, ?1), C(1,0) ,动点 P 满足 AP ? BP ? 2 | PC |2 ,则 | AP ? BP | 的最大值为( A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
[来源:学科网 ZXXK]

5. 在 ?ABC 中,AB ? 3, BC ? 2, ?ABC ? 60 .点 D 在边 AB 上, 且满足 AD ? CB ? CD ? AC ? DA ? DC , 则 AC ? AD ? .

2

2

8


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