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03集合的运算


1.3 集合的基本运算 集合 集合 集 集合 合

1.子集与真子集的区别是什么?
真子集:如果集合 A 是集合 B 的子集,并且 B 中 至少有一个元素不属于 A,那么集合 A

叫做集合 B 的真子集.
2.什么是空集? 不含任何元素的集合叫做空集.

我校食堂买菜的品种
第一天买菜品种为集合 A 第二天买菜品种为集合 B

冬瓜 鲫鱼 茄子 问1 问2

黄瓜 虾

黄瓜 虾

猪肉 土豆

毛豆 芹菜

两天所买相同菜的品种为集合 C , 则集合 C 由哪些元素组成? 两天买过的所有菜的品种为集合 D , 则集合 D 由哪些元素组成?

请观察:集合 C 中的元素与集合 A,集合 B 中的元素 有什么关系? C

冬瓜
A

鲫鱼 黄瓜 茄子 虾

猪肉 土豆

毛豆 芹菜

B

观察得出:集合 C 是由既属于集合 A,又属于集合 B
的所有 公 共 元素组成的.

交集:给定两个集合 A,B,由所有属于 A 且属 于B 的
元素组成的集合,叫做 A,B 的交集. 记作 A ∩ B , 读作 “ A 交 B ”.

A ? B ? ?x x ? A且x ? B?

请用阴影表示出 “ A∩B ” A (B) A B

A

B

B A

集合的交
根据交集的定义和图示,填写交集的性质.
(1) A ∩ B = B∩A;

(2) ( A ∩ B )∩ C (3) A ∩ A =

= A ∩( B ∩ C );

A ; ? ;

(4) A ∩ ? = ? ∩ A =

想一想: 1. 如果 A ? B ,那么 A ∩ B =

A .

2. A ? B

?A

集合的交

例1

已知:A = { 1,2,3 },B = { 3,4,5 }, C = { 5 , 3 }.

则: A ∩ B =

{3}
{ 3,5 }



B∩C=

; {3} .

( A ∩ B )∩ C =

例2. 设集合

A ? ?x x ? ?2? , B ? ?x x ? 3? ,

求A ? B.
例3. 设集合

A ? ?x x ? ?2? , B ? ?x 0 ? x ? 3? ,

求A ? B.

例4. 设集合

A ? ?x ? 1 ? x ? 3?, B ? ?x ? 3 ? x ? 2?,

求A ? B.
例5. 设集合

A ? ?( x, y) x ? y ? 1?, B ? ?( x, y) x ? y ? 3?, 求A ? B.
练习:P11

我校食堂买菜的品种
第一天买菜品种为集合 A 第二天买菜品种为集合 B

冬瓜 鲫鱼 茄子 问1 问2

黄瓜 虾

黄瓜 虾

猪肉 土豆

毛豆 芹菜

两天所买相同菜的品种为集合 C , 则集合 C 由哪些元素组成? 两天买过的所有菜的品种为集合 D , 则集合 D 由哪些元素组成?

1.并集的定义

给定两个集合 A ,B ,由属于 A 或属 于 B 的
所有元素构成的集合,叫做 A,B 的并集. 记作 A∪B , 读作 2.并集的图示 请用阴影表示出 “ A ∪ B ”. A B A B A A(B)

A ? B ? x x ? A , 或 x ? B “ A 并 B ”.

?

?

3.并集的性质 (1) A ∪ B = B∪A;

(2) ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪( B ∪ C ); (3) A ∪ A = A ; (4) A ∪ ? = ? ∪ A = A .

想一想: 如果 A ? B ,那么 A ∪ B = B .

集合的并

例 1.

已知: A = { 1,2,3 },B = { 3,4,5 }, C = { 5 , 3 }.



A∪ B =

{ 1,2,3,4,5 }



B∪C=

{ 3,4,5 }




( A ∪ B )∪ C =

{ 1,2,3,4,5 }

例2 已知 C = { x | x≥1 },D = { x | x<5 },
求 C ∩ D; C ∪ D.

1

5

x

解: C ∩ D = { x︱1 ≤x< 5 } ;
C ∪ D = R.

例3 已知 A = { x |-3≤x≤3, x∈Z },
B = { x | -1≤x≤4 , x∈Z }, 求 A ∩ B; A ∪B.

例3 已知 A = { x |-3≤x≤3},
B = { x | -1≤x≤4}, 求 A ∩ B; A ∪B.并在数轴上表示出来。

练习1 已知 A = {x | x 是锐角三角形},

B = {x | x 是钝角三角形}.
求 A∩B ,A∪B. 锐角三角形

三角形

钝角三角形 直角三角形

斜三角形

解:A∩B = {x | x 是锐角三角形}∩{x | x 是钝角三角形}
= ?; A∪B = {x | x 是锐角三角形}∪{x | x 是钝角三角形}

= {x | x 是斜三角形}.

练习2 已知 A = {x | x 是平行四边形}, B = {x | x 是菱形}, 求 A∩B; A∪B. 解:A∩B = {x | x 是平行四边形}∩{x | x 是菱形} = {x | x 是菱形} = B; A∪B = {x | x 是平行四边形}∪{x | x 是菱形} = {x | x 是平行四边形} = A.

平 行 四 边 形

菱形

练习P13

定义 交集 并集

记法

图示

性质

探究引入
观察下列三个集合: U={高一年级的同学} A={高一年级参加军训的同学} B={高一年级没有参加军训的同学} 问:这三个集合之间有何关系? 显然,集合U 中除 去集合A(B)的元素 之外就是集合B(A) 的元素. 可以用维恩图表示
A B U

补集概念
一般地,设U 是全集,A是U 中的一个子集, 即A ? U ,则由U 中不属于A 的所有元素组成的 集合,叫做集合A在全集U 中的补集。
记作: A 读作“A在U中的补集” 即: A={x| x ∈ U 且x ?A}
说明:研究补集必须在全集的条件(范围)下研究。 维恩图表示:

U
A A

注意:
补集可以看成是集合的一种“运算”,

它具有以下性质:
若全集为U,A?U,则



U =? A )= A

⑵ ⑷

?
A∩ A =

=U

A∪ A = U

?

(

补集例题
例1.设U ={0,1,2,3,4,5,6,7},A={1,3,5}, B={2,4,7},求 A, B.
解:

A={0,2,4,6,7}, B={0,1,3,5,6}.

例2.设全集U =R,A ={x|x≤2},B={x|x >3} 求 A, B.
解:

A={x|x>5},

B={x|x≤3}.

补集例题
例3.设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐 角三角形},B={x|x是钝角三角形}. 求A∩B, (A∪B)
解:根据三角形的分类可知
A∩B= ? , A∪B= {x|x是锐角三角形或钝角三角形},

(A∪B)={x|x是直角三角形}.

P18练习

例.A={4,5,6,8},B={3,5,7,8}, 求A∪B和A∩B. 解:A∪B={3,4,5,6,7,8}; A∩B={5,8}

例.设A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3}, 求A∪B和A∩B

解:A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|-1<x<3}. A∩B={x|-1<x<2}∩{x|1<x<3}={x|1<x<2}.



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