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1集合的概念与运算


(1) 集合的概念与运算
●知识梳理 1.集合的有关概念 2.元素与集合、集合与集合之间的关系 (1)元素与集合: “∈”或“ ? ”. (2)集合与集合之间的关系:包含关系、相等关系. 3.集合的运算 (1)交集:由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交集,记为 A ∩B,即 A∩B={x|x∈A 且 x∈B}. (2)并集:由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与集合 B 的并集,记 为 A∪B,即 A∪B={x|x∈A 或 x∈B}. (3)补集:一般地,设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 A ? S) ,由 S 中所有不属于 A 的元素组成 的集合,叫做子集 A 在全集 S 中的补集(或余集) ,记为
S A,即 S A={x|x∈S

且 x ? A}.

●点击双基 1.已知集合 M={x|x2<4},N={x|x2-2x-3<0},则集合 M∩N 等于( ) A.{x|x<-2} B.{x|x>3} C.{x|-1<x<2} D.{x|2<x<3} 2.已知集合 A={x∈R|x<5- 2 },B={1,2,3,4},则(
RA)∩B

等于(



A.{1,2,3,4} B.{2,3,4} C.{3,4} D.{4} 3.设集合 P={1,2,3,4,5,6},Q={x∈R|2≤x≤6},那么下列结论正确的是( ) A.P∩Q=P B.P∩Q Q C.P∪Q=Q D.P∩Q P 4.(2011 年四川文 1)若全集 M A. ? B. {1,3 ,5}
? {1, 2 , 3 , 4 , 5} , N ? { 2 , 4 }



M N)=

( D.

)
1, 2 , 3 , 4 , 5}

C. { 2 , 4}
*

5.已知集合 A={0,1} ,B={x|x∈A,x∈N } ,C={x|x ? A} ,则 A、B、C 之间的关系是 ___________________. ●典例剖析 【例 1】 (2009 江苏 11)已知集合 A 是 ( c , ?? ) ,其中 c ? ___________________.

? { x | log 2 x ? 2 } , B ? ( ?? , a )

,若 A ?

B

,则实数 a 的取值范围

【例 2】 已知 A={x|x3+3x2+2x>0}, B={x|x2+ax+b≤0}且 A∩B={x|0<x≤2}, A∪B= {x|x>-2} , 求 a、b 的值.

1

● 深化拓展 已知全集 U 的定义域; (1)求 A ? B ; C U ( A ? B ) (2)若 C ? B ,求实数 a 的取值范围;
? R

,A

? { x || x ? 1 |? 1} , B为函数 f ( x ) ?

2?

x?3 x ?1

的定义域, 为 g ( x ) ? C

lg[( x ? a ? 1)( 2 a ? x )] ( a ? 1)

【例 3】 设集合 P={m|-1<m≤0},Q={m∈R|mx2+4mx-4<0 对任意实数 x 恒成立},则下列关系中 成立的是( ) A.P Q B.Q P C.P=Q D.P∩Q=Q 2 【例 4】 已知集合 A={(x,y)|x +mx-y+2=0},B={(x,y)|x-y+1=0,0≤x≤2},如果 A∩B≠ ? , 求实数 m 的取值范围.

深化拓展
设 m∈R,A={(x,y)|y=- 3 x+m},B={(x,y)|x=cosθ ,y=sinθ ,0<θ <2π },且 A∩B={(cos θ 1,sinθ 1)(cosθ 2,sinθ 2)}(θ 1≠θ 2) , ,求 m 的取值范围.

2

●闯关训练 1.集合 A={(x,y)|x+y=0},B={(x,y)|x-y=2},则 A∩B 是( A.(1,-1) B. ?
?x ? 1 ? y ? ?1

) D.{1,-1}

C.{(1,-1)}

2.设集合 A={5,log2(a+3)},集合 B={a,b}.若 A∩B={2},则 A∪B=______________. 3.设 A={x|1<x<2},B={x|x>a},若 A B,则 a 的取值范围是___________________. 4.已知集合 A={x∈R|ax2+2x+1=0,a∈R}只有一个元素,则 a 的值为__________________. 5.设 A、B、I 均为非空集合,且满足 A ? B ? I,则下列各式中错误的是( ) .. A.(
IA)∪B=I

B.( D.(

IA)∪(

IB)=I

C.A∩(

IB)= ?

IA)∩(

IB)=

IB

6.记函数 f(x)=log2(2x-3)的定义域为集合 M,函数 g(x)= (1)集合 M、N; (2)集合 M∩N、M∪N.

( x ? 3 )( x ? 1)

的定义域为集合 N.求:

7.已知 A={x∈R|x2+2x+p=0}且 A∩{x∈R|x>0}= ? ,求实数 p 的取值范围.

8.已知 P={(x,y)|(x+2)2+(y-3)2≤4},Q={(x,y)|(x+1)2+(y-m)2< 求 m 的取值范围.

1 4

},且 P∩Q=Q,

3

9.若 B={x|x2-3x+2<0},是否存在实数 a,使 A={x|x2-(a+a2)x+a3<0}且 A∩B=A?请说明你的理 由.

10.(2010 上海宝山模拟)已知二次函数 (1)求集合 A; (2)设集合 B ? { x ||
x ? 4 |? a } ? A

f ( x ) ? ax

2

? x

有最小值,不等式

f (x) ? 0

的解集为 A。

,求实数 a 的取值范围。

4

第一章
●网络体系总览

集合与简易逻辑
集合及元素 集合的基本概念 集合分类及表示 子集,包含与相等

集合

集合与集合的关系 交集、并集、补集

集合的应用 逻辑联结词 命题 简单命题与复合命题

简易逻辑

四种命题及其关系

充分必要条件

●考点目标定位 1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念;了解属于、包含、相等关系的意义. 2.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合. 3.理解逻辑联结词“或” “且” “非”的含义;理解四种命题及其相互关系;掌握充要条件的意义. 4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题,形成良好的思维品质. ●复习方略指南 本章内容在高考中以考查空集与全集的概念,元素与集合、集合与集合之间的关系,集合的交、并、 补运算为重点,以上内容又以集合的运算为重点考查内容.逻辑联结词与充要条件这部分,以充要条件为重 点考查内容. 本章内容概念性强,考题大都为容易的选择题,因此复习中应注意: 1.复习集合,可以从两个方面入手,一方面是集合的概念之间的区别与联系,另一方面是对集合知识 的应用. 2.主要是把握集合与元素、集合与集合之间的关系,弄清有关的术语和符号,特别是对集合中的元素 的属性要分清楚. 3.要注意逻辑联结词“或” “且” “非”与集合中的“并” “交” “补”是相关的,二者相互对照可加深 对双方的认识和理解. 4.复习逻辑知识时,要抓住所学的几个知识点,通过解决一些简单的问题达到理解、掌握逻辑知识的 目的. 5.集合多与函数、方程、不等式有关,要注意知识的融会贯通.

1.1

集合的概念与运算

●知识梳理 1.集合的有关概念 2.元素与集合、集合与集合之间的关系 (1)元素与集合: “∈”或“ ? ”. (2)集合与集合之间的关系:包含关系、相等关系.
5

3.集合的运算 (1)交集:由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交集,记为 A ∩B,即 A∩B={x|x∈A 且 x∈B}. (2)并集:由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与集合 B 的并集,记 为 A∪B,即 A∪B={x|x∈A 或 x∈B}. (3)补集:一般地,设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 A ? S) ,由 S 中所有不属于 A 的元素组成 的集合,叫做子集 A 在全集 S 中的补集(或余集) ,记为 S A,即 S A={x|x∈S 且 x ? A}. ●点击双基 1.(2004 年全国Ⅱ,1)已知集合 M={x|x2<4},N={x|x2-2x-3<0},则集合 M∩N 等于 A.{x|x<-2} B.{x|x>3} C.{x|-1<x<2} D.{x|2<x<3} 2 2 解析:M={x|x <4}={x|-2<x<2},N={x|x -2x-3<0}={x|-1<x<3},结合数轴,

- - 0 1 2 3x 2 1
∴M∩N={x|-1<x<2}. 答案:C 2.(2005 年北京西城区抽样测试题)已知集合 A={x∈R|x<5- 2 },B={1,2,3,4},则( ∩B 等于 A.{1,2,3,4} B.{2,3,4} C.{3,4} D.{4}
RA)

解析: RA={x∈R|x≥5- 2 },而 5- 2 ∈(3,4) ,∴( RA)∩B={4}. 答案:D 3.(2004 年天津,1)设集合 P={1,2,3,4,5,6},Q={x∈R|2≤x≤6},那么下列结论正确的是 A.P∩Q=P B.P∩Q Q C.P∪Q=Q D.P∩Q P 解析:P∩Q={2,3,4,5,6},∴P∩Q P. 答案:D 4.(2011 年四川文 1)若全集 M ? {1, 2 ,3 , 4 ,5} , N ? { 2 , 4} , M N)=( ) A. ? B. {1,3 ,5} C. { 2 , 4} D. 1, 2 ,3 , 4 ,5} 答案:B 5.已知集合 A={0,1} ,B={x|x∈A,x∈N *} ,C={x|x ? A} ,则 A、B、C 之间的关系是 ___________________. 解析:用列举法表示出 B={1} ,C={ ? , {1}{0} , ,A} ,易见其关系.这里 A、B、C 是不同层次 的集合,C 以 A 的子集为元素,同一层次的集合可有包含关系,不同层次的集合之间只能是从属关系. 答案:B A,A∈C,B∈C ●典例剖析 【例 1】 【例 1】 (2009 江苏 11)已知集合 A ? { x | log 2 x ? 2} , B ? ( ?? , a ) ,若 A ? B ,则实数 a 的取 值范围是 ( c , ?? ) ,其中 c ? __4____. 解析: A ? { x | 0 ? x ? 4} , B ? ( ?? , a ) ,又 A ? B ,∴ a ? 4 ,又实数 a 的取值范围是 ( c , ?? ) ,∴ c ? 4 . 【例 2】 已知 A={x|x3+3x2+2x>0}, B={x|x2+ax+b≤0}且 A∩B={x|0<x≤2}, A∪B= {x|x>-2} , 求 a、b 的值. 解:A={x|-2<x<-1 或 x>0},B=[x1,x2] ,由 A∩B=(0,2]知 x2=2, 且-1≤x1≤0, ① 由 A∪B=(-2,+∞)知-2≤x1≤-1. ② 由①②知 x1=-1,x2=2, ∴a=-(x1+x2)=-1,b=x1x2=-2. 评述:本题应熟悉集合的交与并的涵义,熟练掌握在数轴上表示区间(集合)的交与并的方法.

6

深化拓展
已知全集 U
? R

,A

? { x || x ? 1 |? 1} , B为函数 f ( x ) ?

2?

x?3 x ?1

的定义域, 为 g ( x ) ? C

lg[( x ? a ? 1)( 2 a ? x )] ( a ? 1)

的定义域; (1) A ? B ; C U ( A ? B ) (2)若 C ? B ,求实数 a 的取值范围; 解:? A ? ? x x ? 0 , 或 x ? 2 ? ; ∵函数 f ( x ) 的自变量 x 应满足 2 ?
x?3 x ?1 ? 0 ,即 ?
? ( x ? 1)( x ? 1) ? 0 ?x ?1 ? 0

∴ x ? ? 1 或 x ? 1 ? B ? ? x x ? ? 1 , 或 x ? 1? ; A ? B ? ? x x ? ? 1 , 或 x ? 2 ? ,
A? B ?

?x

x ? 0 , 或 x ? 1? , C U ( A ? B ) ?

?x

0 ? x ? 1?

(2)∵函数 g ( x ) 的自变量 x 应满足不等式 ( x ? a ? 1)( 2 a ? x ) ? 0 . 又由 a ? 1 ,? 2 a ? x ? a ? 1 ? C ? ? x 2 a ? x ? a ? 1 ?
? a ? 1 ? ?1 或 2a ? 1 ? a ? ?2 或 a ?

?C ? B

1 2

,又 a ? 1

? a 的取值范围为 a ? ? 2 或

1 2

? a ? 1.

【例 3】 (2004 年湖北,10)设集合 P={m|-1<m≤0},Q={m∈R|mx2+4mx-4<0 对任意实数 x 恒 成立},则下列关系中成立的是 A.P Q B.Q P C.P=Q D.P∩Q=Q 剖析:Q={m∈R|mx2+4mx-4<0 对任意实数 x 恒成立}, 对 m 分类:①m=0 时,-4<0 恒成立; ②m<0 时,需Δ =(4m)2-4×m×(-4)<0,解得-1<m<0. 综合①②知-1<m≤0,∴Q={m∈R|-1<m≤0}. 答案:C 评述:本题容易忽略对 m=0 的讨论,应引起大家足够的重视. 【例 4】 已知集合 A={(x,y)|x2+mx-y+2=0},B={(x,y)|x-y+1=0,0≤x≤2},如果 A∩B≠ ? , 求实数 m 的取值范围. 剖析:如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内,此题的思维方法是很难找到的.事实上,集合 符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用,它的实际背景是“抛物线 x2+mx-y+2=0 与线段 x-y+1=0(0 ≤x≤2)有公共点,求实数 m 的取值范围”.这种数学符号与数学语言的互译,是考生必须具备的一种数 学素质. 解:由 ?
? x 2 ? mx ? y ? 2 ? 0 , ? x ? y ? 1 ? 0 ( 0 ? x ? 2 ),

得 x2+(m-1)x+1=0.



∵A∩B≠ ? ,∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解. 首先,由Δ =(m-1)2-4≥0,得 m≥3 或 m≤-1. 当 m≥3 时,由 x1+x2=-(m-1)<0 及 x1x2=1 知,方程①只有负根,不符合要求; 当 m≤-1 时,由 x1+x2=-(m-1)>0 及 x1x2=1>0 知,方程①有两个互为倒数的正根.故必有一根 在区间(0,1]内,从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内. 综上所述,所求 m 的取值范围是(-∞,-1]. 评述:上述解法应用了数形结合的思想 .如果注意到抛物线 x 2 +mx-y+2=0 与线段 x-y+1=0(0 ≤x≤2) 的公共点在线段上, 本题也可以利用公共点内分线段的比λ 的取值范围建立关于 m 的不等式来解.

深化拓展
设 m∈R,A={(x,y)|y=- 3 x+m},B={(x,y)|x=cosθ ,y=sinθ ,0<θ <2π },且 A∩B={(cos θ 1,sinθ 1)(cosθ 2,sinθ 2)}(θ 1≠θ 2) , ,求 m 的取值范围. 提示:根据题意,直线 y=- 3 x+m 与圆 x2+y2=1(x≠1)交于两点,

7


1
2

|m | ? (? 3)
2

<1 且 0≠- 3 ×1+m.

∴-2<m<2 且 m≠ 3 .

答案:-2<m<2 且 m≠ 3 . ●闯关训练 夯实基础 1.集合 A={(x,y)|x+y=0},B={(x,y)|x-y=2},则 A∩B 是 A.(1,-1) 解析: ?
?x ? y ? 0

B. ?

?x ? 1 ? y ? ?1

C.{(1,-1)}

D.{1,-1}

? x ? 1, ? ? 答案:C ? y ? ?1. ?x ? y ? 2

2. (2004 年上海, 设集合 A={5, (a+3) 集合 B={a, 3) log2 }, b}.若 A∩B={2}, A∪B=______________. 则 解析:∵A∩B={2},∴log2(a+3)=2.∴a=1.∴b=2.∴A={5,2},B={1,2}.∴A∪B={1,2,5}. 答案:{1,2,5} 3.设 A={x|1<x<2},B={x|x>a},若 A B,则 a 的取值范围是___________________. 解析:A B 说明 A 是 B 的真子集,利用数轴(如下图)可知 a≤1.
a1 2

答案:a≤1 4.已知集合 A={x∈R|ax2+2x+1=0,a∈R}只有一个元素,则 a 的值为__________________. 解析:若 a=0,则 x=-
1 2

.若 a≠0,Δ =4-4a=0,得 a=1.

答案:a=0 或 a=1

5.(2004 年全国Ⅰ,理 6)设 A、B、I 均为非空集合,且满足 A ? B ? I,则下列各式中错误的是 .. A.(
IA)∪B=I

B.(

IA)∪(

IB)=I

C.A∩( IB)= ? D.( IA)∩( IB)= IB 解析一:∵A、B、I 满足 A ? B ? I,先画出文氏图,根据文氏图可判断出 A、C、D 都是正确的.
I B A

解析二:设非空集合 A、B、I 分别为 A={1},B={1,2},I={1,2,3}且满足 A ? B ? I.根据设出的三 个特殊的集合 A、B、I 可判断出 A、C、D 都是正确的. 答案:B 6.(2005 年春季北京,15)记函数 f(x)=log2(2x-3)的定义域为集合 M,函数 g(x)= 的定义域为集合 N.求: (1)集合 M、N; (2)集合 M∩N、M∪N. 解: (1)M={x|2x-3>0}={x|x>
3 2
( x ? 3 )( x ? 1)

};N={x|(x-3) (x-1)≥0}={x|x≥3 或 x≤1}.
3 2

(2)M∩N={x|x≥3};M∪N={x|x≤1 或 x>

}.

培养能力 7.已知 A={x∈R|x2+2x+p=0}且 A∩{x∈R|x>0}= ? ,求实数 p 的取值范围. 解:∵A∩{x∈R|x>0}= ? , ∴(1)若 A= ? ,则Δ =4-4p<0,得 p>1; (2)若 A≠ ? ,则 A={x|x≤0},即方程 x2+2x+p=0 的根都小于或等于 0. 设两根为 x1、x2,则

8

?Δ ? 4 ? 4 p ? 0 , ? ? x1 ? x 2 ? ? 2 ? 0, ? x x ? p ? 0. ? 1 2

∴0≤p≤1.

综上所述,p≥0.

8.已知 P={(x,y)|(x+2)2+(y-3)2≤4},Q={(x,y)|(x+1)2+(y-m)2<

1 4

},且 P∩Q=Q,

求 m 的取值范围. 解:点集 P 表示平面上以 O1(-2,3)为圆心,2 为半径的圆所围成的区域(包括圆周) ;点集 Q 表示平面上以 O2(-1,m)为圆心,
1 2

为半径的圆的内部.要使 P∩Q=Q,应使⊙O2 内含或内切于⊙
1 2

O1.故有|O1O2|2≤(R1-R2)2,即(-1+2)2+(m-3)2≤(2-

)2.解得 3-

5 2

≤m≤3+

5 2

.

评述:本题选题目的是:熟悉用集合语言表述几何问题,利用数形结合方法解题. 探究创新 9.若 B={x|x2-3x+2<0},是否存在实数 a,使 A={x|x2-(a+a2)x+a3<0}且 A∩B=A?请说明你的理 由. 解:∵B={x|1<x<2},若存在实数 a,使 A∩B=A,则 A={x|(x-a) (x-a2)<0}. (1)若 a=a2,即 a=0 或 a=1 时,此时 A={x|(x-a)2<0}= ? ,满足 A∩B=A,∴a=0 或 a=1. (2)若 a2>a,即 a>1 或 a<0 时,A={x|0<x<a2},要使 A∩B=A,则 ? a≤ 2 ,∴1<a≤ 2 . (3)若 a2<a,即 0<a<1 时,A={x|a<x<a2},要使 A∩B=A,则 ?
?a ? 2 ?a
2

?a ? 1 ?a
2

? 2

?

1≤

?1

?

1≤a≤2,∴a∈ ? .

综上所述,当 1≤a≤ 2 或 a=0 时满足 A∩B=A,即存在实数 a,使 A={x|x2-(a+a2)x+ a <0}且 A∩B=A 成立. 10.(2010 上海宝山模拟)已知二次函数 f ( x ) ? ax 2 ? x 有最小值,不等式 f ( x ) ? 0 的解集为 A。 (1)求集合 A; (2)设集合 B ? { x || x ? 4 |? a } ? A ,求实数 a 的取值范围。
3

解: (1)∵二次函数

f ( x ) ? ax

2

? x

有最小值,∴ a

? 0

,∴解不等式

f ( x ) ? ax

2

? x ? 0

,得集合 A= ( ?

1 A

,0 )

.

(2)由

?a ? 0 ? 1 ? ? 0 ? a ? B ? { x || x ? 4 |? a } ,解得 B ? ( ? a ? 4 , a ? 4 ) ,∵ B ? A ,∴ ? ? a ? 4 ? ? a ? ?a ? 4 ? 0 ?

5 ? 2

●思悟小结 1.对于集合问题,要首先确定属于哪类集合(数集、点集或某类图形) ,然后确定处理此类问题的方法. 2.关于集合的运算,一般应把各参与运算的集合化到最简,再进行运算. 3.含参数的集合问题,多根据集合元素的互异性来处理. 4.集合问题多与函数、方程、不等式有关,要注意各类知识的融会贯通.解决问题时常用数形结合、分 类讨论等数学思想. ●教师下载中心 教学点睛 1.对于集合问题,要首先确定属于哪类集合(数集、点集或某类图形) ,然后确定处理此类问题的方法. 2.集合问题多与函数、方程、不等式有关,要注意各类知识的融会贯通. 3.强化数形结合、分类讨论的数学思想. 拓展题例 【例 1】 设 M、N 是两个非空集合,定义 M 与 N 的差集为 M-N={x|x∈M 且 x ? N},则 M-(M-N) 等于 A.N B.M∩N C.M∪N D.M
9

解析:M-N={x|x∈M 且 x ? N}是指图(1)中的阴影部分.
M N M N

() 1

() 2

同样 M-(M-N)是指图(2)中的阴影部分. 答案:B

【例 2】 设集合 P={1,a,b},Q={1,a2,b2},已知 P=Q,求 1+a2+b2 的值.
?a ? a 2 , ? 解:∵P=Q,∴ ? 2 ?b ? b ?



?a ? b 2 , ? 或? 2 ?b ? a . ?



解①得 a=0 或 a=1,b=0 或 b=1.(舍去) 由②得 a=b2=a4,∴a=1 或 a3=1. a=1 不合题意, ∴a3=1(a≠1). ∴a=ω ,b=ω 2,其中ω =-
2 2 2 4

1 2
2

+

3 2

i.

故 1+a +b =1+ω +ω =1+ω +ω =0.

10



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