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讲义


第三章 线路与绕组波过程
3.1 单向均匀无损耗线路上的行波
输电线路是电力系统中广泛分布的元件, 它在过电压的产生和传播过程中其重要作用。 在计算 操作过电压时涉及到单向导线-地系统的情况。雷电过电压的计算常按单导线处理;虽然在计算操 作过电压时涉及到三相线路,但应用相模变换,可以把三相网络装换为等效的单相网络来处理。因 此,单向导线-地系统是分析计算线路中

的电磁暂态过程的基础。

3.1.1 单向均匀无损耗线路的波动方程
本节我们讨论均匀的无损耗线路。若引入导线、大地的电阻和导线对地的漏电导,则将增加数 学上的复杂性,且不易得到清晰的物理概念。至于损耗的问题,以后再考虑把它引入。

?
u

i

?
u? ?u dx ?x

i?

?i dx ?x ?i dx ?x

?
x

i
dx

?

i?

L0dx
C0dx

? u
?

i

?
u?

i?

i
dx

?

?u dx ?x
i?

?i dx ?x ?i dx ?x

图 3-1 单相无损长线的微分单元 在图 3-1 中表示出均匀长线的一微分元。L0 是每米导线-地形成的回路的电感,? 0 是每米导线 的对地电容,该微分元离线路首端的距离为 x。线路上的电压 u ( x, t ) 和电流 i ( x, t ) 都是距离和时间 的函数。 去电压的参考方向为线路对地,电流的参考方向与 x 的正方向一致。根据 KVL 和 KCL,可以 建立以下的偏微分方程组:

?

?u ?i ? L0 ?x ?t ?i ?u ? ? C0 ?x ?t

(3-1) (3-2)

这就是均匀无损耗线路的性能方程,即波动方程。 在此,我们讨论线路零起始条件下的解。可用拉氏变换把式 3-1 和式 3-2 转换为常微分方程, 即

dU ( x, s) ? sL0 I ( x, s) dx dI ( x, s) ? ? sC0U ( x, s) dx ?
上两式对 x 微分一次,并令 v ?

(3-1a) (3-2a)

1 ,可得 L0C0
d 2U ( x, s) s 2 ? 2 U ( x, s) dx 2 v
d 2 I ( x, s) s 2 ? 2 I ( x, s ) dx 2 v
(3-3)

(3-4)

式 3-3 的解为

U ( x, s) ? U ? (s)e
令Z ?

s ? x v

? U ? (s)e v

s

x

(3-5)

L0 ,由式 3-1(a) , C0
I ( x, s) ?
s s s s ? x x ? x x 1 dU 1 (? ) ? [U ? ( s)e v ? U ? ( s)e v ] ? I ? ( s)e v ? I ? ( s)e v (3-6) sL0 dx Z

由拉氏变换中的延迟定理: ? [ F ( s)e
?1

子e

? s? 0

] ? f (t ? ? 0 ) 。它的意义是,若象函数 F ( s) 乘以因 ,则其原函数 f (t ) 在时域中延迟时间 ? 0 ,即 t ? ? 0 时刻的函数值才相当于 t 时刻的函数值。
x x (3-5a) u ( x, t ) ? u ? (t ? ) ? u ? (t ? ) v v x x 1 x x i( x, t ) ? i ? (t ? ) ? i ? (t ? ) ? [u ? (t ? ) ? u ? (t ? )] (3-6a) v v Z v v

? s? 0

这样,式 3-5 和式 3-6 的原函数分别为

以上两式是单相无损耗线上的电压和电流的达朗贝尔解。 这一解答取电磁流动波的形式。 线路 上任一点的电压、电流波形都由前行波和反行波叠加而成。 有时,为了表达为某时刻的线路上电压、电流分布的形式,它们可改写为

u( x, t ) ? u ? ( x ? vt ) ? u ? ( x ? vt )
i( x, t ) ?
下面我们考察行波的物理特性。

(3-7) (3-8)

1 ? [u ( x ? vt ) ? u ? ( x ? vt )] Z

3.1.2 波动方程解的物理意义——前行波和反行波
(1)波的运动特性 组成电压(伴随着电流)的两个分量 u (t ? ) 和 u (t ? ) 分别以波速度 v 向 x 正方向和 x 负 方向运动,它们分别被称为前行波电压和反行波电压。
?

x v

?

x v

以 u ? (t ? ) 为例进行分析:

x x ? v?t x ? ?x u ? ( x ? ) ? u ? (t ? ?t ? ) ? u ? (t ? ?t ? ) v v v 上式中的 ?x ? v?t 。即 t 时刻 x 处的前行波电压,随着时间的推移,在 t ? ?t 时刻将跑到导线

x v

??x ? x ? v?t 那一点上去。 u ? 在 x 正方向上的运动速度为 v ?

?x ? ?t

1 。由此可见,我们在 L0C0

推导中把

1 定义为 v 是有道理的,它具有速度的量纲,称为波速度。 L0C0

对于架空线路,如导线离地高度为 h 米,导线的半径为 r 米,则每米导线对地电容 ? 0 和每米 导线-地回路电感 L0 分别为

2?? 0 H /m 2h ln r ? 2h L0 ? 0 ln F /m 2? r C0 ?
?1 ?9
?7

(3-9)

(3-10)

式中,? 0 ? (36? ) ?10 F / m , 为空气的介电常数;?0 ? 4? ?10 H / m , 为空气的导磁常数。 因此,

v?

1 1 ? ? 3 ?108 m / s ? 300m / ? s L0C0 ?0? 0

(3-11)

等于空气的光速。也就是说行波以光速沿无损架空线路传播。 对于电缆线路,也取 v ? 为光速的一半。
t时刻

1

??

形式,其中 ? ? ?0 ,? 的值为 4? 0 左右,故 v ? 150m / ? s ,约

u

?

(t ?

x

t+ ?t 时刻
0

?

)

u

?

(t ? ?t ?

x

0

? ??t

?

)

?

?

0

x

0

x
?x

0

? ??t

l

图 3-2 波的空间传播图 前行波的运动情景如图 3-2 所示。在运动过程中,波形上的每个点的运动速度均相等且其幅值 保持不变,所以它在线路范围内运动是不变形、不衰减的。

类似的分析可知, u ? 的运动速度是 ?v ,是以速度 v 向 x 负方向运动的波。

i ? 与 u ? 有相同的运动特性; i ? 则与 u ? 有相同的运动特性。
在此,要专门说明的是:线路末端的前行波 u ? (t ? ? ? ) 等于首段的前行波 u ? (t ? )(式中 l 是线路长度,? ?

l v

x v

差” ? 。另外,到达线路末端的前行波的电压、电流值并不受末端边界状态的影响。 (2)波的能量特性 若以波的运动方向作为其电流的正方向来表述单波的电压、电流比值,则有

l 是波从线路首段到末端所花费的时间) ,即前者来源于后者,但两者间存在“时 v

L0 u? u? ? ? ? ? Z0 ? i ?i C0
Z 具有电阻的量纲,称为波阻抗。 对于架空线路,

(3-12)

Z?

1 2?

? 0 2h 2h ln ? 60ln ? ?0 r r

(3-13)

一般架空线路的 Z 约为 500 ? ,分裂导线的 Z 约为 300 ? 。与波速度不同,Z 不仅取决于线路空间 的介质的 ? 和 ? ,而且取决于导线半径与导线离地面高度的相对比值。 对于电缆线路, ?r ? 1 ,因芯线和外皮间的间距小,故 L0 较小;又电缆绝缘层的 ? 约为 4? 0 左 右,芯线距离外皮近,故 C0 比架空线大得多。电力电缆的波阻抗约在几欧至几十欧之间。 我们把式 3-12 变换成下列形式就可看出 Z 的物理涵义:

1 1 C0 (u ? )2 ? L0 (i ? ) 2 2 2 1 1 C0 (u ? )2 ? L0 (i ? ) 2 2 2
从中可以得出结论:前行波和反行波在传播过程中,使导线周围的介质中建立了电磁场,对于 每一个独立的行波而言, 其电场能量恒等于磁场能量。 这就是电磁波在无损线路中传播时必定遵循 的能量关系,线路的 Z 值就反映出这一关系。 综上所述,我们可以想象出有两组电荷沿导线表面-地表而同步地以波速度分别向 x 正方向和 x 负方向运动,它们在空间建立了电磁场,造就了导线上的电流和电压。在此,导线-介质-地系统 起到了引导电磁波的作用,因而,这一过程被称为波过程。 为了区分线路的波阻抗与集中参数电阻元件的不同本质和特点,作以下几点说明。 i)当一条空载的长线接到电源上去,由于没有末端向首段传播的反行波,故达朗贝尔解中只

u u? 有“+”号项,且 ? ? ? Z 。因此,从电源看来如同接了一个阻值为 Z 的电阻器。但是,它们 i i
的物理本质是截然不同的。电流通过电阻器时,对应于电压降落和功率损耗;而电荷在无损导线地面流动时,伴随而生的 u ? 、 i ? 的传播对应着线路电磁能量储存正以速度 v 向远方扩展,并不存

在任何电压或功率损耗。 ii)线路与外界发生关系的只是端接处这一长度元,中间部分只起“通道”的作用。 iii) 要把波的传播方向和电压、 电流的正负号严格区分开来。 负波并非即 x 负方向上传播的波,

u ? ? Z 的波才能确认为反行波。至于式中的符号,完全是由于我们人为地把电流参考方向指 i 定为 x 正方而引入的——当正电荷沿导线向 x 负方向运动 (反行波) , 在导线对地形成的是正电压, 而流过导线截面的电流是负的。前、反行波的四种 u 、 i 组合如图 3-3 所示。
只有 iv)如果导线上有前行波、又有反行波,则线路总的电压和电流的比值不等于波阻抗。

v
x x

v
(a)

(b)

v

x

x

v
(c) (d)

图 3-3 伴生的电压、电流波的不同组合

3.2 波的折射和反射
当波沿输电线路传播使, 常遇到与原线路的波阻抗数值不一样的线路或其它网络。 在相连的参 数突变的点,称为节点。

i2
u1?
u1 ? u A

?

v1

Z1
v2
DC

2u1?

Z2

u2
?

v1
u
? 1

A

图 3-4 波在节点上的折射和反射 分析图 3-4 所示的例子:前行波(此时称为入射波)电压是一幅值为 U 0 的阶跃波,它由波阻

抗较大的架空线路向波阻抗较小的电缆线路传播,即有 Z1 ? Zi 。A 点为节点。 假定入射波达到节点后能原封不动地折射到线路 2 上, 即 u2 ? u1 ? U 0 , i2 ? i1 ?
? ?
? ?

U0 , 那么, Z1

线路 2 上的折射波的电场能量将会大于磁场能量, 就不能满足线路 2 上的单波的电磁能量相等这一 电磁波传播所要遵循的规律。因此,我们推测节点电压将减小,电流将增大;相应的,在原线路上 会出现从节点返回的负的电压波和伴生的正的电流波,这个反行波称为反射波。

3.2.1 计算节点电压的等值电路(彼得逊法则)
下面我们来求解 u2 和 u1 。在节点 A 考察其左右两方。 在线路 1 上,电压和电流为
? ?

u1 ? u1? ? u1?

i1 ?
由此得到

1 ? (u1 ? u1? ) Z1
2u1? ? u1 ? i1Z1

(3-14a)

? 由式 3-14(a)得 u1 ?

1 (u1 ? i1Z1 ) 。此式有明显的物理意义:当前行波抵达线路末端时,虽 2

然由于端接点阻抗差异而会产生不同的折、反射现象,节点电压、电流将取不同的数值,但是,节 点线路侧的 u1 、 i1 值必须满足 3-14(a) ,以保证前行波在线路末端仍不变形。 式 3-14(a)可写成下列形式:

2u1? ? i1Z1 ? u1
? ? u2 ? u2 ? i2 Z2 ? i2 ? i2

(3-14b)

在线路 2 上,不妨先假定不存在反行波,则折射波电压、电流即是总的电压、电流: (3-15)

由于节点 A 只有一个电压值和一个电流值,即 u1 ? u2 , i1 ? i2 ,由式 3-14(b)和式 3-15 可 得

2u1? ? i2 Z1 ? u2 ? i2 Z 2

(3-16)

从式 3-16 得到了供计算节点电压的集中参数等值电路,见图 3-4(b) 。由该图可知:传有波的 线路从外电路看来如同一集中参数电路的等效电源,其内阻抗为阻值等于 Z1 的纯电阻,内电阻为 两倍入射波电压 2u1 。这就是计算节点电压 u2 (t ) 的等值电路法,也称为彼得逊法则。显然,把 Z 2
?

用任意的两端口网络替代仍能维持式 3-16 成立。 下面把彼得逊法则和戴维宁定理进行比较。若移去负荷 Z 2 ,则 2u1 是 A 点开路条件下的端电 压( u1 投到开路点 A 发生电压全反射,这将在后面的内容中叙述) ; Z1 是线路入射波为零时从 A 点看进去的阻抗。 所以, 把传有波的线路归化为等效电源的彼得逊法则和集中参数网络中应用的戴 维宁定理是一致的。 综上所述: 传有波的线路可以用等效的电压源与电阻串联的集中参数支路来替代, 且其归化方 法和戴维宁定理相吻合。因此,对于分布参数长线与集中参数混合组成的网络,同样引入了开路电 势和入口阻抗的概念,可以方便地从更为普遍的意义上处理计算问题。此后,计算的问题就只是求 解集中参数电路的问题了。
?

?

3.2.2 折射系数和反射系数
从式 3-16 可解得
? u2 ?

2Z 2 ? u1 ? ? u u1? Z1 ? Z 2
Z 2 ? Z1 ? u1 ? ?u u1? Z1 ? Z 2

(3-17)

u1? ? u1 ? u1? ?

(3-18)

? u 和 ? u 分别称为电压波的折射和反射系数。
?u ?
2Z 2 ,其范围为 0 ? ?u ? 2 Z1 ? Z 2 Z 2 ? Z1 ,其范围为 ?1 ? ?u ? 1 Z1 ? Z 2
(3-19)

?u ?

(3-20)

这里 ?u ? 1 ? ?u ,即折射波电压等于入射波电压加反射波电压。从能量上来说,入射波能量 转化为折射和反射两个部分。 下面从几种典型的情况,通过计算分析,进一步搞清折、反射的物理概念。 (1)末端开路( Z2 ? ? )

u1? ? U 0

u1? ? U 0
A

u1? ? U 0
A
i1? ? U0 ? Z1

x

x
图 3-5 末端开路时的折射和反射 由式 3-19 和式 3-20 求得 ? u ? 2 , ?u ? 1 ;线路末端电压 u1 ? 2u1 ,电流 i1 ? 0 ;线路反射波
?

电压 u1 ? u1 ,电流 i1 ? i1 ? ?

?

?

?

?

u1? 。 Z1
?

线路上的波的运动情景如图 1-5 所示:入射波 u1 在开路的末端发生全反射( i1 ? 0 ,负的电流 全反射) ,使末端至反射波波及之处,线路电压上升到入射波电压的两倍,而电流则下降至零。 从能量的观点而言,末端 i2 ? 0 ,故 p2 ? 0 。入射波的能量将全部由反射波带返,致使导线 1 上反射波到达范围内的线路单位长度的电磁总能量变为两倍入射波能量。 又由于反射波导致这段导 线的总电流为零,总电压为 2u1 ,可知磁场能量消失,全部能量都存储于电场中。
?

1 1 W1 ? W1? ? W1? ? 2 ? [2 ? C0 (u1? )2 ] ? (2u1? ) 2 2 2
(2)末端接地( Z 2 ? 0 ) 末端接地与末端开路是对偶关系,两者的物理现象也有对应关系。 由式 3-19、3-20 可求得 ?u ? 0(?i ? 2) , ?u ? ?1( ?i ? 1) ;线路末端电流电流 i1 ? 2

u1? ,电 Z

u1? ? ? 压 u1 ? 0 ;线路反射波电流 i ? ,电压 u1 ? ?u1 。 Z
? 1

分析一下末端开路的折射和反射过程, 以 i ? u 、u ? i 、 磁场 ? 电场、 电场 ? 磁场, 那么, 它即变为末端短路时的分析结论。这样做的依据,从数学上看是因为两者具有相同形式的方程式, 另一方面,也反映了自然界中“相反相成”的现象。 为加强两者比较的直观性,我们再在图 3-6 中划出其反射和折射情景。

i1? ? i1?
i1? ? U0 Z1

u1? ? U 0
A
u1? ? U 0

A

图 3-6 末端接地时的折射和反射 (3)末端接有与线路阻抗相匹配的电阻器( R ? Z ) 由式 3-19、3-20 可求得 ? u ? 1 , ?u ? 0 。 这种情况下不产生反射波,即有 u1 ? 0 , u2 ? u1 ? u1 。R 消耗了入射波的全部功率,其作用 如同把原线路延伸到无穷远。 (4)末端接有负载电阻器( R ? Z ) ,此时又可以分为两种情况 当 R ? Z 时, ? u ? 1 , ?u ? 0 , u1 ? 0 , i1? ? ?
? ? ?

u1? ? 0 ,如图 3-7 所示。反射波到达之处, Z

电压涌起, u1 ? u1 ? u1 ? u1 。

?

?

?

u1?

u1? ? U 0
A

i1? ?
R

U0 Z1

A

i1?
R

图 3-7 末端接有电阻器( R ? Z1 )时的折射和反射 当 R ? Z 时, ? u ? 1 , ?u ? 0 , u1 ? 0 , i1 ? 0 。其结果是 u1 ? u1 ? u1 ? u1 。与把短路情
? ? ? ? ?

况和开路情况类比一样,读者可以把 R ? Z 和 R ? Z 的情况进行比较。实质上,前两者是后两者 的极端状况。总而言之,反射情况取决于边界条件。

3.2.3 由几条线路同时来波时的节点电压计算
在实际网络中可能有 n 条线路谅解与同一节点 x,如图 3-8(a)所示。各线路的波阻抗分别为

Z1 、 Z 2 、…、 Z n ,沿着这些线路有任意波形的入射波电压 u1x 、 u2 x 、…、 unx ,在 x 点对地另接
有负载 Z x 。我们需要计算节点 x 的电压 ux (t ) 以及各线路上的反射波电压 u x1 、 u x 2 、…、 u xn 。 此时,把 n 条传有波的线路用诺顿等效电路替代是方便的,如图 3-8(b)所示。然后再简化为 图 3-8(c)的电路,其中的电流源为图(b)中各电流源之和 is ,? ?
n

?

2umx ;内导纳为图(b)中 m ?1 Z m

n

各等效电源内导纳之和 Ys ,? ? 则节点电压

?Z
m ?1

1
m

;外导纳 Yx ?

1 。 Zx

ux ?

is ,? ( ys , ? ? y x )

(3-21a)

如果想把最终的图 3-8(c)转换成戴维宁等效电路,则电源的等效内阻抗为各同时来波线路 波阻抗的并联值, Z s ,? ? (Ys ,? ) ,开路电势为 us ,? ? Z s ,? ?
?1

?

2umx 。 m ?1 Z m

n

i (t )
x

x
2

m

z
1

u
2

mx

z
u
u
nx
xm

2u z

1x

A

z

1

1

2u Z
(b)

nx n

z z
n

?
x

u (t )
x

?

m

z

1

x ?

n
n

z

u
x

z
xn

i (t )
x

x

u
(a)

A

?

?

i

S

?

Y

S

?

Y

x

?

u (t )
x

(c )

图 3-8 由 n 条线路同时来波时的节点电压计算 则节点电压

ux ? us ,? ? ix ? Z s ,?
推导所得的式 3-21b 一般称为等值波法则。 求得 u x 之后,则从点 x 返回到第 m 条线路上的反射波电压

(3-21b)

uxm ? ux ? umx
这一反射波经过时间 ? m ?

lm (其中 lm 为该条线路长度, vm 为波速)后到达第 m 条线路的另 vm

一头,成为投到该点的新的入射波。 【例 3-1】假设某一长线段的波阻抗为 Z,它预先充上了 U 0 的电压,如图 3-9(a)所示。
u ? U0 , i ? 0

Z1

Z1 ,? 1

A

+
DC

R
U0

uA

uA

R (a) (b)

图 3-9 线路充电电荷向电阻器放电 试问:开关合闸后的节点电压是多少? 解法一:应用戴维宁定理,移去 R 之后, A 点的开路电压 ueq ? U 0 ;从 A 点向左侧看进去的 内阻抗是 Z eq ? Z 。可得等值计算电路图 3-9(b) 。 所以,合闸后的 A 点电压

uA ? U0

R Z?R

解法二:先把合闸前的线路起始电压分解成前行波和反行波,因为有

u ? U0 ? u? ? u? i?0?
从而解得 u ? ?

1 ? (u ? u ? ) Z

U0 U , u? ? 0 。 2 2

因此, 静止电荷所产生的线路电压, 从行波的观点来看是一对幅值等于线路电压之半的相反方 向流动的电压波,如图 3-10(a)所示。而其中向节点 A 运动的是前行波 u ? ?

U0 。根据彼得逊法 2
?

则把传有波的线路化为等效电源后可得到图 3-10 (b) 的等值计算电路。 它与图 3-9 (b) 完全一致。
u1? ? U 0 / 2

u1? ? U 0 / 2
Z1 ,? 1

Z1

A

R
DC

uR

2u ? U 0
?

? 1

R (a) (b) 图 3-10 静止电荷分解成波

【例 3-2】如图 3-11(a)所示的情况:幅值为 U 0 的阶跃波沿线路投到节点 A , A 点之后是电 阻器 R 与线路 2 相串联。 试求:波投到 A 点瞬间 A 、 B 两点电压 u A 、 u B 及线路 1 上的反射波 u1 。 解: A 点之左看做等效电源; ueq ? 2U 0 , Z eq ? Z1 。
?

A 点之右的电源负荷是电阻器 R 还是 ( R ? Z 2 ) ?由于 R 是集中参数元件,同一瞬间流进电阻
器的电流等于流出电阻器的电流, 并且这一电流以与 R 相接的线路 2 的一个长度元为回路。 所以, 流进 R 的电流必然与流向线路 2 的电流数值相等。一般而言,等值计算电路包含与节点相连的所 有集中参数以及线路的一个长度元,两者都是电路中的“点”元件。
U0 Z1
A
Z eq ? Z1

A

R

B

Z2
B

(a)
Z eq ? Z1 ? R
R

Z2
DC

ueq ? 2U 0

Z2

DC

ueq ? 2U 0

(b)

(c)

图 3-11 线路 1、2 之间串有电阻的情况

因此,图 3-11(b)的等值电路中,负荷是 ( R ? Z 2 ) 。于是,可得

uA ?

2( R ? Z 2 ) U0 Z1 ? R ? Z 2
( R ? Z 2 ) ? Z1 U0 Z1 ? R ? Z 2

u1? ? u A ? u1? ?

uB ?

2Z 2 U0 Z1 ? R ? Z 2
'

可见:线路 1 上的反射情况如同投波到波阻抗 Z 2 ? ( R ? Z 2 ) 的线路一样。如果线路 1 是有限 长的,则 u1 传播到它的另一端,再根据该端点的边界条件来求出节点电压以及沿线返回的新的前 行波。 当然,我们也可以把 B 点作为电源和负荷的分割点,显而易见结果完全一致。
?

3.3 波通过串联电感器或并联电容器
实际电力系统中, 常会遇到与导线串联的电感器或是连接在导线与地之间的电容器。 行波在这 类节点上的折射和反射是我们颇感兴趣的。我们要计算线路 2 上的折射波和线路 1 上的反射波。 先考虑串联电感器的情况,如图 3-20(a)所示。入射 A 点的波为阶跃波。 利用戴维宁定理,可得图 3-20(b)的运算电路。

U 2 ( s) ?

2U 0 Z2 1 1 ? ?U 0 s Z1 ? Z 2 ? sL TL s( s ? 1 ) TL
u1?
? u2

(3-22a)

u1? ? U 0
Z1
A A

B

Z2

(a)
Z1
L
DC

Z1
sL

2U 0

Z2

DC

2U 0 s

Z2

(b)
图 3-12 波通过串联电感器

上式中, TL ?

2Z 2 L ,? ? 是将 L 短接时由线路 1 到线路 2 的折射系数。 Z1 ? Z 2 Z1 ? Z 2
1 1 ] ? (1 ? e? at ) s( s ? a) a
t TL

由拉氏变换: ? ?1[

所以式 3-22(a)的反变换为

u2 (t ) ? ?U 0 (1 ? e

?

)

(3-22b)

再考虑并联电容器的情况,如图 3-13(a)所示。 把电容视为电荷,利用戴维宁定理得到图 3-13(b)所示电路。等效电源的电势为

ueq ?

2Z 2 ZZ U 0 ? ?U 0 ;内阻抗为 Z eq ? Z1 / / Z 2 ? 1 2 。 Z1 ? Z 2 Z1 ? Z 2

U 2 ( s) ?

?U 0

s Z ? 1 eq sC

1 sC

? ?U 0

1 1 TC s( s ? 1 ) TC

(3-23a)

式中 TC ? Z eq ? C ?

Z1Z 2 C 是回路时间常数。注意到式 3-23(a)和式 3-22(a)形式相同。式 Z1 ? Z 2
? u2

3-23(a)的反变换是
u1? ? U 0
Z1
u1?
C

A
A'

(a)
A
A'

Z1

Z1 / / Z 2

Z2
DC

2U 0 s

1 sC

DC

2U 0 s

1 sC

(b)
图 3-13 波通过并联电容器
? t TC

u2 (t ) ? ?U 0 (1 ? e

)

(3-23b)

从式 3-22(b)和式 3-23(b)可看出:波经过电感器和电容器之后,从陡峭的直角波变为平 缓的指数波,显著地减小了波的陡度。在防雷保护中常用这种效应来消减雷电电流波的陡度。线路 2 上的折射波 u2 (t ) 的最大陡度出现于 t ? 0 时刻。对于电感情况,
?

? 2U 0 Z 2 du2 (t ) ? ? U0 ? dt max TL L

(3-24)

对于电容情况,
? 2U 0 du2 (t ) ? ? U0 ? dt max TC Z1L

(3-25)

对特定线路,选择恰当的 L 或 C 值,就能把折射波的陡度限制到规定的数值。如果把上两式 除以波速 v ,则可得到 u2 在线路 2 上沿空间分布的最大陡度。 分析以上的计算结果,则可得到以下结论: i)波经过串联电感器或并联电容器后陡度有所下降。这是因为通过电感器的电流不能突变, 电容器的两端电压不能突变。因而,在线路 2 上,或者其上的折射波电流要随与之串联的电感电流 的增加而增加,或者其上的折射波电压要随与之并联的电容器两端电压的增加而增加。 ii)对阶跃波而言,电感器或电容器的存在并不对线路 2 的折射波的最终稳态值发生影响,当
? (?) ? ?U 0 。电感器如同被短接而电容器如同被开断。 t ? ? 时, u2

?

关于反射波的计算如下:
? u1? ? u1? ? u1 ? u A ? u2 ? u2

所以,对于电容情况,

u1? ?

? 2Z 2 Z ? Z1 2Z 2 ? TC U 0 (1 ? e TC ) ? U 0 ? 2 U0 ? e U 0 (3-26a) Z1 ? Z 2 Z1 ? Z 2 Z1 ? Z 2

t

t

上式表明:当 t ? 0 时, u1 ? ?U 0 ,电容器如同短路,当 t ? ? 时, u1 ? ?U 0 ,电容器如同被
?
?

开路。我们不妨将式 3-26(a)写成下列形式:

u ? U 0 (? ? ? e
? 1

?

t TC

)
t

(3-26b)

对于电感情况,参照图 1-12(b) ,由式 1-22(b)得
? i2 ? ? ? 2U 0 u2 ? (1 ? e TL ) Z 2 Z1 ? Z 2
t t

? Z ? u ? u A ? 2U 0 ? i Z1 ? U 0? [1 ? ( 1 )e TL ] ? U 0 [? ? (2 ? ? )e TL ] Z2 ? 1 ? 2

u ? u1 ? U 0 ? U 0 [ ? ? (2 ? ? )e
? 1

?

t TL

]

(3-27)
?

计算结果的分析可仿照电容情况进行。 不过, 开始阶段电感器相当于开路, 电压全反射的 u1 使 线路 1 电压上升到二倍,这是使用电感器时的不利方面。 【例 3-3】有一幅值为 100kV 的阶跃波沿波阻抗为 50 ? 的电缆线路向发电机绕组侵入。发电 机绕组的平均波阻抗 800 ? ,电磁波在电机绕组中传播的平均速度为 6 ?107 m / s ,绕组每匝产度 为 3m,匝间绝缘允许承受的电压为 600V。接线如图 3-14 所示。

图 3-14 波沿电缆入侵发电机绕组 试求:为保护匝间绝缘,所需的串联电感或并联电容值为多大? 解:发电机绕组最大允许的空间电压陡度为
? du2 dt

?
max

600 ? 200V / m 3

故可求得

2U 0 Z 2 ? 1.33 ?10?3 H ? du ( 2 )max dt 2U 0 ? 0.33 ?10?6 F 或C ? ? du Z1 ( 2 )max dt L?
由于 0.33? F 电容器比 1.33mH 电抗器的制造成本低, 体积又小, 因此在电机防雷接线中广泛 采用电容器。

3.4 波形对折射和反射的影响
3.4.1 有限长矩形波(波长为 ? 0 )通过电感器
我们已研究了长波 (入射波的持续时间比等效计算电路的时间常数大得多) 通过串联电感器或 并联电容器的情况。 如果入射波是矩形短波, 通常的处理方法是把它当作两个无限长直角波的叠加, 它们的波头互相位移 ? 0 ,幅值相等,符号相反。如图 3-15(a)所示。

(a)

(b)

(c)

(d)

图 3-15 有限长波通过电感 由式 3-22(b)

(u ) ? ?U 0 (1 ? e
? 2 1
?

?

t TL

)

(3-28)

上式是正波引起的线路 2 上的折射波 (u2 )1 ;经过时间 t ? ? 0 之后,负波开始透过电感器在线 路 2 上又产生一折射波分量 (u2 ) 2 ;
?

(u ) ? ??U 0 (1 ? e
? 2 2
?
?

?

t ?? 0 TL
?

)(t ? ? 0 )

(3-29)

因此,当 t ? ? 0 ,线路 2 上的总的前行波 u2 是 (u2 )1 与 (u2 ) 2 代数和,即

u ? ?U 0 (e
? 2

?

t ?? 0 TL

?e

?

t TL

) ? ?U 0 (1 ? e

?

?0
TL

)e

?

t ?? 0 TL

(3-30)

由式(3-29、3-30)可知:入射波持续阶段 u2 指数上升,随电流 iL ?
?

?

? u2 增长,电感器储能亦 Z2

增长, 当 t ? ? 0 时 u2 和 iL 达到最大值; t ? ? 0 之后, 是电感器向线路 1 和线路 2 释放能量过程,u2 按指数规律衰减至零,同时电感器放电电流对应着线路 1 上有一负的反行波电压。 u2 的最大值
? (u2 )max ? ? 2Z 2 (1 ? e TL ) Z1 ? Z 2

?

?

?0

(3-31)

显然,若入射波波长与回路时间常数比值

?0 ? 越小,则 (u2 )max 也越小。 TL

可以用类似的方法来分析矩形波入侵到节点上有并联电容的情况。

3.4.2 斜角波通过串联电感器
工程上常把雷电波头处理为具有一定陡度的斜角波。 我们分析串联电感的情况, 如图 3-16 (a) 所示。 由彼得逊法则,可得图 3-16(b)所示等值电路

2at ? i( Z1 ? Z 2 ) ? L
变换为 s 域:

di dt

(3-32a)

2a ? I ( s)( Z1 ? Z 2 ) ? I s ? sL s2
可得
? U2 ( s) ? I ( s) ? Z 2 ?

(3-32b)

2aZ 2 TL 1 1 1 ? a? 2 ? a? [ 2 ? ] (3-33a) Z1 ? Z 2 s 2 (1 ? s L ) s (1 ? sTL ) s s(1 ? sTL ) Z1 ? Z 2

上式中, ? ? 所以

2Z 2 L , TL ? 。 Z1 ? Z 2 Z1 ? Z 2

(a)

DC

(b)
图 3-16 斜角波通过串联电感器
? u2 (t ) ? a? [t ? TL (1 ? e ? t TL t TL

)]

(1-33b) (1-33c)

? a? [(t ? TL ) ? e
?

?

]
?

线路 2 上的折射波如图 3-16(a)所示。电感对于波前部分有降低陡度的作用;但是随着时间 推移,式 3-33(c)的指数部分衰减已尽, u2 ? a? (t ? TL ) ,即 u2 以线性规律上升。也就是说电 感对稳态的影响只不过是在时间上把波形推迟了 TL 。 对于一定幅值的斜角波,可方便地利用以上的分析结果。入射波写成

at ?U (t ) ? a(t ? ? 0 )U (t ? ? 0 ) 形式,其中 ? 0 为波头长度。因此,当 0 ? t ? ? 0 时,
u ? a? [(t ? TL ) ? TL e
? 2 ? t TL

]

(3-34)

当 t ? ? 0 时,

u ? a? [? 0 ? TL (1 ? e
? 2

?

t TL

)?e

?

t TL

]

(3-35)

折射波的最大陡度出现于 t ? ? 0 瞬间:

? dU 2 dt

? a? (1 ? e
max

?

?0

TL

) ? a?

(3-36)

可见, 串联电感器再次显示其降低折射波陡度的作用 ( a? 是电感器短接时的折射波最大陡度) 。 降低的程度与比值 稳态。 对于并联电容器的情况, 导出的表达式与式 3-34、 3-36 一致, 只要以 TC ? C 成。

?0 相关。若 ? 0 ? TL ,则最大陡度几乎没有降低,原因是在波头阶段电路已趋近 TL
Z1Z 2 替代 TL 即 Z1 ? Z 2

3.5 波在有限长线段的多次折射和反射
当直流电源合闸到长度为 l 的末端开路的线路上时,分析线路上流动波的变化情况及末端的电 压波形的方法有两种,见图 3-17。
(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

图 3-17 直流电源合闸空载线路的波过程 方法一是把每次折射和反射生成的波作为一个独立的分量, 而每一分量运动到某节点上而产生 折射和反射是把其余的波和电源置零。这样,线路上的电压、电流就是所有的波分量之和。在分析

计算是采用折射和反射系数。这就是随后要讲的网格法。 方法二则只承认每条线路上唯有一个前行波和一个反行波, 它们入射到节点时利用等效计算电 路求出节点电压,而节点电压与入射波之差即为线路上新的反射波。 方法一: 令? ?

l ,为波从线路首段传到末端的时间。 v

? 当 0 ? t ? ? ,由于开关合闸,节点电压 u A ? E ,又因为 u ? ? 0 ,所以 u1 ? E (i1? ?

E ? I0 ) 。 Z

它由首段向末端传播,见图 3-1(a) 。 当 ? ? t ? 2? , u1 (i1 ) 到达末端。因 ? ? 2 , ? ? 1 ,末端电压 U B ? 2 E ,电流 iB ? 0 ,相应
? ?

地出现了由末端向首段传播的反射波电压 u1 ? E (电流 i1? ?

?

u1? 。如图 3-17(b)所示。 ? ?I0 ) ?Z

2? ? t ? 3? ,u1? 到达首段,将电压源置零,边界条件相当于短路,因 ? ? 0 , ? ? ?1 ,u1? 折
? ? 射和反射所产生的折射电压为零,新的反射波——前行波的第二分量 u2 ? ? E (i2 ??

E ? ?I0 ) , Z

见图 3-17(c) 。此时,首段的线路侧电压为 u A ? u1 ? u1 ? u2 ? E ,可满足边界条件。 当 3? ? t ? 4? , u2 又到达末端并引起反射和折射,在原有的波外增添了新的反射波电压
?
? ? 。 u1? ? u2 ? E (i2 ? ? I 0 ) ,见图 3-17(d)

?

?

?

此后的过程可仿照进行。 方法二:

0 ? t ? 2? 的分析同方法一。

2? ? t ? 3? , u ? ? E 到达首段,因为边界条件为 u A ? E ,故此时从始端出发的前行波由原
来的 E 变为 u ? u A ? u ? 0(i ? 0) , iA ? i ? ? I 0 , pA ? u AiA ? ? EI 0 。可见,线路把功率回送
? ? ?

?

给电源。 以下的分析从略,留给读者自行分析。 图 3-18 给出了前行波、反行波的电压、电流在各瞬间的状态。 图 3-19 给出了线路末端电压随时间变化的波形。末端最大电压为 2 E ,最小电压为零。波形 是以 E 为震荡轴的方波, 其幅值为 E , 交变周期 T ? 4? ? 4 总电容。 ) 末端短路时的线路电压变化的周期为 2 LC ,是末端开路时的一半。

l C 为线路的总电感、 (L、 ? 4 LC 。 v

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

图 3-18 分析方法(2)

ua (t )

T ? 4?
2E

0

?

3?

5?

7?

9?

t

图 3-19 空载线路末端的电压波形

3.5.1 网格法
根据图 3-20(a)所示三条线路串联的情况。线路 1 和线路 2 处理为无限长的射线,仅线路 1 上进波。以上假设并非必要,只是可使分析简化。 根据相接线路上的波阻抗,可算得节点的折射和反射系数:

?0 ?

2Z 0 Z ? Z0 Z ? Z0 2Z1 2Z 2 , ?2 ? , ?2 ? 2 , ?1 ? , ?1 ? 1 。 Z 0 ? Z1 Z1 ? Z 0 Z2 ? Z0 Z0 ? Z2 Z1 ? Z 0

l0
U0 a2 Z1 线路1
U0

a1
A
β1

Z0,v0

B
β2 α1α2U0

Z2

线路2

(a)
α1 U0

t=0
α1 β2(1+β1) U0 α1β22β1(1+β1) U0

t?

l0 v0

第一次折 射 第二次折 射 第三次折 射 第四次折射

t?

2 l0 v0

α1β2β1α2 U0

t?

t?
α1β23β1 (1+β1) U0

4 l0 v0

3l0 v0

α1β22β12α2 U0

t ? 5vl00
α1β23β13α2 U0

t ? 6vl00

t ? 7vl00

图 3-20 多次折射和反射的网络图 参看图 3-20 给出的网络图,说明如下: 当 u (t ) 入射到 A 点时,由它产生的进入 Z 0 的折射波为 ? 0u (t ) ;此时刻,比 ? 0u (t ) 早 ? 的折射 波 ? 0u (t ? ? ) 刚好到达 B 点,由它所产生的折射波和反射波则分别为 ? 2? 0u (t ? ? ) 和 ?2? 0u (t ? ? )

l ) ,后者向 A 传播,在到达 A 点又会波反射回到 B 点并再次产生折射和反射,从计算 v 瞬间推理,这个已打了一个半来回的波应该在比 t 时刻早 3? 时就以首次入射于 A 点。故它们分别
(其中 ? ? 为 ? 0? 2 ?1? 2u(t ? 3? ) 和 ? 0 ?1? 2 u(t ? 3? ) ,……
2

因此,当 (2n ? 1)? ? t ? (2n ? 1)? ,线路 2 上将有 n 个折射波分量,线路 2 上的总的折射波电 压为它们的代数和:
? u2 (t ) ? ? 0? 2u (t ? ? ) ? ? 0? 2 ?1? 2u (t ? 3? ) ? ? 0? 2 ?12 ? 22u (t ? 3? )

?
若 u (t ) ? U 0 ,则上式为

? ? 0? 2 ( ?1? 2 )( n?1) u[t ? (2n ? 1)? )]

(3-37)

? u2 (t ) ? U 0? 0? 2 [1 ? ?1?2 ? ( ?1? 2 )2 ?

? ( ?1? 2 ) n?1 ] ? U 0? 0? 2

1 ? ( ?1? 2 )n (3-38) 1 ? ?1? 2

当 t ? ? ,即 n ? ? 时,由式 1-38 可得
? u2 (?) ? U 0? 0? 2

1 1 ? ?1? 2

? U0

2Z 2 ? ?12U 0 Z1 ? Z 2

(3-39)

式中,?12 为波从线路 1 直接向线路 2 传播时的折射系数。该式说明当入射波为阶跃波时,经过很 多次折射和反射后趋近稳态值,此时中间线路如同短接。 阶跃波作用下的 u2 波形,由式 1-37 可知:若 ?1 、 ? 2 同号,即 ?1? 2 ? 0 , u2 呈阶梯性增加;
?

?

若 ?1 、 ? 2 异号,即 ?1? 2 ? 0 , u2 呈振荡性起伏。
?

下面分析可能存在的四种参数配合情况。

1 Z1>Z2 Z0 (a)

2 Z2>Z0 Z1<Z0

1 Z0

2 Z2<Z0 (b)

1 Z1<Z0 Z0 (c)

2 Z2>Z0 Z1>Z0

1 Z0

2 Z2<Z0 (d)

图 3-21 各种不同参数配合下的多次折射和反射 i) Z1 ? Z0 ? Z 2 此时, ?1 ? 0 , ? 2 ? 0 , ? 0 ? 1 , ? 2 ? 1 。 u2 (t ) 逐级增大,如图 3-21(a)所示。
?

当 Z1 、 Z 2 远大于 Z 0 时, u2 (t ) 的第一个阶梯的平均上升陡度为
? U?? 2U 0 du2 2Z 2 1 ? 0 0 1 ? U0 ? 2l dt ( Z 0 ? Z1 )( Z 0 ? Z 2 ) C0l Z1C0 v0

?

上式表明,此时中间线段的对地电容起主导作用;在经过多次折射和反射后,可近似略去线路 电感,以对地电容代替该线路。它使 u2 (t ) 的陡度下降了。 ii) Z1 ? Z0 ? Z 2 此时, ?1 ? 0 , ? 2 ? 0 , ? 0 ? 1 , ? 2 ? 1 。 u2 (t ) 如图 3-21(b)所示,也是逐级阶梯上升。
?

?

这种情况,若 Z 0 较大,可略去中间线段的电容。多次折射和反射时其作用相当于一个电容,同样

可使 u2 (t ) 的陡度减小。 iii) Z1 ? Z0 ? Z 2 此时,?1 ? 0 ,? 2 ? 0 ,? 0 ? 1 ,? 2 ? 1 ,u2 (t ) 是振荡波形,波的幅值较高。见图 3-21(c) 。
?

?

iv) Z1 ? Z0 ? Z 2 此时,?1 ? 0 ,? 2 ? 0 ,? 0 ? 1 ,? 2 ? 1 ,u2 (t ) 也是振荡波形,但幅值较低。见图 3-21(d) 。
?

综上分析, A 、 B 两点间的有限长线路对阶跃入侵波在不同的时间应该作不同的处理。 i)波刚到达 A 点至从 B 点的反射波尚未返回 A 点的时间间隔,它显示波阻抗的特性,称为有 线线段的暂态特性。 ii)波经过折射和反射后,它显示集中参数储能元件( L 与 C 的组合)的特性,称为次暂态特 性。 Iii)经过许多次折射和反射后,它呈现短路状态(前行波、反行波达恒值) ,称为稳态特性。 从上面分析可见, 用网格法计算波的多次折射和反射问题, 就是利用折射和反射系数计算每一 次折射和反射波电压分量,然后,在所求的点上,把与该点相连的某一线路的波电压分量全部叠加 起来(例如 B 点线路 2 上的全部折射波电压分量) 。因而,用网格法计算时,希望网络中只含有线 路和纯电阻(相当于一段无限延伸的线路) 。关于把集中参数电储能元件 L 与 C 转换为等效的有限 长的线段,将在下一节中介绍。

3.5.2 数值计算法*
用特性曲线法可直接算出节点电压和线路行波, 而不需要像网格法那样进行波分量的叠加。 它 在流动波的计算机数值计算方面有广泛的应用。目前国际上流行的贝杰龙(Bergeron)法就是以这 一方法为基础的。 以图 3-20 所示情况为例。令中间线段的波阻抗为 Z ,波速度为 v , ? ? 能有波 u1 , u1 , u ? , u ? , u2 。其中 u1 ? U 0 。
u1?

?

?

?

?

l 。此时,线路上可 v

u?

? u2

Z1

u

? 1

A

u

?

B

Z2

(a)
A

B

Z1

?

Z

Z

?

Z2

DC

2u1?

uA
?

DC

2u ?

DC

2u ?

uB
?

DC

? 2u2 ?0

(b)

(c)

图 3-22 用特性曲线法计算节点电压和波

计算节点 A 电压的等值电路如图 3-22(b)所示。由两条支路组成。

A 点之左的线路 1 载有前行波 u1? ? U 0 ,其传播的方向和电流参考方向一致,支路方程是

2u1? ? 2U 0 ? u A ? iA Z1
? ,其传播的方向和电流参考方向相反,支路方程是 A 点之右的线路载有反行波 u A

(3-40)

? 2u A ? u A ? iA Z

(3-41)

计算节点 B 点之左、右的等值电路如图 3-22(c)所示,也由两条支路组成。 B 点之左、右支路方程分别是
? 2uB ? uB ? iB Z

(3-42) (3-43)

0 ? uB ? iB Z 2 或 uB ? iB Z 2
?

我们按时间顺序依次计算节点电压和波,令 u1 ? U 0 刚到达 A 点瞬间定为 t ? 0 ,参见图 3-22 (b)和(c) 。 当 0 ? t ? ? 时,
? ? ? u1? ? U 0 , u A ? 0 ? u A ? ? 'U 0 , u A ? uA ? uA ? ? 'U 0 ,它在 t ? ? 到达 B 点。 ? uB ? 0 ? uB ? 0

当 ? ? t ? 2? 时,
? ? 同上,故 u A , u A 亦同上。 u1? , u A
? ? uB ? uA (t ? ? ) ? ? 'U 0 ? uB ? ? 2? 'U 0 ? ? uB ? uB ? uB ? (? 2 ? 1)? 'U 0 ? ?2? 'U 0 ,它在 t ? 2? 到达 A 点。

当 2? ? t ? 3? 时,
? ? u1? ? U 0 , uA ? uB (t ? ? ) ? ?2? 'U 0 ? u A ? ? '[1 ? ?2 (1 ? ?1 )]U 0 ? ? uA ? uA ? uA ? ? '(1 ? ?2 ?1 )U 0
? 是在 2? ? t ? 4? 时线路 Z 在 A 点的前行波。若用网格法计算,则认为有三个前行波分量: uA ? ? ? 一个是 u1 的折射波 (u )1 ? ? 'U 0 ; 一个是第一次从 B 点反射回来的波 (u )1 ? ?2? 'U 0 以及此波的 ? 瞬间在 A 点的反射波 (u )2 ? ?1?2? 'U 0 。 ? uB 、 uB 同 ? ? t ? 2? 情况。 当 3? ? t ? 4? 时,

? uA 、 uA 同 2? ? t ? 3? 情况。
? uB ? ? '(1 ? ?2 ?1 )U 0 ? uB ? U 0? 2? '(1 ? ?2 ?1 )U 0

? uB ? ?2? '(1 ? ?2 ?1 )U 0

依次进行下去,求到终止时间。 我们可以把上述过程以图解法替代,显得更为直观而简洁。 首先,在 u ? i 平面上作出线路首段 A 左边的载波线路特性 l1 ; 2U 0 ? iA Z1 ? u A 和末端 B 的无 反行波线路特性 uB ? iB Z 2 。见图 3-23。
? t ? 0, u A ? 0 ? u A ? iA Z ? u A ? iA Z 。即此刻反行波的特性曲线是斜率为 Z 的直线,它和 l1 的
? 交点 1a 即 t ? 0 时 A 点电压电流;同时,有前行波 u A ?

1 (u A ? iA Z ) 向末端 B 传播, u ? 在 t ? ? 时 2

到达末端,有关系式

l 0 ? ? uB (? ) ? ZiB (? ) ? 2uB (? ? ) ? 2u A (0 ? ) ? u A (0) ? iA (0) Z ? 2u (3-44) v v
式 3-44 表达的前行波特性曲线是通过点 1a 斜率为 ? Z 的直线, 它和 l2 的交点 1b 即 t ? ? 时 B 点 电压电流。显然,由式 3-44,若令 iB ? 0 ,则 uB ? u A ? ZiA ? 2uB 即开路电势,只是我们没有必
?

要把它求出。
? 相似的,有反行波 uB ?

1 (uB ? iB Z ) 向首段 A 传播,它在 t ? 2? 时到达首段,有关系式 2 0 l ? ? u A (2? ) ? ZiA (2? ) ? 2u A (2? ? ) ? 2uB (? ? ) ? uB (? ) ? ZiB (? ) (3-45) v v

式 3-45 表达的反行波特性曲线是通过 1b 斜率为 Z 的直线,它和 l1 的交点 2a 即 t ? 2? 时 A 点 电压…… 以此类推,得到首段和末端电压的突变点及波形,如图 3-23(b)所示。

Ra u E 1a 2a 3a 3b 2b 1b
E

A Rb u

B

U1(t)

U2(t)

t

t

图 3-23 特性曲线法的图解过程

3.5.3 集中参数 L 、 C 的近似等值线段*
对一特定的线路而言, 可用波阻抗 Z 和传播时间 ? (? ? ) 来表征它对电磁波的传播特性。 Z、

l v

? 和线路的总电感 L ? L0l 和总对地电容 C ? C0l 有如下关系:
Z?
l v

L0 L ? C0 C

(3-46)

? ? ? l L0C0 ? LC
1

(3-47)

2
L

1

2 1

2
C

1

2

Z L ,? L

Z C ,? C

(a)

(b)

图 3-24 电感和电容的近似等值线段 (1)电感的等值线段(图 3-24(a) ) 设替代线段的波阻抗为 Z L ,传播时间为 ? L ,取该线段的电感 L ? L0l ,由式 3-46、3-47 可得

ZL ?

L2 L ? LC ? L

(3-48)

可见 Z L 和 ? L 互相依赖。另外,此线段的总的对地电容

C?

?L
ZL

(3-49)

为了保证近似替代有足够精度,希望 C 值尽可能小些,即应选取很小的 ? L 和相应的有较大的

Z L 值。从上节也可只, Z L 应比两头的线路波阻抗大得多。
(2)电容的等值线段 一般可插入节点 1、2,见图 3-24(b) 。也可挂在节点上,另一头悬空。参照电感的做法,

ZC ?

?C
C

(3-50)

为了使 L ? ZC? C 尽可能小,应取较小的 ? C 和相应的 Z C 值。 从以上的讨论可知:为了使等值线段替代 L 和 C 以后有足够精度,要求满足一定的条件。总 的来说,都要求将线段的 ? 取得小些,即要求比该集中参数 L 、 C 参与的等值计算电路时的时间 常数 TL 或 TC 小得多。 我们可以用上节讨论的多次折射和反射的例子来说明近似替代的物理依据。 回忆一下网格法的 算例,当 Z1 上的入射波为阶跃波,在折射和反射之后,线段的总体 L 、C 显示作用,若 Z 0 ? Z L 比

Z1 及 Z 2 大很多时,该线段的总电感起主导作用,在线短时求得的阶梯状上升折线和以总电感替代
求得的指数上升曲线两者非常接近。 【例 3-4】图 3-25(a)中 Z1 ? Z 2 ? 500? ,Z0 ? 50? ,? 0 ? 1? s ,侵入波 u1 为单位阶跃波。
?

试分别用网格法和中间线段以集中参数替代法计算节点 2 的电压波形 u2 (t ) 。 (1)网格法 计算折射和反射系数:

?0 ?

2 ? 50 2 ? 50 500 ? 50 ? 0.1818 , ? 2 ? ? 0.1818 , ?1 ? ? 2 ? ? 0.818 。 500 ? 50 500 ? 50 500 ? 50

由式 1-37 只得

u2 (t ) ? ? 0? 2 ?1(t ? ? ) ? ? 0? 2 ?1? 2 ?1(t ? 3? ) ? ? 0? 2 (?1? 2 ) 2 ?1(t ? 5? ) ? ... ? 0.331?1(t ? ? ) ? 0.221?1(t ? 3? ) ? 0.148 ?1(t ? 5? ) ? ...
由以上结果得到的波形见图 3-25(c)中的折线。
Z1

1 Z1 Z0 (a) u 1

2 Z2

+ -

C

Z2

(b)

2

4

6

8 (c)

10

12

14

t

图 3-25 中间线段及其用集中参数元件替代后的计算结果比较 (2)中间线段用集中参数等值的方法 由于 Z0

Z1 ? Z 2 ,中间线段可以等值为集中电容 C ,最后可归化为图 3-25(b)所示的等值

计算电路,其中

C ? ? C / ZC ? 1?10?6 / 50 ? 0.02? F , TC ?

CZ1Z 2 ? 5? s Z! ? Z 2

所以,

u2 (t ) ?

2Z 2 。 (1 ? e?t /TC ) ? 1 ? e?t /TC ( t 以 ? s 计) Z1 ? Z 2

其波形见图 3-25(c)的指数曲线,与折线上的值相近。

3.6 波在平行多导线系统中的传播
实际输电线路是多导线的。本节我们还是假定大地和导线均是理想导体。 从输电线路模型来看,某线路的电压是某对地电容上的电荷引起的。在多根导线的情况下, 由于其他导线处于该线路的电场之中,也会耦合得到所在位置的部分电压。因此,在研究多导线的 波过程时可先从麦克斯韦静电方程式出发,继而再考虑电容的运动(波)的问题。 在 n 根导线-地系统中,可列出 n 个方程,我们写出第 k 根导线的对地电位

uk ? ? k1?1 ? ? k 2? 2 ? ... ? ? kk? k ? ... ? ? kn? n

(3-51)

式中,? 1 ,? 2 ,…,? n 是导线上电荷的线密度; ? kk 是自电位系数, ? km 是互电位系数。当大地 是理想导体,导线的镜像离地面的距离等于导线对地高度时, ? kk 和 ? km 可按下式计算:

? kk ? ? km
'

2hk 2?? 0 rk d' 1 ? ln km 2?? 0 d km 1 ln

(3-52)

以上的 rk 、 hk 、 d km 、 d km 如图 3-26 所示。
2r1
dkm k m

hk

hk

d'km

k' m'

图 3-26 计算平行导线电位系数用图 在式 3-51 右边各项分别乘以 v / v ,其中 v 为电磁波在架空线路上的传播速度, v ? 考虑到对前行波有 ? k v ? ik , ik 为第 k 根导线的前行波电流,则式 3-51 可改写为
? ? ?

1

?0? 0



? ? uk ? Zk1i1? ? Zk 2i2 ?

? Zkk ik? ?

? ? Zknin

(3-53)

式中,

Z kk ? Z km

1 2?

?0 2hk 2h ? 60ln k ? 0 rk rk

d' ? 60ln km d km

(3-54)

其中 Z kk 成为导线 k 的自波阻抗; Z km 为导线 k 与导线 m 间的互波阻抗,显然, Z km ? Z mk 。 同理,求得反行波的电压方程式为
? ? uk ? ?(Zk1i1? ? Zk 2i2 ?

? Zkk ik? ?

? ? Zknin )

(3-55)

线路电压
? ? uk ? Zk1 (i1? ? i1? ) ? Zk 2 (i2 ? i2 )?

? Zkk (ik? ? ik? ) ?

? ? ? Z kn (in ? in ) (3-56)

上式的意义是,某线路 t 时刻 x 处的电压值和流过每条导线 x 处微分元的“纯净”正电荷线密度相 关。 根据不同的边界条件就可采用式 3-55 求解多导线系统的波过程。
U2=kE

++++ ------

E

图 3-27 导线间的电耦合 【例 3-5】如图 3-27 所示。当开关闭合后,导线 1 上出现 u1 ? E 的前行波,对地绝缘的导线 2 由于处于导线 1 的电场之中,将获得所在位置的电压,试求 u2 ? ? 解先列出电压方程组 ?u1 ? Z11i1 ? Z12i2 ' ? E ?u ? Z i ? Z i 21 1 22 2 ? 2 因为导线 2 是绝缘的,故 I 2 ? 0 ,由式 -57 可得,
?

(3-57)

u2 ?
上式中,

Z 21 Z u1 ? 12 E ? kE Z11 Z11

k?

u2 Z12 ? ?1 u1 Z11

k 成为导线 1 和导线 2 的几何耦合系数。 导线间的耦合系数是输电线路防雷计算中的一个重要
参数。例如导线 1 是架空线路,其上有雷电波在传播;导线 2 时输电线,可看作波过程阶段是绝缘 的。那么,由于耦合作用,导线 1、2 之间的电位差将由 E 下降为 u1 ? u2 ? (1 ? k ) E ? E ,即绝缘 子串上的电位差减小, 因而不易闪络。 如大架空线路对输电线间的耦合系数能提高线路的防雷性能。

11.6

1.7

图 3-28 220 千伏线路杆塔(单位以米计) 【例 3-6】计算图 3-28 所示 220kV 线路避雷线对导线的耦合系数。杆塔尺寸已在图中标明; 避雷线 1、2 的半径为 5.5mm,弛垂 7m;导线 3、4、5 的弛垂 12m。 解,列方程

23.4

2.2

3.5

?u1 ? Z11i1 ? Z12i2 ? Z13i3 ? ?u2 ? Z 21i1 ? Z 22i2 ? Z 23i3 ? ?u3 ? Z31i1 ? Z32i2 ? Z33i3
两根避雷线几何上是完全对称的,故有 Z11 ? Z22 , u1 ? u2 , i1 ? i2 ,又有 i3 ? 0 ,因而上式可改写 为

?u1 ? ( Z11 ? Z12 )i1 ?u ? ( Z ? Z )i 31 32 1 ? 3
因而,避雷线 1、2 对导线 3 的耦合系数

k1,2?3 ?
式 3-59 也可改写为

u3 Z13 ? Z 23 ? u1 Z11 ? Z12

(3-59)

k1,2?3 ?

k13 ? k23 1 ? k12

(3-60)

式中 k13 ?

Z13 Z Z , k23 ? 23 , k12 ? 12 分别为导线 1、3,2、3 和 1、2 之间的耦合系数。注意到式 Z11 Z11 Z11

1-60 中所含的因子

1 ,它的意义是某一导线在其他导线上产生的耦合电位只与前者的流动波 1 ? k12

(电荷)有关,而导线 1(或 2)上的电位中有 k12 部分是由于导线 2 的流动波引起的。 图 3-28 中避雷线对导线耦合系数的计算: 避雷线的平均高度 hb ? 29.1 ? 导线的平均高度 hd ? 23.4 ?

2 ? 7 ? 24.5m , 3

2 ?12 ? 15.4m 。 3

由式 3-54 求得

Z11 ? 60ln

2 ? 24.5 ? 545.7? 5.5 ?10?2

Z12 ? 60ln
Z13 ? 60ln

492 ? 11.62 ? 88.1? 11.6
39.92 ? 1.72 9.12 ? 1.72 39.92 ? 13.32 9.12 ? 13.32 39.92 ? 5.82 9.12 ? 5.82 ? 87.7?

Z13 ? 60ln

? 57.6?

Z14 ? 60ln

? 79.1?

由式 3-59 求得两根避雷线对导线 3 和 4 的耦合系数

k1,2?3 ? k1,2?4

87.7 ? 57.6 ? 0.23 545.7 ? 88.1 79.1 ? 79.1 ? ? 0.25 545.7 ? 88.1

计算表明, k1,2?3 小于 k1,2? 4 ,当避雷线遭雷击而存在流动波时 u13 大于 u14 ,故边相导线 3 的绝 缘子串容易发生闪络。

1

2

+ -

图 3-29 动态法拉第笼 【例 3-7】在电缆首段的芯线和铅壳上加同样的电压(见图 3-29) ,试问:芯线电流 i1 ? ? 解:金属外壳与芯线的关系,可以认为芯线被许多跟平行导线所包围,这些平行导线靠的那 么紧,即与连续的金属外壳的效果相同。于是可以采用多导线系统的分析方法。 是比较一下 Z 22 、 Z12 、 Z11 之间的大小。外壳上流动电荷在其本身上形成的电位完全耦合到 电缆芯线上,因此 k21 ?

Z12 ? 1 ,即 Z12 ? Z 22 ,即外壳与芯线的互波阻抗等于外壳的自波阻抗; Z 23

另一方面, 电缆芯线上流动电荷在其本身所形成的电位仅部分的耦合到外壳, 因此, k12 ? 即 Z11 ? Z12 。 当电缆芯线与外壳并联后合闸于电压源 E ,列出方程

Z12 ?1, Z 23

E ? Z11i1 ? Z12i2 ? Z12i1 ? Z 22i2
因为 Z12 ? Z 22 ,所以 (Z11 ? Z12 )i 1 ? (Z 22 ? Z12 )i 2 ? 0 。 因为 ( Z11 ? Z12 ) ? 0 ,故必有 i1 ? 0 。 从以上分析可知,沿电缆芯线无电流通过。因为芯线上有流动电荷存在时,其上的电位将高 于外壳的电位,违反并联电压源这一边界条件;反之,电缆外壳有电流波通过,其上的电位完全耦 合到内部芯线上,可以符合给定的边界条件。这一效应在直配电机的防雷接线中用到。

+ 图 3-30 对称布置多导线的并联波阻抗 【例 3-8】电源合闸于对称的三相线路的首段,如图 3-30 所示。 试求:等值波阻抗 Z ? 。

?u1 ? Z11i1 ? Z12i2 ? Z13i3 ? 解: ?u2 ? Z 21i1 ? Z 22i2 ? Z 23i3 ?u ? Z i ? Z i ? Z i 31 1 32 2 33 3 ? 3
由于三相导线的对称关系, 存在 Z11 ? Z 22 ? Z33 ? Z kk ;Z12 ? Z 23 ? Z31 ? Z km , 所以 i1 ? i2 ? i3 ? (式中 i 为电源输出总电流) 。那么上三式可概括为

i 3

1 u ? i ( Z kk ? 2Z km ) 3
三相对称导线并联之后的总波阻抗

Z? ?

Z u Z kk 2 ? ? Z km ? kk i 3 3 3

(3-61)

由式 3-61 可见,当多跟平行的导线并联时,其总的波阻抗增大。这是因为在多导线系统中, 某一导线的电位不但是由于本身的流动波的贡献, 而且还要考虑到其他导线上的流动波的贡献, 即 在确定 Z ? 时需考虑到 Z km ,这点在处理工程问题时需要注意到。

3.7 波的衰减和变形
本节讨论在线路上传播时由于损耗而引起的衰减和变形,分析三种因素。 (1)导线电阻的各单位长度为常量且满足

R G R0 L0 ? ? Z 2 ,或等价的, 0 ? 0 ? ? G0 C0 L0 C0

(3-62)

称为无畸变线。波在此类线路上传播时只会衰减,而无变形。这是因为,在上述条件下,波在传播 过程中所发生的波电流在导线电阻的热损耗等于波电压在电导上的热损耗, 所以, 前进中的电磁波 依旧保持其磁场能量等于电场能量的特性, 而不至于由于在传播中电能、 磁能的转换而因此复杂的 折射和反射现象。即有(单波)

L0i 2 R0i 2 dt ? ?1 C0u 2 G0u 2 dt
此时,电压、电流波和 RC 电路的(零输入)放电相似,有
???t ? ? ? ?u ( x, t ) ? e [u ( x ? v?t , t ? ?t ) ? u ( x ? v?t , t ? ?t )] ? ???t ? ? ? ?i( x, t ) ? e [u ( x ? v?t , t ? ?t ) ? u ( x ? v?t , t ? ?t )]

(3-63)

(3-64)

非畸变线对通信电路无疑是非常需要的, 但是对于电力系统来说线路的电阻损耗比漏导损耗大 得多,若把线路处理为无畸变线就夸大了线路电荷的泄漏。 但线路参数不满足式 1-62 时,那么,波在传播中电能和磁能的耗散部分将不相等。为了保持 前进波的电能和磁能相等, 一个连续的能量反射过程出现于线路的各个点, 而仅仅在波前保持电压 和电流(单波)的严格的比值

L0 u? ? ? Z 。从而,波在传播过程中改变着自己的形状,而且因 ? i C0

能量损失而衰减。从以上叙述中可以设想冲击波的中、后部得到从波首反射的能量,因此,波的首 部将变得不陡而尾部会变长,这已在实际中被观察到。 另一方面,导线的电阻及内电感随频率而变化,这是由于导线的集肤效应引起的。任意波形的 电磁波可以分解为不同频率的分量,它们对应的线路参数不同,因而变形和衰减也不一样,更造成 了波形的畸变。 (2)电晕对线路波过程的影响 当导线上电压幅值很高时,特别是在雷电波的情况下,导线表面附近的空间场强很大,使周围 空气发生电晕, 等效的增加了线路的对地电容和漏导损耗, 从而对冲击波的传播过程产生很大影响。 主要表现 A.使导线对相邻导线的耦合系数增大; B.使导线波阻抗减小; C.使波在传播过程中幅值衰减、波形畸变。 当冲击电压的波前部分达到导线的电晕起始电压时, 虽然还需要一定的时延才能发生电晕, 正 极性为 0.04 ~ 0.06? s ,负极性约为 0.01? s ,但这对于波过程来说为时很短而可不计,即认为冲 击电晕仅和瞬间电压有关。

冲击波的极性对电晕的发展有很大影响。 当产生正极性冲击电晕时, 电子在电场力作用下迅速 移向导线, 导线周围移动较慢的正空间电荷加强了距导线远处的电场强度, 因而有利于电晕的扩展。 正冲击电晕的外观是由导线向外延伸得多而长的细线; 当产生负极性冲击电晕时, 导线附近的电子 在电场力作用下远离导线而去, 而留下的是迁移率较小的正的空间电荷, 它的存在削弱了离导线远 处的电场强度,使电晕不易发展。负极性电晕在外观上为较为完整的光面,发出一些数量少、但比 较粗的“舌” 。由于负极性电晕的发展较弱,所以过电压计算中常以负冲击电晕作为计算依据,况 且,大部分雷电荷是负极性的。 (3)多导线-地系统中的多速波 多导线-地系统中的波的传播,有多种模式:线-线的模式,线-地的模式,这些不同的模式可 以有不同的波速。 我们可以把线路上的波优先分解为线间向量和对地向量来考察, 让它们在各自的 模式中传播,然后再合成为每相的量,用这种观点来研究多导线系统波过程的方法,导出了多速理 论。

3.8 变压器绕组波过程
变压器是电力系统中重要而又昂贵的设备, 必须保证它们在运行中的安全可靠性, 其中关键工 作之一是减少绝缘事故, 这就必然要研究变压器绕组在冲击电压作用下的电磁暂态过程, 为选择合 理的绝缘结构和防护措施提供理论依据。而且,随着电网电压等级的升高,绝缘在设备上的重量和 投资方面所占比重的比重均大大增加,而合理的绝缘结构能使绝缘减少,这在技术上、经济上均有 很大意义。 冲击电压作用下在变压器绕组内部出现的复杂的电磁振荡会在其主绝缘 (绕组对地、 绕组之间) 和纵绝缘(绕组的匝间、层间或线饼间)上造成很高的、破坏性的过电压。这种过电压起源于施压 绕组内部的电磁暂态过程,并通过绕组间的电、磁耦合感应到其他绕组,还可能互为影响。变压器 绕组波过程由于其总线电容的存在而异于输电线路。 单绕组变压器的波过程虽然比较简单,但它在物理本质上清晰地反映出变压器绕组在冲击电 压下的典型特性,可以作为定性分析各种实际变压器绕组波过程的基础。

3.8.1 绕组的波动模型
t?0

L0dx

iL iK

iL ? diL
iK ? diK

U0
C0dx

K0 dx

u
u ? du

K

x

dx

l

图 3-31 变压器绕组的简化等值电路 图 3-31 给出简化的变压器绕组等值电路。在初步分析中,忽略副边绕组影响,假设原边绕组 中各点的参数完全相同,不及损耗和和部分间的电感。其中 K 0 、 C0 、 L0 分别为绕组单位长度的 纵向电容、对地电容和电感。 上面所示的电路具有这样的特点:起主导作用的元件在过渡过程中随时间而推移。在起始瞬 间,当陡波头的非周期波刚刚来到之后。相当于一个极高频率的电压波作用于变压器首端。在这种

情况下,电流不通过线圈电感,因此电感之路可看做是开路的,电压沿线的分布完全取决于

K0 与 dx

C0 dx 组成的电容链,称为起始 (0? ) 分布或电容分布。
随着时间的推移,相当于施加电压的等效频率下降,线圈中的电流增加。在此期间,电感和 电容均起作用,表现为各点电位的振荡。 当时间甚长时,相当于电压等效频率降得很低,荣康逐渐增得很大,以至于对实际过渡过程 并不产生影响,则等值电路变为电感串联的支路。 分析一下变压器绕组在阶跃波下的特性。虽然自然界并不存在这种波,但对它的研究确实很 有用的。 因为在矩形波作用下的暂态过电压与实际的具有陡波头的非周期波有同样的性质, 并且前 者具有更大的危害性;原因之二是任意的周期或非周期波都可分解成无限个矩形波。因此,研究矩 形波作用时变压器绕组中的物理现象是研究实际波现象的基础。 下面按起始电位分布、稳态电位分布和过渡过程三种状况进行讨论。 (1)沿单相变压器绕组的起始电位分布 由于电感电流不能突变,所以 t ? 0? 瞬间可以认为电感 L0 dx 均是开路的,等值电路由电容链 组成,如图 3-32 所示。
Q
–––– –––– ––––

Q+dQ
– –

++++

++++

++++

++++
––––

++++
––––

++++
––––

+


0
x dx l

+ +

x

图 3-32 t=0+瞬间变压器绕组的等值电路 设距绕组首端 x 处的电位为 u ,纵向电容

K0 上的电荷量为 Q ,则可列出下列方程 dx K (3-65) Q ? ?du 0 dx dQ dQ ? ?uC0 dx 或 (3-66) ? ?C0u dx

将式 3-65 对 x 进行求导,并考虑到式 3-66,可得

d 2u C0 ? u?0 dx 2 K 0
式 3-67 的解为

(3-67)

u ? Ae? x ? Be?? x
式中, ? ?

(3-68)

C0 ; A 、 B 则由边界条件确定。 K0

i)当绕组末端接地,边界条件: x ? 0 处, u ? u0 ; x ? l 处, u ? 0 。代入式 3-4 解之可得

u ? u0

sh? (l ? x) sh? l

(3-69)

ii)当绕组末端开路,边界条件: x ? 0 处, u ? u0 ; x ? l 处, Q ? 0 即 解之可得

du ? 0 。代入式 3-4 dx
(3-70)

u ' ? u0
起始电位分布与 ? ?

ch? (l ? x) ch? l

C0 值有关。图 3-33 给出不同 ? 值对起始电位分布的影响。 K0
1 u

0,8

0,6 1 0,4 5 0,2 30 0 0 0,2 0,4 15 10 7 2 3

?= 0

4

20

0,6

0,8

x

1

图 3-33 有不同 ? 值的末端接地变压器线圈的起始分布 若令 ? ? 0 ,由式 3-70,得 u ' ? u ;而式 3-69 为不定式,对 ? 求导得 u ? u0

l?x 。而式均与 l

稳态分布一致。这是由于 ? ? 0 即 C0 ? 0 ,因而不存在对地电容上的分支电荷。反言之,稳态分 布与起始分布的不一致是由于对地电容所产生的影响的结果。 对于未采取特殊措施的现代电力变压器, ?l ?

C0 C (C 、 K 分别为绕组总对地电容、 l? K0 K
x ?0 . 8 时,sh? (l ? x) 与 ch? (l ? x) l

总纵向电容) 约为 5 ~ 15 。 此时,e?? t ? 0 ,sh? l ? ch? l ; 当 很接近;当

x ? 0.8 时,式 3-69 和式 3-70 都趋于零。因此,实际上式 3-69 和式 3-70 可合二为一。 l

即绕组的接地与否对起始分布影响甚微。有

u ? u ' ? u0e?? x ? u0e

?? l

x l

(3-71)

从式 3-71 可见,? l 值越大,指数曲线状的电位下降越快,电位梯度分布越不均匀,大部分电压降

落在绕组首端附近,并在 x ? 0 处有最大值。式 3-7 对 x 求导得

du dx
式中, ?

? ??U 0 ? ?
x ?0

U0 ?l l

(3-72)

U0 为绕组的平均电位梯度。 l 式 3-72 表明: t ? 0 瞬间绕组首端的电位梯度为平均电位梯度的 ? l 倍。我们举例来看在这种

情况下的严重性:220kV 变压器的全波试验电压是额定相电压最大值的 5.26 倍,若 ? l ? 10 ,则试 验时绕组首端的电位梯度将达到正常运行时的 52.6 倍,它将危及变压器绕组的匝间绝缘。因此, 在变压器的内部结构上要采取措施来改善其梯度电位分布的不均匀。 例如, 对连续式绕组采用电容 环、静电线匝,采用纠结式绕组及内屏蔽绕组,通过补偿对地电容 C0 dx 的分流或者增大 K 对 C 的 相对比值,以此来达到改善起始电位分布的目的,其原理将在后面叙述。 试验和计算表明:变压器绕组中的电磁振荡在 10? s 内尚未充分发展。在此期间沿线圈的电位 分布仍与起始分布接近,这是因为电感中电流还很小,可以忽视。因而,在分析雷电波冲击电压下 的变电所的防雷保护问题时,变压器对波过程的影响可以用一集中参数电容 CT 来替代,称为变压 器的入口电容。显然,按图 3-32 分析即首段微分元的电荷与施加电压之比。

CT ?

Q x ?0 u0

K0 (?du ) dx ? ? C0 K 0 ? CK u0

(3-73)

可见,变压器的入口电容为全部对地电容、全部纵向电容的几何平均值。 表 3-1 列出了各电压等级变压器的高压绕组入口电容, 可供参考。 纠结式绕组的变压器的 CT 值 比表 3-1 中的值约增大 2 ~ 4 倍。此外还注意到,同一变压器的不同电压级的绕组入口电容是不同 的。 表 3-1 变压器的入口电容 CT 额定电压(kV) 入口电容(pF) 35 500—1000 110 1000—2000 220 1500—3000 330 2000—5000 500 4000—6000

(2)稳态电位分布 当 t ? ? ,对于绕组末端接地的变压器,有根据绕组电感形成的电位分布为

x u ? u0 (1 ? ) l
对于绕组末端不接地的变压器,其分布为

(3-74)

u ' ? u0
我们把起始电位分布和稳态电位分布画在同一图中,如图 3-34 所示。

(3-75)

0

l

0

l

(a)

(b)

图 3-34 变压器绕组暂态振荡的空间谐波分解 由于变压器绕组中的起始电位分布与稳态电位分布不同,因此,必定存在着某一过渡过程; 又因为这一过程存在于电感、电容组合的链路中,从而将具有振荡的性质。 (3)过渡过程 过渡过程是以稳态电位分布为基线的一系列自由振荡,而自由量在 t ? 0 时的总和就是起始分 布和稳态分布的差值。这个差值按傅氏级数展开得图 3-34 中的一系列空间谐波。 对于末端接地的绕组,

f ( x) ? u ( x) t ?0 ? u ( x) t ?? ? u0 [ sh? (l ? x) x ? (1 ? )] sh? l l ? ?Ak sin ?k x
(3-76)

式中, ? k 为空间谐波角频率, ?k ? 对于末端绝缘的绕组,

k? ,空间分布有 1、2、3、…次谐波: Ak 为空间谐波幅值。 l

ch? (l ? x) ? 1] ch? l ? ?A 'k sin ? 'k x f '( x) ? u0 [
式中, ? 'k ?

(3-77)

(2k ? 1)? ,即空间有 1、3、5、…次谐波; A 'k 为空间谐波幅值。 2l

由图 3-34 可见,起始分布与稳态分布的差值越大,各自由振荡分量的幅值也越大,振荡越强 烈, 由此在绕组上产生高的对地电位和电位梯度。 某 x 点的两个分布的差值等于该点的全部自由振 荡分量 t ? 0 时的幅值的代数和。 自由分量的振荡规律如同机械振动的驻波一样,各次谐波不但在幅值上沿波绕组按正弦分布, 而且在时间上以 ?k 或 ?k ' (其值在后面数学解中求出)做余弦变化。因而,绕组上各点电位并不

是同时达到最大值,这个最大值也并非简单地把差值分布叠加到稳态分布上,而是如图 3-35 中曲 线 D 所示。图中画出了不同时刻 t1 、 t 2 、 t3 绕组各点对地电位的分布曲线,曲线 D 就是将振荡过 程中各点出现的最大点位连成的曲线, 称为最大点位包络线。 这种计算方法比较严格, 若简化计算, 则估计的各点电位较接近于 (2u稳 ? u起始 ) 。

2.0 1.8 最大电位包络线D 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 A 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 (a) X
最大电位包络线 D

1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 A 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 (b) X

图 3-35 绕组中的不同时刻的电位分布: (a)绕组末端接地; (b)绕组末端绝缘 图中可见, 对于末端接地的变压器绕组, 最大电位出现在绕组近首端处, 其值可达 1.4u0 左右; 对于末端不接地的绕组,最大电位出现在绕组末端,其值可达 2.0u0 ,比绕组末端接地的情况高得 多。此外,在振荡过程中各点的电位梯度也发生变化,绕组末端或其附近会出现很大的电位梯度。 实际上,变压器的损耗因素使实际出现的最高电位低于上述数值。
I

U

图 3-36 距首段 x 处的绕组长度元

3.8.2 变压器绕组中电磁振荡的数学解
我们把图 3-31 所示的变压器等值电路在离首段 x 处取一长度元,见图 3-36。 以运算阻抗表达的电压、电流常微分方程为

?dU ?

L0 pdx L0 p ?dU I ,即 ? I 2 1 ? L0 K 0 p dx 1 ? L0 K 0 p 2
dI ? pC0U dx

?dI ? pC0 dx ?U ,即 ?
由上两式可得

d 2U ? ? 2U 2 dx
式中,

(3-78)

?2 ?
式 3-15 的解是

L0C0 p 2 1 ? L0 K 0 p 2

(3-79)

U ( x, p) ? Ae? x ? Be?? x
从而我们可参照式 3-69 和式 3-70 写出过渡过程的解。 对于末端直接接地的绕组

(3-80)

它与前面求得的起始分布具有相同的形式, 因为起始分布是式 3-80 中令 ? 中的 p ? ? 的结果。

U ( x, p) ? u0
应用展开定理将式 3-81 转变为时域表达式,

sh? (l ? x) sh? l

(3-81)

n x u ( x, t ) ? u0 [(1 ? ) ? ? Ak sin ?k t cos ?k t ] l k ?1

(3-81a)

式中,

Ak ? ?

1 K ? k[1 ? (k? )2 ] C k? ?k ? l
k? K LC[1 ? (k? ) 2 ] C

2

(3-82)

(3-83)

?k ?

(3-84)

对于末端绝缘的绕组,

U ( x, p) ? u0

ch? (l ? x) ch? l

(3-85)

应用展开定理将式 3-85 转变为时域表达式,

u '( x, t ) ? u0 [1 ? ? Ak 'sin ?k ' x cos ?k ' t ]
k ?1

n

(3-85a)

式中,

Ak ' ? ?

2

(2k ? 1)? K (2k ? 1) 2 ? (2k ? 1)[1 ? ] C 4
2

?

(3-86)

?k ' ?

(2k ? 1)? 2l

(3-87) (3-88)

?k ' ?

(2k ? 1)? K (2k ? 1) 2 ? 2 2 LC[1 ? ] C 4

下面对计算结果作简要分析。 A. 线圈各点电压有两个分量组成。 一个是直流稳态分量, 它只是空间的函数, 而和时间无关, 在绕组末端接地时等于 u0 (1 ? ) ,绝缘时等于 u0 ;另一个是自由振荡分量。其中的每一个谐波分 量振幅是空间的正弦函数,在时间上又以角频率 ?k 按余弦规律震荡。 B. 无论绕组末端是接地或绝缘, 空间谐波的振幅都随谐波次数的增加而迅速减小。 应用式 3-82 和式 3-86 我们把 ? l ? 5 或 10 的各次谐波与基波幅值之比列于表 3-2 中。 C.绕组末端接地时,基波的幅值沿绕组按半个正弦波分布,波腹在绕组的中部,第 k 次空间 谐波沿绕组按 k 个

x l

1 1 正弦波分布。绕组末端绝缘时,基波沿线圈按 个正弦波分布,波腹在绕组 2 4

末端;第 k 次空间谐波沿线圈按 (2k ? 1) 个正弦波分布。 表 3-2 谐波幅值与基波幅值之比 工作方式 中性点接地 中性点绝缘

?l
5 10 5 10

A2 / A1
0.271 0.394 0.194 0.279

A3 / A1
0.102 0.194 0.0317 0.127

A4 / A1
0.0505 0.107 0.0269 0.0662

A5 / A1
0.0257 0.0636 0.0135 0.038

D.各点可能达到的最大电位略小于各次电压谐波幅值之和再加稳态电压。为简便起见,常把 起始分布与稳态分布的差值再加稳态分布,即 umax ? 2u稳 ? u始 。 E. 当k ??, 无论变压器末端是接地还是绝缘, 两者的振荡频率趋于同一极限值。 ?? ? 称为变压器绕组的临近角频率。 F.如果将导线-地的单相线路和单相变压器绕组相比较,会发现前者是后者当 K ? 0 的极限情

1 , LK

况。此时,起始分布 e?? x 中的 ? ?

C ? ? ,指数函数衰减为 u(0) ? u0 , u( x) x ?0 ? 0 ,与 u 轴垂 K
1 是一个常数,对线路上所有自由 L0C0

直。我们也可以用驻波法来分析线路上的电压振荡。 另外,如前面章节中所述,无损耗线路的波速度 v ?

振荡的谐波分量都一样,因此,在直流电源突然合闸线段如线路末端电压将保持周期重复的波形; 而变压器的驻波形式的各谐波分量, 其中每一个都可分解成前行波和反行波分量的叠加, 那么各次 谐波的波速度都不一样,随时间推移将不再得到复现的电位分布和某点的电压波形。

3.8.3 三相变压器绕组的波过程
三相变压器绕组波过程的研究采用的方法与分析单相绕组时相同, 即由起始分布、 稳态分布求 出最大电位包络线,但要注意到与绕组联接方式相关的特点。 侵入变压器的雷电波是从线路上传来的。 从一相线路上传来的波称为一相进波, 同时从两相或 三相传来的波称为两相或三相进波。 如果三相变压器的绕组接成 Y0 ,则其波过程发展的条件和三个相互独立的末端接地的单相变 压器绕组相同,每一个都可孤立地来考虑: (1)如果三相变压器绕组接成星形,则一相、两相、三相进波时的情况各不相同。 i) 当阶跃波 u0 从 A 相侵入时 (图 3-37) , 因为线路波阻抗远小于变压器绕组冲击阻抗, 因此 B 、

C 相的出线端相当于接地。这样,从 A 点对地之间,可看成是一个 BO 和 CO 并联后再与 AO 串
联的绕组,在 A 、 B(C ) 间加一电压源 u0 ,就起始分布而言。在 O 点接地或者加上 OB 、 OC 绕 组并联后接地都影响不大;稳态分布是按电感分压的,由于 B 、 C 两相并联绕组的串入,它变成 一条折线。因为中性点的稳态电位是 u0 ,起始电压接近于零,所以在振荡过程中中性点的最大 电位将近

1 3

2 u0 。 3
A u
l

l
l C
0

B x
l l

A

B

图 3-37 单相进波时的电压分布

u

0

l

x 2l B

A
图 3-38 三相进波时的电压分布

C

ii)两相进波时,可假定从 B 、 C 相侵入。此时 B 、 C 并联电位为 u0 , A 端近似于接地。因 为中性点的起始电压近于零,稳态电压为

2 4 u0 ,故其最大电位可达 u0 ,已超过首端电位。 3 3

iii)三相进波的情况和三个单相中性点绝缘的变压器绕组相同,原因是两者具有相同的边界条 件——中性点电流恒等于零。因此,中性点最大电位可达 2u0 。见图 3-38。 由上面分析可知, 中性点绝缘的变压器, 在三相进波时的过电压要比中性点接地的变压器严重 得多。 (2) 如果三相变压器绕组接成三角形, 则对每一个绕组可分成一端进波和两端进波这种情况。 i)当 A 相进波。可把 AB 和 BC 分别看作 A 端进波 B(C ) 端接地的单相绕组。 ii)当 B 、 C 相进波。一头有波的绕组 BA 、 CA 同单相进波情况;而两头有波的绕组 BC 相 当于该绕组的中点是绝缘的(电流恒等于零)两个变压器绕组,绕组 AB 的中点电位从接近零值过 渡到 u0 的振荡过程中最大电位可达 2u0 。两头进波的线圈当然也可以用叠加原理,即 B 进波 C 接 地和 C 进波 B 接地的两个电压分量的叠加。由此想到:一个 l 长的末端绝缘的绕组的电位分布,可 以用 2l 长的末端接地的绕组的电位分布在 l 处折叠而得到,如图 3-39 所示。在 0 ~ l 将曲线 1、2 相加得 3。或

sh? (2l ? x) sh? x ch(l ? x) ? ? sh2? l sh2? l ch? l

(3-89)

3

1

2

0

l

2l

图 3-39 末端绝缘的变压器绕组起始分布与末端接地时起始分布的关系

3.8.4 改善变压器绕组起始电位分布的措施
从现象上看, 冲击电压作用下变压器绕组各点电压振荡的根本原因是起始电压分布与稳态电压 分布的不一致。而从电路的观点看是由于变压器绕组的横向电容(对地电容)相当大,因而导致纵 向电容上的电流因横向电容上的严重分流而沿绕组很快减少到零, 造成了电位的起始分布与线性分 布相差甚远。 改善起始分布有两条途径: (1)利用和出线端相连接的静电屏向对地电容提供电荷,从而使所有纵向元件 K ' 上的电荷 都相等或接近于相等,见图 3-40。如果只在部分绕组上这样做,称为部分补偿。 若要使起始分布和稳态分布合二为一, 静电屏与绕组间的电容应满足在其上的电荷量与对应的 对地电容上的电荷量相等,即

x x u0 [1 ? (1 ? )]Cx ? (1 ? )C0 dx l l
因此,

C 'x ? C0 dx

l?x x

(3-90)

在绕组结构上这一措施以加电容环或静电线匝来实现。

x l

图 3-40 补偿电容连接方式之一

(2)纵向电容补偿 i)尽量加大纵向电容 K ' 的数值,使得对地电容上的分电流所采用的纠结式绕组就是这一设想 的有效实现。显而易见,纠结式绕组与普通连续式绕组相比较,具有大得多的纵向电容,使 ? 值 降低到 1 ~ 3 左右,绕组起始分布大为改善。 ii)纵向电容上并联附加电容,也称为串联补偿。K ' 应提供 x 之后的所有对地电容上的电荷。

K 'x ?

C0 1 (l ? x)2 2 dx

(3-91)

本章小结
本章内容主要是针对无损传输线建立电路模型, 通过对该模型的讨论, 分析了波过程的物理特 性,并在此基础上展开以下几个问题的分析: ? 无损线到电路模型的转化 ? 复杂波过程的谈论 ? 平行多导线系统中的波过程 ? 绕组波过程 其中涉及到知识点和方法,主要有: ? 无损线仅仅是通道作用,关键是它的进入点 ? 复杂波过程中的“过程”一定要分析清楚 ? 平行多导线系统的边界条件一定要建立清楚 ? 绕组波过程 0 状态和稳态





3-1、某架空线路的导线直径为 13mm,导线对地的平均高度为 14m。试求该线路没公里的电感、 对地电容及波阻抗。 3-2、已知某单相电缆线路的芯线直径 d=20mm,外壳直径 D=60mm,两者之间为纸绝缘介质,其

? r ? 3.5 。试求:该电缆的每公里的电感、电容和波阻抗、波速度。
3-3、试证明线路所储电、磁能等于前行波能量和反行波能量之和。 3-4、当前行波 u?( x ? vt ) 为负值时, i?( x ? vt ) 的正负如何?此时是否意味着波向-x 方向传播?

3-5、反行波电压和电流之比值即

u??( x ? vt ) ? ? z ,式中出现负号作如何解释? i??( x ? vt )

3-6、 已知某输电线路的波阻抗 Z ? 400? , 测得该线路上 A 点的电压 u A ? 900kV , 电流 iA ? 1kA 。 试求该点的前行波电压 u A 和反行波电压 u A 。 3-7、试分析下图中的等值计算电路是否正确,如有错误,请绘制正确的等值计算电路。
?

?

u1?

Z 2 , v2

A B + +



Z1 , v1

A

l2

2u1?
(a) -

Z1

Z2
B

U2
-

u1?

Z 2 , v2

B +

A

B



Z1 , v1

A

l2
R

2u
-

? 1

Z1

Z2
R

G (b)
习题 3-7

3-8、有一幅值为 u0 的无限长直角波沿线路 1(波阻抗为 Z1 )经过节点 A 向两条线路(波阻抗分别 为 Z 2 、 Z 3 )传播,如图所示。试求线路 2 上的前行波和线路 1 上的反行波。

u1? ? U 0


Z2


Z1

Z3



习题 3-8

3-9、如图所示接线。试求:1)A 点电压;2)电源输出功率;3)在(a)、(b)两种情况下 A 点电压 是否相等?电源输出功率是否相等?为什么?
R=200Ω


Z2=400Ω Z3=400Ω

Z=200Ω


Z2=400Ω Z3=400Ω

400kV

400kV

τ, l


(a)


(b)

习题 3-9

3-10、如下图所示的首末两端开路的导线已充电到 E。若在 t=0 时末端 B 的开关 S 合闸,试求当 R=0 或 R=Z 两种情况下的首端电压 u A (t ) 、中点电压 um (t ) 及末端电压 uB (t ) 。
m + + + + + + + + A Z, τ B

R

习题 3-10

3-11、如下图所示接线,开关合闸前线路及电容均带有 50kV 的起始电压。试求:开关合闸后线路 中点的电压波形。
300m
+ + + + + + + + + + R E 400Ω 200kV Z=400Ω v=300m/μs C 0.01μF

习题 3-11

3-12、有一直角波 E 沿波阻抗为 400? 的线路传播,线路末端接有对地电容器, C ? 0.01? F 。 1)画出计算线路末端电压的等值电路,并计算线路末端电压波形 2)选择适当的参数把电容 C 等值变为线段,用网格法计算线路末端电压波形 3)画出以上求得的电压波形并进行分析比较 3-13、有一幅值为 U 0 的电压波从无架空地线线路向有架空地线线路传播(如图) 。设导线的自波阻 抗为 Z11 ,架空地线的自波阻抗为 Z 22 ,他们间的互波阻抗为 Z12 。接地电阻为 R0 。 试求:1)波到达 A 点后导线上的电压 u A : 2)若 Z11 ? Z 22 , Z12 ? 0.25Z11 , R ? 0 ,则 u A ? ?

R Z22

u
A Z11 Z12

习题 3-13

3-14、如图所示,架空地线的波阻抗为 400Ω,当雷击后在地线中有 5kV 的雷电流,如导线 2 的波 阻抗为 600Ω,它与架空地线的互波阻抗为 100Ω,求绝缘子链上的电位差为多少?
雷击

z1 z1

z1

架空地 线 1 2 导线

习题 3-14

3-15*、 如图所示的电路, 线路 1 和 2 上分别有 400kV 和 100kV 的电压向 A 推进, 已知 Z11 ? 400? ,

Z 22 ? 400? , Z12 ? 100? , C ? 0.05? F 。试求:电容上的电压 uC (t ) 。

400kV Z11 Z12 100kV Z22 C A + Uc(t)

习题 3-15

3-16、高压变压器高压绕组的工频对地电容一般以万 pF 计,但其入口电容一般却只有几百到几千 pF,为什么会有这种差异?怎样测量变压器的入口电容。 3-17、某变压器高压绕组对地电容 C ? 1920 pF ,但纵向电容 K ? 24 pF ,求 1)在 100kV 直角波电压作用下的起始电位分布曲线 2)最大电位梯度和平均电位梯度 3)若变压器绕组的末端绝缘时,末端的电压是多大?电位梯度是多大?

C22 ? 9000 pF 。 C12 ? 4500 pF , 3-18、 某 220/11kV 变压器, 如果 220kV 侧的过电压幅度为 500kV,
问在低压侧产生的静电感应电压是否会危及低压侧绝缘 (10kV 侧全波试验电压为 75kV) ?若在低 压侧并联一 0.1? F 的电容器,则静电感应电压又是多大?


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