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2016年江苏省高考数学试卷菁优网解析


2016 年江苏省高考数学试卷
一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1. (5 分) (2016?江苏) 已知集合 A={﹣1, 2, 3, 6}, B={x|﹣2<x<3}, 则 A∩B= 2. (5 分) (2016?江苏) 复数 z= (1+2i) (3﹣i) , 其中 i 为虚数单位, 则 z 的实部是 3. (5 分) (2016?江

苏) 在平面直角坐标系 xOy 中, 双曲线 ﹣ =1 的焦距是

. . . .

4. (5 分) (2016?江苏) 已知一组数据 4.7, 4.8, 5.1, 5.4, 5.5, 则该组数据的方差是 5. (5 分) (2016?江苏)函数 y= 的定义域是 . .

6. (5 分) (2016?江苏)如图是一个算法的流程图,则输出的 a 的值是

7. (5 分) (2016?江苏)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具) 先后抛掷 2 次, 则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 . 8. (5 分) (2016?江苏)已知{an}是等差数列,Sn 是其前 n 项和,若 a1+a2 =﹣3,S5=10, 则 a9 的值是 . 9. (5 分) (2016?江苏)定义在区间[0,3π]上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的交 点个数是 . 10. (5 分) (2016?江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F 是椭圆 + =1(a>b>0)
2

的右焦点,直线 y= 与椭圆交于 B,C 两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率 是 .

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11. (5 分) (2016?江苏)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[﹣1,1)上, f (x) = , 其中 a∈R, 若f (﹣ ) =f ( ) , 则f (5a) 的值是 .

12. (5 分) (2016?江苏)已知实数 x,y 满足

,则 x +y 的取值范围

2

2

是 . 13. (5 分) (2016?江苏)如图,在△ ABC 中,D 是 BC 的中点,E,F 是 AD 上的两个三等 分点, ? =4, ? =﹣1,则 ? 的值是 .

14. (5 分) (2016?江苏)在锐角三角形 ABC 中,若 sinA=2sinBsinC,则 tanAtanBtanC 的最 小值是 . 二、解答题(共 6 小题,满分 90 分) 15. (14 分) (2016?江苏)在△ ABC 中,AC=6,cosB= ,C= (1)求 AB 的长; (2)求 cos(A﹣ )的值. .

16. (14 分) (2016?江苏)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D,E 分别为 AB,BC 的 中点,点 F 在侧棱 B1B 上,且 B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证: (1)直线 DE∥平面 A1C1F; (2)平面 B1DE⊥平面 A1C1F.

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17. (14 分) (2016?江苏)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四 棱锥 P﹣A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1(如图所示) ,并要求正四棱 柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1 的 4 倍. (1)若 AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少? (2)若正四棱锥的侧棱长为 6m,则当 PO1 为多少时,仓库的容积最大?

18. (16 分) (2016?江苏) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知以 M 为圆心的圆 M: x +y ﹣12x﹣14y+60=0 及其上一点 A(2,4) . (1)设圆 N 与 x 轴相切,与圆 M 外切,且圆心 N 在直线 x=6 上,求圆 N 的标准方程; (2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B、C 两点,且 BC=OA,求直线 l 的方程; (3)设点 T(t,0)满足:存在圆 M 上的两点 P 和 Q,使得 范围. + =

2

2

,求实数 t 的取值

19. (16 分) (2016?江苏)已知函数 f(x)=a +b (a>0,b>0,a≠1,b≠1) . (1)设 a=2,b= . ①求方程 f(x)=2 的根; ②若对于任意 x∈R,不等式 f(2x)≥mf(x)﹣6 恒成立,求实数 m 的最大值; (2)若 0<a<1,b>1,函数 g(x)=f(x)﹣2 有且只有 1 个零点,求 ab 的值.

x

x

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20. (16 分) (2016?江苏)记 U={1,2,…,100},对数列{an}(n∈N )和 U 的子集 T,若 T=?,定义 ST=0;若 T={t1,t2,…,tk},定义 ST=
*

*

+

+…+

.例如:T={1,3,66}

时,ST=a1+a3+a66.现设{an}(n∈N )是公比为 3 的等比数列,且当 T={2,4}时,ST=30. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对任意正整数 k(1≤k≤100) ,若 T?{1,2,…,k},求证:ST<ak+1; (3)设 C?U,D?U,SC≥SD,求证:SC+SC∩D≥2SD. 附加题【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区 域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.A. 【选修 4—1 几何证明选讲】 21. (10 分) (2016?江苏)如图,在△ ABC 中,∠ABC=90°,BD⊥AC,D 为垂足,E 为 BC 的中点,求证:∠EDC=∠ABD.

B.【选修 4—2:矩阵与变换】 22. (2016?江苏)已知矩阵 A= ,矩阵 B 的逆矩阵 B =
﹣1

,求矩阵 AB.

C.【选修 4—4:坐标系与参数方程】

23. (2016?江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为

(t 为参

数) ,椭圆 C 的参数方程为 求线段 AB 的长.

(θ 为参数) ,设直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,

24. (2016?江苏)设 a>0,|x﹣1|< ,|y﹣2|< ,求证:|2x+y﹣4|<a.

附加题【必做题】 25. (2016?江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l:x﹣y﹣2=0,抛物线 C: 2 y =2px(p>0) . (1)若直线 l 过抛物线 C 的焦点,求抛物线 C 的方程; (2)已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q. ①求证:线段 PQ 的中点坐标为(2﹣p,﹣p) ; ②求 p 的取值范围.

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26. (2016?江苏) (1)求 7C
*

﹣4C

的值; +(m+2)C +(m+3)C +…+nC +

(2)设 m,n∈N ,n≥m,求证: (m+1)C (n+1)C =(m+1)C .

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2016 年江苏省高考数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1. (5 分) (2016?江苏)已知集合 A={﹣1,2,3,6},B={x|﹣2<x<3},则 A∩B= {﹣1, 2} . 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;集合思想;集合. 【分析】根据已知中集合 A={﹣1,2,3,6},B={x|﹣2<x<3},结合集合交集的定义可得 答案. 【解答】解:∵集合 A={﹣1,2,3,6},B={x|﹣2<x<3}, ∴A∩B={﹣1,2}, 故答案为:{﹣1,2} 【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算,难度不大,属于基础题.
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2. (5 分) (2016?江苏)复数 z=(1+2i) (3﹣i) ,其中 i 为虚数单位,则 z 的实部是 5 . 【考点】复数代数形式的混合运算. 【专题】转化思想;数系的扩充和复数. 【分析】利用复数的运算法则即可得出. 【解答】解:z=(1+2i) (3﹣i)=5+5i, 则 z 的实部是 5, 故答案为:5. 【点评】本题考查了复数的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
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3. (5 分) (2016?江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线



=1 的焦距是 2



【考点】双曲线的标准方程. 【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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【分析】确定双曲线的几何量,即可求出双曲线



=1 的焦距.

【解答】解:双曲线 ∴c= = ,



=1 中,a=

,b=



∴双曲线



=1 的焦距是 2



故答案为:2 . 【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质,考查学生的计算能力,比较基础.
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4. (5 分) (2016?江苏)已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是 0.1 . 【考点】极差、方差与标准差. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】先求出数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5 的平均数,由此能求出该组数据的方差. 【解答】解:∵数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5 的平均数为:
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= (4.7+4.8+5.1+5.4+5.5)=5.1, ∴该组数据的方差: S = [(4.7﹣5.1) +(4.8﹣5.1) +(5.1﹣5.1) +(5.4﹣5.1) +(5.5﹣5.1) ]=0.1. 故答案为:0.1. 【点评】本题考查方差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意方差计算公式的合理运 用. 5. (5 分) (2016?江苏)函数 y=
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2

2

2

2

2

2

的定义域是 [﹣3,1] .

【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】计算题;定义法;函数的性质及应用. 【分析】根据被开方数不小于 0,构造不等式,解得答案. 【解答】解:由 3﹣2x﹣x ≥0 得:x +2x﹣3≤0, 解得:x∈[﹣3,1], 故答案为:[﹣3,1] 【点评】本题考查的知识点是函数的定义域,二次不等式的解法,难度不大,属于基础题. 6. (5 分) (2016?江苏)如图是一个算法的流程图,则输出的 a 的值是 9 .
2 2

【考点】程序框图. 【专题】计算题;操作型;算法和程序框图. 【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的值, 模拟程序的运行过程,可得答案.
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【解答】解:当 a=1,b=9 时,不满足 a>b,故 a=5,b=7, 当 a=5,b=7 时,不满足 a>b,故 a=9,b=5 当 a=9,b=5 时,满足 a>b, 故输出的 a 值为 9, 故答案为:9 【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程 序法进行解答. 7. (5 分) (2016?江苏)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先后抛掷 2 次,则出现向上的点数之和小于 10 的概率是
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【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】出现向上的点数之和小于 10 的对立事件是出现向上的点数之和不小于 10,由此利 用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于 10 的概率. 【解答】解:将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正 方体玩具)先后抛掷 2 次, 基本事件总数为 n=6×6=36, 出现向上的点数之和小于 10 的对立事件是出现向上的点数之和不小于 10, 出现向上的点数之和不小于 10 包含的基本事件有: (4,6) , (6,4) , (5,5) , (5,6) , (6,5) , (6,6) ,共 6 个, ∴出现向上的点数之和小于 10 的概率: p=1﹣ = .

故答案为: . 【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意对立事件概率计算公式 的合理运用. 8. (5 分) (2016?江苏)已知{an}是等差数列,Sn 是其前 n 项和,若 a1+a2 =﹣3,S5=10, 则 a9 的值是 20 . 【考点】等差数列的前 n 项和;等差数列的性质. 【专题】计算题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求 出 a9 的值. 2 【解答】解:∵{an}是等差数列,Sn 是其前 n 项和,a1+a2 =﹣3,S5=10,
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2





解得 a1=﹣4,d=3, ∴a9=﹣4+8×3=20. 故答案为:20.

第 8 页(共 25 页)

【点评】本题考查等差数列的第 9 项的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列 的性质的合理运用. 9. (5 分) (2016?江苏)定义在区间[0,3π]上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的交 点个数是 7 . 【考点】正弦函数的图象;余弦函数的图象. 【专题】数形结合;数形结合法;三角函数的图像与性质. 【分析】画出函数 y=sin2x 与 y=cosx 在区间[0,3π]上的图象即可得到答案. 【解答】解:画出函数 y=sin2x 与 y=cosx 在区间[0,3π]上的图象如下:
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由图可知,共 7 个交点. 故答案为:7. 【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象,作出函数 y=sin2x 与 y=cosx 在区间[0,3π] 上的图象是关键,属于中档题.

10. (5 分) (2016?江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F 是椭圆

+

=1(a>b>0)

的右焦点,直线 y= 与椭圆交于 B,C 两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是



【考点】直线与椭圆的位置关系. 【专题】方程思想;分析法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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【分析】设右焦点 F(c,0) ,将 y= 代入椭圆方程求得 B,C 的坐标,运用两直线垂直的 条件:斜率之积为﹣1,结合离心率公式,计算即可得到所求值. 【解答】解:设右焦点 F(c,0) , 将 y= 代入椭圆方程可得 x=±a =± a,

可得 B(﹣

a, ) ,C(

a, ) ,

由∠BFC=90°,可得 kBF?kCF=﹣1,
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即有
2 2

?
2

=﹣1,

化简为 b =3a ﹣4c , 2 2 2 2 2 由 b =a ﹣c ,即有 3c =2a , 由 e= ,可得 e =
2

= ,

可得 e=

, .

故答案为:

【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,注意运用两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,考 查化简整理的运算能力,属于中档题. 11. (5 分) (2016?江苏)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[﹣1,1)上, f(x)= ,其中 a∈R,若 f(﹣ )=f( ) ,则 f(5a)的值是 ﹣ .

【考点】分段函数的应用;周期函数. 【专题】计算题;转化思想;函数的性质及应用.
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【分析】根据已知中函数的周期性,结合 f(﹣ )=f( ) ,可得 a 值,进而得到 f(5a)的 值. 【解答】解:f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[﹣1,1)上,f(x) = ,

∴f(﹣ )=f(﹣ )=﹣ +a, f( )=f( )=| ﹣ |= ∴a= , ∴f(5a)=f(3)=f(﹣1)=﹣1+ =﹣ , 故答案为:﹣ 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数的周期性,根据已知求出 a 值,是解答 的关键. ,

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12. (5 分) (2016?江苏)已知实数 x,y 满足

,则 x +y 的取值范围是

2

2

[ ,

13] . 【考点】简单线性规划. 【专题】数形结合;转化法;不等式. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,结合两点间的距离公式 以及点到直线的距离公式进行求解即可. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域, 2 2 设 z=x +y ,则 z 的几何意义是区域内的点到原点距离的平方, 由图象知 A 到原点的距离最大, 点 O 到直线 BC:2x+y﹣2=0 的距离最小,
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,即 A(2,3) ,此时 z=2 +3 =4+9=13,

2

2

点 O 到直线 BC:2x+y﹣2=0 的距离 d=
2 2

=



则 z=d =(

)= ,

故 z 的取值范围是[ ,13], 故答案为:[ ,13].

【点评】 本题主要考查线性规划的应用, 涉及距离的计算, 利用数形结合是解决本题的关键. 13. (5 分) (2016?江苏)如图,在△ ABC 中,D 是 BC 的中点,E,F 是 AD 上的两个三等 分点, ? =4, ? =﹣1,则 ? 的值是 .

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【考点】平面向量数量积的运算;平面向量数量积的性质及其运算律. 【专题】计算题;平面向量及应用. 【分析】 由已知可得 =﹣ +2 = + , =﹣
2

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+
2

, = =

+3

, =﹣

+3

, =

+2



,结合已知求出

= ,

,可得答案.

【解答】解:∵D 是 BC 的中点,E,F 是 AD 上的两个三等分点, ∴ = ∴ ? ∴ 又∵ ∴ ?
2

=

+ +3

, ,
2

=﹣ =﹣
2

+ +3

, ,

?

= =9
2


2

=﹣1,


2

=4,

= , = +2 =4

=

, , =﹣
2

+2



2



= ,

故答案为: 【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算,平面向量的线性运算,难度中档. 14. (5 分) (2016?江苏)在锐角三角形 ABC 中,若 sinA=2sinBsinC,则 tanAtanBtanC 的最 小值是 8 . 【考点】三角函数的最值;解三角形. 【专题】三角函数的求值;解三角形. 【分析】结合三角形关系和式子 sinA=2sinBsinC 可推出 sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,进 而得到 tanB+tanC=2tanBtanC,结合函数特性可求得最小值. 【解答】解:由 sinA=sin(π﹣A)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,sinA=2sinBsinC, 可得 sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,① 由三角形 ABC 为锐角三角形,则 cosB>0,cosC>0, 在①式两侧同时除以 cosBcosC 可得 tanB+tanC=2tanBtanC,
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又 tanA=﹣tan(π﹣A)=﹣tan(B+C)=﹣
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②,

则 tanAtanBtanC=﹣

?tanBtanC,

由 tanB+tanC=2tanBtanC 可得 tanAtanBtanC=﹣



令 tanBtanC=t,由 A,B,C 为锐角可得 tanA>0,tanB>0,tanC>0, 由②式得 1﹣tanBtanC<0,解得 t>1, tanAtanBtanC=﹣ =﹣ ,

=(

) ﹣ ,由 t>1 得,﹣ ≤

2

<0,

因此 tanAtanBtanC 的最小值为 8, 当且仅当 t=2 时取到等号,此时 tanB+tanC=4,tanBtanC=2, 解得 tanB=2+ ,tanC=2﹣ ,tanA=4, (或 tanB,tanC 互换) ,此时 A,B,C 均为锐角. 【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识,有一定灵活性. 二、解答题(共 6 小题,满分 90 分) 15. (14 分) (2016?江苏)在△ ABC 中,AC=6,cosB= ,C= (1)求 AB 的长; (2)求 cos(A﹣ )的值.
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【考点】解三角形;正弦定理;余弦定理. 【专题】综合题;转化思想;综合法;三角函数的求值;解三角形. 【分析】 (1)利用正弦定理,即可求 AB 的长; (2)求出 cosA、sinA,利用两角差的余弦公式求 cos(A﹣ 【解答】解: (1)∵△ABC 中,cosB= , ∴sinB= , ∵ , )的值.

∴AB=

=5



(2)cosA=﹣cos(C+B)=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣ ∵A 为三角形的内角, ∴sinA= ,



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∴cos(A﹣

)=

cosA+ sinA=



【点评】 本题考查正弦定理, 考查两角和差的余弦公式, 考查学生的计算能力, 属于中档题. 16. (14 分) (2016?江苏)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D,E 分别为 AB,BC 的 中点,点 F 在侧棱 B1B 上,且 B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证: (1)直线 DE∥平面 A1C1F; (2)平面 B1DE⊥平面 A1C1F.

【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】 (1)通过证明 DE∥AC,进而 DE∥A1C1,据此可得直线 DE∥平面 A1C1F1; (2)通过证明 A1F⊥DE 结合题目已知条件 A1F⊥B1D,进而可得平面 B1DE⊥平面 A1C1F. 【解答】解: (1)∵D,E 分别为 AB,BC 的中点, ∴DE 为△ ABC 的中位线, ∴DE∥AC,
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∵ABC﹣A1B1C1 为棱柱, ∴AC∥A1C1, ∴DE∥A1C1, ∵A1C1?平面 A1C1F,且 DE?平面 A1C1F, ∴DE∥A1C1F; (2)∵ABC﹣A1B1C1 为直棱柱, ∴AA1⊥平面 A1B1C1, ∴AA1⊥A1C1, 又∵A1C1⊥A1B1,且 AA1∩A1B1=A1,AA1、A1B1?平面 AA1B1B, ∴A1C1⊥平面 AA1B1B, ∵DE∥A1C1, ∴DE⊥平面 AA1B1B, 又∵A1F?平面 AA1B1B, ∴DE⊥A1F, 又∵A1F⊥B1D,DE∩B1D=D,且 DE、B1D?平面 B1DE, ∴A1F⊥平面 B1DE, 又∵A1F?平面 A1C1F, ∴平面 B1DE⊥平面 A1C1F.

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【点评】本题考查直线与平面平行的证明,以及平面与平面相互垂直的证明,把握常用方法 最关键,难答不大. 17. (14 分) (2016?江苏)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四 棱锥 P﹣A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1(如图所示) ,并要求正四棱 柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1 的 4 倍. (1)若 AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少? (2)若正四棱锥的侧棱长为 6m,则当 PO1 为多少时,仓库的容积最大?

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;组合几何体的面积、体积问题. 【专题】转化思想;导数的综合应用;立体几何. 【分析】 (1) 由正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1 的 4 倍, 可得 PO1=2m 时, O1O=8m, 进而可得仓库的容积;
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(2)设 PO1=xm,则 O1O=4xm,A1O1=

m,A1B1=

m,代入体积公式,

求出容积的表达式,利用导数法,可得最大值. 【解答】解: (1)∵PO1=2m,正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1 的 4 倍. ∴O1O=8m, ∴仓库的容积 V= ×6 ×2+6 ×8=312m , (2)若正四棱锥的侧棱长为 6m, 设 PO1=xm, 则 O1O=4xm,A1O1= 则仓库的容积 V= ×( ? m,A1B1= ) ?x+(
2 2 2 3

m, ? ) ?4x=
2

x +312x, (0<x

3

<6) , 2 ∴V′=﹣26x +312, (0<x<6) , 当 0<x<2 时,V′>0,V(x)单调递增; 当 2 <x<6 时,V′<0,V(x)单调递减; 故当 x=2 时,V(x)取最大值; 即当 PO1=2 m 时,仓库的容积最大. 【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积,导数法求函数的最大值,难度中档. 18. (16 分) (2016?江苏) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知以 M 为圆心的圆 M: x +y ﹣12x﹣14y+60=0 及其上一点 A(2,4) . (1)设圆 N 与 x 轴相切,与圆 M 外切,且圆心 N 在直线 x=6 上,求圆 N 的标准方程;
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2 2

(2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B、C 两点,且 BC=OA,求直线 l 的方程; (3)设点 T(t,0)满足:存在圆 M 上的两点 P 和 Q,使得 范围. + = ,求实数 t 的取值

【考点】圆的一般方程;直线与圆的位置关系. 【专题】综合题;转化思想;综合法;直线与圆. 2 2 2 【分析】 (1)设 N(6,n) ,则圆 N 为: (x﹣6) +(y﹣n) =n ,n>0,从而得到|7﹣n|=|n|+5, 由此能求出圆 N 的标准方程.
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(2)由题意得 OA=2

,kOA=2,设 l:y=2x+b,则圆心 M 到直线 l 的距离:d=



由此能求出直线 l 的方程. (3) = ,即| ,2+2 |= ],欲使 ,又| |≤10,得 t∈[2﹣2 ,2+2 ],对

于任意 t∈[2﹣2 的距离为

,只需要作直线 TA 的平行线,使圆心到直线

,由此能求出实数 t 的取值范围.

【解答】解: (1)∵N 在直线 x=6 上,∴设 N(6,n) , 2 2 2 ∵圆 N 与 x 轴相切,∴圆 N 为: (x﹣6) +(y﹣n) =n ,n>0, 2 2 2 2 又圆 N 与圆 M 外切,圆 M:x +y ﹣12x﹣14y+60=0,即圆 M: ( (x﹣6) +(x﹣7) =25, ∴|7﹣n|=|n|+5,解得 n=1, 2 2 ∴圆 N 的标准方程为(x﹣6) +(y﹣1) =1. (2)由题意得 OA=2 ,kOA=2,设 l:y=2x+b, 则圆心 M 到直线 l 的距离:d= = ,

则|BC|=2

=2

,BC=2

,即 2

=2



解得 b=5 或 b=﹣15, ∴直线 l 的方程为:y=2x+5 或 y=2x﹣15. (3) | 又| |= |≤10,即 = ,即 , ≤10,解得 t∈[2﹣2
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,即|

|=|

|,

,2+2

],

对于任意 t∈[2﹣2 此时,| |≤10,

,2+2

],欲使



只需要作直线 TA 的平行线,使圆心到直线的距离为



必然与圆交于 P、Q 两点,此时|

|=|

|,即



因此实数 t 的取值范围为 t∈[2﹣2 ,2+2 ], . 【点评】 本题考查圆的标准方程的求法, 考查直线方程的求法, 考查实数的取值范围的求法, 是中档题,解题时要认真审题,注意圆的性质的合理运用. 19. (16 分) (2016?江苏)已知函数 f(x)=a +b (a>0,b>0,a≠1,b≠1) . (1)设 a=2,b= . ①求方程 f(x)=2 的根; ②若对于任意 x∈R,不等式 f(2x)≥mf(x)﹣6 恒成立,求实数 m 的最大值; (2)若 0<a<1,b>1,函数 g(x)=f(x)﹣2 有且只有 1 个零点,求 ab 的值. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;函数恒成立问题;函数零点的判定定理. 【专题】计算题;规律型;转化思想;函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】 (1)①利用方程,直接求解即可.②列出不等式,利用二次函数的性质以及函数 的最值,转化求解即可.
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x

x

(2)求出 g(x)=f(x)﹣2=a +b ﹣2,求出函数的导数,构造函数 h(x)=

x

x

+



求出 g(x)的最小值为:g(x0) .同理①若 g(x0)<0,g(x)至少有两个零点,与条件 矛盾.②若 g(x0)>0,利用函数 g(x)=f(x)﹣2 有且只有 1 个零点,推出 g(x0)=0, 然后求解 ab=1. x x 【解答】解:函数 f(x)=a +b (a>0,b>0,a≠1,b≠1) . (1)设 a=2,b= . ①方程 f(x)=2;即: =2,可得 x=0. ≥m( )﹣6 恒成立.

②不等式 f(2x)≥mf(x)﹣6 恒成立,即 令 t= ,t≥2.

不等式化为:t ﹣mt+4≥0 在 t≥2 时,恒成立.可得:△ ≤0 或
2

2

即:m ﹣16≤0 或 m≤4, ∴m∈(﹣∞,4]. 实数 m 的最大值为:4.
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(2)g(x)=f(x)﹣2=a +b ﹣2, g( ′ x) =axlna+bxlnb=ax[ + ], 0<a<1, b>1 可得 , 令h (x) = + ,

x

x

则 h(x)是递增函数,而,lna<0,lnb>0,因此,x0=
x

时,h(x0)=0,

因此 x∈(﹣∞,x0)时,h(x)<0,a lnb>0,则 g′(x)<0. x x∈(x0,+∞)时,h(x)>0,a lnb>0,则 g′(x)>0, 则 g(x)在(﹣∞,x0)递减, (x0,+∞)递增,因此 g(x)的最小值为:g(x0) . ①若 g(x0)<0,x<loga2 时,a >
x

=2,b >0,则 g(x)>0,

x

因此 x1<loga2,且 x1<x0 时,g(x1)>0,因此 g(x)在(x1,x0)有零点, 则 g(x)至少有两个零点,与条件矛盾. ②若 g(x0)>0,函数 g(x)=f(x)﹣2 有且只有 1 个零点,g(x)的最小值为 g(x0) , 可得 g(x0)=0, 0 0 由 g(0)=a +b ﹣2=0, 因此 x0=0,因此 =0,﹣ =1,即 lna+lnb=0,ln(ab)=0,则 ab=1.

可得 ab=1. 【点评】本题考查函数与方程的综合应用,函数的导数的应用,基本不等式的应用,函数恒 成立的应用,考查分析问题解决问题的能力. 20. (16 分) (2016?江苏)记 U={1,2,…,100},对数列{an}(n∈N )和 U 的子集 T,若 T=?,定义 ST=0;若 T={t1,t2,…,tk},定义 ST=
* *

+

+…+

.例如:T={1,3,66}

时,ST=a1+a3+a66.现设{an}(n∈N )是公比为 3 的等比数列,且当 T={2,4}时,ST=30. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对任意正整数 k(1≤k≤100) ,若 T?{1,2,…,k},求证:ST<ak+1; (3)设 C?U,D?U,SC≥SD,求证:SC+SC∩D≥2SD. 【考点】数列的应用;集合的包含关系判断及应用;等比数列的通项公式;数列与不等式的 综合. 【专题】计算题;新定义;探究型;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】 (1)根据题意,由 ST 的定义,分析可得 ST=a2+a4=a2+9a2=30,计算可得 a2=3,进 而可得 a1 的值,由等比数列通项公式即可得答案; 2 k﹣1 (2)根据题意,由 ST 的定义,分析可得 ST≤a1+a2+…ak=1+3+3 +…+3 ,由等比数列的前 n 项和公式计算可得证明; (3) 设 A=?C (C∩D) , B=?D (C∩D) , 则 A∩B=?, 进而分析可以将原命题转化为证明 SC≥2SB, 分 2 种情况进行讨论:①、若 B=?,②、若 B≠?,可以证明得到 SA≥2SB,即可得证明. 【解答】解: (1)当 T={2,4}时,ST=a2+a4=a2+9a2=30,
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因此 a2=3,从而 a1= 故 an=3
n﹣1

=1,



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(2)ST≤a1+a2+…ak=1+3+3 +…+3

2

k﹣1

=

<3 =ak+1,

k

(3)设 A=?C(C∩D) ,B=?D(C∩D) ,则 A∩B=?, 分析可得 SC=SA+SC∩D,SD=SB+SC∩D,则 SC+SC∩D﹣2SD=SA﹣2SB, 因此原命题的等价于证明 SC≥2SB, 由条件 SC≥SD,可得 SA≥SB, ①、若 B=?,则 SB=0,故 SA≥2SB, ②、若 B≠?,由 SA≥SB 可得 A≠?,设 A 中最大元素为 l,B 中最大元素为 m, 若 m≥l+1,则其与 SA<ai+1≤am≤SB 相矛盾, 因为 A∩B=?,所以 l≠m,则 l≥m+1, SB≤a1+a2+…am=1+3+3 +…+3
2 m﹣1

=



=

,即 SA≥2SB,

综上所述,SA≥2SB, 故 SC+SC∩D≥2SD. 【点评】本题考查数列的应用,涉及新定义的内容,解题的关键是正确理解题目中对于新定 义的描述. 附加题【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区 域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.A. 【选修 4—1 几何证明选讲】 21. (10 分) (2016?江苏)如图,在△ ABC 中,∠ABC=90°,BD⊥AC,D 为垂足,E 为 BC 的中点,求证:∠EDC=∠ABD.

【考点】三角形的形状判断. 【专题】转化思想;综合法;解三角形. 【分析】依题意,知∠BDC=90°,∠EDC=∠C,利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°,可 得∠ABD=∠C,从而可证得结论. 【解答】解:由 BD⊥AC 可得∠BDC=90°,
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因为 E 为 BC 的中点,所以 DE=CE= BC, 则:∠EDC=∠C, 由∠BDC=90°,可得∠C+∠DBC=90°, 由∠ABC=90°,可得∠ABD+∠DBC=90°, 因此∠ABD=∠C,而∠EDC=∠C, 所以,∠EDC=∠ABD. 【点评】本题考查三角形的性质应用,利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°,证得 ∠ABD=∠C 是关键,属于中档题.

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B.【选修 4—2:矩阵与变换】 22. (2016?江苏)已知矩阵 A= ,矩阵 B 的逆矩阵 B =
﹣1

,求矩阵 AB.

【考点】逆变换与逆矩阵;矩阵乘法的性质. 【专题】转化思想;定义法;矩阵和变换.

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【分析】依题意,利用矩阵变换求得 B=(B ) =

﹣1

﹣1

=

,再利用矩阵乘法的性质

可求得答案. 【解答】解:∵B =
﹣1



∴B=(B ) =

﹣1

﹣1

=

,又 A=



∴AB=

=



【点评】本题考查逆变换与逆矩阵,考查矩阵乘法的性质,属于中档题. C.【选修 4—4:坐标系与参数方程】

23. (2016?江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为

(t 为参

数) ,椭圆 C 的参数方程为

(θ 为参数) ,设直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,

求线段 AB 的长. 【考点】直线的参数方程;直线与椭圆的位置关系;椭圆的参数方程. 【专题】计算题;方程思想;数学模型法;坐标系和参数方程. 【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程,然后联立方程组,求出直线与椭圆的交 点坐标,代入两点间的距离公式求得答案.
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【解答】解:由

,由②得



代入①并整理得,



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,得



两式平方相加得



联立

,解得





∴|AB|=



【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程,考查了参数方程化普通方程,考查直线与椭圆位 置关系的应用,是基础题.

24. (2016?江苏)设 a>0,|x﹣1|< ,|y﹣2|< ,求证:|2x+y﹣4|<a. 【考点】绝对值不等式. 【专题】转化思想;综合法;不等式. 【分析】运用绝对值不等式的性质:|a+b|≤|a|+|b|,结合不等式的基本性质,即可得证.
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【解答】证明:由 a>0,|x﹣1|< ,|y﹣2|< , 可得|2x+y﹣4|=|2(x﹣1)+(y﹣2)| ≤2|x﹣1|+|y﹣2|< + =a,

则|2x+y﹣4|<a 成立. 【点评】本题考查绝对值不等式的证明,注意运用绝对值不等式的性质,以及不等式的简单 性质,考查运算能力,属于基础题. 附加题【必做题】 25. (2016?江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l:x﹣y﹣2=0,抛物线 C: 2 y =2px(p>0) . (1)若直线 l 过抛物线 C 的焦点,求抛物线 C 的方程; (2)已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q. ①求证:线段 PQ 的中点坐标为(2﹣p,﹣p) ; ②求 p 的取值范围.

【考点】直线与抛物线的位置关系;抛物线的标准方程;抛物线的简单性质.
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【专题】计算题;规律型;数形结合;转化思想;圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】 (1)求出抛物线的焦点坐标,然后求解抛物线方程. (2) :①设点 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,通过抛物线方程,求解 kPQ,通过 P,Q 关于直线 l 对称,点的 kPQ=﹣1,推出 ,PQ 的中点在直线 l 上,推出 =2﹣p,即

可证明线段 PQ 的中点坐标为(2﹣p,﹣p) ; ②利用线段 PQ 中点坐标(2﹣p,﹣p) .推出 ,得到关于 y +2py+4p ﹣
2 2

4p=0,有两个不相等的实数根,列出不等式即可求出 p 的范围. 【解答】解: (1)∵l:x﹣y﹣2=0,∴l 与 x 轴的交点坐标(2,0) , 即抛物线的焦点坐标(2,0) . ∴ ,
2

∴抛物线 C:y =8x. (2)证明:①设点 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则: ,

即:

,kPQ=

=



又∵P,Q 关于直线 l 对称,∴kPQ=﹣1,即 y1+y2=﹣2p,∴



又 PQ 的中点在直线 l 上,∴

=

=2﹣p,

∴线段 PQ 的中点坐标为(2﹣p,﹣p) ; ②因为 Q 中点坐标(2﹣p,﹣p) .



,即


2

,即关于 y +2py+4p ﹣4p=0,有两个不相等的实数根,
2

2

2

∴△>0, (2p) ﹣4(4p ﹣4p)>0, ∴p∈ .

【点评】本题考查抛物线方程的求法,直线与抛物线的位置关系的应用,考查转化思想以及 计算能力.
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26. (2016?江苏) (1)求 7C
*

﹣4C

的值; +(m+2)C +(m+3)C +…+nC +

(2)设 m,n∈N ,n≥m,求证: (m+1)C (n+1)C =(m+1)C .
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【考点】组合及组合数公式. 【专题】证明题;转化思想;综合法;排列组合. 【分析】 (1)由已知直接利用组合公式能求出 7
*

的值.

(2)对任意 m∈N ,当 n=m 时,验证等式成立;再假设 n=k(k≥m)时命题成立,推导出 当 n=k+1 时, 命题也成立, 由此利用数学归纳法能证明 (m+1) C C +…+nC +(n+1)C =(m+1)C . + (m+2) C + (m+3)

【解答】解: (1)7 = ﹣4×

=7×20﹣4×35=0. * 证明: (2)对任意 m∈N , ①当 n=m 时,左边=(m+1) 右边=(m+1) =m+1,

=m+1,等式成立.

②假设 n=k(k≥m)时命题成立, 即(m+1)C 当 n=k+1 时, 左边=(m+1) = 右边= ∵ =(m+1)[ =(m+1)× =(k+2)
第 23 页(共 25 页)

+(m+2)C

+(m+3)C

+…+k

+(k+1)

=(m+1)



+(m+2)

+(m+3) ,

+

+(k+1)

+(k+2)

﹣ [k+3﹣(k﹣m+1)]

]

=(k+2) ∴

, =(m+1) ,

∴左边=右边, ∴n=k+1 时,命题也成立, ∴m,n∈N ,n≥m, (m+1)C (m+1)C .
*

+(m+2)C

+(m+3)C

+…+nC

+(n+1)C

=

【点评】本题考查组合数的计算与证明,是中档题,解题时要认真审题,注意组合数公式和 数学归纳法的合理运用.

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参与本试卷答题和审题的老师有: 翔宇老师; 沂蒙松; 546278733@qq.com; zlzhan; wfy814; 双曲线;maths;ww 方;大何;qiss;danbo7801;sxs123(排名不分先后) 菁优网 2016 年 6 月 13 日

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