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竞赛训练题(4)之一元积分学


高等数学竞赛训练题四(一元函数积分学 1) 一、 求不定积分 1.
2. 3.

t2 ? (t 2 ? 1)2 dt ?

.

? (cos x ? x sin x)
?
ln x ? 1 dx ? ln 2 x

x ? sin x cos x

>2

dx ?

. .

二、 变限的定积分的应用
4. 当 x ? 0 时, F ( x) ? ? ( x 2 ? t 2 ) f ?(t )dt 的导数与 x 2 为等价无穷小,求 f ?(0) .
0 x

5. lim ?

x2

x ?0 0

1 ? (tx ) (e ? 1)dt ? x2
2

.

三、定积分的计算 6. 设连续函数 f ( x) 满足

f ( x) ? x ? x 2 ? f ( x)dx ? x3 ? f ( x)dx
0 0

1

2

求 f ( x) . 7. 设
? 1 , x? 0, ? ? 1? x f ( x) ? ? ? 1 , x?0 ? ?1 ? e x



?

2

0

f ( x ? 1)dx.
t
2

8. 设 f ( x) ? ? e? x dx, 求 ? t 2 f (t )dt.
0 0

1

9. 求

?

?

2 0

x e x (1 ? tan ) 2 dx. 2

10. 求 ?? 3 (ecos x ? e? cos x )dx.
3

2?

三、定积分在几何与物理上的应用 11. 在 y 轴上过坐标为 t (0 ? t ? 1) 的点 A 作平行于 x 轴的直线 AB ,它与 y ? x , x ? 1
2

以及 y 轴所围阴影部分 D1 (左侧)与 D2 (右侧)的面积之比之和为 S ,求 S 的最 大值与最小值。 12. 现过点 (1,5) 作曲线 ? : y ? x 的切线 L , (1)求 L 的方程; (2) ? 与 L 所围成平面
3

图形 D 的面积; (3)求图形 D 的 x ? 0 的部分绕 x 轴旋转一周所得立体的体积。

参考答案:

1. 原式 ? ?
??

1 1 1 t 1 td 2 ?? ( 2 ?? 2 dt ) ? 2 t ?1 2 t ?1 t ?1

1 ? arcta t? nC 2( t ? 1) 2
2

t

2. 因为 ( x tan x)? ? x sec 2 x ? tan x ,所以 原式 ?

x sec2 x ? tan x 1 ?1 ? (1 ? x tan x)2 dx ? ? ( x tan x ?1)2 d ( x tan x) ? x tan x ? C

3. 令 ln x ? t ,有 x ? et
原式 ? ( ?

?

1 1 t et 1 ) e dt ? dt ? ? et d 2 ? t t t t

et et et et x ? ? dt ? ( ? ? dt ) ? ? C ? ?C t t t t ln x

4. 因为

F ( x) ? x 2 ? f ?(t )dt ? ? t 2 f ?(t )dt
0 0

x

x

所以

F ?( x) ? 2 x ? f ?(t )dt ? x 2 f ?( x) ? x 2 f ?( x) ? 2 x( f ( x) ? f (0))
0

x

因为 F ?( x) 与 x 2 为等价无穷小,所以 2 x( f ( x) ? f (0)) 与 x 为等价无穷小,即
2 (f (x ? ) f (0)) lim ? f 2? ( ? 0) x ?0 x 1

所以 f ?(0) ?

5. 令 tx ? u 将定积分换元,再应用洛必达法则,则

1 . 2

? 原式 ? lim
x ?0

x2

0

(e?u ? 1)du x6
4

2

2 x(e?u ? 1) ? lim x ?0 6 x5

2

e? x ? 1 ? x4 1 ? lim ? lim ?? 4 4 x ?0 x ?0 3 x 3x 3
6. 设 A ?

?

1

0

f ( x)dx,

B ?? f ( x)dx ,则 f ( x) ? x ? Ax2 ? Bx3 ,所以
0

2

1 1 1 ? A? B 0 2 3 4 2 3 B ? ? ( x ? Ax 2 ? Bx3 )dx ? 2 ? A ? 4 B 0 8 3 3 由上述两式解出 A ? , B ? ?1, 于是 f ( x) ? x ? x 2 ? x 3 . 8 8 7. 令 x ? 1 ? t ,则 2 1 0 1 11 dt ? ? dx t ?0 f ( x ? 1)dx ??? 1f (t )dt ??? 1 1?e 0? x 1 A ? ? ( x ? Ax 2 ? Bx 3 )dx ?
1

??

1 0 1 ? et ? et dt ? ln(1 ? x) ? 1 ? ln(1 ? et ) ? ln 2 t ?1 1 ? e 0 ?1
0

1? e ?1 ? l n ? l n (e ? 1 e

)

8. 因为 f ?(t ) ? e?t , f (1) ? 0, 分部积分得

2

?

1

0

t 2 f (t )dt ?

1 1 ? 1 1 3 1? 3 3 ? f ( t ) dt ? t f ( t ) ? t f ( t ) dt ? ? 0 ? 0 3?0 3? ?

??
?
?

1 1 3 ?t 2 t ? x 1 1 ? x 1 1 t e dt ? ? ? xe dx ? ? xde? x ? 3 0 6 0 6 0

2

1 1 ? 3e 6
? x x dx ? 2? 2 e x tan dx 0 2 2
?

9. 原式 ? ? 2 e x sec2
0

x ? 2? e d tan x ? 2? 2 e x tan dx 0 2
2 0 x

?

? ? x ? 2e x tan x ? 2? 2 e x tan xd ? 2? 2 e x tan dx 0 0 2

? 2e 2

?

10. 令 cos x ? t ,有 x ? arccos t , dx ? ?
? 1 2

1 1? t2

, 利用奇函数积分性质,有

原式 ? ??1

et ? e?t 1? t 2

dt ? 0.

2

11. 应用定积分,面积 S 为
t 1 4 1 S ? ? (t ? x 2 )dx ? ? ( x 2 ? t )dx ? t t ? t ? 0 t 3 3

由 S ? ? 2 t ?1 ? 0 解得驻点 t ? , 则

1 4

2 ?1 1 2 ? max S ? ma ? ?x , ? , 3 ?3 4 3 ?

,

? 1 1? 2 S ? m i? n m?i? n ? 3 4? 3

1 , , 4

.

3 2 11. (1)设切点为 ( x0 , x0 ), y?( x0 ) ? 3x0 , 所以 L 的方程为

y ? x03 ? 3x02 ( x ? x0 )
令 x ? 1, y ? 5, 代入上面的方程得 2x0 ? 3x0 ? 5 ? 0 ,有唯一实根 x0 ? ?1 ,故切点
3 2

为 (?1, ?1). 切线 L 的方程为 y ? 3x ? 2.

? y ? x3 (2) 由 ? 解得 x ? ?1,2, 所求 D 的面积为 ? y ? 3x ? 2

S ? ? (3x ? 2 ? x3 )dx ?
?1

2

27 4

(3)所求体积为
2 264 2 V ??? ? (3x ? 2)2 ? ( x 3) ? dx ? ?. ? ? 0 7


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