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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)选修4-4 坐标系与参数方程


选修 4-4

坐标系与参数方程

1.极坐标系 (1)极坐标系的建立:在平面上取一个定点 O,叫做________,从 O 点引一条射线 Ox,叫做 ________,再选定一个长度单位、一个角度单位 (通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方 向),这样就确定了一个极坐标系.

设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离 OM 叫做点 M 的________,记为 ρ,以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的角叫做点 M 的极角,记为 θ.有序数对(ρ,θ)叫做点 M 的极坐标, 记作 M(ρ,θ). (2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在 两种坐标系中取相同的长度单位,设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标 为(ρ,θ),则它们之间的关系为 x=______,y=________. 另一种关系为 ρ2=________,tan θ=________. 2.简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 θ=α (ρ∈R)表示过极点且与极轴成 α 角的直线; ρcos θ=a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线; π? ρsin θ=b 表示过? ?b,2?且平行于极轴的直线; ρsin(α-θ)=ρ1sin(α-θ1)表示过(ρ1,θ1)且与极轴成 α 角的直线方程. (2)圆的极坐标方程 ρ=2rcos θ 表示圆心在(r,0),半径为|r|的圆; π? ρ=2rsin θ 表示圆心在? ?r,2?,半径为|r|的圆; ρ=r 表示圆心在极点,半径为|r|的圆. 3.曲线的参数方程

? ?x=f?t?, 在平面直角坐标系 xOy 中, 如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变量 t 的函数? ?y=g?t?. ?

并且对于 t 的每一个允许值上式所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为该曲线的 ________________,其中变量 t 称为________. 4.一些常见曲线的参数方程 (1)过点 P0(x0,y0),且倾斜角为 α 的直线的参数方程为________________(t 为参数). (2)圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2 的参数方程为________________________(θ 为参数). x2 y2 (3)椭圆方程 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程为________________(θ 为参数). a b (4)抛物线方程 y2=2px(p>0)的参数方程为________________(t 为参数).

π 1.在极坐标系中,直线 ρsin(θ+ )=2 被圆 ρ=4 截得的弦长为________. 4 2.极坐标方程 ρ=sin θ+2cos θ 能表示的曲线的直角坐标方程为____________________.
?x=4t2, ? 3.已知点 P(3,m)在以点 F 为焦点的抛物线? (t 为参数)上,则 PF=________. ? ?y=4t ? , ?x=-1+tsin 40° 4.直线? (t 为参数)的倾斜角为________. ?y=3+tcos 40° ? ? ?x=3t, 5.已知曲线 C 的参数方程是? (t 为参数).则点 M1(0,1),M2(5,4)在曲线 C 上的是 2 ?y=2t +1 ?

________.

题型一 极坐标与直角坐标的互化 例1 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 的极

π 坐标方程为 ρcos(θ- )=1,M,N 分别为 C 与 x 轴、y 轴的交点. 3 (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M、N 的极坐标;

(2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程.

思维升华 直角坐标方程化为极坐标方程, 只需把公式 x=ρcos θ 及 y=ρsin θ 直接代入并化 简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形,构造形如 ρcos θ,ρsin θ,ρ2 的形式, 进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ 及方程两边平方是常用的变形方法.但 对方程进行变形时,方程必须保持同解,因此应注意对变形过程的检验. 在极坐标系中,已知圆 ρ=2cos θ 与直线 3ρcos θ+4ρsin θ+a=0 相切,求实数 a 的值.

题型二 参数方程与普通方程的互化 5 ? ?x=4t2, ?x= 5cos θ, 已知两曲线参数方程分别为? (0≤θ<π)和? (t∈R), 求它们的 ?y=sin θ ? ?y=t

例2

交点坐标.

思维升华

(1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加 1 cos2θ

减消元等.对于与角 θ 有关的参数方程,经常用到的公式有 sin2θ+cos2θ=1,1+tan2θ= 等.

(2)在将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注意其中的 x,y 的取值范围,即在消去参数 的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性. 将下列参数方程化为普通方程.

? ? (1)? 4-2t ? ?y= 1+t

2t2 x= , 1+t2
2 2

(t 为参数);

2 ? ?x=2-4cos θ, (2)? (θ 为参数). 2 ?y=-1+sin θ ?

题型三 极坐标、参数方程的综合应用 例3 在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.曲

?x=-3+ 23t, 线 C 的极坐标方程是 ρ=4cos θ,直线 l 的参数方程是? 1 ?y=2t
分别为曲线 C、直线 l 上的动点,求 MN 的最小值.

(t 为参数),M,N

思维升华 涉及参数方程和极坐标方程的综合题, 求解的一般方法是分别化为普通方程和直 角坐标方程后求解.转化后可使问题变得更加直观,它体现了化归思想的具体运用. (2013· 辽宁)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标 π? 系.圆 C1,直线 C2 的极坐标方程分别为 ρ=4sin θ,ρcos? ?θ-4?=2 2. (1)求 C1 与 C2 交点的极坐标; x=t +a, ? ? (2)设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点. 已知直线 PQ 的参数方程为? b 3 ?y=2t +1 ? (t∈R 为参数),求 a,b 的值.
3

参数的几何意义不明致误

?x=2t, 典例:(10 分)已知直线 l 的参数方程为? 2 3 ?y= 2 + 2 t
π 为 ρ=2cos(θ- ). 4 (1)求直线 l 的倾斜角; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求 AB.

1

(t 为参数),若以直角坐标系 xOy 的

O 点为极点,Ox 方向为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线 C 的极坐标方程

易错分析 不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误. 规范解答 x=tcos 60° , ? ? 解 (1)直线的参数方程可以化为? [2 分] 2 , ?y= 2 +tsin 60° ? 根据直线参数方程的意义,直线 l 经过点(0, 倾斜角为 60° .[4 分] (2)直线 l 的直角坐标方程为 y= 3x+ 2 ,[6 分] 2 2 ), 2

π 2 2 ρ=2cos(θ- )的直角坐标方程为(x- )2+(y- )2=1,[8 分] 4 2 2 所以圆心( 所以 AB= 2 2 6 , )到直线 l 的距离 d= . 2 2 4 10 .[10 分] 2

? ?x=x0+tcos α, 温馨提醒 对于直线的参数方程? (t 为参数)来说,要注意 t 是参数,而 α 则 ?y=y0+tsin α ?

是直线的倾斜角.
?x=acos φ, ? 与此类似,椭圆参数方程? 的参数 φ 有特别的几何意义,它表示离心角. ?y=bsin φ ?

方法与技巧

1.曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路:对于简单的我们可以直接代入公式 ρcos θ =x,ρsin θ=y,ρ2=x2+y2,但有时需要作适当的变化,如将式子的两边同时平方,两边同 时乘以 ρ 等. 2.参数方程化普通方程常用的消参技巧:代入消元、加减消元、平方后加减消元等,经常 1 用到公式:cos2θ+sin2θ=1,1+tan2θ= 2 . cos θ 3.利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便,是我们解决这类问题的 好方法. 失误与防范

1.极径 ρ 是一个距离,所以 ρ≥0,但有时 ρ 可以小于零.极角 θ 规定逆时针方向为正,极 坐标与平面直角坐标不同,极坐标与 P 点之间不是一一对应的,所以我们又规定 ρ≥0,0≤θ<2π,来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的,但仍然不包括极点. 2.在将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注意其中的 x,y 的取值范围,即在消去参数 的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.

A 组 专项基础训练 1.(2013· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为?
? ?x=t+1, ?y=2t ?

(t 为参数),曲线

?x=2tan2θ, ? C 的参数方程为? (θ 为参数).试求直线 l 和曲线 C 的普通方程,并求出它们的 ?y=2tan θ ?

公共点的坐标.

? ?x=sin α, π 2.已知曲线 C 的参数方程为? α∈[0,2π),曲线 D 的极坐标方程为 ρsin(θ+ )= 2 4 ?y=cos α, ?

- 2. (1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程; (2)曲线 C 与曲线 D 有无公共点?试说明理由.

3.(2013· 福建)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐 π π 标系,已知点 A 的极坐标为( 2, ),直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ- )=a,且点 A 在直线 4 4 l 上. (1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程;
?x=1+cos α, ? (2)圆 C 的参数方程为? (α 为参数),试判断直线 l 与圆 C 的位置关系. ? ?y=sin α

π? 4.在极坐标系中,P 是曲线 ρ=12sin θ 上的动点,Q 是曲线 ρ=12cos? ?θ-6?上的动点,试 求 PQ 的最大值.

π? π? ? 5.在极坐标系中,已知三点 M? ?2,-3?、N(2,0)、P?2 3,6?. (1)将 M、N、P 三点的极坐标化为直角坐标; (2)判断 M、N、P 三点是否在一条直线上.

?x′=2x, 6.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换? 1 ?y′=3y
种曲线,并求曲线的焦点坐标.

1

后,曲线 C:x2+y2=36 变为何

B 组 专项能力提升 π 2 1.在极坐标系中,已知圆 O:ρ=cos θ+sin θ 和直线 l:ρsin(θ- )= . 4 2 (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ∈(0,π)时,求直线 l 与圆 O 公共点的极坐标.

π 2.已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ=2,ρ2-2 2ρcos(θ- )=2. 4 (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.

? ?x=4+5cos t, 3.(2013· 课标全国Ⅰ)已知曲线 C1 的参数方程为? (t 为参数),以坐标原点为 ?y=5+5sin t ?

极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).

4.(2012· 辽宁)在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2+y2=4,圆 C2:(x-2)2+y2=4. (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程,并 求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程.

答案
要点梳理 1.(1)极点 极轴 极径 (2)ρcos θ ρsin θ x2+y2 3.参数方程 参数
? ?x=x0+tcos α 4.(1)? ?y=y0+tsin α ? ?x=acos θ ? (3)? ? ?y=bsin θ ? ?x=a+rcos θ (2)? ?y=b+rsin θ ?

y x

?x=2pt2 ? (4)? ? ?y=2pt

夯基释疑 1.4 3 2.x2+y2-2x-y=0 3.4 4.50° 5.M1

题型分类· 深度剖析 例1 解 π (1)由 ρcos(θ- )=1 3

1 3 得 ρ( cos θ+ sin θ)=1. 2 2 1 3 从而 C 的直角坐标方程为 x+ y=1,即 x+ 3y=2. 2 2 当 θ=0 时,ρ=2,所以 M(2,0). π 2 3 2 3 π 当 θ= 时,ρ= ,所以 N( , ). 2 3 3 2 (2)M 点的直角坐标为(2,0). 2 3 N 点的直角坐标为(0, ). 3 所以 P 点的直角坐标为(1, 3 ). 3

2 3 π 则 P 点的极坐标为( , ), 3 6 π 所以直线 OP 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R). 6 跟踪训练 1 解 将极坐标方程化为直角坐标方程, 得圆的方程为 x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1, 直线的方程为 3x+4y+a=0. 由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为 1, |3×1+4×0+a| 即有 =1,解得 a=-8 或 a=2. 32+42

故 a 的值为-8 或 2. 例 2 x2 解 将两曲线的参数方程化为普通方程分别为 +y2=1 (0≤y≤1,- 5<x≤ 5)和 5

4 2 5? y2= x,联立解得交点为?1, . 5 5 ? ? 2t2 跟踪训练 2 解 (1)∵x= , 1+t2 4-2t2 4?1+t2?-6t2 2t2 ∴y= =4-3× =4-3x. 2= 2 1+t 1+t 1+t2 2?1+t2?-2 2t2 2 又 x= =2- ∈[0,2). 2= 1+t 1+t2 1+t2 ∴x∈[0,2). ∴所求的普通方程为 3x+y-4=0(x∈[0,2)). (2)∵4cos2θ=2-x,4sin2θ=4(y+1). ∴4cos2θ+4sin2θ=2-x+4y+4. ∴4y-x+2=0. ∵0≤4cos2θ≤4,∴0≤2-x≤4, ∴-2≤x≤2. ∴所求的普通方程为 x-4y-2=0(x∈[-2,2]). 例3 解 化极坐标方程 ρ=4cos θ 为直角坐标方程 x2+y2-4x=0,

所以曲线 C 是以(2,0)为圆心,2 为半径的圆.

?x=-3+ 23t, 化参数方程? 1 ?y=2t
圆心到直线 l 的距离 d= 此时,直线与圆相离, 5 1 所以 MN 的最小值为 -2= . 2 2 |2+3|

(t 为参数)为普通方程 x- 3y+3=0.

5 = , 1+3 2

跟踪训练 3 解 (1)圆 C1 的直角坐标方程为 x2+(y-2)2=4,直线 C2 的直角坐标方程为 x +y-4=0.
?x2+?y-2?2=4, ? 解? ? ?x+y-4=0, ? ?x1=0, 得? ?y1=4, ? ? ?x2=2, ? ?y2=2. ?

π? ? π? 所以 C1 与 C2 交点的极坐标为? ?4,2?,?2 2,4?, 注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)由(1)可得,P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2),(1,3). 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0, b ab 由参数方程可得 y= x- +1, 2 2

?2=1, 所以? ab ?- 2 +1=2,
练出高分 A组

b

解得 a=-1,b=2.

?x=t+1, ? 1.解 因为直线 l 的参数方程为? (t 为参数), ?y=2t ?

由 x=t+1 得 t=x-1,代入 y=2t,得到直线 l 的普通方程为 2x-y-2=0. 同理得到曲线 C 的普通方程为 y2=2x.
? ?y=2?x-1?, 联立方程组? 2 ?y =2x, ?

1 ? 解得公共点的坐标为(2,2),? ?2,-1?.
? ?x=sin α, 2.解 (1)由? α∈[0,2π)得 2 ?y=cos α, ?

x2+y=1,x∈[-1,1]. π (2)由 ρsin(θ+ )=- 2得曲线 D 的普通方程为 4 x+y+2=0.
? ?x+y+2=0, ? 2 得 x2-x-3=0. ?x +y=1 ?

1± 13 解得 x= ?[-1,1], 2 故曲线 C 与曲线 D 无公共点. π π 3.解 (1)由点 A( 2, )在直线 ρcos(θ- )=a 上,可得 a= 2. 4 4 所以直线 l 的方程可化为 ρcos θ+ρsin θ=2, 从而直线 l 的直角坐标方程为 x+y-2=0. (2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,

所以圆 C 的圆心为(1,0),半径 r=1, 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d= 所以直线 l 与圆 C 相交. 4.解 ∵ρ=12sin θ,∴ρ2=12ρsin θ, ∴x2+y2-12y=0,即 x2+(y-6)2=36. π? 又∵ρ=12cos? ?θ-6?, π π? ∴ρ2=12ρ? ?cos θcos 6+sin θsin 6?, ∴x2+y2-6 3x-6y=0, ∴(x-3 3)2+(y-3)2=36, ∴PQmax=6+6+ ?3 3?2+32=18.
? ?x=ρcos θ, 5.解 (1)由公式? 得 M 的直角坐标为(1,- 3); ?y=ρsin θ ?

1 2 = <1, 2 2

N 的直角坐标为(2,0);P 的直角坐标为(3, 3). 3-0 3 (2)∵kMN= = 3,kNP= = 3. 2-1 3-2 ∴kMN=kNP,∴M、N、P 三点在一条直线上. 6.解 圆 x2+y2=36 上任一点为 P(x,y),伸缩变换后对应的点的坐标为 P′(x′,y′),
? ?x=2x′, 则? ?y=3y′, ?

x′2 y′2 ∴4x′2+9y′2=36,即 + =1. 9 4 x2 y2 ∴曲线 C 在伸缩变换后得椭圆 + =1,其焦点坐标为(± 5,0). 9 4 B组 1.解 (1)圆 O:ρ=cos θ+sin θ,即 ρ2=ρcos θ+ρsin θ, 圆 O 的直角坐标方程为 x2+y2=x+y, 即 x2+y2-x-y=0, π 2 直线 l:ρsin(θ- )= ,即 ρsin θ-ρcos θ=1, 4 2 则直线 l 的直角坐标方程为 y-x=1, 即 x-y+1=0.
2 2 ? ? ?x +y -x-y=0, ?x=0, ? (2)由 得? ?x-y+1=0 ? ? ?y=1,

π 故直线 l 与圆 O 公共点的极坐标为(1, ). 2 2.解 (1)由 ρ=2 知 ρ2=4,所以 x2+y2=4; π 因为 ρ2-2 2ρcos(θ- )=2, 4 π π 所以 ρ2-2 2ρ(cos θcos +sin θsin )=2, 4 4 所以 x2+y2-2x-2y-2=0. (2)将两圆的直角坐标方程相减, 得经过两圆交点的直线方程为 x+y=1. 化为极坐标方程为 ρcos θ+ρsin θ=1, π 2 即 ρsin(θ+ )= . 4 2
? ?x=4+5cos t 3.解 (1)∵C1 的参数方程为? . ?y=5+5sin t ? ?5cos t=x-4 ? ∴? . ?5sin t=y-5 ?

∴(x-4)2+(y-5)2=25(cos2t+sin2t)=25, 即 C1 的直角坐标方程为(x-4)2+(y-5)2=25, 把 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入(x-4)2+(y-5)2=25, 化简得:ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C2 的直角坐标方程为 x2+y2=2y,
2 2 ? ??x-4? +?y-5? =25 解方程组? 2 2 ?x +y =2y ?

?x=1 ?x=0 ? ? 得? 或? . ?y=1 ?y=2 ? ?

∴C1 与 C2 交点的直角坐标为(1,1),(0,2). π? ? π? ∴C1 与 C2 交点的极坐标为? ? 2,4?,?2,2?. 4.解 (1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ=2, 圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4cos θ.
? ?ρ=2, π 解? 得 ρ=2,θ=± , 3 ?ρ=4cos θ ?

π? ? π? 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为? ?2,3?,?2,-3?. 注:极坐标系下点的表示不唯一.

? ?x=ρcos θ, (2)方法一 由? ?y=ρsin θ ?

得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(1, 3),(1,- 3).
? ?x=1, 故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? - 3≤t≤ 3. ?y=t, ? ? ? ? ?x=1, - 3≤y≤ 3? ?或参数方程写成? ?y=y, ? ? ? ?x=ρcos θ, ? 方法二 将 x=1 代入? ?y=ρsin θ ?

1 得 ρcos θ=1,从而 ρ= . cos θ
?x=1, ? 于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? ? ?y=tan θ,

π π - ≤θ≤ . 3 3



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