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【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题14 直线与圆(含解析)


【走向高考】 (全国通用)2016 高考数学二轮复习 第一部分 微专题 强化练 专题 14 直线与圆

一、选择题 1.(文)若直线 l1:x+ay+6=0 与 l2:(a-2)x+3y+2a=0 平行,则 l1 与 l2 间的距离 为( ) A. 2 B. 8 2 3 8 3 3

C. 3 [答案] B

D.

[解析] 由 l1∥l2 知 3=a(a-2)且 2a≠6(a-2), 2a ≠18,求得 a=-1, 2 ∴l1: x-y+6=0, l2: x-y+ =0, 两条平行直线 l1 与 l2 间的距离为 d= 2 2 3 1 +?-1? 8 2 = .故选 B. 3 (理)已知直线 l 过圆 x +(y-3) =4 的圆心,且与直线 x+y+1=0 垂直,则 l 的方程 是( ) A.x+y-2=0 C.x+y-3=0 [答案] D [解析] 圆心(0,3),又知所求直线斜率为 1,∴直线方程为 x-y+3=0. [方法点拨] 1.两直线的位置关系 方程 约束条件 位置关系 平行 B.x-y+2=0 D.x-y+3=0
2 2 2

2 |6- | 3

l1:y=k1x+b1 l2:y=k2x+b2 k1=k2,且 b1≠b2 k1≠k2

l1:A1x+B1y+C1=0 l2:A2x+B2y+C2=0 A1B2-A2B1=0,且 B1C2-B2C1≠0 A1B2≠A2B1
特别地,l1⊥l2?A1A2+B1B2=0

相交

特别地,

l1⊥l2? k1k2=-1
重合

k1=k2 且 b1=b2

A1B2-A2B1=0 且 B1C2-B2C1=0
1

1 2.与直线 y=kx+b 平行的直线设为 y=kx+b1,垂直的直线设为 y=- x+m(k≠0);

k

与直线 Ax+By+C=0 平行的直线设为 Ax+By+C1=0, 垂直的直线设为 Bx-Ay+C1=0.求两 平行直线之间的距离可直接代入距离公式, 也可在其中一条直线上取一点, 求其到另一条直 线的距离. 2.(文)(2015?安徽文,8)直线 3x+4y=b 与圆 x +y -2x-2y+1=0 相切,则 b 的值 是( ) A.-2 或 12 C.-2 或-12 [答案] D [解析] 考查 1.直线与圆的位置关系;2.点到直线的距离公式. ∵直线 3x+4y=b 与圆心为(1,1),半径为 1 的圆相切, ∴ |3+4-b| =1? b=2 或 12,故选 D. 2 2 3 +4 B.2 或-12 D.2 或 12
2 2

(理)(2015?辽宁葫芦岛市一模)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心 在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为( A.(x+1) +(y-1) =2 B.(x-1) +(y+1) =2 C.(x-1) +(y-1) =2 D.(x+1) +(y+1) =2 [答案] B [解析] 由题意知,圆心 C 既在与两直线 x-y=0 与 x-y-4=0 平行且距离相等的直 |2a| |2a-4| 线上,又在直线 x+y=0 上,设圆心 C(a,-a),半径为 r,则由已知得 = ,解 2 2 得 a=1,∴r= 2,故选 B. [方法点拨] 1.点与圆的位置关系 ①几何法:利用点到圆心的距离 d 与半径 r 的关系判断:d>r?点在圆外,d=r?点在 圆上;d<r?点在圆内. ②代数法: 将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边, 将所得值与 r (或 0)作比较, 大于 r (或 0)时,点在圆外;等于 r (或 0)时,点在圆上;小于 r (或 0)时,点在圆内. 2.直线与圆的位置关系 直线 l: Ax+By+C=0(A +B ≠0)与圆: (x-a) +(y-b) =r (r>0)的位置关系如下表. 方法 位置关系 几何法: 代数法:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

2

|Aa+Bb+C| 根据 d= A2+B2 与 r 的大小关系

?Ax+By+C=0 ? ? 2 2 2 ??x-a? +?y-b? =r ?

消元得一元二次方程, 根据判别式 Δ 的符号

相交 相切 相离

d<r d=r d>r

Δ >0 Δ =0 Δ <0

3.求圆的方程有两类方法:(1)几何法,通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置 关系,进而求得圆的半径和圆心,得出圆的方程;(2)代数法,求圆的方程必须具备三个独 立条件,利用“待定系数法”求出圆心和半径. 3.(文)(2014?安徽文,6)过点 P(- 3,-1)的直线 l 与圆 x +y =1 有公共点,则 直线 l 的倾斜角的取值范围是( π A. (0, ] 6 π C. [0, ] 6 [答案] D [解析] 由题意可画出示意图:易知过点 P 的圆的两切线为 PA 与 PM.PA 处倾斜角为 0, π π 在 Rt△POM 中易知 PO=2,OM=1,∴∠OPM= ,∠OPA= , 6 6 ) π B.(0, ] 3 π D.[0, ] 3
2 2

π π ∴∠MPA= ,∵直线 l 倾斜角的范围是[0, ]. 3 3 [方法点拨] 本题还可以设出直线 l 的方程 y=kx+b,将 P 点代入得出 k 与 b 的关系, 消去未知数 b,再将直线代入圆方程,利用 Δ >0 求出 k 的范围,再求倾斜角的范围. 1.求直线的方程常用待定系数法. 2.两条直线平行与垂直的判定可用一般式进行判定,也可以用斜率判定. (理)(2015?山东理,9)一条光线从点(-2,-3)射出,经 y 轴反射后与圆(x+3) +(y -2) =1 相切,则反射光线所在直线的斜率为( 5 3 A.- 或- 3 5
2 2

)

3 2 B.- 或- 2 3

3

5 4 C.- 或- 4 5 [答案] D

4 3 D.- 或- 3 4

[解析] 由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点(2,-3),设反射光线所在 直线的斜率为 k,则其直线方程为 y+3=k(x-2),即 kx-y-2k-3=0,∵光线与圆(x+ |-3k-2-2k-3| 4 2 2 2 3) +(y-2) =1 相切,∴ =1,∴12k +25k+12=0,解得 k=- 或 k= 2 3 k +1 3 - .故选 D. 4 4.(文)(2014?湖南文,6)若圆 C1:x +y =1 与圆 C2:x +y -6x-8y+m=0 外切, 则 m=( A.21 C.9 [答案] C [解析] 本题考查了两圆的位置关系. 由条件知 C1: x +y =1, C2: (x-3) +(y-4) =25-m, 圆心与半径分别为(0,0), (3,4),
2 2 2 2 2 2 2 2

) B.19 D.-11

r1=1,r2= 25-m,由两圆外切的性质知,5=1+ 25-m,∴m=9.
[方法点拨] 圆与圆的位置关系 表现形式 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何表现:圆心距 d 与 r1、r2 的关 系 代数表现: 两圆方程联立组成的方 程组的解的情况 无解 一组实数解 两组不同实数解 一组实数解 无解

d>r1+r2 d=r1+r2
|r1-r2|<d<r1+r2

d=|r1-r2|(r1≠r2)
0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)

1 2 (理)一动圆过点 A(0,1),圆心在抛物线 y= x 上,且恒与定直线 l 相切,则直线 l 的 4 方程为( A.x=1 1 C.y=- 32 [答案] D [解析] ∵A(0,1)是抛物线 x =4y 的焦点,又抛物线的准线为 y=-1,∴动圆过点 A, 圆心 C 在抛物线上,由抛物线的定义知|CA|等于 C 到准线的距离,等于⊙C 的半径,∴⊙C
2

) B.x= 1 32

D.y=-1

4

与定直线 l:y=-1 总相切. 5.(文)(2014?哈三中一模)直线 x+y+ 2=0 截圆 x +y =4 所得劣弧所对圆心角为 ( ) A. C. π 6 2π 3 B. D. π 3 5π 6
2 2

[答案] D | 2| [解析] 弦心距 d= =1,半径 r=2, 2 2π ∴劣弧所对的圆心角为 . 3 (理)(2014?福建理,6)直线 l:y=kx+1 与圆 O:x +y =1 相交于 A,B 两点,则“k 1 =1”是“△OAB 的面积为 ”的( 2 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 [答案] A [解析] 圆心 O(0,0)到直线 l: kx-y+10=0 的距离 d= = 2|k| 1+k , 1 1+k
2 2 2

) B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

, 弦长为|AB|=2 1-d

2

2

1 |k| 1 ∴S△OAB= ?|AB|?d= 2 = ,∴k=±1, 2 k +1 2 1 因此当“k=1”时,“S△OAB= ”,故充分性成立. 2 1 “S△OAB= ”时,k 也有可能为-1, 2 ∴必要性不成立,故选 A. [方法点拨] 1.直线与圆相交时主要利用半弦、半径、弦心距组成的直角三角形求解. 2.直线与圆相切时,一般用几何法体现,即使用 d=r,而不使用 Δ =0. 6.(2015?太原市一模)已知在圆 x +y -4x+2y=0 内,过点 E(1,0)的最长弦和最短 弦分别是 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( A.3 5 C.4 15 [答案] D ) B.6 5 D.2 15
2 2

5

[解析] 圆的方程为(x-2) +(y+1) =5,圆的最长弦 AC 为直径 2 5;设圆心 M(2, -1), 圆的最短弦 BD⊥ME, ∵ME= ?2-1? +?-1-0? = 2, ∴BD=2 R -ME =2 3, 1 1 故 S 四边形 ABCD= AC?BD= ?2 5?2 3=2 15. 2 2 7.(2015?重庆理,8)已知直线 l:x+ay-1=0(a∈R)是圆 C:x +y -4x-2y+1=0 的对称轴.过点 A(-4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|=( A.2 C.6 [答案] C [解析] 易知圆的标准方程 C:(x-2) +(y-1) =4,圆心 O(2,1),又因为直线 l:x +ay-1=0 是圆的对称轴,则该直线一定经过圆心,得知 a=-1,A(-4,-1),又因为直 线 AB 与圆相切,则△OAB 为直角三角形,|OA|= ?2+4? +?1+1? =2 10,|OB|=2, |AB|= OA -OB =6. 8.过点 P(-2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为 24 的直线共有( A.1 条 C.3 条 [答案] D [解析] 过 P(-2,3)与 x 轴负半轴和 y 轴正半轴围成的三角形面积的最小值是 12,所 以过一、二、三象限可作 2 条,过一、二、四象限可作一条,过二、三、四象限可作一条, 共 4 条. 9.(文)(2014?江西理,9)在平面直角坐标系中,A、B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点, 若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y-4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为( 4 A. π 5 C.(6-2 5)π [答案] A [解析] 本题考查直线与圆的位置关系、抛物线的定义及数形结合求最值的数学思想. 依题意,∠AOB=90°,∴原点 O 在⊙C 上,又∵⊙C 与直线 2x+y-4=0 相切,设切点 为 D,则|OC|=|CD|,∴圆 C 的圆心 C 的轨迹是抛物线,其中焦点为原点 O,准线为直线 2x +y-4=0.要使圆 C 的面积有最小值,当且仅当 O、C、D 三点共线,即圆 C 的直径等于 O 点到直线的距离,∴2R= 4 2 4 2 ,∴R= .S=π R = π .选 A. 5 5 5 3 B. π 4 5 D. π 4 ) B.2 条 D.4 条 )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

)

B.4 2 D.2 10

(理)两条平行直线和圆的位置关系定义为:若两条平行直线和圆有四个不同的公共点,

6

则称两条平行线和圆“相交”;若两平行直线和圆没有公共点,则称两条平行线和圆“相 离”;若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点,则称两条平行线和圆“相 切”.已知直线 l1:2x-y+a=0,l2:2x-y+a +1=0 和圆:x +y +2x-4=0 相切,则
2 2 2

a 的取值范围是(
A.a>7 或 a<-3

)

B.a> 6或 a<- 6 C.-3≤a≤- 6或 6≤a≤7 D.a≥7 或 a?-3 [答案] C [解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能

力.两条平行线与圆都相交时, |2?-1?+a| < 5 ? ? 5 由? |2?-1?+a +1| < ? ? 5
2

得- 6<a< 6, 5

两条直线都和圆相离时, |2?-1?+a| > 5 ? ? 5 由? |2?-1?+a +1| > ? ? 5
2

得 a<-3,或 a>7,所以两条直线和圆“相切”时 a 5

的取值范围-3≤a≤- 6或 6≤a≤7,故选 C. [方法点拨] 与圆有关的最值问题主要题型有: 1.圆的半径最小时,圆面积最小. 2.圆上点到定点距离最大(小)值问题,点在圆外时,最大值 d+r,最小值 d-r(d 是 圆心到定点距离);点在圆内时,最大值 d+r,最小值 r-d. 3.圆上点到定直线距离最值,设圆心到直线距离为 d,直线与圆相离,则最大值 d+r, 最小值 d-r;直线与圆相交,则最大值 d+r,最小值 0. 4.P(x,y)为⊙O 上一动点,求 x、y 的表达式(如 x+2y,x +y 等)的取值范围,一段 利用表达式的几何意义转化. 二、填空题 10. (文)设直线 mx-y+3=0 与圆(x-1) +(y-2) =4 相交于 A、 B 两点, 且弦长为 2 3, 则 m=________. [答案] 0
2 2 2 2

7

[解析] 圆的半径为 2,弦长为 2 3,∴弦心距为 1,即得 d=

|m+1|

m2+1

=1,解得 m=0.

1 2 2 2 (理)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 sin A+sin B= sin C,则直线 2

ax-by+c=0 被圆 x2+y2=9 所截得弦长为________.
[答案] 2 7 1 2 2 2 [解析] 由正弦定理得 a +b = c , 2 ∴圆心到直线距离 d= |c|

a +b

2

2



c

= 2, 1 2 c 2

∴弦长 l=2 r -d =2 9-2=2 7. 11.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x +y =4 上有且只有四个点到直线 12x-5y+c =0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是________. [答案] (-13,13) [解析] 本题考查了直线与圆的位置关系,利用数形结合可解决此题,属中档题. 要使圆 x +y =4 上有且只有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,只需满足圆心 到直线的距离小于 1 即可.
2 2 2 2

2

2



|c| 12 +5
2

2

<1,解|c|<13,

∴-13<c<13. 12.已知过点 P(2,1)有且只有一条直线与圆 C:x +y +2ax+ay+2a +a-1=0 相切, 则实数 a=________. [答案] -1 [解析] 由条件知点 P 在⊙C 上,∴4+1+4a+a+2a +a-1=0,∴a=-1 或-2. 当 a=-1 时,x +y -2x-y=0 表示圆,当 a=-2 时,x +y -4x-2y+5=0 不表示 圆,∴a=-1. 三、解答题 13.(2015?福建文,19)已知点 F 为抛物线 E:y =2px(p>0)的焦点,点 A(2,m)在抛 物线 E 上,且|AF|=3.
8
2 2 2 2 2 2 2 2 2

(1)求抛物线 E 的方程; (2)已知点 G(-1,0),延长 AF 交抛物线 E 于点 B,证明:以点 F 为圆心且与直线 GA 相 切的圆,必与直线 GB 相切. [分析] 考查:1.抛物线标准方程;2.直线和圆的位置关系. (1)利用抛物线定义, 将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化; (2)欲证明以 点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆, 必与直线 GB 相切. 可证明点 F 到直线 GA 和直线 GB 的距 离相等(此时需确定两条直线方程); 也可以证明∠AGF=∠BGF, 可转化为证明两条直线的斜 率互为相反数. [解析] 法一:(1)由抛物线的定义得|AF|=2+ . 2 因为|AF|=3,即 2+ =3,解得 p=2,所以抛物线 E 的方程为 y =4x. 2 (2)因为点 A(2,m)在抛物线 E:y =4x 上, 所以 m=±2 2,由抛物线的对称性,不妨设 A(2,2 2). 由 A(2,2 2),F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y=2 2(x-1). 由?
2

p

p

2

?y=2 2?x-1?, ?y2=4x,

得 2x -5x+2=0,

2

1 1 解得 x=2 或 x= ,从而 B( ,- 2). 2 2 又 G(-1,0), 2 2-0 2 2 - 2-0 2 2 所以 kGA= = ,kGB= =- , 2-?-1? 3 1 3 -?-1? 2 所以 kGA+kGB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点 F 到直线 GA,GB 的距离相等,故以 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切. 法二:(1)同法一. (2)设以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆的半径为 r. 因为点 A(2,m)在抛物线 E:y =4x 上, 所以 m=±2 2,由抛物线的对称性,不妨设 A(2,2 2). 由 A(2,2 2),F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y=2 2(x-1).
9
2

由?

?y=2 2?x-1?, ?y2=4x,

得 2x -5x+2=0.

2

1 ?1 ? 解得 x=2 或 x= ,从而 B? ,- 2?. 2 ?2 ? 又 G(-1,0),故直线 GA 的方程为 2 2x-3y+2 2=0, |2 2+2 2| 4 2 从而 r= = . 8+ 9 17 又直线 GB 的方程为 2 2x+3y+2 2=0, |2 2+2 2| 4 2 所以点 F 到直线 GB 的距离 d= = =r. 8+9 17 这表明以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切. 14.(文)已知圆 C:x +y =r (r>0)经过点(1, 3). (1)求圆 C 的方程; → (2)是否存在经过点(-1,1)的直线 l, 它与圆 C 相交于 A、 B 两个不同点, 且满足关系OM 1→ 3→ = OA+ OB(O 为坐标原点)的点 M 也在圆 C 上,如果存在,求出直线 l 的方程;如果不存 2 2 在,请说明理由. [解析] (1)由圆 C:x +y =r ,再由点(1, 3)在圆 C 上,得 r =1 +( 3) =4, 所以圆 C 的方程为 x +y =4. (2)假设直线 l 存在,设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0). ①若直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y-1=k(x+1), 联立?
?y=k?x+1?+1, ? ? ?x +y -4=0.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

消去 y 得,

(1+k )x +2k(k+1)x+k +2k-3=0, 2k?k+1? 2-2k 由韦达定理得 x1+x2=- =-2+ 2 2, 1+k 1 +k

k2+2k-3 2k-4 x1x2= =1+ 2 2, 1+k 1+k y1y2=k2x1x2+k(k+1)(x1+x2)+(k+1)2=
因为点 A(x1,y1),B(x2,y2)在圆 C 上, 因此,得 x1+y1=4,x2+y2=4, 3→ x1+ 3x2 y1+ 3y2 → 1→ 由OM= OA+ OB得,x0= ,y0= , 2 2 2 2
2 2 2 2

2k+4 2 -3, 1+ k

10

由于点 M 也在圆 C 上,则( 整理得
2 x2 1+y1

x1+ 3x2
2

) +(

2

y1+ 3y2
2

) =4,

2

4

+3?

2 x2 2+y2

4



3 3 x1x2+ y1y2=4, 2 2

2k-4 2k+4 即 x1x2+y1y2=0,所以 1+ 2 +( 2 -3)=0, 1+k 1+k 从而得,k -2k+1=0,即 k=1,因此,直线 l 的方程为
2

y-1=x+1,即 x-y+2=0.
②若直线 l 的斜率不存在, -1- 3 3-3 则 A(-1, 3),B(-1,- 3),M( , ) 2 2 ( -1- 3 2 3-3 2 ) +( ) =4- 3≠4, 2 2

故点 M 不在圆上与题设矛盾, 综上所知:k=1,直线方程为 x-y+2=0. (理)已知圆 O:x +y =2 交 x 轴于 A、B 两点,曲线 C 是以 AB 为长轴,离心率为
2 2

2 的 2

椭圆,其左焦点为 F.若 P 是圆 O 上一点,连接 PF,过原点 O 作直线 PF 的垂线交直线 x=- 2 于点 Q.

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若点 P 的坐标为(1,1),求证:直线 PQ 与圆 O 相切; (3)试探究:当点 P 在圆 O 上运动时(不与 A,B 重合),直线 PQ 与圆 O 是否保持相切的 位置关系?若是,请证明;若不是,请说明理由. [解析] (1)因为 a= 2,e= 2 ,所以 c=1, 2

则 b=1,即椭圆 C 的标准方程为 +y =1. 2 1 (2)因为 P(1,1),F(-1,0),所以 kPF= , 2 ∴kOQ=-2,所以直线 OQ 的方程为 y=-2x. 又 Q 在直线 x=-2 上,所以点 Q(-2,4).
11

x2

2

∴kPQ=-1,kOP=1, ∴kOP?kPQ=-1, 即 OP⊥PQ, 故直线 PQ 与圆 O 相切. (3)当点 P 在圆 O 上运动时,直线 PQ 与圆 P 保持相切的位置关系,设 P(x0,y0), (x0≠± 2), 则 y0=2-x0,kPF=
2 2

x0+1 ,kOQ=- , x0+1 y0 x0+1 x, y0

y0

∴直线 OQ 的方程为 y=- 2x0+2 ∴点 Q(-2, ),

y0

y0-
∴kPQ=
2

2x0+2

y0

x0+2



y2 0-?2x0+2? ?x0+2?y0



-x0-2x0 x0 y0 =- ,又 kOP= . ?x0+2?y0 y0 x0

∴kOP?kPQ=-1,即 OP⊥PQ(P 不与 A、B 重合),直线 PQ 始终与圆 O 相切. 15.(文)(2014?石家庄市质检)已知动圆 C 过定点 M(0,2),且在 x 轴上截得弦长为 4. 设该动圆圆心的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 方程; (2)设点 A 为直线 l:x-y-2=0 上任意一点,过 A 作曲线 C 的切线,切点分别为 P、Q, 求△APQ 面积的最小值及此时点 A 的坐标. [解析] (1)设动圆圆心坐标为 C(x,y),根据题意得

x2+?y-2?2= y2+4,
化简得 x =4y. (2)解法一:设直线 PQ 的方程为 y=kx+b,
?x =4y ? 由? ?y=kx+b ?
2 2

消去 y 得 x -4kx-4b=0.
? ?x1+x2=4k ?x1x2=-4b ?

2

设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则?

,且 Δ =16k +16b

2

1 1 以点 P 为切点的切线的斜率为 y′1= x1,其切线方程为 y-y1= x1(x-x1), 2 2 1 1 2 即 y= x1x- x1. 2 4

12

1 1 2 同理过点 Q 的切线的方程为 y= x2x- x2. 2 4 两条切线的交点 A(xA,yB)在直线 x-y-2=0 上,

x +x ? ?x = 2 =2k 解得? xx y = =-b ? ? 4
1 2

A

,即 A(2k,-b).

1 2

A

则:2k+b-2=0,即 b=2-2k, 代入 Δ =16k +16b=16k +32-32k=16(k-1) +16>0, |PQ|= 1+k |x1-x2|=4 1+k
2 2 2 2 2

k2+b,
2

|2k +2b| A(2k,-b)到直线 PQ 的距离为 d= , k2+1

S△APQ= |PD|?d=4|k2+b|? k2+b=4(k2+b)
3 3 2 2 =4(k -2k+2) =4[(k-1) +1] . 2 2

1 2

3 2

当 k=1 时,S△APQ 最小,其最小值为 4,此时点 A 的坐标为(2,0). 解法二:设 A(x0,y0)在直线 x-y-2=0 上,点 P(x1,y1),Q(x2,y2)在抛物线 x =4y 1 1 上,则以点 P 为切点的切线的斜率为 y1= x1,其切线方程为 y-y1= x1(x-x1), 2 2 1 即 y= x1x-y1, 2 1 同理以点 Q 为切点的方程为 y= x2x-y2. 2 1 y = x x -y , ? ? 2 设两条切线均过点 A(x ,y ),则? 1 y = x x -y . ? ? 2
0 1 0 1 0 0 0 2 0 2 2

点 P,Q 的坐标均满足方程

y0= xx0-y,即直线 PQ 的方程为:y= x0x-y0,
代入抛物线方程 x =4y 消去 y 可得:
2

1 2

1 2

x2-2x0x+4y0=0
|PQ|= = 1 2 1+ x0|x1-x2| 4

1 2 2 1+ x0 4x0-16y0 4
13

1 2 | x0-2y0| 2 A(x0,y0)到直线 PQ 的距离为 d= , 1 2 x0+1 4
2 S△APQ= |PQ|d= |x2 0-4y0|? x0-4y0

1 2

1 2

3 1 2 = (x0-4y0) 2 2 3 3 1 2 1 2 2 = (x0-4x0+8) = [(x0-2) +4] 2 2 2 当 x0=2 时,S△APQ 最小,其最小值为 4,此时点 A 的坐标为(2,0). 3 (理)已知点 A(-2,0),B(2,0),直线 PA 与直线 PB 斜率之积为- ,记点 P 的轨迹为曲 4 线 C. (1)求曲线 C 的方程; → → → → (2)设 M、N 是曲线 C 上任意两点,且|OM-ON|=|OM+ON|,是否存在以原点为圆心且与

MN 总相切的圆?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.
[解析] (1)设 P(x,y), 3 则由直线 PA 与直线 PB 斜率之积为- 得, 4

y 3 ? =- (x≠±2), x+2 x-2 4
整理得曲线 C 的方程为 + =1(x≠±2). 4 3 → → → → → → (2)若|OM-ON|=|OM+ON|,则OM⊥ON. 设 M(x1,y1),N(x2,y2). 若直线 MN 斜率不存在,则 y2=-y1,N(x1,-y1).

y

x2 y2

x1 y1 → → y1 - y1 由OM⊥ON得 ? =-1,又 + =1. x1 x1 4 3
解得直线 MN 方程为 x=± 12 .原点 O 到直线 MN 的距离 d= 7 12 . 7

2

2

若直线 MN 斜率存在,设方程为 y=kx+m.

y=kx+m ? ? 2 2 由?x y + =1 ? ?4 3

得(4k +3)x +8kmx+4m -12=0.

2

2

2

14

-8km 4m -12 ∴x1+x2= 2 ,x1?x2= 2 . 4k +3 4k +3

2

(*)

→ → y1 y2 2 2 由OM⊥ON得 ? =-1,整理得(k +1)x1x2+km(x1+x2)+m =0.

x1 x2

代入(*)式解得 7m =12(k +1). 此时(4k +3)x +8kmx+4m -12=0 中 Δ >0. 此时原点 O 到直线 MN 的距离
2 2 2

2

2

d=

|m|

k +1

2



12 . 7 12 .存在以原点为圆心且与 MN 总相切的圆, 方程 7

故原点 O 到直线 MN 的距离恒为 d= 12 2 2 为 x +y = . 7

15


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