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函数的单调性


第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质(一)单调性
科目 高二数学 班级 姓名 时间 2015-5-24 学习目标:1、理解函数单调性定义 2、掌握求函数单调性和最值的基本方法. 3.利用函数的单调性求单调区间. 4.利用函数的单调性求最值和参数的 取值范围 学习过程自学课本 27---32 完成以下内容 【考点】函数的单调性:如果函数 y=f (x)对于属于定

义域 I 内某个区间上的任 意两个自变量的值 x1、 、x2,当 x1、<x2 时,①都有 ,则称 f (x)在这个区间 上是增函数,而这个区间称函数的一个 ;②都有 ,则 称 f (x)在这个区间上是减函数,而这个区间称函数的一 y y=f(X) 个 .若函数 f(x)在整个定义域 I 内只有唯一的 f(x ) 一个单调区间,则 f(x)称为 . f(x ) 思考:1、函数的单调区间为[a,b]与函数在[a,b]上单调一 样吗? o x x x 2、函数有多个单调区间,能用“U”连接吗? 考查 1:判断单调性 方法: (1)基本初等函数及其复合 ① 增 + 增 = ( ) ② 减 + 减 = ( ) ③ 增 ? k = ( )④ k 增 = ( ) (k>0) k 减 = ( ) (k<0) ⑤复合函数 y=f [g(x)]是定义在 M 上的函数,若 f (x)与 g(x)的单调相同,则 f [g(x)]为 ,若 f (x), g(x)的单调性相反,则 f [g(x)]为 . ⑥奇函数在其对称区间上的单调性 ,偶函数在其对称区间上的单调 性 . k?x 1.若函数 f ( x) ? 在 (??,0) 上是减函数,则 k 的取值范围是 ( ) x A. k ? 0 B. k ? 0 C. k ? 0 D. k ? 0 [
1 2 1 2

2.函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 的单调减区间是 ( ) A. (??,?3] B. [?1,??) C. (??,?1] D. [1,??) 2 3.已知函数 y ? 8x ? ax ? 5 在 [1,??) 上递增,那么 a 的取值范围是________. 方法:(2) 定义法,其步骤为:__________________________________________. 例: 已知定义在区间 (0 , +∞) 上的函数 f(x)满足 f(
x1 且当 ) =f(x1)-f(x2), x2

x>1 时, f(x)

<0.(1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性; (3)若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)<-2. ?

方法: ( 3 ) 导 数 法 , 若 函 数 y = f (x) 在 定 义 域 内 的 某 个 区 间 上 可 导 , ①

若 ,则 f (x)在这个区间上是增函数;②若 在这个区间上是减函数. 例:讨论函数 f(x)=x+ a 的单调性.
x

,则 f (x)

例 2:已知函数 f(x)=ax3+3x2-x+1 在 R 上是减函数,求 a 的取值范围。 方法: (4)分段函数的单调性:
(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1, 例:已知函数 f(x)= ? 是(-∞,+∞)上的减函数,求 a 的取值范围。 ?
x ?loga , x ? 1

【巩固训练】 : 1.函数 y= log (4x-x2)的单调区间为__________________.?
1 2

2.函数 f(x)对任意的 a、b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时,f(x)>1.? (1)求证:f(x)是 R 上的增函数;? (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m2-m-2)<3.?

3.若函数 f(x)=

ax ? 1 在(-∞,-1)上是减函数,求 a 的取值范围。 x ?1

4.已知函数 f(x)= 的取值范围。

x 2 ? 2x ? a (x ? 1) ,若对任意 x ? [1,? ∞),f(x)>0 恒成立,求 a x