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2013中考数学试卷汇编圆的证明与计算2大题


25. (10 分) (2013?南宁)如图,在△ ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,AB 是⊙O 的直径, ⊙O 交 BC 于点 D,DE⊥AC 于点 E,BE 交⊙O 于点 F,连接 AF,AF 的延长线交 DE 于点 P. (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)求 tan∠ABE 的值; (3)若 OA=2,求线段 AP 的长.

考点: 切线的判定;圆周角定理;解直角三角形. 专题: 证明题. 分析: (1)连结 AD、OD,根据圆周角定理得∠ADB=90°,由 AB=AC,根据等腰三角形的 直线得 DC=DB,所以 OD 为△ BAC 的中位线,则 OD∥AC,然后利用 DE⊥AC 得到 OD⊥DE, 这样根据切线的判定定理即可得到结论; (2)易得四边形 OAED 为正方形,然后根据正切的定义计算 tan∠ABE 的值; (3)由 AB 是⊙O 的直径得∠AFB=90°,再根据等角的余角相等得∠EAP=∠ABF,
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则 tan∠EAP=tan∠ABE= ,在 Rt△ EAP 中,利用正切的定义可计算出 EP,然后利用 勾股定理可计算出 AP. 解答: (1)证明:连结 AD、OD,如图, ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB=90°, ∵AB=AC, ∴AD 垂直平分 BC,即 DC=DB, ∴OD 为△ BAC 的中位线, ∴OD∥AC, 而 DE⊥AC, ∴OD⊥DE, ∴DE 是⊙O 的切线; (2)解:∵OD⊥DE,DE⊥AC, ∴四边形 OAED 为矩形, 而 OD=OA, ∴四边形 OAED 为正方形, ∴AE=AO,

∴tan∠ABE=

= ;

(3)解:∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠AFB=90°, ∴∠ABF+∠FAB=90°, 而∠EAP+∠FAB=90°, ∴∠EAP=∠ABF, ∴tan∠EAP=tan∠ABE= , 在 Rt△ EAP 中,AE=2, ∵tan∠EAP= ∴EP=1, ∴AP= = . = ,

点评: 本题考查了圆的切线的判定:过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线.也考查 了圆周角定理和解直角三角形. 25. (10 分) (2013?柳州)如图,⊙O 的直径 AB=6,AD、BC 是⊙O 的两条切线,AD=2, BC= . (1)求 OD、OC 的长; (2)求证:△ DOC∽△OBC; (3)求证:CD 是⊙O 切线.

考点: 切线的判定与性质;相似三角形的判定与性质. 专题: 计算题.

分析: (1)由 AB 的长求出 OA 与 OB 的长,根据 AD,BC 为圆的切线,利用切线的性质 得到三角形 AOD 与三角形 BOC 都为直角三角形,利用勾股定理即可求出 OD 与 OC 的长; (2)过 D 作 DE 垂直于 BC,可得出 BE=AD,DE=AB,在直角三角形 DEC 中,利 用勾股定理求出 CD 的长,根据三边对应成比例的三角形相似即可得证; (3)过 O 作 OF 垂直于 CD,根据(2)中两三角形相似,利用相似三角形的对应角 相等得到一对角相等,利用 AAS 得到三角形 OCF 与三角形 OCB 全等,由全等三角 形的对应边相等得到 OF=OB,即 OF 为圆的半径,即可确定出 CD 为圆 O 的切线. 解答: (1)解:∵AD、BC 是⊙O 的两条切线, ∴∠OAD=∠OBC=90°, 在 Rt△ AOD 与 Rt△ BOC 中,OA=OB=3,AD=2,BC= , 根据勾股定理得:OD= = ,OC= = ;

(2)证明:过 D 作 DE⊥BC,可得出∠DAB=∠ABE=∠BED=90°, ∴四边形 ABED 为矩形, ∴BE=AD=2,DE=AB=6,EC=BC﹣BE= , 在 Rt△ EDC 中,根据勾股定理得:DC= ∵ = = = , = ,

∴△DOC∽△OBC; (3)证明:过 O 作 OF⊥DC,交 DC 于点 F, ∵△DOC∽△OBC, ∴∠BCO=∠FCO, ∵在△ BCO 和△ FCO 中, , ∴△BCO≌△FCO(AAS) , ∴OB=OF, 则 CD 是⊙O 切线.

点评: 此题考查了切线的判定与性质,涉及的知识有:全等三角形的判定与性质,相似三角 形的判定与性质,勾股定理,熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键.

24.如题 24 图,⊙O 是 Rt△ABC 的外接圆,∠ABC=90°,弦 BD=BA,AB=12,BC=5, BE⊥DC 交 DC 的延长线于点 E. (1)求证:∠BCA=∠BAD; (2)求 DE 的长; (3)求证:BE 是⊙O 的切线. 解析: (1)∵AB=DB,∴∠BDA=∠BAD,又∵∠BDA=∠BCA,∴∠BCA=∠BAD. (2)在 Rt△ABC 中,AC= ∴DE=

AB 2 ? BC 2 ? 122 ? 52 ? 13 ,易证△ACB∽△DBE,得

DE BD , ? AB AC

12 ? 12 144 ? 13 13

(3)连结 OB,则 OB=OC,∴∠OBC=∠OCB, ∵四边形 ABCD 内接于⊙O,∴∠BAC+∠BCD=180°, 又∵∠BCE+∠BCD=180°,∴∠BCE=∠BAC,由(1)知∠BCA=∠BAD,∴∠BCE=∠OBC,∴OB∥DE ∵BE⊥DE,∴OB⊥BE,∴BE 是⊙O 的切线. 22. (12 分) (2013?三明)如图①,AB 是半圆 O 的直径,以 OA 为直径作半圆 C,P 是半 圆 C 上的一个动点(P 与点 A,O 不重合) ,AP 的延长线交半圆 O 于点 D,其中 OA=4. (1)判断线段 AP 与 PD 的大小关系,并说明理由; (2)连接 OD,当 OD 与半圆 C 相切时,求 的长;

(3)过点 D 作 DE⊥AB,垂足为 E(如图②) ,设 AP=x,OE=y,求 y 与 x 之间的函数关系 式,并写出 x 的取值范

围. 考点: 圆的综合题. 分析: (1)AP=PD.理由如下:如图①,连接 OP.利用圆周角定理知 OP⊥AD.然后由等 腰三角形“三合一”的性质证得 AP=PD; (2)由三角形中位线的定义证得 CP 是△ AOD 的中位线,则 PC∥DO,所以根据平 行线的性质、切线的性质易求弧 AP 所对的圆心角∠ACP=90°; (3) 分类讨论: E 落在线段 OA 和线段 OB 上, 点 这两种情况下的 y 与 x 的关系式. 这 两种情况都是根据相似三角形(△ APO∽△AED)的对应边成比例来求 y 与 x 之间的 函数关系式的. 解答: (1)AP=PD.理由如下: 解: 如图①,连接 OP. ∵OA 是半圆 C 的直径, ∴∠APO=90°,即 OP⊥AD. 又∵OA=OD,

∴AP=PD; (2)如图①,连接 PC、OD. ∵OD 是半圆 C 的切线, ∴∠AOD=90°. 由(1)知,AP=PD. 又∵AC=OC, ∴PC∥OD, ∴∠ACP=∠AOD=90°, ∴ 的长= =π;

(3)分两种情况: ①当点 E 落在 OA 上(即 0<x≤2 又∵∠A=∠A, ∴△APO∽△AED, ∴ = .

时) ,如图②,连接 OP,则∠APO=∠AED.

∵AP=x,AO=4,AD=2x,AE=4﹣y, ∴ =
2

, ) ; <x<4)时,如图③,连接 OP.

∴y=﹣ x +4(0<x≤2

②当点 E 落在线段 OB 上(即 2 同①可得,△ APO∽△AED, ∴ = .

∵AP=x,AO=4,AD=2x,AE=4+y, ∴ =
2

, <x<4) .

∴y= x +4(2

点评: 本题综合考查了圆周角定理、 圆的切线的性质以及相似三角形的判定与性质. (3) 解答 题时,要分类讨论,以防漏解.解答几何问题时,要数形结合,使抽象的问题变得形 象化,降低题的难度与梯度. 21. 分) (8 (2013?莆田)如图,?ABCD 中,AB=2,以点 A 为圆心,AB 为半径的圆交 边 BC 于点 E,连接 DE、AC、AE.

(1)求证:△ AED≌△DCA; (2)若 DE 平分∠ADC 且与⊙A 相切于点 E,求图中阴影部分(扇形)的面积.

考点: 切线的性质;全等三角形的判定与性质;平行四边形的性质;扇形面积的计算. 分析: (1)由四边形 ABCD 是平行四边形,AB=AE,易证得四边形 AECD 是等腰梯形, 即可得 AC=DE,然后由 SSS,即可证得:△ AED≌△DCA; (2) DE 平分∠ADC 且与⊙A 相切于点 E, 由 可求得∠EAD 的度数, 继而求得∠BAE 的度数,然后由扇形的面积公式求得阴影部分(扇形)的面积. 解答: (1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB=CD,AD∥BC, ∴四边形 AECD 是梯形, ∵AB=AE, ∴AE=CD, ∴四边形 AECD 是等腰梯形, ∴AC=DE, 在△ AED 和△ DCA 中, , ∴△AED≌△DCA(SSS) ; (2)解:∵DE 平分∠ADC, ∴∠ADC=2∠ADE, ∵四边形 AECD 是等腰梯形, ∴∠DAE=∠ADC=2∠AED, ∵DE 与⊙A 相切于点 E, ∴AE⊥DE, 即∠AED=90°, ∴∠ADE=30°, ∴∠DAE=60°, ∴∠DCE=∠AEC=180°﹣∠DAE=120°, ∵四边形 ACD 是平行四边形, ∴∠BAD=∠DCE=120°, ∴∠BAE=∠BAD﹣∠EAD=60°, ∴S 阴影= ×π×2 = π.
2

点评: 此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的判定与性质以及平行 四边形的性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.

20. (2013 福州)如图,在△ ABC 中,以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 M,弦 MN∥BC 交 AB 于点 E,且 ME=1,AM=2,AE= (1)求证:BC 是⊙O 的切线; (2)求 的长.

考点:切线的判定;勾股定理的逆定理;弧长的计算;解直角三角形. 分析: (1)欲证明 BC 是⊙O 的切线,只需证明 OB⊥BC 即可; (2)首先,在 Rt△ AEM 中,根据特殊角的三角函数值求得∠A=30°; 其次,利用圆心角、弧、弦间的关系、圆周角定理求得∠BON=2∠A=60°,由三角形函数的 定义求得 ON= 最后,由弧长公式 l= = 计算 ; 的长.

解答: (1)证明:如图, ∵ME=1,AM=2,AE= , 2 2 2 ∴ME +AE =AM =4, ∴△AME 是直角三角形,且∠AEM=90°. 又∵MN∥BC, ∴∠ABC=∠AEM=90°,即 OB⊥BC. 又∵OB 是⊙O 的半径, ∴BC 是⊙O 的切线; (2)解:如图,连接 ON. 在 Rt△ AEM 中,sinA= ∴∠A=30°. ∵AB⊥MN, ∴ = ,EN=EM=1, = ,

∴∠BON=2∠A=60°. 在 Rt△ OEN 中,sin∠EON= ∴ON= ∴ 的长度是: = , ? = . ,

点评:本题综合考查了切线的判定与性质、勾股定理的逆定理,弧长的计算,解直角三角形 等.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径) ,再证垂直 即可. 16. 分) (2 (2013?常州)如图,△ ABC 内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD 为⊙O 的 直径,AD=6,则 DC= 2 .

考点: 圆周角定理;含 30 度角的直角三角形;勾股定理;圆心角、弧、弦的关系. 分析: 根据直径所对的圆周角是直角可得∠BAD=∠BCD=90°,然后求出∠CAD=30°,利用 同弧所对的圆周角相等求出∠CBD=∠CAD=30°,根据圆内接四边形对角互补求出 ∠BDC=60°再根据等弦所对的圆周角相等求出∠ADB=∠ADC, 从而求出∠ADB=30°, 解直角三角形求出 BD, 再根据直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即 可. 解答: 解:∵BD 为⊙O 的直径, ∴∠BAD=∠BCD=90°, ∵∠BAC=120°, ∴∠CAD=120°﹣90°=30°, ∴∠CBD=∠CAD=30°, 又∵∠BAC=120°, ∴∠BDC=180°﹣∠BAC=180°﹣120°=60°, ∵AB=AC, ∴∠ADB=∠ADC, ∴∠ADB= ∠BDC= ×60°=30°, ∵AD=6, ∴在 Rt△ ABD 中,BD=AD÷cos60°=6÷ 在 Rt△ BCD 中,DC= BD= ×4 =2 =4 . ,

故答案为:2 . 点评: 本题考查了圆周角定理,直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半,以及圆的

相关性质,熟记各性质是解题的关键. 27. 分) (9 (2013?常州)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(6,0) ,点 B(0,6) ,动 点 C 在以半径为 3 的⊙O 上,连接 OC,过 O 点作 OD⊥OC,OD 与⊙O 相交于点 D(其中 点 C、O、D 按逆时针方向排列) ,连接 AB. (1)当 OC∥AB 时,∠BOC 的度数为 45°或 135° ; (2) 连接 AC, BC, 当点 C 在⊙O 上运动到什么位置时, ABC 的面积最大?并求出△ ABC △ 的面积的最大值. (3)连接 AD,当 OC∥AD 时, ①求出点 C 的坐标;②直线 BC 是否为⊙O 的切线?请作出判断,并说明理由.

考点: 圆的综合题. 专题: 综合题. 分析: (1)根据点 A 和点 B 坐标易得△ OAB 为等腰直角三角形,则∠OBA=45°,由于 OC∥AB,所以当 C 点在 y 轴左侧时,有∠BOC=∠OBA=45°;当 C 点在 y 轴右侧时, 有∠BOC=180°﹣∠OBA=135°; (2)由△ OAB 为等腰直角三角形得 AB= OA=6 ,根据三角形面积公式得到当 点 C 到 AB 的距离最大时,△ ABC 的面积最大,过 O 点作 OE⊥AB 于 E,OE 的反向 延长线交⊙O 于 C, 此时 C 点到 AB 的距离的最大值为 CE 的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出 OE,然后计算△ ABC 的面积;
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(3)①过 C 点作 CF⊥x 轴于 F,易证 Rt△ OCF∽Rt△ AOD,则 解得 CF= ,再利用勾股定理计算出 OF=

=

,即

= ,

,则可得到 C 点坐标;

②由于 OC=3,OF= ,所以∠COF=30°,则可得到∴BOC=60°,∠AOD=60°,然后根 据“SAS”判断△ BOC≌△AOD,所以∠BCO=∠ADC=90°,再根据切线的判定定理可 确定 直线 BC 为⊙O 的切线. 解答: (1)∵点 A(6,0) 解: ,点 B(0,6) , ∴OA=OB=6, ∴△OAB 为等腰直角三角形, ∴∠OBA=45°,

∵OC∥AB, ∴当 C 点在 y 轴左侧时,∠BOC=∠OBA=45°;当 C 点在 y 轴右侧时,∠BOC=180° ﹣∠OBA=135°; (2)∵△OAB 为等腰直角三角形, ∴AB= OA=6 , ∴当点 C 到 AB 的距离最大时,△ ABC 的面积最大, 过 O 点作 OE⊥AB 于 E,OE 的反向延长线交⊙O 于 C,如图,此时 C 点到 AB 的距 离的最大值为 CE 的长, ∵△OAB 为等腰直角三角形, ∴AB= OA=6 , ∴OE= AB=3 , ,△ ABC 的面积= CE?AB= ×(3+3 )×6 =9 +18.

∴CE=OC+CE=3+3

∴当点 C 在⊙O 上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时,△ ABC 的面积最 大,最大值为 9 +18. (3)①如图,过 C 点作 CF⊥x 轴于 F, ∵OC∥AD, ∴∠ADO=∠COD=90°, ∴∠DOA+∠DAO=90° 而∠DOA+∠COF=90°, ∴∠COF=∠DAO, ∴Rt△ OCF∽Rt△ AOD, ∴ = ,即 = ,解得 CF= , = , ) ; ,

在 Rt△ OCF 中,OF= ∴C 点坐标为(﹣

②直线 BC 是⊙O 的切线.理由如下: 在 Rt△ OCF 中,OC=3,OF= , ∴∠COF=30°, ∴∠OAD=30°, ∴∠BOC=60°,∠AOD=60°, ∵在△ BOC 和△ AOD 中 , ∴△BOC≌△AOD(SAS) , ∴∠BCO=∠ADC=90°, ∴OC⊥BC,

∴直线 BC 为⊙O 的切线.

点评: 本题考查了圆的综合题:掌握切线的判定定理、平行线的性质和等腰直角三角形的判 定与性质;熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算.

24. 分) (8 (2013?常德)如图,已知⊙O 是等腰直角三角形 ADE 的外接圆,∠ADE=90°, 延长 ED 到 C 使 DC=AD,以 AD,DC 为邻边作正方形 ABCD,连接 AC,连接 BE 交 AC 于点 H.求证: (1)AC 是⊙O 的切线. (2)HC=2AH.

考点: 切线的判定;等腰直角三角形;正方形的性质. 专题: 证明题. 分析: (1) 根据圆周角定理由∠ADE=90°得 AE 为⊙O 的直径, 再根据等腰直角三角形得到 ∠EAD=45°,根据正方形得到∠DAC=45°,则∠EAC=90°,然后根据切线的判定定理 即可得到结论; (2)由 AB∥CD 得△ ABH∽△CEH,则 AH:CH=AB:ED,根据等腰直角三角形和 正方形的性质易得 EC=2AB,则 AH:CH=1:2. 解答: 证明: (1)∵∠ADE=90°,

∴AE 为⊙O 的直径, ∵△ADE 为等腰直角三角形, ∴∠EAD=45°, ∵四边形 ABCD 为正方形, ∴∠DAC=45°, ∴∠EAC=45°+45°=90°, ∴AC⊥AE, ∴AC 是⊙O 的切线; (2)∵四边形 ABCD 为正方形, ∴AB∥CD, ∴△ABH∽△CEH, ∴AH:CH=AB:ED, ∵△ADE 为等腰直角三角形, ∴AD=ED, 而 AD=AB=DC, ∴EC=2AB, ∴AH:CH=1:2, 即 HC=2AH. 点评: 本题考查了切线的判定:过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线.也考查了等 腰直角三角形的性质、正方形的性质以及三角形相似的判定与性质. 20.如图,AB 是⊙O 的直径,PA,PC 分别与⊙O 相切于点 A, C,PC 交 AB 的延长线于点 D,DE⊥PO 交 PO 的延长线于 点 E。 (1)求证:∠EPD=∠EDO (2)若 PC=6,tan∠PDA= 解析:

3 ,求 OE 的长。 4

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27. (10 分) (2013?白银)如图,在⊙O 中,半径 OC 垂直于弦 AB,垂足为点 E. (1)若 OC=5,AB=8,求 tan∠BAC; (2)若∠DAC=∠BAC,且点 D 在⊙O 的外部,判断直线 AD 与⊙O 的位置关系,并加以 证明.

考点: 切线的判定;勾股定理;垂径定理. 专题: 计算题. 分析: (1) 根据垂径定理由半径 OC 垂直于弦 AB, AE=AB=4, 再根据勾股定理计算出 OE=3, 则 EC=2,然后在 Rt△ AEC 中根据正切的定义可得到 tan∠BAC 的值; (2)根据垂径定理得到 AC 弧=BC 弧,再利用圆周角定理可得到∠AOC=2∠BAC, 由于∠DAC=∠BAC,所以∠AOC=∠BAD,利用∠AOC+∠OAE=90°即可得到 ∠BAD+∠OAE=90°,然后根据切线的判定方法得 AD 为⊙O 的切线. 解答: (1)∵半径 OC 垂直于弦 AB, 解: ∴AE=BE=AB=4, 在 Rt△ OAE 中,OA=5,AE=4, ∴OE= =3,

∴EC=OC﹣OE=5﹣3=2, 在 Rt△ AEC 中,AE=4,EC=2, ∴tan∠BAC= ==;

(2)AD 与⊙O 相切.理由如下: ∵半径 OC 垂直于弦 AB, ∵AC 弧=BC 弧, ∴∠AOC=2∠BAC, ∵∠DAC=∠BAC,

∴∠AOC=∠BAD, ∵∠AOC+∠OAE=90°, ∴∠BAD+∠OAE=90°, ∴OA⊥AD, ∴AD 为⊙O 的切线. 点评: 本题考查了切线的判定定理:过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线.也考 查了勾股定理以及垂径定理、圆周角定理. 23. (10 分) (2013?荆门)如图 1,正方形 ABCD 的边长为 2,点 M 是 BC 的中点,P 是线 段 MC 上的一个动点(不与 M、C 重合) ,以 AB 为直径作⊙O,过点 P 作⊙O 的切线,交 AD 于点 F,切点为 E. (1)求证:OF∥BE; (2)设 BP=x,AF=y,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出自变量 x 的取值范围; (3)延长 DC、FP 交于点 G,连接 OE 并延长交直线 DC 与 H(图 2) ,问是否存在点 P, 使△ EFO∽△EHG(E、F、O 与 E、H、G 为对应点)?如果存在,试求(2)中 x 和 y 的 值;如果不存在,请说明理由.

考点: 圆的综合题. 分析: (1)首先证明 Rt△ FAO≌Rt△ FEO 进而得出∠AOF=∠ABE,即可得出答案; (2)过 F 作 FQ⊥BC 于 Q,利用勾股定理求出 y 与 x 之间的函数关系,根据 M 是 BC 中点以及 BC=2,即可得出 BP 的取值范围; (3)首先得出当∠EFO=∠EHG=2∠EOF 时,即∠EOF=30°时,Rt△ EFO∽Rt△ EHG,
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求出 y=AF=OA?tan30°=

,即可得出答案.

解答: (1)证明:连接 OE FE、FA 是⊙O 的两条切线 ∴∠FAO=∠FEO=90° 在 Rt△ OAF 和 Rt△ OEF 中,

∴Rt△ FAO≌Rt△ FEO(HL) , ∴∠AOF=∠EOF= ∠AOE,

∴∠AOF=∠ABE, ∴OF∥BE, (2)解:过 F 作 FQ⊥BC 于 Q ∴PQ=BP﹣BQ=x﹣y PF=EF+EP=FA+BP=x+y ∵在 Rt△ PFQ 中 ∴FQ +QP =PF 2 2 2 ∴2 +(x﹣y) =(x+y) 化简得: , (1<x<2) ;
2 2 2

(3)存在这样的 P 点, 理由:∵∠EOF=∠AOF, ∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF, 当∠EFO=∠EHG=2∠EOF 时, 即∠EOF=30°时,Rt△ EFO∽Rt△ EHG, 此时 Rt△ AFO 中, y=AF=OA?tan30°= ∴ ∴当 时,△ EFO∽△EHG. ,

点评: 此题主要考查了圆的综合应用以及全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定 2 2 2 与性质等知识,得出 FQ +QP =PF 是解题关键.

19.(本小题满分 7 分)如图, AB 是圆 O 的直径, AM 和 BN 是圆 O 的两条切线, E 是 OF 圆 O 上一点, 是 AM 上一点, 连接 DE 并延长交 BN 于 C , OD / / BE , / / BN . 且 D (1)求证: DE 是圆 O 的切线; D A M 1 (2)求证: OF ? CD . E

2

O

F

B

C

N

解析: (1)证明:连接 OE , AM 是⊙ O 的切线, OA 是⊙ O 的半径 ∴ ?DAO ? 90 ° ∵ AD ∥ BC ∴ ?AOD ? ?OBE , ?DOE ? ?OEB ∵ OB ? OE ∴ ?OEB ? ?OBE 在△ AOD 和△ DOE 中

?OA ? OE ? ??AOD ? ?DOE ?OD ? OD ?
∴ △ AOD ≌△DOE ∴ ?DAO ? ?DEO ? 90 ° ∴ DE 与⊙ O 相切 ··············································· (3 分) ··············································· (2)∵ AM 和 BN 是⊙ O 的两切线 ∴ MA ? AB , NB ? AB ∴ AD ∥ BC ∵ O 是 AB 的中点, OF ∥ BN

1 1 ( AD ? BC ) 且 OF ? ( AD ? BC ) 2 2 ∵ DE 切⊙ O 于点 E ∴ DA ? DE , CB ? CE ∴ DC ? AD ? CB
∴ OF ∥

23. (10 分) (2013?恩施州)如图所示,AB 是⊙O 的直径,AE 是弦,C 是劣弧 AE 的中点, 过 C 作 CD⊥AB 于点 D,CD 交 AE 于点 F,过 C 作 CG∥AE 交 BA 的延长线于点 G. (1)求证:CG 是⊙O 的切线. (2)求证:AF=CF. (3)若∠EAB=30°,CF=2,求 GA 的长.

考点: 切线的判定;等腰三角形的判定与性质;垂径定理;圆周角定理;相似三角形的判定 与性质. 专题: 证明题. 分析: (1)连结 OC,由 C 是劣弧 AE 的中点,根据垂径定理得 OC⊥AE,而 CG∥AE,所 以 CG⊥OC,然后根据切线的判定定理即可得到结论; (2)连结 AC、BC,根据圆周角定理得∠ACB=90°,∠B=∠1,而 CD⊥AB,则 ∠CDB=90°,根据等角的余角相等得到∠B=∠2,所以∠1=∠2,于是得到 AF=CF; (3)在 Rt△ ADF 中,由于∠DAF=30°,FA=FC=2,根据含 30 度的直角三角形三边 的关系得到 DF=1,AD= ,再由 AF∥CG,根据平行线分线段成比例得到 DA: AG=DF:CF 然后把 DF=1,AD= ,CF=2 代入计算即可. 解答: (1)证明:连结 OC,如图, ∵C 是劣弧 AE 的中点, ∴OC⊥AE, ∵CG∥AE, ∴CG⊥OC, ∴CG 是⊙O 的切线;
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(2)证明:连结 AC、BC, ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠2+∠BCD=90°, 而 CD⊥AB, ∴∠B+∠BCD=90°, ∴∠B=∠2, ∵AC 弧=CE 弧, ∴∠1=∠B, ∴∠1=∠2, ∴AF=CF; (3)解:在 Rt△ ADF 中,∠DAF=30°,FA=FC=2, ∴DF= AF=1, ∴AD= DF= , ∵AF∥CG, ∴DA:AG=DF:CF,即 ∴AG=2 .

:AG=1:2,

点评: 本题考查了圆的切线的判定:过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线.也考查 了圆周角定理、垂径定理和等腰三角形的判定.

22. 分) (9 (2013?鄂州)已知:如图,AB 为⊙O 的直径,AB⊥AC,BC 交⊙O 于 D,E 是 AC 的中点,ED 与 AB 的延长线相交于点 F. (1)求证:DE 为⊙O 的切线. (2)求证:AB:AC=BF:DF.

考点: 切线的判定;相似三角形的判定与性质. 专题: 证明题. 分析: (1)连接 OD、AD,求出 CDA=∠BDA=90°,求出∠1=∠4,∠2=∠3,推出 ∠4+∠3=∠1+∠2=90°,根据切线的判定推出即可;
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(2)证△ ABD∽△CAD,推出 AB:AC=BF:DF. 解答: 证明: (1)连结 DO、DA, ∵AB 为⊙O 直径, ∴∠CDA=∠BDA=90°, ∵CE=EA, ∴DE=EA, ∴∠1=∠4, ∵OD=OA, ∴∠2=∠3, ∵∠4+∠3=90°, ∴∠1+∠2=90°, 即:∠EDO=90°,

=

,证△ FAD∽△FDB,推出

=

,即可得出

∵OD 是半径, ∴DE 为⊙O 的切线; (2)∵∠3+∠DBA=90°,∠3+∠4=90°, ∴∠4=∠DBA, ∵∠CDA=∠BDA=90°, ∴△ABD∽△CAD, ∴ = ,

∵∠FDB+∠BDO=90°,∠DBO+∠3=90°, 又∵OD=OB, ∴∠BDO=∠DBO, ∴∠3=∠FDB, ∵∠F=∠F, ∴△FAD∽△FDB, ∴ ∴ = = , ,

即 AB:AC=BF:DF.

点评: 本题考查了切线的判定,圆周角定理,相似三角形的性质和判定的应用,主要考查学 生的推理能力,题目比较典型,是一道比较好的题目. 24. 分) (9 (2013?呼和浩特)如图,AD 是△ ABC 的角平分线,以点 C 为圆心,CD 为半 径作圆交 BC 的延长线于点 E,交 AD 于点 F,交 AE 于点 M,且∠B=∠CAE,EF:FD=4: 3. (1)求证:点 F 是 AD 的中点; (2)求 cos∠AED 的值; (3)如果 BD=10,求半径 CD 的长.

考点: 相似三角形的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;解直角三角形. 分析: (1)由 AD 是△ ABC 的角平分线,∠B=∠CAE,易证得∠ADE=∠DAE,即可得 ED=EA,又由 ED 是直径,根据直径所对的圆周角是直角,可得 EF⊥AD,由三线合 一的知识,即可判定点 F 是 AD 的中点; (2)首先连接 DM,设 EF=4k,df=3k,然后由勾股定理求得 ED 的长,继而求得 DM 与 ME 的长,由余弦的定义,即可求得答案; (3)易证得△ AEC∽△BEA,然后由相似三角形的对应边成比例,可得方程: (5k)
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2

= k?(10+5k) ,解此方程即可求得答案.

解答: (1)证明:∵AD 是△ ABC 的角平分线, ∴∠1=∠2, ∵∠ADE=∠1+∠B,∠DAE=∠2+∠3,且∠B=∠3, ∴∠ADE=∠DAE, ∴ED=EA, ∵ED 为⊙O 直径, ∴∠DFE=90°, ∴EF⊥AD, ∴点 F 是 AD 的中点; (2)解:连接 DM, 设 EF=4k,df=3k, 则 ED= =5k,

∵ AD?EF= AE?DM, ∴DM= ∴ME= ∴cos∠AED= = = = k,

= k, ;

(3)解:∵∠B=∠3,∠AEC 为公共角, ∴△AEC∽△BEA, ∴AE:BE=CE:AE, 2 ∴AE =CE?BE,

∴(5k) = k?(10+5k) , ∵k>0, ∴k=2, ∴CD= k=5.

2

点评: 此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股 定理以及三角函数等知识.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思 想与方程思想的应用. 24. (本小题满分 11 分)
⌒ 如图 16,△OAB 中,OA = OB = 10,∠AOB = 80°,以点 O 为圆心,6 为半径的优弧MN分

别交 OA,OB 于点 M,N. (1)点P在右半弧上(∠BOP是锐角) ,将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′. 求证:AP = BP′; (2)点T在左半弧上,若AT与弧相切,求点T到OA的距离;
⌒ (3)设点 Q 在优弧MN上,当△AOQ 的面积最大时,直接写出∠BOQ 的度数.

解析: (1)证明:如图 2,∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80?+∠BOP. ∠BOP’=∠POP’+∠BOP=80?+∠BOP ∴∠AOP=∠BOP’ ?????????????? 2 分 又∵OA=OB,OP=OP’ ∴△AOP≌△BOP’ ????????????? 4 分 ∴AP=BP’ ????????????????? 5 分

(2)解:连接 OT,过 T 作 TH⊥OA 于点 H
⌒ ∵AT 与MN相切,∴∠ATO=90? ???????????????? 6 分

∴ AT ? OA ? OT = 10 ? 6 =8 ····························7 分 ···························
2 2 2 2

1 1 1 1 ? OA ? TH = ? AT ? OT ,即 ?10 ? TH = ? 8 ? 6 2 2 2 2 24 ∴TH= ,即为所求的距离 ····································9 分 ··································· 5
∵ (3)10?,170? ?????????????????????????? 11 分 【注:当 OQ⊥OA 时,△AOQ 的面积最大,且左右两半弧上各存在一点】
2

27. (14 分) (2013?遵义)如图,已知抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)的顶点坐标为(4,﹣ ) , 且与 y 轴交于点 C(0,2) ,与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左边) . (1)求抛物线的解析式及 A,B 两点的坐标; (2) (1) 在 中抛物线的对称轴 l 上是否存在一点 P, AP+CP 的值最小?若存在, AP+CP 使 求 的最小值,若不存在,请说明理由; (3)在以 AB 为直径的⊙M 相切于点 E,CE 交 x 轴于点 D,求直线 CE 的解析式.

考点: 二次函数综合题. 专题: 综合题. 分析: (1)利用顶点式求得二次函数的解析式后令其等于 0 后求得 x 的值即为与 x 轴交点 坐标的横坐标; (2)线段 BC 的长即为 AP+CP 的最小值; (3)连接 ME,根据 CE 是⊙M 的切线得到 ME⊥CE,∠CEM=90°,从而证得 △ COD≌△MED,设 OD=x,在 RT△ COD 中,利用勾股定理求得 x 的值即可求得点 D 的坐标,然后利用待定系数法确定线段 CE 的解析式即可. 解答: 2 解: (1)由题意,设抛物线的解析式为 y=a(x﹣4) ﹣ (a≠0)
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∵抛物线经过(0,2) ∴a(0﹣4) ﹣ =2 解得:a=
2

∴y= (x﹣4) ﹣ 即:y= x ﹣ x+2 当 y=0 时, x ﹣ x+2=0 解得:x=2 或 x=6 ∴A(2,0) ,B(6,0) ; (2)存在, 如图 2,由(1)知:抛物线的对称轴 l 为 x=4, 因为 A、B 两点关于 l 对称,连接 CB 交 l 于点 P,则 AP=BP,所以 AP+CP=BC 的值 最小 ∵B(6,0) ,C(0,2) ∴OB=6,OC=2 ∴BC=2 , ∴AP+CP=BC=2 ∴AP+CP 的最小值为 2 ; (3)如图 3,连接 ME ∵CE 是⊙M 的切线 ∴ME⊥CE,∠CEM=90° 由题意,得 OC=ME=2,∠ODC=∠MDE ∵在△ COD 与△ MED 中
2 2

2

∴△COD≌△MED(AAS) , ∴OD=DE,DC=DM 设 OD=x 则 CD=DM=OM﹣OD=4﹣x 2 2 2 则 RT△ COD 中,OD +OC =CD , 2 2 2 ∴x +2 =(4﹣x) ∴x= ∴D( ,0) 设直线 CE 的解析式为 y=kx+b ∵直线 CE 过 C(0,2) ,D( ,0)两点,



解得:

∴直线 CE 的解析式为 y=﹣

+2;

点评: 本题考查了二次函数的综合知识,特别是用顶点式求二次函数的解析式,更是中考中 的常考内容,本题难度偏大. 22. (12 分) (2013?黔东南州)如图,在直角三角形 ABC 中,∠ABC=90°. (1)先作∠ACB 的平分线;设它交 AB 边于点 O,再以点 O 为圆心,OB 为半径作⊙O(尺 规作图,保留作图痕迹,不写作法) ; (2)证明:AC 是所作⊙O 的切线; (3)若 BC= ,sinA= ,求△AOC 的面积.

考点: 作图—复杂作图;切线的判定. 分析: (1)根据角平分线的作法求出角平分线 FC,进而得出⊙O; (2)根据切线的判定定理求出 EO=BO,即可得出答案; (3)根据锐角三角函数的关系求出 AC,EO 的长,即可得出答案. 解答: (1)解:如图所示:
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(2)证明:过点 O 作 OE⊥AC 于点 E, ∵FC 平分∠ACB, ∴OB=OE, ∴AC 是所作⊙O 的切线;

(3)解:∵sinA= ,∠ABC=90°, ∴∠A=30°, ∴∠ACB=∠OCB= ACB=30°, ∵BC= ∴AC=2 , ,BO=tan30°BC= × =1, ×1= .

∴△AOC 的面积为: ×AC×OE= ×2

点评: 此题主要考查了复杂作图以及切线的判定和锐角三角函数的关系等知识, 正确把握切 线的判定定理是解题关键. 25. (10 分) (2013?钦州)如图,在 Rt△ ABC 中,∠A=90°,O 是 BC 边上一点,以 O 为圆 心的半圆与 AB 边相切于点 D,与 AC、BC 边分别交于点 E、F、G,连接 OD,已知 BD=2, AE=3,tan∠BOD= . (1)求⊙O 的半径 OD; (2)求证:AE 是⊙O 的切线; (3)求图中两部分阴影面积的和.

考点: 切线的判定与性质;扇形面积的计算. 专题: 计算题. 分析: (1) AB 为圆 O 的切线, 由 利用切线的性质得到 OD 垂直于 AB, 在直角三角形 BDO 中,利用锐角三角函数定义,根据 tan∠BOD 及 BD 的值,求出 OD 的值即可; (2)连接 OE,由 AE=OD=3,且 OD 与 AE 平行,利用一组对边平行且相等的四边 形为平行四边形,根据平行四边形的对边平行得到 OE 与 AD 平行,再由 DA 与 AE 垂直得到 OE 与 AC 垂直,即可得证; (3)阴影部分的面积由三角形 BOD 的面积+三角形 ECO 的面积﹣扇形 DOF 的面积 ﹣扇形 EOG 的面积,求出即可. 解答: (1)∵AB 与圆 O 相切, 解: ∴OD⊥AB,
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在 Rt△ BDO 中,BD=2,tan∠BOD= ∴OD=3; (2)连接 OE, ∵AE=OD=3,AE∥OD, ∴四边形 AEOD 为平行四边形, ∴AD∥EO, ∵DA⊥AE, ∴OE⊥AC, 又∵OE 为圆的半径, ∴AC 为圆 O 的切线; (3)∵OD∥AC, ∴ = ,即 = ,

= ,

∴AC=7.5, ∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5, ∴S 阴影=S△ BDO+S△ OEC﹣S 扇形 BOD﹣S 扇形 EOG= ×2×3+ ×3×4.5﹣ =3+ = ﹣ .

点评: 此题考查了切线的判定与性质,扇形的面积,锐角三角函数定义,平行四边形的判定 与性质,以及平行线的性质,熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键. 22. 分) (8 (2013?邵阳)如图所示,某窗户有矩形和弓形组成,已知弓形的跨度 AB=3cm, 弓形的高 EF=1cm,现计划安装玻璃,请帮工程师求出 所在圆 O 的半径 r.

考点: 垂径定理的应用;勾股定理. 分析: 根据垂径定理可得 AF= AB,再表示出 AO、OF,然后利用勾股定理列式进行计算即 可得解. 解答: 解:∵弓形的跨度 AB=3cm,EF 为弓形的高, ∴OE⊥AB, ∴AF= AB= cm, ∵ 所在圆 O 的半径为 r,弓形的高 EF=1cm,

∴AO=r,OF=r﹣1, 2 2 2 在 Rt△ AOF 中,AO =AF +OF , 即 r =( ) +(r﹣1) , 解得 r= 答: cm. 所在圆 O 的半径为 cm.
2 2 2

点评: 本题考查了垂径定理的应用,勾股定理的应用,此类题目通常采用把半弦,弦心距, 半径三者放到同一个直角三角形中,利用勾股定理解答. 28. (10 分) (2013?衡阳)如图,在平面直角坐标系中,已知 A(8,0) ,B(0,6) ,⊙M 经过原点 O 及点 A、B. (1)求⊙M 的半径及圆心 M 的坐标;

(2)过点 B 作⊙M 的切线 l,求直线 l 的解析式; (3)∠BOA 的平分线交 AB 于点 N,交⊙M 于点 E,求点 N 的坐标和线段 OE 的长.

考点: 圆的综合题. 专题: 综合题. 分析: (1)根据圆周角定理∠AOB=90°得 AB 为⊙M 的直径,则可得到线段 AB 的中点即 点 M 的坐标,然后利用勾股定理计算出 AB=10,则可确定⊙M 的半径为 5; (2)点 B 作⊙M 的切线 l 交 x 轴于 C,根据切线的性质得 AB⊥BC,利用等角的余 角相等得到∠BAO=∠CBO,然后根据相似三角形的判定方法有 Rt△ ABO∽Rt△ BCO,所以 = ,可解得 OC= ,则 C 点坐标为(﹣ ,0) ,最后

运用待定系数法确定 l 的解析式; (3)作 ND⊥x 轴,连结 AE,易得△ NOD 为等腰直角三角形,所以 ND=OD, ON= ND,再利用 ND∥OB 得到△ ADN∽△AOB,则 ND:OB=AD:AO,即 ND: 6=(8﹣ND) :8,解得 ND= ,所以 OD= ,ON= ,即可确定 N 点坐标;由 ,则 BN=10﹣ = ,

于△ ADN∽△AOB,利用 ND:OB=AN:AB,可求得 AN=

然后利用圆周角定理得∠OBA=OEA,∠BOE=∠BAE,所以△ BON∽△EAN,再利 用相似比可求出 ME,最后由 OE=ON+NE 计算即可. 解答: (1)∵∠AOB=90°, 解: ∴AB 为⊙M 的直径, ∵A(8,0) ,B(0,6) , ∴OA=8,OB=6, ∴AB= =10,

∴⊙M 的半径为 5;圆心 M 的坐标为( (4,3) ; (2)点 B 作⊙M 的切线 l 交 x 轴于 C,如图, ∵BC 与⊙M 相切,AB 为直径, ∴AB⊥BC, ∴∠ABC=90°, ∴∠CBO+∠ABO=90°, 而∠BAO=∠ABO=90°, ∴∠BAO=∠CBO, ∴Rt△ ABO∽Rt△ BCO, ∴ = ,即 = ,解得 OC= ,

∴C 点坐标为(﹣ ,0) , 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b, 把 B(0,6) 点(﹣ ,0)分别代入 、C ,

解得



∴直线 l 的解析式为 y= x+6;

(3)作 ND⊥x 轴,连结 AE,如图, ∵∠BOA 的平分线交 AB 于点 N, ∴△NOD 为等腰直角三角形, ∴ND=OD, ∴ND∥OB, ∴△ADN∽△AOB, ∴ND:OB=AD:AO, ∴ND:6=(8﹣ND) :8,解得 ND= ∴OD= ,ON= ND= , ) ; , ,

∴N 点坐标为(

∵△ADN∽△AOB, ∴ND:OB=AN:AB,即 ∴BN=10﹣ = , :6=AN:10,解得 AN= ,

∵∠OBA=OEA,∠BOE=∠BAE, ∴△BON∽△EAN, ∴BN:NE=ON:AN,即 ∴OE=ON+NE= + :NE= =7 . : ,解得 NE= ,

点评: 本题考查了圆的综合题:掌握切线的性质、圆周角定理及其推论;学会运用待定系数 法求函数的解析式;熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算.

21. (10 分) (2013?宜昌)半径为 2cm 的与⊙O 边长为 2cm 的正方形 ABCD 在水平直线 l 的同侧,⊙O 与 l 相切于点 F,DC 在 l 上. (1)过点 B 作的一条切线 BE,E 为切点. ①填空:如图 1,当点 A 在⊙O 上时,∠EBA 的度数是 30° ; ②如图 2,当 E,A,D 三点在同一直线上时,求线段 OA 的长; (2)以正方形 ABCD 的边 AD 与 OF 重合的位置为初始位置,向左移动正方形(图 3) ,至 边 BC 与 OF 重合时结束移动,M,N 分别是边 BC,AD 与⊙O 的公共点,求扇形 MON 的 面积的范围.

考点: 圆的综合题. 分析: (1)①根据切线的性质以及直角三角形的性质得出∠EBA 的度数即可;
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②利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出 OA 即可; (2)设∠MON=n°,得出 S 扇形 MON= ×2 =
2

=

, 进而求出

n 进而利用函数增减性分析①当 N,

M,A 分别与 D,B,O 重合时,MN 最大,②当 MN=DC=2 时,MN 最小,分别求 出即可. 解答: (1)①∵半径为 2cm 的与⊙O 边长为 2cm 的正方形 ABCD 在水平直线 l 的同侧, 解: 当点 A 在⊙O 上时,过点 B 作的一条切线 BE,E 为切点, ∴OB=4,EO=2,∠OEB=90°, ∴∠EBA 的度数是:30°; ②如图 2, ∵直线 l 与⊙O 相切于点 F, ∴∠OFD=90°, ∵正方形 ADCB 中,∠ADC=90°, ∴OF∥AD, ∵OF=AD=2, ∴四边形 OFDA 为平行四边形, ∵∠OFD=90°, ∴平行四边形 OFDA 为矩形, ∴DA⊥AO, ∵正方形 ABCD 中,DA⊥AB, ∴O,A,B 三点在同一条直线上; ∴EA⊥OB, ∵∠OEB=∠AOE,

∴△EOA∽△BOE, ∴ =
2



∴OE =OA?OB, ∴OA(2+OA)=4, 解得:OA=﹣1± , ∵OA>0,∴OA= ﹣1; 方法二: 在 Rt△ OAE 中,cos∠EOA= 在 Rt△ EOB 中,cos∠EOB= ∴ = , = = , ,

解得:OA=﹣1± , ∵OA>0,∴OA= ﹣1; 方法三: ∵OE⊥EB,EA⊥OB, 2 ∴由射影定理,得 OE =OA?OB, ∴OA(2+OA)=4, 解得:OA=﹣1± , ∵OA>0, ∴OA= ﹣1;
2 2

(2)如图 3,设∠MON=n°,S 扇形 MON=

×2 =

n(cm ) ,

S 随 n 的增大而增大,∠MON 取最大值时,S 扇形 MON 最大, 当∠MON 取最小值时,S 扇形 MON 最小, 过 O 点作 OK⊥MN 于 K, ∴∠MON=2∠NOK,MN=2NK, 在 Rt△ ONK 中,sin∠NOK= = ,

∴∠NOK 随 NK 的增大而增大,∴∠MON 随 MN 的增大而增大, ∴当 MN 最大时∠MON 最大,当 MN 最小时∠MON 最小, ①当 N,M,A 分别与 D,B,O 重合时,MN 最大,MN=BD, ∠MON=∠BOD=90°,S 扇形 MON 最大=π(cm ) , ②当 MN=DC=2 时,MN 最小, ∴ON=MN=OM, ∴∠NOM=60°, S 扇形 MON 最小= π(cm ) , ∴ π≤S 扇形 MON≤π. 故答案为:30°.
2 2

点评: 此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和函数增减性等知识, 得 出扇形 MON 的面积的最大值与最小值是解题关键. 25. (10 分) (2013?襄阳)如图,△ ABC 内接于⊙O,且 AB 为⊙O 的直径.∠ACB 的平分 线交⊙O 于点 D,过点 D 作⊙O 的切线 PD 交 CA 的延长线于点 P,过点 A 作 AE⊥CD 于 点 E,过点 B 作 BF⊥CD 于点 F. (1)求证:DP∥AB; (2)若 AC=6,BC=8,求线段 PD 的长.

考点: 切线的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质. 专题: 证明题. 分析: (1)连结 OD,由 AB 为⊙O 的直径,根据圆周角定理得 AB 为⊙O 的直径得 ∠ACB=90°,再由 ACD=∠BCD=45°,则∠DAB=∠ABD=45°,所以△ DAB 为等腰直 角三角形,所以 DO⊥AB,根据切线的性质得 OD⊥PD,于是可得到 DP∥AB; (2)先根据勾股定理计算出 AB=10,由于△ DAB 为等腰直角三角形,可得到
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AD=

=5

;由△ ACE 为等腰直角三角形,得到 AE=CE= ,则 CD=7

=3

,在 Rt△ AED

中利用勾股定理计算出 DE=4 = = =

,易证得∴△PDA∽△PCD,得到

,所以 PA= PD,PC= PD,然后利用 PC=PA+AC 可计算出 PD.

解答: (1)证明:连结 OD,如图, ∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ACB=90°, ∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D, ∴∠ACD=∠BCD=45°, ∴∠DAB=∠ABD=45°, ∴△DAB 为等腰直角三角形, ∴DO⊥AB, ∵PD 为⊙O 的切线, ∴OD⊥PD,

∴DP∥AB;

(2)解:在 Rt△ ACB 中,AB= ∵△DAB 为等腰直角三角形, ∴AD= = 5 ,

=10,

∵AE⊥CD, ∴△ACE 为等腰直角三角形, ∴AE=CE= = =3 , = , =4 ,

在 Rt△ AED 中,DE= ∴CD=CE+DE=3 +4 =7 ∵AB∥PD, ∴∠PDA=∠DAB=45°, ∴∠PAD=∠PCD, 而∠DPA=∠CPD, ∴△PDA∽△PCD, ∴ = = = ,

∴PA= PD,PC= PD, 而 PC=PA+AC, ∴ PD+6= PD, ∴PD= .

点评: 本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了圆周角定理定理、 等腰直角三角形的性质和三角形相似的判定与性质. 20. 分) (8 (2013?咸宁)如图,△ ABC 内接于⊙O,OC 和 AB 相交于点 E,点 D 在 OC 的 延长线上,且∠B=∠D=∠BAC=30°. (1)试判断直线 AD 与⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)AB=6 ,求⊙O 的半径.

考点: 切线的判定;解直角三角形. 分析: (1)连接 OA,求出∠AOC=2∠B=60°,根据三角形内角和定理求出∠OAD,根据切 线判定推出即可; (2)求出∠AEC=90°,根据垂径定理求出 AE,根据锐角三角函数的定义即可求出 AC,根据等边三角形的性质推出即可. 解答: (1)直线 AD 与⊙O 相切.理由如下: 解: 如图,连接 OA. ∵∠B=30°, ∴∠AOC=2∠B=60°, ∴∠OAD=180°﹣∠AOD﹣∠D=90°, 即 OA⊥AD, ∵OA 为半径, ∴AD 是⊙O 的切线.
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(2)∵OA=OC,∠AOC=60°, ∴△ACO 是等边三角形, ∴∠ACO=60°,AC=OA, ∴∠AEC=180°﹣∠EAC﹣∠ACE=90°, ∴OC⊥AB, 又∵OC 是⊙O 的半径, ∴AE= AB= 6 =3 , =sin 60°,

在 Rt△ ACE 中,sin∠ACE= ∴AC=6, ∴⊙O 的半径为 6.

点评: 本题考查了切线的判定,含 30 度角的直角三角形,锐角三角函数的定义,等边三角 形的性质和判定的应用,主要考查了学生综合运用性质进行推理的能力.

24. (10 分) (2013?十堰)如图 1,△ ABC 中,CA=CB,点 O 在高 CH 上,OD⊥CA 于点 D,OE⊥CB 于点 E,以 O 为圆心,OD 为半径作⊙O. (1)求证:⊙O 与 CB 相切于点 E; (2)如图 2,若⊙O 过点 H,且 AC=5,AB=6,连接 EH,求△ BHE 的面积和 tan∠BHE 的 值.

考点: 切线的判定与性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质. 专题: 计算题. 分析: (1)由 CA=CB,且 CH 垂直于 AB,利用三线合一得到 CH 为角平分线,再由 OD 垂直于 AC,OE 垂直于 CB,利用角平分线定理得到 OE=OD,利用切线的判定方法 即可得证; (2)由 CA=CB,CH 为高,利用三线合一得到 AH=BH,在直角三角形 ACH 中,利 用勾股定理求出 CH 的长,由圆 O 过 H,CH 垂直于 AB,得到圆 O 与 AB 相切,由 (1)得到圆 O 与 CB 相切,利用切线长定理得到 BE=BH,如图所示,过 E 作 EF 垂 直于 AB,得到 EF 与 CH 平行,得出△ BEF 与△ BCH 相似,由相似得比例,求出 EF 的长,由 BH 与 EF 的长,利用三角形面积公式即可求出△ BEH 的面积;根据 EF 与 BE 的长,利用勾股定理求出 FB 的长,由 BH﹣BF 求出 HF 的长,利用锐角三角形函 数定义即可求出 tan∠BHE 的值. 解答: (1)证明:∵CA=CB,点 O 在高 CH 上, ∴∠ACH=∠BCH, ∵OD⊥CA,OE⊥CB, ∴OE=OD, ∴圆 O 与 CB 相切于点 E;
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(2)解:∵CA=CB,CH 是高, ∴AH=BH= AB=3, ∴CH= =4,

∵点 O 在高 CH 上,圆 O 过点 H, ∴圆 O 与 AB 相切于 H 点, 由(1)得圆 O 与 CB 相切于点 E, ∴BE=BH=3, 如图,过 E 作 EF⊥AB,则 EF∥CH, ∴△BEF∽△BCH, ∴ = ,即 = ,

解得:EF=

, = , = ,

∴S△ BHE= BH?EF= ×3× 在 Rt△ BEF 中,BF= ∴HF=BH﹣BF=3﹣ = , 则 tan∠BHE= =2.

点评: 此题考查了切线的判定与性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理,熟练掌握切线 的判定与性质是解本题的关键. 23. 分) (9 (2013?临沂)如图,在△ ABC 中,∠ACB=90°,E 为 BC 上一点,以 CE 为直径 作⊙O,AB 与⊙O 相切于点 D,连接 CD,若 BE=OE=2. (1)求证:∠A=2∠DCB; (2)求图中阴影部分的面积(结果保留 π 和根号) .

考点: 切线的性质;扇形面积的计算 分析: (1)连接 OD,求出∠ODB=90°,求出∠B=30°,∠DOB=60°,求出∠DCB 度数,关 键三角形内角和定理求出∠A,即可得出答案; (2)根据勾股定理求出 BD,分别求出△ ODB 和扇形 DOE 的度数,即可得出答案. 解答: (1)证明:连接 OD, ∵AB 是⊙O 切线, ∴∠ODB=90°, ∴BE=OE=OD=2, ∴∠B=30°,∠DOB=60°, ∵OD=OC, ∴∠DCB=∠ODC= ∠DOB=30°,

∵在△ ABC 中,∠ACB=90°,∠B=30°, ∴∠A=60°, ∴∠A=2∠DCB; (2)解:∵∠ODB=90°,OD=2,BO=2+2=4,由勾股定理得:BD=2 ∴阴影部分的面积 S=S△ ODB﹣S 扇形 DOE= ×2 ×2﹣ =2 ,

﹣ π.

点评: 本题考查了含 30 度角的直角三角形性质,勾股定理,扇形的面积,勾股定理,切线 的性质等知识点的应用,主要考查学生综合性运用性质进行推理和计算的能力. 23. (10 分) (2013?大连)如图,AB 是⊙O 的直径,CD 与⊙O 相切于点 C,DA⊥AB,DO 及 DO 的延长线与⊙O 分别相交于点 E、F,EB 与 CF 相交于点 G. (1)求证:DA=DC; (2)⊙O 的半径为 3,DC=4,求 CG 的长.

考点: 切线的判定;勾股定理;垂径定理;相似三角形的判定与性质 分析: (1)连接 OC,∠DAO=∠DCO=90°,根据 HL 证 Rt△ DAO≌Rt△ DCO,根据全等三 角形的性质推出即可; (2)连接 BF、CE、AC,由切线长定理求出 DC=DA=4,求出 DO=5,CM、AM 的 长,由勾股定理求出 BC 长,根据△ BGC∽△EGF 求出 用勾股定理求出 CF 的长,则 CG 的长度可求得. 解答: (1)证明:连接 OC, ∵DC 是⊙O 切线, ∴OC⊥DC, ∵OA⊥DA, ∴∠DAO=∠DCO=90°, 在 Rt△ DAO 和 Rt△ DCO 中 = = ,则 CG= CF;利

∴Rt△ DAO≌Rt△ DCO(HL) , ∴DA=DC. (2)解:连接 BF、CE、AC, 由切线长定理得:DC=DA=4,DO⊥AC, ∴DO 平分 AC, 在 Rt△ DAO 中,AO=3,AD=4,由勾股定理得:DO=5, ∵由三角形面积公式得: DA?AO= DO?AM, 则 AM= , ,

同理 CM=AM= AC= .

∵AB 是直径, ∴∠ACB=90°, 由勾股定理得:BC= = .

∵∠GCB=∠GEF,∠GFE=∠GBC, (圆周角定理) ∴△BGC∽△EGF, ∴ = , ,OC=3,由勾股定理得:OM= , ,ME=OE﹣OM=3﹣ = ,由勾股定理得:CE= ,由勾股定理得:CF= . ,

=

=

在 Rt△ OMC 中,CM= 在 Rt△ EMC 中,CM=

在 Rt△ CEF 中,EF=6,CE= ∵CF=CG+GF, ∴CG= CF= × = , = .

点评: 本题考查了切线的判定和性质,切线长定理,勾股定理,全等三角形的性质和判定, 相似三角形的性质和判定,圆周角定理等知识点的应用,主要考查学生综合运用定理 进行推理和计算的能力,综合性比较强,难度偏大. 22. (12 分) (2013?铁岭)如图,△ ABC 内接与⊙O,AB 是直径,⊙O 的切线 PC 交 BA 的 延长线于点 P,OF∥BC 交 AC 于 AC 点 E,交 PC 于点 F,连接 AF. (1)判断 AF 与⊙O 的位置关系并说明理由; (2)若⊙O 的半径为 4,AF=3,求 AC 的长.

考点: 切线的判定与性质. 分析: (1)AF 为为圆 O 的切线,理由为:练级 OC,由 PC 为圆 O 的切线,利用切线的性 质得到 CP 垂直于 OC, OF 与 BC 平行, 由 利用两直线平行内错角相等, 同位角相等, 分别得到两对角相等,根据 OB=OC,利用等边对等角得到一对角相等,等量代换得 到一对角相等,再由 OC=OA,OF 为公共边,利用 SAS 得出三角形 AOF 与三角形 COF 全等,由全等三角形的对应角相等及垂直定义得到 AF 垂直于 OA,即可得证; (2)由 AF 垂直于 OA,在直角三角形 AOF 中,由 OA 与 AF 的长,利用勾股定理求 出 OF 的长,而 OA=OC,OF 为角平分线,利用三线合一得到 E 为 AC 中点,OE 垂 直于 AC,利用面积法求出 AE 的长,即可确定出 AC 的长. 解答: (1)AF 为圆 O 的切线,理由为: 解: 连接 OC,
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∵PC 为圆 O 切线, ∴CP⊥OC, ∴∠OCP=90°, ∵OF∥BC, ∴∠AOF=∠B,∠COF=∠OCB, ∵OC=OB, ∴∠OCB=∠B, ∴∠AOF=∠COF, ∵在△ AOF 和△ COF 中, , ∴△AOF≌△COF(SAS) , ∴∠OAF=∠OCF=90°, 则 AF 为圆 O 的切线; (2)∵△AOF≌△COF, ∴∠AOF=∠COF, ∵OA=OC, ∴E 为 AC 中点,即 AE=CE= AC,OE⊥AC, ∵OA⊥AF, ∴在 Rt△ AOF 中,OA=4,AF=3, 根据勾股定理得:OF=5, ∵S△ AOF= ?OA?AF= ?OF?AE, ∴AE= , .

则 AC=2AE=

点评: 此题考查了切线的判定与性质,涉及的知识有:全等三角形的判定与性质,平行线的 性质,等腰三角形的性质,三角形的面积求法,熟练掌握切线的判定与性质是解本题 的关键. 27. (2013 兰州)已知,如图,直线 MN 交⊙O 于 A,B 两点,AC 是直径,AD 平分∠CAM 交⊙O 于 D,过 D 作 DE⊥MN 于 E. (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若 DE=6cm,AE=3cm,求⊙O 的半径.

考点:切线的判定;平行线的判定与性质;圆周角定理;相似三角形的判定与性质. 专题:几何综合题. 分析: (1)连接 OD,根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°,且 D 在⊙O 上,故 DE 是⊙O 的切线. (2)由直角三角形的特殊性质,可得 AD 的长,又有△ ACD∽△ADE.根据相似三角形的性 质列出比例式,代入数据即可求得圆的半径. 解答: (1)证明:连接 OD. ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ODA. 分) (1 ∵∠OAD=∠DAE, ∴∠ODA=∠DAE. 分) (2 ∴DO∥MN. 分) (3 ∵DE⊥MN, ∴∠ODE=∠DEM=90°. 即 OD⊥DE. 分) (4 ∵D 在⊙O 上, ∴DE 是⊙O 的切线. 分) (5 (2)解:∵∠AED=90°,DE=6,AE=3, ∴ 连接 CD. ∵AC 是⊙O 的直径, ∴∠ADC=∠AED=90°. 分) (7 ∵∠CAD=∠DAE, ∴△ACD∽△ADE. 分) (8 ∴ ∴ . . . 分) (6

则 AC=15(cm)(9 分) . ∴⊙O 的半径是 7.5cm. (10 分)

点评: 本题考查常见的几何题型, 包括切线的判定, 线段等量关系的证明及线段长度的求法, 要求学生掌握常见的解题方法,并能结合图形选择简单的方法解题. 25. (10 分) (2013?扬州)如图,△ ABC 内接于⊙O,弦 AD⊥AB 交 BC 于点 E,过点 B 作⊙O 的切线交 DA 的延长线于点 F,且∠ABF=∠ABC. (1)求证:AB=AC; (2)若 AD=4,cos∠ABF= ,求 DE 的长.

考点: 切线的性质;圆周角定理;解直角三角形. 分析: (1)由 BF 是⊙O 的切线,利用弦切角定理,可得∠3=∠C,又由∠ABF=∠ABC, 可证得∠2=∠C,即可得 AB=AC; (2) 首先连接 BD, Rt△ ABD 中, 在 解直角三角形求出 AB 的长度; 然后在 Rt△ ABE 中,解直角三角形求出 AE 的长度;最后利用 DE=AD﹣AE 求得结果. 解答: (1)证明:∵BF 是⊙O 的切线, ∴∠3=∠C, ∵∠ABF=∠ABC, 即∠3=∠2, ∴∠2=∠C, ∴AB=AC; (2)解:如图,连接 BD,在 Rt△ ADB 中,∠BAD=90°, ∵cos∠ADB= ,∴BD= = = =5,

∴AB=3. 在 Rt△ ABE 中,∠BAE=90°, ∵cos∠ABE= ,∴BE= = = ,

∴AE=

= ,

∴DE=AD﹣AE=4﹣ = .

点评: 此题考查了切线的性质、 等腰三角形的判定与性质、 勾股定理以及三角函数等知识. 此 题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.

27. 分) (8 (2013?苏州)如图,在 Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,点 D 是 AB 边上一点,以 BD 为直径的⊙O 与边 AC 相切于点 E,连接 DE 并延长 DE 交 BC 的延长线于点 F. (1)求证:BD=BF; (2)若 CF=1,cosB= ,求⊙O 的半径.

考点: 切线的性质;圆周角定理. 专题: 计算题. 分析: (1)连接 OE,由 AC 为圆 O 的切线,利用切线的性质得到 OE 垂直于 AC,再由 BC 垂直于 AC,得到 OE 与 BC 平行,根据 O 为 DB 的中点,得到 E 为 DF 的中点,即 OE 为三角形 DBF 的中位线,利用中位线定理得到 OE 为 BF 的一半,再由 OE 为 DB 的一半,等量代换即可得证; (2)在直角三角形 ABC 中,由 cosB 的值,设 BC=3x,得到 AB=5x,由 BC+CF 表 示出 BF, 即为 BD 的长, 再由 OE 为 BF 的一半, 表示出 OE, AB﹣OB 表示出 AO, 由 在直角三角形 AOE 中,利用两直线平行同位角相等得到∠AOE=∠B,得到 cos∠AOE=cosB,根据 cosB 的值,利用锐角三角函数定义列出关于 x 的方程,求出 方程的解得到 x 的值,即可求出圆的半径长. 解答: (1)证明:连接 OE, ∵AC 与圆 O 相切, ∴OE⊥AC, ∵BC⊥AC,
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∴OE∥BC, 又∵O 为 DB 的中点, ∴E 为 DF 的中点,即 OE 为△ DBF 的中位线, ∴OE= BF, 又∵OE= BD, 则 BF=BD; (2)解:设 BC=3x,根据题意得:AB=5x, 又∵CF=1, ∴BF=3x+1, 由(1)得:BD=BF, ∴BD=3x+1, ∴OE=OB= ,AO=AB﹣OB=5x﹣ = ,

∵OE∥BF, ∴∠AOE=∠B,

∴cos∠AOE=cosB,即

= ,即

= ,

解得:x= , 则圆 O 的半径为 = .

点评: 此题考查了切线的性质,锐角三角函数定义,以及圆周角定理,熟练掌握切线的性质 是解本题的关键.

26. (10 分) (2013?淮安)如图,AB 是⊙0 的直径,C 是⊙0 上的一点,直线 MN 经过点 C, 过点 A 作直线 MN 的垂线,垂足为点 D,且∠BAC=∠DAC. (1)猜想直线 MN 与⊙0 的位置关系,并说明理由; (2)若 CD=6,cos=∠ACD= ,求⊙0 的半径.

考点: 切线的判定;解直角三角形. 分析: (1)连接 OC,推出 AD∥OC,推出 OC⊥MN,根据切线的判定推出即可; (2)求出 AD、AB 长,证△ ADC∽△ACB,得出比例式,代入求出 AB 长即可. 解答: (1)直线 MN 与⊙0 的位置关系是相切, 解: 理由是:连接 OC, ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA, ∵∠CAB=∠DAC, ∴∠DAC=∠OCA, ∴OC∥AD, ∵AD⊥MN, ∴OC⊥MN, ∵OC 为半径, ∴MN 是⊙O 切线;
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(2)∵CD=6,cos∠ACD=

= ,

∴AC=10,由勾股定理得:AD=8, ∵AB 是⊙O 直径,AD⊥MN, ∴∠ACB=∠ADC=90°, ∵∠DAC=∠BAC, ∴△ADC∽△ACB, ∴ ∴ = = , ,

∴AB=12.5, ∴⊙O 半径是 ×12.5=6.25.

点评: 本题考查了切线的判定,等腰三角形的判定和性质,平行线性质,相似三角形的性质 和判定的应用,主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力.

20. 分) (8 (2013?济南)如图,已知⊙O 的半径为 1,DE 是⊙O 的直径,过点 D 作⊙O 的 切线 AD,C 是 AD 的中点,AE 交⊙O 于 B 点,四边形 BCOE 是平行四边形. (1)求 AD 的长; (2)BC 是⊙O 的切线吗?若是,给出证明;若不是,说明理由.

考点: 切线的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;平行四边形的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)连接 BD,由 ED 为圆 O 的直径,利用直径所对的圆周角为直角得到∠DBE 为 直角,由 BCOE 为平行四边形,得到 BC 与 OE 平行,且 BC=OE=1,在直角三角形 ABD 中,C 为 AD 的中点,利用斜边上的中线等于斜边的一半求出 AD 的长即可; (2)连接 OB,由 BC 与 OD 平行,BC=OD,得到四边形 BCDO 为平行四边形,由 AD 为圆的切线,利用切线的性质得到 OD 垂直于 AD,可得出四边形 BCDO 为矩形, 利用矩形的性质得到 OB 垂直于 BC,即可得出 BC 为圆 O 的切线. 解答: (1)连接 BD,则∠DBE=90°, 解: ∵四边形 BCOE 为平行四边形, ∴BC∥OE,BC=OE=1, 在 Rt△ ABD 中,C 为 AD 的中点,
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∴BC= AD=1, 则 AD=2; (2)连接 OB, ∵BC∥OD,BC=OD, ∴四边形 BCDO 为平行四边形, ∵AD 为圆 O 的切线,

∴OD⊥AD, ∴四边形 BCDO 为矩形, ∴OB⊥BC, 则 BC 为圆 O 的切线.

点评: 此题考查了切线的判定与性质,直角三角形斜边上的中线性质,以及平行四边形的判 定与性质,熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键.

20. 分) (6 (2013?株洲)已知 AB 是⊙O 的直径,直线 BC 与⊙O 相切于点 B,∠ABC 的 平分线 BD 交⊙O 于点 D,AD 的延长线交 BC 于点 C. (1)求∠BAC 的度数; (2)求证:AD=CD.

考点: 切线的性质;等腰直角三角形;圆周角定理. 分析: (1)由 AB 是⊙O 的直径,易证得∠ADB=90°,又由∠ABC 的平分线 BD 交⊙O 于 点 D,易证得△ ABD≌△CBD,即可得△ ABC 是等腰直角三角形,即可求得∠BAC 的度数; (2)由 AB=CB,BD⊥AC,利用三线合一的知识,即可证得 AD=CD. 解答: (1)∵AB 是⊙O 的直径, 解: ∴∠ADB=90°, ∴∠CDB=90°,BD⊥AC, ∵BD 平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD, 在△ ABD 和△ CBD 中,
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, ∴△ABD≌△CBD(ASA) , ∴AB=CB,

∵直线 BC 与⊙O 相切于点 B, ∴∠ABC=90°, ∴∠BAC=∠C=45°; (2)证明:∵AB=CB,BD⊥AC, ∴AD=CD. 点评: 此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质.此 题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.

22.如图,⊿ABC 中,以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D,∠DBC=∠BAC. (1)求证:BC 是⊙O 的切线; (2)若⊙O 的半径为 2,∠BAC=30°,求图中阴影部分的面积.
A

O D C

B

(第 22 题)

19. (21 分) (2013?厦门) (1)甲市共有三个郊县,各郊县的人数及人均耕地面积如表所示: 郊县 人数/万 人均耕地面积/公顷

A 20 0.15 B 5 0.20 C 10 0.18 求甲市郊县所有人口的人均耕地面积(精确到 0.01 公顷) ; (2)先化简下式,再求值: ,其中 , ;

(3)如图,已知 A,B,C,D 是⊙O 上的四点,延长 DC,AB 相交于点 E,若 BC=BE.求 证:△ ADE 是等腰三角形.

考点: 圆周角定理;分式的化简求值;等腰三角形的判定;加权平均数. 分析: (1)求出总面积和总人口,再相除即可; (2)先算加法,再化成最简分式,再代入求出即可; (3)求出∠A=∠BCE=∠E,即可得出 AD=DE. 解答: 解: (1)甲市郊县所有人口的人均耕地面积是 (公顷) ;

≈0.17

(2)原式=

= =x﹣y, 当 x= +1,y=2 原式= +1﹣(2 =3﹣ ;

﹣2 时, ﹣2)

(3)∵A、D、C、B 四点共圆, ∴∠A=∠BCE, ∵BC=BE, ∴∠BCE=∠E, ∴∠A=∠E, ∴AD=DE, 即△ ADE 是等腰三角形.

点评: 本题考查了分式求值,四点共圆,等腰三角形的性质和判定,求平均数等知识点的应 用,主要考查学生的推理和计算能力. 25. 分) (6 (2013?厦门)如图所示,已知四边形 OABC 是菱形,∠O=60°,点 M 是边 OA 的中点, 以点 O 为圆心, 为半径作⊙O 分别交 OA, 于点 D, 连接 BM. BM= , r OC E, 若 的长是 .求证:直线 BC 与⊙O 相切.

考点: 切线的判定;菱形的性质;弧长的计算. 专题: 证明题. 分析: 过点 O 作 OF⊥BC 于 F, 过点 B 作 BG⊥OA 于 G, 则四边形 BGOF 为矩形, OF=BG. 设 2 2 2 菱形 OABC 的边长为 2a,先在 Rt△ BMG 中,利用勾股定理得出 BG +GM =BM ,即 2 2 2 ( a) +(2a) =( ) ,求得 a=1,得到 OF= ,再根据弧长公式求出 r= , 则圆心 O 到直线 BC 的距离等于圆的半径 r,从而判定直线 BC 与⊙O 相切. 解答: 证明:如图,过点 O 作 OF⊥BC 于 F,过点 B 作 BG⊥OA 于 G,则四边形 BGOF 为 矩形,OF=BG. 设菱形 OABC 的边长为 2a,则 AM= OA=a. ∵菱形 OABC 中,AB∥OC, ∴∠BAG=∠COA=60°,∠ABG=90°﹣60°=30°, ∴AG= AB=a,BG= AG= a. ,

在 Rt△ BMG 中,∵∠BGM=90°,BG= a,GM=a+a=2a,BM= 2 2 2 2 2 2 ∴BG +GM =BM ,即( a) +(2a) =( ) , 解得 a=1, ∴OF=BG= . ∵ 的长= = ,

∴r= , ∴OF=r= ,即圆心 O 到直线 BC 的距离等于圆的半径 r,

∴直线 BC 与⊙O 相切.

点评: 本题考查了菱形的性质,勾股定理,弧长的计算公式,切线的判定,综合性较强,难 度适中,利用菱形的性质及勾股定理求出 a 的值是解题的关键. 23. 分) (6 (2013?牡丹江) 如图, C 是⊙O 的直径 AB 延长线上的一点, 点 且有 BO=BD=BC. (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若半径 OB=2,求 AD 的长.

考点: 切线的判定;含 30 度角的直角三角形;勾股定理. 专题: 证明题. 分析: (1)由于 BO=BD=BC,即 DB 为△ ODC 的边 OC 的中线,且有 DB= OC,则
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∠ODC=90°,然后根据切线的判定方法即可得到结论; (2)由 AB 为⊙O 的直径得∠BDA=90°,而 BO=BD=2,则 AB=2BD=4,然后根据勾 股定理可计算出 AD. 解答: (1)证明:连结 OD,如图, ∵BO=BD=BC, ∴BD 为△ ODC 的中线,且 DB= OC, ∴∠ODC=90°, ∴OD⊥CD, 而 OD 为⊙O 的半径, ∴CD 是⊙O 的切线; (2)解:∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠BDA=90°, ∵BO=BD=2, ∴AB=2BD=4, ∴AD= =2 .

点评: 本题考查了切线的判定定理:过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线.也考 查了直角三角形的判定方法、勾股定理.

23. 分) (8 (2013?宁夏)在 Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,D 是 AB 边上的一点,以 BD 为直 径作⊙O 交 AC 于点 E,连结 DE 并延长,与 BC 的延长线交于点 F.且 BD=BF. (1)求证:AC 与⊙O 相切. (2)若 BC=6,AB=12,求⊙O 的面积.

考点: 切线的判定;相似三角形的判定与性质. 分析: (1)连接 OE,求出∠ODE=∠F=∠DEO,推出 OE∥BC,得出 OE⊥AC,根据切线 的判定推出即可; (2)证△ AEO∽△ACB,得出关于 r 的方程,求出 r 即可. 解答: 证明: (1)连接 OE,
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∵OD=OE, ∴∠ODE=∠OED, ∵BD=BF, ∴∠ODE=∠F, ∴∠OED=∠F, ∴OE∥BF, ∴∠AEO=∠ACB=90°, ∴AC 与⊙O 相切;

(2)解:由(1)知∠AEO=∠ACB,又∠A=∠A, ∴△AOE∽△ABC, ∴ , ,

设⊙O 的半径为 r,则

解得:r=4, 2 ∴⊙O 的面积 π×4 =16π. 点评: 本题考查了等腰三角形的性质,切线的判定,平行线的性质和判定,相似三角形的性 质和判定的应用,主要考查学生的推理和计算能力,用了方程思想.

24. (10 分) (2013?包头)如图,已知在△ ABP 中,C 是 BP 边上一点,∠PAC=∠PBA,⊙O 是△ ABC 的外接圆,AD 是⊙O 的直径,且交 BP 于点 E. (1)求证:PA 是⊙O 的切线; (2)过点 C 作 CF⊥AD, 垂足为点 F,延长 CF 交 AB 于点 G, AG?AB=12, AC 的长; 若 求 (3)在满足(2)的条件下,若 AF:FD=1:2,GF=1,求⊙O 的半径及 sin∠ACE 的值.

考点: 圆的综合题. 分析: (1)根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA 得出 ∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案;
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(2)首先得出△ CAG∽△BAC,进而得出 AC =AG?AB,求出 AC 即可; (3) 先求出 AF 的长, 根据勾股定理得: AG= 利用∠ACE=∠ACB=∠ADB,求出即可. 解答: (1)证明:连接 CD, ∵AD 是⊙O 的直径, ∴∠ACD=90°, ∴∠CAD+∠ADC=90°, 又∵∠PAC=∠PBA,∠ADC=∠PBA, ∴∠PAC=∠ADC, ∴∠CAD+∠PAC=90°, ∴PA⊥OA,而 AD 是⊙O 的直径, ∴PA 是⊙O 的切线; , 即可得出 sin∠ADB= ,

2

(2)解:由(1)知,PA⊥AD,又∵CF⊥AD,∴CF∥PA, ∴∠GCA=∠PAC,又∵∠PAC=∠PBA, ∴∠GCA=∠PBA,而∠CAG=∠BAC, ∴△CAG∽△BAC, ∴ =
2



即 AC =AG?AB, ∵AG?AB=12, 2 ∴AC =12, ∴AC=2 ; (3)解:设 AF=x,∵AF:FD=1:2,∴FD=2x, ∴AD=AF+FD=3x, 2 在 Rt△ ACD 中,∵CF⊥AD,∴AC =AF?AD, 2 即 3x =12, 解得;x=2, ∴AF=2,AD=6,∴⊙O 半径为 3, 在 Rt△ AFG 中,∵AF=2,GF=1, 根据勾股定理得:AG= 由(2)知,AG?AB=12, ∴AB= = , = = ,

连接 BD, ∵AD 是⊙O 的直径, ∴∠ABD=90°, 在 Rt△ ABD 中,∵sin∠ADB= ∴sin∠ADB= , ,AD=6,

∵∠ACE=∠ACB=∠ADB, ∴sin∠ACE= .

点评: 此题主要考查了圆的综合应用以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识, 根据已知得 出 AG 的长以及 AB 的长是解题关键.

25. (8 分) 如图,AD 是圆 O 的切线,切点为 A,AB 是圆 O 的弦。过点 B 作 BC//AD,交圆 O 于点 C,连接 AC,过 点 C 作 CD//AB,交 AD 于点 D。连接 AO 并延长交 BC A 于点 M,交过点 C 的直线于点 P,且?BCP=?ACD。 (1) 判断直线 PC 与圆 O 的位置关系,并说明理由: O (2) 若 AB=9,BC=6,求 PC 的长。 B M 解析: 解法一:(1) 直线 PC 与圆 O 相切。 如图?,连接 CO 并延长,交圆 O 于点 N,连接 BN。 N C P ∵AB//CD,∴?BAC=?ACD。 ∵?BAC=?BNC,∴?BNC=?ACD。 ∵?BCP=?ACD,∴?BNC=?BCP。 O B ∵CN 是圆 O 的直径,∴?CBN=90?。 M ∴?BNC??BCN=90?,∴?BCP??BCN=90?。 C ∴?PCO=90?,即 PC?OC。 P ? 又点 C 在圆 O 上,∴直线 PC 与圆 O 相切。 (4 分) (2) ∵AD 是圆 O 的切线,∴AD?OA,即?OAD=90?。 ∵BC//AD,∴?OMC=180???OAD=90?,即 OM?BC。 ∴MC=MB。∴AB=AC。 在 Rt△AMC 中,?AMC=90?,AC=AB=9,MC=

D

A

D

1 2 BC=3,

由勾股定理,得 AM= AC 2?MC 2 = 92?32 =6 2 。 设圆 O 的半径为 r。 在 Rt△OMC 中,?OMC=90?,OM=AM?AO=6 2 ?r,MC=3,OC=r, 由勾股定理,得 OM 2?MC 2=OC 2,即(6 2 ?r)2?32=r2。解得 r= 在△OMC 和△OCP 中, ∵?OMC=?OCP,?MOC=?COP,

27 8

2。

OM CM ∴△OMC~△OCP。∴ = OC PC ,即 27 7 。(8 分)

6 2? 27 8

27 8 2

2
=

3 PC 。

∴PC=

解法二:(1) 直线 PC 与圆 O 相切。如图?,连接 OC。 ∵AD 是圆 O 的切线,∴AD?OA, 即?OAD=90?。 ∵BC//AD,∴?OMC=180???OAD=90?, 即 OM?BC。 ∴MC=MB。∴AB=AC。∴?MAB=?MAC。 ∴?BAC=2?MAC。又∵?MOC=2?MAC,∴?MOC=?BAC。
O B P M C ?

A

D

∵AB//CD,∴?BAC=?ACD。∴?MOC=?ACD。又∵?BCP=?ACD, ∴?MOC=?BCP。∵?MOC??OCM=90?,∴?BCP??OCM=90?。 ∴?PCO=90?,即 PC?OC。又∵点 C 在圆 O 上,∴直线 PC 与圆 O 相切。 (2) 在 Rt△AMC 中,?AMC=90?,AC=AB=9,MC=

1 2 BC=3,

由勾股定理,得 AM= AC 2?MC 2 = 92?32 =6 2 。 设圆 O 的半径为 r。 在 Rt△OMC 中,?OMC=90?,OM=AM?AO=6 2 ?r,MC=3,OC=r, 由勾股定理,得 OM 2?MC 2=OC 2,即(6 2 ?r)2?32=r2。解得 r= 在△OMC 和△OCP 中,∵?OMC=?OCP,?MOC=?COP,

27 8

2。

OM CM ∴△OMC~△OCP,∴ = OC PC ,即 27 7 。(8 分)

6 2? 27 8

27 8 2

2
=

3 PC 。

∴PC=

22. (2013 四川南充,21,8 分)如图,二次函数 y=x2+bx-3b+3 的图象与 x 轴交于 A、B 两 点(点 A 在点 B 的左边) ,交 y 轴于点 C,且经过点(b-2,2b2-5b-1). (1)求这条抛物线的解析式; (2)⊙M 过 A、B、C 三点,交 y 轴于另一点 D,求点 M 的坐标; (3)连接 AM、DM,将∠AMD 绕点 M 顺时针旋转,两边 MA、MD 与 x 轴、y 轴分别交于 点 E、F,若△DMF 为等腰三角形,求点 E 的坐标.

解析: (1)把点(b-2,2b2-5b-1)代入解析式,得 2b2-5b-1=(b-2)2+b(b-2)-3b+3, 解得 b=2. ∴抛物线的解析式为 y=x2+2x-3. (2)由 x2+2x-3=0,得 x=-3 或 x=1. ∴A(-3,0) 、B(1,0) 、C(0,-3). 抛物线的对称轴是直线 x=-1,圆心 M 在直线 x=-1 上. ?????1′ ?????2′

?????3′

∴设 M(-1,n) ,作 MG⊥x 轴于 G,MH⊥y 轴于 H,连接 MC、MB. ∴MH=1,BG=2. ?????4′ 2 2 2 2 ∵MB=MC,∴BG +MG =MH +CH , 即 4+n2=1+(3+n)2,解得 n=-1,∴点 M(-1,-1) ?????5′ (3)如图,由 M(-1,-1) ,得 MG=MH. ∵MA=MD,∴Rt△AMG≌RtDMH,∴∠1=∠2. 由旋转可知∠3=∠4. ∴△AME≌△DMF. 若△DMF 为等腰三角形,则△AME 为等腰三角形. ?????6′ 设 E(x,0) ,△AME 为等腰三角形,分三种情况: ①AE=AM= 5 ,则 x= 5 -3,∴E( 5 -3,0) ; ②∵M 在 AB 的垂直平分线上, ∴MA=ME=MB,∴E(1,0) ③点 E 在 AM 的垂直平分线上,则 AE=ME.

?????7′
7 7 ,∴E( ? , 4 4

AE=x+3,ME2=MG2+EG2=1+(-1-x)2,∴(x+3)2=1+(-1-x)2,解得 x= ? 0). ∴所求点 E 的坐标为( 5 -3,0)(1,0)( ? , ,
7 ,0) 4

?????8′

24. (10 分) (2013?泸州)如图,D 为⊙O 上一点,点 C 在直径 BA 的延长线上,且 ∠CDA=∠CBD. 2 (1)求证:CD =CA?CB; (2)求证:CD 是⊙O 的切线; (3)过点 B 作⊙O 的切线交 CD 的延长线于点 E,若 BC=12,tan∠CDA=,求 BE 的长.

考点: 切线的判定;相似三角形的判定与性质. 分析: (1)通过相似三角形(△ ADC∽△DBC)的对应边成比例来证得结论; (2)如图,连接 OD.欲证明 CD 是⊙O 的切线,只需证明 CD⊥OA 即可; (3)通过相似三角形△ EBC∽△ODC 的对应边成比例列出关于 BE 的方程,通过解 方程来求线段 BE 的长度即可. 解答: (1)证明:∵∠CDA=∠CBD,∠C=∠C, ∴△ADC∽△DBC, ∴ = ,即 CD =CA?CB;
2

(2)证明:如图,连接 OD. ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB=90°, ∴∠1+∠3=90°. ∵OA=OD, ∴∠2=∠3, ∴∠1+∠2=90°. 又∠CDA=∠CBD,即∠4=∠1, ∴∠4+∠2=90°,即∠CDO=90°, ∴OD⊥OA. 又∵OA 是⊙O 的半径, ∴CD 是⊙O 的切线; (3)解:如图,连接 OE. ∵EB、CD 均为⊙O 的切线, ∴ED=EB,OE⊥DB, ∴∠ABD+∠DBE=90°,∠OEB+∠DBE=90°, ∴∠ABD=∠OEB, ∴∠CDA=∠OEB. 而 tan∠CDA=, ∴tan∠OEB= =,

∵Rt△ CDO∽Rt△ CBE,



=

=

=,

∴CD=8, 在 Rt△ CBE 中,设 BE=x, 2 2 2 ∴(x+8) =x +12 , 解得 x=5. 即 BE 的长为 5.

点评: 本题考查了切线的判定与性质:过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线;也考 查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质.

21. (10 分) (2013?六盘水)在 Rt△ ACB 中,∠C=90°,点 O 在 AB 上,以 O 为圆心,OA 长为半径的圆与 AC,AB 分别交与点 D,E,且∠CBD=∠A. (1)判断直线 BD 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论. (2)若 AD:AO=6:5,BC=3,求 BD 的长.

考点: 切线的判定. 分析: (1)连接 OD,DE,求出∠ADE=90°=∠C 推出 DE∥BC∴∠EDB=∠CBD=∠A,根 据∠A+∠OED=90°求出∠EDB+∠ODE=90°,根据切线的判定推出即可; (2)求出 AD:DE:AE=6:8:10,求出△ ADE∽△ACB,推出 DC:BC:BD=AD: DE:AE=6:8:10,代入求出即可. 解答: (1)直线 BD 与⊙O 的位置关系是相切, 证明:连接 OD,DE, ∵∠C=90°, ∴∠CBD+∠CDB=90°, ∵∠A=∠CBD, ∴∠A+∠CDB=90°, ∵OD=OA, ∴∠A=∠ADO,
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∴∠ADO+∠CDB=90°, ∴∠ODB=180°﹣90°=90°, ∴OD⊥BD, ∵OD 为半径, ∴BD 是⊙O 切线; (2)解:∵AD:AO=6:5, ∴ = ,

∴由勾股定理得:AD:DE:AE=6:8:10, ∵AE 是直径, ∴∠ADE=∠C=90°, ∵∠CBD=∠A, ∴△ADE∽△ACB, ∴DC:BC:BD=AD:DE:AE=6:8:10, ∵BC=3, ∴BD= .

点评: 本题考查了切线的判定,平行线性质和判定,等腰三角形性质和判定,相似三角形的 性质和判定的应用,主要考查学生的推理能力. 25. 分) (9 (2013?广安)如图,在△ ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径作半圆⊙0,交 BC 于点 D,连接 AD,过点 D 作 DE⊥AC,垂足为点 E,交 AB 的延长线于点 F. (1)求证:EF 是⊙0 的切线. (2)如果⊙0 的半径为 5,sin∠ADE= ,求 BF 的长.

考点: 切线的判定;等腰三角形的性质;圆周角定理;解直角三角形. 分析: (1)连结 OD,AB 为⊙0 的直径得∠ADB=90°,由 AB=AC,根据等腰三角形性质得 AD 平分 BC,即 DB=DC,则 OD 为△ ABC 的中位线,所以 OD∥AC,而 DE⊥AC, 则 OD⊥DE,然后根据切线的判定方法即可得到结论;
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(2)由∠DAC=∠DAB,根据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD,在 Rt△ ADB 中, 利用解直角三角形的方法可计算出 AD=8,在 Rt△ ADE 中可计算出 AE= OD∥AE, 得△ FDO∽△FEA,再利用相似比可计算出 BF. 解答: (1)证明:连结 OD,如图, ∵AB 为⊙0 的直径, ∴∠ADB=90°, ∴AD⊥BC, ∵AB=AC, ∴AD 平分 BC,即 DB=DC, ∵OA=OB, ∴OD 为△ ABC 的中位线, ∴OD∥AC, ∵DE⊥AC, ∴OD⊥DE, ∴EF 是⊙0 的切线; (2)解:∵∠DAC=∠DAB, ∴∠ADE=∠ABD, 在 Rt△ ADB 中,sin∠ADE=sin∠ABD= ∴AD=8, 在 Rt△ ADE 中,sin∠ADE= ∴AE= , = , = ,而 AB=10, ,然后由

∵OD∥AE, ∴△FDO∽△FEA, ∴ = ,即 = ,

∴BF=



点评: 本题考查了切线的判定定理:过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线.也考 查了等腰三角形的性质、圆周角定理和解直角三角形.

25.如图,在直角体系中,直线 AB 交 x 轴于点 A(5,0) ,交 y 轴于点 B,AO 是⊙M 的直 径,其半圆交 AB 于点 C,且 AC=3。取 BO 的中点 D,连接 CD、MD 和 OC。 (1)求证:CD 是⊙M 的切线; (2)二次函数的图象经过点 D、M、A,其对称轴上有一动点 P,连接 PD、PM,求△ PDM 的周长最小时点 P 的坐标; (3)在(2)的条件下,当△PDM 的周长最小时,抛物线上是否存在点 Q,使

S? QAM ?

1 S? PDM ?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由。 6

解析: (1)证明:连结 CM. ∵OA 为⊙M 直径, ∴∠OCA=90°. ∴∠OCB=90°. ∵D 为 OB 中点, ∴DC=DO. ∴∠DCO=∠DOC.………………………(1 分) ∵MO=MC, ∴∠MCO=∠MOC.………………………(2 分) ∴∠DCM=∠DCO+∠MCO=∠DOC+∠MOC=∠DOM=90°.………………………(3 分) 又∵点 C 在⊙M 上, ∴DC 是⊙M 的切线.………………………(4 分) (2)解:在 Rt△ACO 中,有 OC= OA ? AC .
2 2

又∵A 点坐标(5,0), AC=3, ∴OC= 5 2 ? 32 =4.

OC OB . ? AC OA 4 OB 20 ∴ ? .解得 OB= . 3 5 3
∴tan∠OAC= 又∵D 为 OB 中点,∴OD= D 点坐标为(0,

10 . 3

10 ……………………… ). (5 分) 3

连接 AD,设直线 AD 的解析式为 y=kx+b,则有

? 10 ? 10 ?b ? 3 , ? ?b ? , j 解得 ? 3 ? ?k ? ? 2 . ?5k ? b ? 0. ? ? 3 ?
∴直线 AD 为 y=-

2 10 x+ . 3 3 5 ,0)、A(5,0), 2

∵二次函数的图象过 M(

15 ……………………… . (6 分) 4 15 15 ∵点 M、A 关于直线 x= 对称,设直线 AD 与直线 x= 交于点 P, 4 4
∴抛物线对称轴 x= ∴PD+PM 为最小. 又∵DM 为定长, ∴满足条件的点 P 为直线 AD 与直线 x= 当 x=

15 的交点.………………………(7 分) 4

15 2 15 10 5 时,y=- ? + = . 4 3 4 3 6 15 5 ……………………… 故 P 点的坐标为( , ). (8 分) 4 6
(3)解:存在. ∵S△PDM=S△DAM-S△PAM

1 1 AM?yD- AM?yP 2 2 1 = AM(yD-yp). 2 1 10 15 5 S△QAM= AM? yQ ,由(2)知 D(0, ),P( , ), 2 3 4 6 1 10 5 5 ……………………… ∴ ?( - )=yQ 解得 yQ=± (9 分) 6 3 6 12 5 ∵二次函数的图像过 M(0, )、A(5,0) , 2 5 ∴设二次函数解析式为 y=a(x- )(x-5). 2 10 又∵该图象过点 D(0, ), 3 5 10 4 a?(- )?(-5)= ,a= . 2 3 15 4 5 ∴y= (x- )(x-5).………………………(10 分) 15 2 5 又∵C 点在抛物线上,且 yQ=± , 12 4 5 5 ∴ (x- )(x-5)=± . 15 2 12
= 解之,得 x1=

15 ? 5 2 15 ? 5 2 15 ,x2= ,x3= . 4 4 4 15 ? 5 2 15 ? 5 2 5 5 15 5 ………… , ),或( , ),或( ,). (12 分) 4 4 12 12 4 12

∴点 Q 的坐标为(

25. 在矩形 ABCD 中, P 是边 AD 上的动点, 点 联结 BP , 线段 BP 的垂直平分线交边 BC 于点 Q , 垂足为点 M ,联结 QP (如图 10) .已知 AD ? 13 , AB ? 5 , 设 AP ? x,BQ ? y . (1)求 y 关于 x 的函数解析式,并写出 x 的取值范围; (2)当以 AP 长为半径的⊙P 和以 QC 长为半径的⊙Q 外切时,求 x 的值; (3)点 E 在边 CD 上,过点 E 作直线 QP 的垂线,垂足为 F ,如果 EF ? EC ? 4 ,求 x 的值.
A M P D
A D

B

Q
图 10

C

B
备用图 beibeiy ongtu

C

23. (2013 山西,23,9 分) (本题 9 分)如图,AB 为的直径,点 C 在⊙O 上,点 P 是直径 AB 上的一点(不与 A,B 重合) ,过点 P 作 AB 的垂线交 BC 的延长线于点 Q。 (1)在线段 PQ 上取一点 D,使 DQ=DC,连接 DC,试判断 CD 与⊙O 的位置关系,并说明 理由。

(2)若 cosB=

3 ,BP=6,AP=1,求 QC 的长。 5

解析】解: (1)CD 是⊙O 的切线, 理由如下:连接 OC,∵OC=OB,∴∠B=∠1.又∵DC=DQ,∴∠Q=∠2 ∵PQ⊥AB,∴∠QPB=90°∴∠B+∠Q=90°∴∠1+∠2=90°∴∠DCO=∠QCB-(∠1+∠2)=180°-90°, ∴OC⊥DC,∵OC 是⊙O 的半径∴CD 是⊙O 的切线 (2)连接 AC,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°. 在 Rt△ ABC 中,

3 21 BC=ABcosB=(AP+BP) cosB=(1+6)× 5 = 5 .

6 BP 3 在 Rt△ BPQ 中 BQ= cos B = 5 =10

21 29 ∴QC=BQ-BC=10= 5 = 5
20. 分) (8 (2013?威海)如图,CD 为⊙O 的直径,CD⊥AB,垂足为点 F,AO⊥BC,垂 足为点 E,AO=1. (1)求∠C 的大小; (2)求阴影部分的面积.

考点: 垂径定理;圆心角、弧、弦的关系;扇形面积的计算. 分析: (1)根据垂径定理可得 = ,∠C= ∠AOD,然后在 Rt△ COE 中可求出∠C 的度
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数. (2)连接 OB,根据(1)可求出∠AOB=120°,在 Rt△ AOF 中,求出 AF,OF,然 后根据 S 阴影=S 扇形 OAB﹣S△ OAB,即可得出答案. 解答: (1)∵CD 是圆 O 的直径,CD⊥AB, 解: ∴ = ,

∴∠C= ∠AOD, ∵∠AOD=∠COE, ∴∠C= ∠COE, ∵AO⊥BC, ∴∠C=30°. (2)连接 OB, 由(1)知,∠C=30°, ∴∠AOD=60°, ∴∠AOB=120°, 在 Rt△ AOF 中,AO=1,∠AOF=60°, ∴AF= ∴AB= ,OF= , , ﹣ × × = π﹣ .

∴S 阴影=S 扇形 OAB﹣S△ OAB=

点评: 本题考查了垂径定理及扇形的面积计算, 解答本题的关键是利用解直角三角形的知识 求出∠C、∠AOB 的度数,难度一般.

23. (10 分) (2013?莱芜)如图,⊙O 的半径为 1,直线 CD 经过圆心 O,交⊙O 于 C、D 两点,直径 AB⊥CD,点 M 是直线 CD 上异于点 C、O、D 的一个动点,AM 所在的直线交 于⊙O 于点 N,点 P 是直线 CD 上另一点,且 PM=PN. (1)当点 M 在⊙O 内部,如图一,试判断 PN 与⊙O 的关系,并写出证明过程; (2)当点 M 在⊙O 外部,如图二,其它条件不变时, (1)的结论是否还成立?请说明理由; (3)当点 M 在⊙O 外部,如图三,∠AMO=15°,求图中阴影部分的面积.

考点: 圆的综合题. 分析: (1)根据切线的判定得出∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA 进而求出即可; (2)根据已知得出∠PNM+∠ONA=90°,进而得出∠PNO=180°﹣90°=90°即可得出答 案; (3)首先根据外角的性质得出∠AON=30°进而利用扇形面积公式得出即可. 解答: (1)PN 与⊙O 相切. 证明:连接 ON, 则∠ONA=∠OAN, ∵PM=PN,∴∠PNM=∠PMN. ∵∠AMO=∠PMN,∴∠PNM=∠AMO. ∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°. 即 PN 与⊙O 相切.
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(2)成立. 证明:连接 ON, 则∠ONA=∠OAN, ∵PM=PN,∴∠PNM=∠PMN. 在 Rt△ AOM 中,

∴∠OMA+∠OAM=90°, ∴∠PNM+∠ONA=90°. ∴∠PNO=180°﹣90°=90°. 即 PN 与⊙O 相切. (3)解:连接 ON,由(2)可知∠ONP=90°. ∵∠AMO=15°,PM=PN,∴∠PNM=15°,∠OPN=30°, ∵∠PON=60°,∠AON=30°. 作 NE⊥OD,垂足为点 E, 则 NE=ON?sin60°=1× = . CO?NE

S 阴影=S△ AOC+S 扇形 AON﹣S△ CON= OC?OA+ = ×1×1+ = + π﹣ π﹣ ×1× .

点评: 此题主要考查了扇形面积公式以及切线的判定等知识, 熟练根据切线的判定得出对应 角的度数是解题关键.

20. 分) (8 (2013? 德州)如图,已知⊙O 的半径为 1,DE 是⊙O 的直径,过点 D 作⊙O 的切线 AD,C 是 AD 的中点,AE 交⊙O 于 B 点,四边形 BCOE 是平行四边形. (1)求 AD 的长; (2)BC 是⊙O 的切线吗?若是,给出证明;若不是,说明理由.

考点: 切线的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;平行四边形的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)连接 BD,由 ED 为圆 O 的直径,利用直径所对的圆周角为直角得到∠DBE 为 直角,由 BCOE 为平行四边形,得到 BC 与 OE 平行,且 BC=OE=1,在直角三角形

ABD 中,C 为 AD 的中点,利用斜边上的中线等于斜边的一半求出 AD 的长即可; (2)连接 OB,由 BC 与 OD 平行,BC=OD,得到四边形 BCDO 为平行四边形,由 AD 为圆的切线,利用切线的性质得到 OD 垂直于 AD,可得出四边形 BCDO 为矩形, 利用矩形的性质得到 OB 垂直于 BC,即可得出 BC 为圆 O 的切线. 解答: (1)连接 BD,则∠DBE=90°, 解: ∵四边形 BCOE 为平行四边形, ∴BC∥OE,BC=OE=1, 在 Rt△ABD 中,C 为 AD 的中点, ∴BC=AD=1, 则 AD=2; (2)连接 OB, ∵BC∥OD,BC=OD, ∴四边形 BCDO 为平行四边形, ∵AD 为圆 O 的切线, ∴OD⊥AD, ∴四边形 BCDO 为矩形, ∴OB⊥BC, 则 BC 为圆 O 的切线.

点评: 此题考查了切线的判定与性质,直角三角形斜边上的中线性质,以及平行四边形的判 定与性质,熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键. 19. (21 分) (2013?厦门) (1)甲市共有三个郊县,各郊县的人数及人均耕地面积如表所示: 郊县 人数/万 人均耕地面积/公顷 A 20 0.15 B 5 0.20 C 10 0.18 求甲市郊县所有人口的人均耕地面积(精确到 0.01 公顷) ; (2)先化简下式,再求值: ,其中 , ;

(3)如图,已知 A,B,C,D 是⊙O 上的四点,延长 DC,AB 相交于点 E,若 BC=BE.求 证:△ ADE 是等腰三角形.

考点: 圆周角定理;分式的化简求值;等腰三角形的判定;加权平均数. 分析: (1)求出总面积和总人口,再相除即可; (2)先算加法,再化成最简分式,再代入求出即可; (3)求出∠A=∠BCE=∠E,即可得出 AD=DE. 解答: 解: (1)甲市郊县所有人口的人均耕地面积是 (公顷) ;

≈0.17

(2)原式=

= =x﹣y, 当 x= +1,y=2 原式= +1﹣(2 =3﹣ ;

﹣2 时, ﹣2)

(3)∵A、D、C、B 四点共圆, ∴∠A=∠BCE, ∵BC=BE, ∴∠BCE=∠E, ∴∠A=∠E, ∴AD=DE, 即△ ADE 是等腰三角形.

点评: 本题考查了分式求值,四点共圆,等腰三角形的性质和判定,求平均数等知识点的应 用,主要考查学生的推理和计算能力.

23. 分) (9 (2013?玉林)如图,以△ ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆,经过 A,B 两点, 且与 BC 边交于点 E,D 为 BE 的下半圆弧的中点,连接 AD 交 BC 于 F,若 AC=FC. (1)求证:AC 是⊙O 的切线: (2)若 BF=8,DF= ,求⊙O 的半径 r.

考点: 切线的判定. 分析: (1)连接 OA、OD,求出∠D+∠OFD=90°,推出∠CAF=∠CFA,∠OAD=∠D,求 出∠OAD+∠CAF=90°,根据切线的判定推出即可; (2)OD=r,OF=8﹣r,在 Rt△ DOF 中根据勾股定理得出方程 r +(8﹣r) =( 2 ,求出即可. 解答:
2 2



(1)证明: 连接 OA、OD, ∵D 为弧 BE 的中点, ∴OD⊥BC, ∠DOF=90°, ∴∠D+∠OFD=90°, ∵AC=AF,OA=OD, ∴∠CAF=∠CFA,∠OAD=∠D, ∵∠CFA=∠OFD, ∴∠OAD+∠CAF=90°, ∴OA⊥AC, ∵OA 为半径, ∴AC 是⊙O 切线; (2)解:∵⊙O 半径是 r, 当 F 在半径 OE 上时, ∴OD=r,OF=8﹣r, 2 2 在 Rt△ DOF 中,r +(8﹣r) =( r= ,r= (舍去) ;

),

2

当 F 在半径 OB 上时,

∴OD=r,OF=r﹣8, 在 Rt△ DOF 中,r +(r﹣8) =( r= ,r= (舍去) ; .
2 2

),

2

即⊙O 的半径 r 为

点评: 本题考查了切线的判定,等腰三角形的性质和判定,勾股定理等知识点的应用,主要 考查学生的推理和计算的能力. 22. (10 分) (2013?乌鲁木齐)如图.点 A、B、C、D 在⊙O 上,AC⊥BD 于点 E,过点 O 作 OF⊥BC 于 F,求证: (1)△ AEB∽△OFC; (2)AD=2FO.

考点: 圆周角定理;垂径定理;相似三角形的判定与性质. 专题: 证明题. 分析: (1)连接 OB,根据圆周角定理可得∠BAE= ∠BOC,根据垂径定理可得
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∠COF= ∠BOC,再根据垂直的定义可得∠OFC=∠AEB=90°,然后根据两角对应相 等,两三角形相似证明即可; (2) 根据相似三角形对应边成比例可得 = , 再根据圆周角定理求出∠D=∠BCE,

∠DAE=∠CBE,然后求出△ ADE 和△ BCE 相似,根据相似三角形对应边成比例可得 = ,从而得到 = ,再根据垂径定理 BC=2FC,代入整理即可得证.

解答: 证明: (1)如图,连接 OB,则∠BAE= ∠BOC, ∵OF⊥BC, ∴∠COF= ∠BOC, ∴∠BAE=∠COF, 又∵AC⊥BD,OF⊥BC, ∴∠OFC=∠AEB=90°, ∴△AEB∽△OFC;

(2)∵△AEB∽△OFC, ∴ = ,

由圆周角定理,∠D=∠BCE,∠DAE=∠CBE, ∴△ADE∽△BCE, ∴ ∴ = = , ,

∵OF⊥BC, ∴BC=2FC, ∴AD= ?FO=2FO,

即 AD=2FO.

点评: 本题考查了圆周角定理,垂径定理,相似三角形的判定与性质,熟记两个定理并准确 识图找出相等的角从而得到三角形相似是解题的关键.

23. (12 分) (2013?新疆)如图,已知⊙O 的半径为 4,CD 是⊙O 的直径,AC 为⊙O 的弦, B 为 CD 延长线上的一点,∠ABC=30°,且 AB=AC. (1)求证:AB 为⊙O 的切线; (2)求弦 AC 的长; (3)求图中阴影部分的面积.

考点: 切线的判定;扇形面积的计算. 分析: (1)如图,连接 OA,欲证明 AAB 为⊙O 的切线,只需证明 AB⊥OA 即可; (2)如图,连接 AD,构建直角△ ADC,利用“30 度角所对的直角边是斜边的一半” 求得 AD=4,然后利用勾股定理来求弦 AC 的长度; (3)根据图示知,图中阴影部分的面积=扇形 ADO 的面积+△ AOC 的面积.
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解答: (1)证明:如图,连接 OA. ∵AB=AC,∠ABC=30°, ∴∠ABC=∠ACB=30°. ∴∠AOB=2∠ACB=60°, ∴在△ ABO 中,∠AOB=180°﹣∠ABO﹣∠AOB=90°,即 AB⊥OA, 又∵OA 是⊙O 的半径, ∴AB 为⊙O 的切线; (2)解:如图,连接 AD. ∵CD 是⊙O 的直径, ∴∠DAC=90°. ∵由(1)知,∠ACB=30°, ∴AD= CD=4, 则根据勾股定理知 AC= =4 ,即弦 AC 的长是 4 ;

(3)解:由(2)知,在△ ADC 中,∠DAC=90°,AD=4,AC=4 S△ ABC= AD?AC= ×4×4 =8 .

,则

∵点 O 是△ ADC 斜边上的中点, ∴S△ AOC= S△ ABC=4 . +4 = +4 ,即图中阴影部分

根据图示知,S 阴影=S 扇形 ADO+S△ AOC= 的面积是 +4 .

点评: 本题考查了切线的判定,圆周角定理以及扇形面积的计算.解答(3)时,求△ AOC 的面积的面积的技巧性在于利用了“等边同高”三角形的面积相等的性质. 22. (本题满分 8 分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC 是⊙O 的内接三角形,AB=AC, 点 P 是 AB 的中点,连接 PA,PB,PC. (1)如图①,若∠BPC=60°,求证: AC ? 3 AP ; 24 (2)如图②,若 sin ?BPC ? ,求 tan ?PAB 的值. 25 A
P O
B P O C
?

A

B

C

解析: (1)证明:∵弧 BC=弧 BC,∴∠BAC=∠BPC=60°. 又∵AB=AC,∴△ABC 为等边三角形 ∴∠ACB=60°,∵点 P 是弧 AB 的中点,∴∠ACP=30°, 又∠APC=∠ABC=60°,∴AC= 3 AP. (2)解:连接 AO 并延长交 PC 于 F,过点 E 作 EG⊥AC 于 G,连接 OC. ∵AB=AC,∴AF⊥BC,BF=CF. ∵点 P 是弧 AB 中点,∴∠ACP=∠PCB,∴EG=EF. ∵∠BPC=∠FOC,
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24 . 25 设 FC=24a,则 OC=OA=25a, ∴OF=7a,AF=32a. 在 Rt△AFC 中,AC2=AF2+FC2,∴AC=40a. EG FC 在 Rt△AGE 和 Rt△AFC 中,sin∠FAC= , ? AE AC EG 24a ∴ ,∴EG=12a. ? 32a ? EG 40a EF 12a 1 ∴tan∠PAB=tan∠PCB= ? ? . CF 24a 2
∴sin∠FOC=sin∠BPC=

A P E O B F C G

第22(2)题图

22. (10 分) (2013?温州)如图,AB 为⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,延长 BC 至点 D,使 DC=CB,延长 DA 与⊙O 的另一个交点为 E,连接 AC,CE. (1)求证:∠B=∠D; (2)若 AB=4,BC﹣AC=2,求 CE 的长.

考点: 圆周角定理;等腰三角形的判定与性质;勾股定理. 分析: (1)由 AB 为⊙O 的直径,易证得 AC⊥BD,又由 DC=CB,根据线段垂直平分线的 性质,可证得 AD=AB,即可得:∠B=∠D; 2 2 2 (2)首先设 BC=x,则 AC=x﹣2,由在 Rt△ ABC 中,AC +BC =AB ,可得方程: (x 2 2 2 ﹣2) +x =4 ,解此方程即可求得 CB 的长,继而求得 CE 的长.

解答: (1)证明:∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ACB=90°, ∴AC⊥BC, ∵DC=CB, ∴AD=AB, ∴∠B=∠D; (2)解:设 BC=x,则 AC=x﹣2, 2 2 2 在 Rt△ ABC 中,AC +BC =AB , 2 2 2 ∴(x﹣2) +x =4 , 解得:x1=1+ ,x2=1﹣ (舍去) , ∵∠B=∠E,∠B=∠D, ∴∠D=∠E, ∴CD=CE, ∵CD=CB, ∴CE=CB=1+ . 点评: 此题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股 定理等知识.此题难度适中,注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.

22. 分) (8 (2013?天津)已知直线 I 与⊙O,AB 是⊙O 的直径,AD⊥I 于点 D. (Ⅰ)如图①,当直线 I 与⊙O 相切于点 C 时,若∠DAC=30°,求∠BAC 的大小; (Ⅱ)如图②,当直线 I 与⊙O 相交于点 E、F 时,若∠DAE=18°,求∠BAF 的大小.

考点: 切线的性质;圆周角定理;直线与圆的位置关系. 分析: (Ⅰ)如图①,首先连接 OC,根据当直线 l 与⊙O 相切于点 C,AD⊥l 于点 D.易证 得 OC∥AD,继而可求得∠BAC=∠DAC=30°; (Ⅱ)如图②,连接 BF,由 AB 是⊙O 的直径,根据直径所对的圆周角是直角,可 得∠AFB=90°,由三角形外角的性质,可求得∠AEF 的度数,又由圆的内接四边形的 性质,求得∠B 的度数,继而求得答案. 解答: (Ⅰ)如图①,连接 OC, 解: ∵直线 l 与⊙O 相切于点 C, ∴OC⊥l, ∵AD⊥l, ∴OC∥AD, ∴∠OCA=∠DAC,
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∵OA=OC, ∴∠BAC=∠OCA, ∴∠BAC=∠DAC=30°; (Ⅱ)如图②,连接 BF, ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠AFB=90°, ∴∠BAF=90°﹣∠B, ∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°, 在⊙O 中,四边形 ABFE 是圆的内接四边形, ∴∠AEF+∠B=180°, ∴∠B=180°﹣108°=72°, ∴∠BAF=90°﹣∠B=180°﹣72°=18°.

点评: 此题考查了切线的性质、圆周角定理以及圆的内接四边形的性质.此题难度适中,注 意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.

21. (10 分) (2013?自贡)如图,点 B、C、D 都在⊙O 上,过点 C 作 AC∥BD 交 OB 延长 线于点 A,连接 CD,且∠CDB=∠OBD=30°,DB= cm. (1)求证:AC 是⊙O 的切线; (2)求由弦 CD、BD 与弧 BC 所围成的阴影部分的面积. (结果保留 π)

考点: 切线的判定;扇形面积的计算. 分析: (1)求出∠COB 的度数,求出∠A 的度数,根据三角形的内角和定理求出∠OCA 的 度数,根据切线的判定推出即可;
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(2)如解答图所示,解题关键是证明△ CDM≌△OBM,从而得到 S 阴影=S 扇形 BOC. 解答: 如图,连接 BC,OD,OC,设 OC 与 BD 交于点 M. (1)证明:根据圆周角定理得:∠COB=2∠CDB=2×30°=60°, ∵AC∥BD,

∴∠A=∠OBD=30°, ∴∠OCA=180°﹣30°﹣60°=90°, 即 OC⊥AC, ∵OC 为半径, ∴AC 是⊙O 的切线; (2)解:由(1)知,AC 为⊙O 的切线, ∴OC⊥AC. ∵AC∥BD, ∴OC⊥BD. 由垂径定理可知,MD=MB= BD= 在 Rt△ OBM 中,∠COB=60°,OB= . = =6.

在△ CDM 与△ OBM 中,

∴△CDM≌△OBM ∴S△ CDM=S△ OBM ∴阴影部分的面积 S 阴影=S 扇形 BOC= =6π(cm ) .
2

点评: 本题考查了平行线性质,切线的判定,扇形的面积,三角形的面积,圆周角定理的应 用,主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力.

20. 分) (8 (2013?资阳)在⊙O 中,AB 为直径,点 C 为圆上一点,将劣弧沿弦 AC 翻折交 AB 于点 D,连结 CD. (1)如图 1,若点 D 与圆心 O 重合,AC=2,求⊙O 的半径 r; (2)如图 2,若点 D 与圆心 O 不重合,∠BAC=25°,请直接写出∠DCA 的度数.

考点: 垂径定理;含 30 度角的直角三角形;圆周角定理;翻折变换(折叠问题) . 分析: (1)过点 O 作 OE⊥AC 于 E,根据垂径定理可得 AE= AC,再根据翻折的性质可得 OE= r,然后在 Rt△ AOE 中,利用勾股定理列式计算即可得解; (2)连接 BC,根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB,根据直角三角形两锐角互 余求出∠B,再根据翻折的性质得到 对的圆周角减去 所对的圆周角,然后根据∠ACD 等于 所

所对的圆周角,计算即可得解.

解答: (1)如图,过点 O 作 OE⊥AC 于 E, 解: 则 AE= AC= ×2=1, ∵翻折后点 D 与圆心 O 重合, ∴OE= r, 在 Rt△ AOE 中,AO =AE +OE , 即 r =1 +( r) , 解得 r= ;
2 2 2 2 2 2

(2)连接 BC, ∵AB 是直径, ∴∠ACB=90°, ∵∠BAC=25°, ∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°, 根据翻折的性质, 所对的圆周角等于 所对的圆周角,

∴∠DCA=∠B﹣∠A=65°﹣25°=40°.

点评: 本题考查了垂径定理,勾股定理的应用,翻折的变换的性质,以及圆周角定理, (1) 作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键, (2)根据同弧 所对的圆周角相等求解是解题的关键.

22. 分) (8 (2013?攀枝花)如图,PA 为⊙O 的切线,A 为切点,直线 PO 交⊙O 与点 E,F 过点 A 作 PO 的垂线 AB 垂足为 D,交⊙O 与点 B,延长 BO 与⊙O 交与点 C,连接 AC, BF. (1)求证:PB 与⊙O 相切; (2)试探究线段 EF,OD,OP 之间的数量关系,并加以证明; (3)若 AC=12,tan∠F= ,求 cos∠ACB 的值.

考点: 圆的综合题. 分析: (1)连接 OA,由 OP 垂直于 AB,利用垂径定理得到 D 为 AB 的中点,即 OP 垂直 平分 AB,可得出 AP=BP,再由 OA=OB,OP=OP,利用 SSS 得出三角形 AOP 与三 角形 BOP 全等,由 PA 为圆的切线,得到 OA 垂直于 AP,利用全等三角形的对应角 相等及垂直的定义得到 OB 垂直于 BP,即 PB 为圆 O 的切线; (2)由一对直角相等,一对公共角,得出三角形 AOD 与三角形 OAP 相似,由相似 得比例,列出关系式,由 OA 为 EF 的一半,等量代换即可得证. (3)连接 BE,构建直角△ BEF.在该直角三角形中利用锐角三角函数的定义、勾股 定理可设 BE=x,BF=2x,进而可得 EF= x;然后由面积法求得 BD= x,所以根

据垂径定理求得 AB 的长度,在 Rt△ ABC 中,根据勾股定理易求 BC 的长;最后由余 弦三角函数的定义求解. 解答: (1)证明:连接 OA, ∵PA 与圆 O 相切, ∴PA⊥OA,即∠OAP=90°, ∵OP⊥AB, ∴D 为 AB 中点,即 OP 垂直平分 AB, ∴PA=PB, ∵在△ OAP 和△ OBP 中, , ∴△OAP≌△OBP(SSS) , ∴∠OAP=∠OBP=90°, ∴BP⊥OB, 则直线 PB 为圆 O 的切线; (2)答:EF =4DO?PO.
2

证明:∵∠OAP=∠ADO=90°,∠AOD=∠POA, ∴△OAD∽△OPA, ∴ = ,即 OA =OD?OP,
2

∵EF 为圆的直径,即 EF=2OA, ∴ EF =OD?OP,即 EF =4OD?OP;
2 2

(3)解:连接 BE,则∠FBE=90°. ∵tan∠F= , ∴ = ,

∴可设 BE=x,BF=2x, 则由勾股定理,得 EF= = x,

∵ BE?BF= EF?BD, ∴BD= x.

又∵AB⊥EF, ∴AB=2BD= x, x,
2

∴Rt△ ABC 中,BC= 2 2 2 AC +AB =BC , ∴12 +(
2

x) =(

2

x) ,

解得:x=4 , ∴BC=4 × =20, ∴cos∠ACB= = = .

点评: 此题考查了切线的判定与性质, 相似及全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数关 系等知识,熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键.

17. 分) (7 (2013?珠海)如图,⊙O 经过菱形 ABCD 的三个顶点 A、C、D,且与 AB 相切 于点 A (1)求证:BC 为⊙O 的切线; (2)求∠B 的度数.
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考点: 切线的判定与性质;菱形的性质. 分析: (1)连结 OA、OB、OC、BD,根据切线的性质得 OA⊥AB,即∠OAB=90°,再根 据菱形的性质得 BA=BC,然后根据“SSS”可判断△ ABC≌△CBO,则 ∠BOC=∠OAC=90°,于是可根据切线的判定方法即可得到结论; (2)由△ ABC≌△ CBO 得∠AOB=∠COB,则∠AOB=∠COB,由于菱形的对角线 平分对角,所以点 O 在 BD 上,利用三角形外角性质有∠BOC=∠ODC+∠OCD,则 ∠BOC=2∠ODC, 由于 CB=CD,则∠OBC=∠ODC,所以∠BOC=2∠OBC,根据∠BOC+∠OBC=90° 可计算出∠OBC=30°,然后利用∠ABC=2∠OBC 计算即可. 解答: (1)证明:连结 OA、OB、OC、BD,如图, ∵AB 与⊙切于 A 点, ∴OA⊥AB,即∠OAB=90°, ∵四边形 ABCD 为菱形, ∴BA=BC, 在△ ABC 和△ CBO 中
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, ∴△ABC≌△CBO, ∴∠BOC=∠OAC=90°, ∴OC⊥BC, ∴BC 为⊙O 的切线; (2)解:∵△ABC≌△CBO, ∴∠AOB=∠COB, ∵四边形 ABCD 为菱形, ∴BD 平分∠ABC,CB=CD, ∴点 O 在 BD 上, ∵∠BOC=∠ODC+∠OCD, 而 OD=OC, ∴∠ODC=∠OCD, ∴∠BOC=2∠ODC,

而 CB=CD, ∴∠OBC=∠ODC, ∴∠BOC=2∠OBC, ∵∠BOC+∠OBC=90°, ∴∠OBC=30°, ∴∠ABC=2∠OBC=60°.

点评: 本题考查了切线的判定与性质:过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线;圆的 切线垂直于过切点的半径.也考查了全等三角形相似的判定与性质以及菱形的性质. 22. 分) (8 (2013?昆明)已知:如图,AC⊙O 是的直径,BC 是⊙O 的弦,点 P 是⊙O 外 一点,∠PBA=∠C. (1)求证:PB 是⊙O 的切线; (2)若 OP∥BC,且 OP=8,BC=2.求⊙O 的半径.

考点: 切线的判定;全等三角形的判定与性质 分析: (1)连接 OB,求出∠ABC=90°,∠PBA=∠OBC=∠OCB,推出∠PBO=90°,根据切 线的判定推出即可; (2)证△ PBO 和△ ABC 相似,得出比例式,代入求出即可. 解答: (1)证明:连接 OB, ∵AC 是⊙O 直径, ∴∠ABC=90°, ∵OC=OB, ∴∠OBC=∠ACB, ∵∠PBA=∠ACB, ∴∠PBA=∠OBC, 即∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°, ∴OB⊥PB, ∵OB 为半径, ∴PB 是⊙O 的切线; (2)解:设⊙O 的半径为 r,则 AC=2r,OB=R,

∵OP∥BC,∠OBC=∠OCB, ∴∠POB=∠OBC=∠OCB, ∵∠PBO=∠ABC=90°, ∴△PBO∽△ABC, ∴ ∴ = ,

= ,

r=2 , 即⊙O 的半径为 2



点评: 本题考查了等腰三角形性质,平行线性质,相似三角形的性质和判定,切线的判定等 知识点的应用,主要考查学生的推理能力,用了方程思想. 21.(本题 8 分) 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=54°,以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC,BC 于点 D,E,过点 B 作⊙O 的切线,交 AC 的延长线于点 F。 (1)求证:BE=CE; (2)求∠CBF 的度数 ; (3)若 AB=6,求 的长。

24. (2013 聊城)如图,AB 是⊙O 的直径,AF 是⊙O 切线,CD 是垂直于 AB 的弦,垂足 为 E, 过点 C 作 DA 的平行线与 AF 相交于点 F, CD= , BE=2. 求证: (1) 四边形 FADC 是菱形; (2)FC 是⊙O 的切线.

考点:切线的判定与性质;菱形的判定. 分析: (1)首先连接 OC,由垂径定理,可求得 CE 的长,又由勾股定理,可求得半径 OC 的长, 然后由勾股定理求得 AD 的长, 即可得 AD=CD, 易证得四边形 FADC 是平行四边形, 继而证得四边形 FADC 是菱形; (2)首先连接 OF,易证得△ AFO≌△CFO,继而可证得 FC 是⊙O 的切线. 解答:证明: (1)连接 OC, ∵AB 是⊙O 的直径,CD⊥AB, ∴CE=DE= CD= ×4 =2 ,

设 OC=x, ∵BE=2, ∴OE=x﹣2, 2 2 2 在 Rt△ OCE 中,OC =OE +CE ,

∴x =(x﹣2) +(2 ) , 解得:x=4, ∴OA=OC=4,OE=2, ∴AE=6, 在 Rt△ AED 中,AD= ∴AD=CD, ∵AF 是⊙O 切线, ∴AF⊥AB, ∵CD⊥AB, ∴AF∥CD, ∵CF∥AD, ∴四边形 FADC 是平行四边形, ∴?FADC 是菱形; (2)连接 OF, ∵四边形 FADC 是菱形, ∴FA=FC, 在△ AFO 和△ CFO 中, , ∴△AFO≌△CFO(SSS) , ∴∠FCO=∠FAO=90°, 即 OC⊥FC, ∵点 C 在⊙O 上, ∴FC 是⊙O 的切线. =4 ,

2

2

2

点评:此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理以及全等三 角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.

22. (2013 济宁)如图 1,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,P 是反比例函数 y= >0)图象上任意一点,以 P 为圆心,PO 为半径的圆与坐标轴分别交于点 A、B. (1)求证:线段 AB 为⊙P 的直径; (2)求△ AOB 的面积; (3)如图 2,Q 是反比例函数 y=

(x

(x>0)图象上异于点 P 的另一点,以 Q 为圆心,QO

为半径画圆与坐标轴分别交于点 C、D. 求证:DO?OC=BO?OA.

考点:反比例函数综合题. 分析: (1)∠AOB=90°,由圆周角定理的推论,可以证明 AB 是⊙P 的直径; (2)将△ AOB 的面积用含点 P 坐标的表达式表示出来,容易计算出结果; (3)对于反比例函数上另外一点 Q,⊙Q 与坐标轴所形成的△ COD 的面积,依然不变,与 △ AOB 的面积相等. 解答: (1)证明:∵∠AOB=90°,且∠AOB 是⊙P 中弦 AB 所对的圆周角, ∴AB 是⊙P 的直径. (2)解:设点 P 坐标为(m,n) (m>0,n>0) , ∵点 P 是反比例函数 y= (x>0)图象上一点,∴mn=12.

如答图,过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M,PN⊥y 轴于点 N,则 OM=m,ON=n. 由垂径定理可知,点 M 为 OA 中点,点 N 为 OB 中点, ∴OA=2OM=2m,OB=2ON=2n, ∴S△ AOB= BO?OA= ×2n×2m=2mn=2×12=24. (3)证明:若点 Q 为反比例函数 y= (x>0)图象上异于点 P 的另一点,

参照(2) ,同理可得:S△ COD= DO?CO=24, 则有:S△ COD=S△ AOB=24,即 BO?OA= DO?CO, ∴DO?OC=BO?OA.

点评:本题考查了反比例函数的图象与性质、圆周角定理、垂径定理等知识,难度不大.试 题的核心是考查反比例函数系数的几何意义.对本题而言,若反比例函数系数为 k,则可以 证明⊙P 在坐标轴上所截的两条线段的乘积等于 4k; 对于另外一点 Q 所形成的⊙Q, 此结论 依然成立. 18. (2013 菏泽)如图,BC 是⊙O 的直径,A 是⊙O 上一点,过点 C 作⊙O 的切线,交 BA 的延长线于点 D,取 CD 的中点 E,AE 的延长线与 BC 的延长线交于点 P. (1)求证:AP 是⊙O 的切线; (2)OC=CP,AB=6,求 CD 的长.

考点:切线的判定与性质;解直角三角形. 分析: (1)连接 AO,AC(如图) .欲证 AP 是⊙O 的切线,只需证明 OA⊥AP 即可; (2)利用(1)中切线的性质在 Rt△ OAP 中利用边角关系求得∠ACO=60°.然后在 Rt△ BAC、 Rt△ ACD 中利用余弦三角函数的定义知 AC=2 ,CD=4. 解答: (1)证明:连接 AO,AC(如图) . ∵BC 是⊙O 的直径, ∴∠BAC=∠CAD=90°. ∵E 是 CD 的中点, ∴CE=DE=AE. ∴∠ECA=∠EAC. ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA. ∵CD 是⊙O 的切线, ∴CD⊥OC. ∴∠ECA+∠OCA=90°. ∴∠EAC+∠OAC=90°. ∴OA⊥AP. ∵A 是⊙O 上一点, ∴AP 是⊙O 的切线; (2)解:由(1)知 OA⊥AP. 在 Rt△ OAP 中,∵∠OAP=90°,OC=CP=OA,即 OP=2OA,

∴sinP=

= ,

∴∠P=30°. ∴∠AOP=60°. ∵OC=OA, ∴∠ACO=60°. 在 Rt△ BAC 中,∵∠BAC=90°,AB=6,∠ACO=60°, ∴AC= =2 ,

又∵在 Rt△ ACD 中,∠CAD=90°,∠ACD=90°﹣∠ACO=30°, ∴CD= = =4.

点评:本题考查了切线的判定与性质、解直角三角形.注意,切线的定义的运用,解题的关 键是熟记特殊角的锐角三角函数值. 22. 分) (8 (2013?滨州)如图,在△ ABC 中,AB=AC,点 O 在边 AB 上,⊙O 过点 B 且 分别与边 AB、BC 相交于点 D、E,EF⊥AC,垂足为 F.求证:直线 EF 是⊙O 的切线.

考点: 切线的判定. 专题: 证明题. 分析: 连接 DE,则根据圆周角定理可得:DE⊥BC,由 AB=AC,可得∠C=∠B,继而可得 ∠CEF+∠OEB=90°,由切线的判定定理即可得出结论. 解答: 解:连接 DE,
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∵BD 是⊙O 的直径,

∴∠DEB=90°, ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠C, 又∵OB=OE, ∴∠ABC=∠OEB, ∵∠FEC+∠C=90°, ∴∠FEC+∠OEB=90°, ∴OE⊥EF, ∵OE 是⊙O 半径, ∴直线 EF 是⊙O 的切线. 点评: 本题考查了切线的判定、圆周角定理及等腰三角形的性质,关键是作出辅助线,利用 等角代换得出∠OEF 为直角,难度一般. 23. (2013 鞍山)如图,点 A、B 在⊙O 上,直线 AC 是⊙O 的切线,OC⊥OB,连接 AB 交 OC 于点 D. (1)AC 与 CD 相等吗?问什么? (2)若 AC=2,AO= ,求 OD 的长度.

考点:切线的性质;勾股定理. 专题:计算题. 分析: (1)AC=CD,理由为:由 AC 为圆的切线,利用切线的性质得到∠OAC 为直角,再 由 OC 与 OB 垂直,得到∠BOC 为直角,由 OA=OB,利用等边对等角得到一对角相等,再 利用对顶角相等及等角的余角相等得到一对角相等,利用等角对等边即可得证; (2)由 ODC=OD+DC,DC=AC,表示出 OC,在直角三角形 OAC 中,利用勾股定理即可 求出 OD 的长. 解答:解: (1)AC=CD,理由为:∵OA=OB, ∴∠OAB=∠B, ∵直线 AC 为圆 O 的切线, ∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=90°, ∵OB⊥OC, ∴∠BOC=90°, ∴∠ODB+∠B=90°, ∵∠ODB=∠CDA, ∴∠CDA+∠B=90°, ∴∠DAC=∠CDA, 则 AC=CD; (2)在 Rt△ OAC 中,AC=CD=2,AO= ,OC=OD+DC=OD+2, 2 2 2 2 2 2 根据勾股定理得:OC =AC +AO ,即(OD+2) =2 +( ) , 解得:OD=1.

点评:此题考查了切线的性质,勾股定理,等腰三角形的性质,熟练掌握切线的性质是解本 题的关键. 23. (10 分) (2013?泰州)如图,AB 为⊙O 的直径,AC、DC 为弦,∠ACD=60°,P 为 AB 延长线上的点,∠APD=30°. (1)求证:DP 是⊙O 的切线; (2)若⊙O 的半径为 3cm,求图中阴影部分的面积.

考点: 切线的判定;扇形面积的计算. 分析: (1)连接 OD,求出∠AOD,求出∠DOB,求出∠ODP,根据切线判定推出即可; (2)求出 OP、DP 长,分别求出△ DOB 和三角形 ODP 面积,即可求出答案. 解答: (1)证明:连接 OD, ∵∠ACD=60°, ∴由圆周角定理得:∠AOD=2∠ACD=120°, ∴∠DOP=180°﹣120°=60°, ∵∠APD=30°, ∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°, ∴OD⊥DP, ∵OD 为半径, ∴DP 是⊙O 切线; (2)解:∵∠P=30°,∠ODP=90°,OD=3cm, ∴OP=6cm,由勾股定理得:DP=3 cm, ∴图中阴影部分的面积 S=S△ ODP﹣S 扇形 DOB=×3×3 ﹣ =( ﹣π)cm
2

点评: 本题考查了扇形面积,三角形面积,切线的判定,圆周角定理等知识点的应用,主要 考查学生的推理和计算能力. 22.如图,⊿ABC 中,以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D,∠DBC=∠BAC. (1)求证:BC 是⊙O 的切线; (2)若⊙O 的半径为 2,∠BAC=30°,求图中阴影部分的面积.
A

O D

(第 22 题)

21 世纪教育网

23. (10 分) (2013?孝感)如图,△ ABC 内接于⊙O,∠B=60°,CD 是⊙O 的直径,点 P 是 CD 延长线上的一点,且 AP=AC. (1)求证:PA 是⊙O 的切线; (2)若 PD= ,求⊙O 的直径.

考点: 切线的判定. 分析: (1) 连接 OA, 根据圆周角定理求出∠AOC, 再由 OA=OC 得出∠ACO=∠OAC=30°, 再由 AP=AC 得出∠P=30°,继而由∠OAP=∠AOC﹣∠P,可得出 OA⊥PA,从而得

出结论; (2)利用含 30°的直角三角形的性质求出 OP=2OA,可得出 OP﹣PD=OD,再由 PD= ,可得出⊙O 的直径. 解答: (1)证明:连接 OA, ∵∠B=60°, ∴∠AOC=2∠B=120°, 又∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA=30°, 又∵AP=AC, ∴∠P=∠ACP=30°, ∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°, ∴OA⊥PA, ∴PA 是⊙O 的切线. (2)在 Rt△ OAP 中,∵∠P=30°, ∴PO=2OA=OD+PD, 又∵OA=OD, ∴PD=OA, ∵ , ∴ . ∴⊙O 的直径为 .

点评: 本题考查了切线的判定及圆周角定理,解答本题的关键是掌握切线的判定定理、圆周 角定理及含 30°直角三角形的性质. 22. (12 分) (2010?福州)如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 与点 E,点 P 在⊙O 上, ∠1=∠C, (1)求证:CB∥PD; (2)若 BC=3,sin∠P=,求⊙O 的直径.

考点: 圆周角定理;圆心角、弧、弦的关系;锐角三角函数的定义. 专题: 几何综合题.

分析: (1)要证明 CB∥PD,可以求得∠1=∠P,根据 ∠1=∠C,即可得∠1=∠P;

=

可以确定∠C=∠P,又知

(2)根据题意可知∠P=∠CAB,则 sin∠CAB=,即 解答: (1)证明:∵∠C=∠P 又∵∠1=∠C ∴∠1=∠P ∴CB∥PD; (2)解:连接 AC ∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ACB=90° 又∵CD⊥AB, ∴ = ,

=,所以可以求得圆的直径.

∴∠P=∠CAB, ∴sin∠CAB=, 即 =,

又知,BC=3, ∴AB=5, ∴直径为 5.

点评: 本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质,解题时细心是解答好本题的关键. 25. (2013 安顺)如图,AB 是⊙O 直径,D 为⊙O 上一点,AT 平分∠BAD 交⊙O 于点 T, 过 T 作 AD 的垂线交 AD 的延长线于点 C. (1)求证:CT 为⊙O 的切线; (2)若⊙O 半径为 2,CT= ,求 AD 的长.

考点:切线的判 定与性质;勾股定理;圆周角定理.

分析: 连接 OT, (1) 根据角平分线的性质, 以及直角三角形的两个锐角互余, 证得 CT⊥OT, CT 为⊙O 的切线; (2)证明四边形 OTCE 为矩形,求得 OE 的长,在直角△ OAE 中,利用勾股定理即可求解. 解答: (1)证明:连接 OT, ∵OA=OT, ∴∠OAT=∠OTA, 又∵AT 平分∠BAD, ∴∠DAT=∠OAT, ∴∠DAT=∠OTA, ∴OT∥AC, 分) (3 又∵CT⊥AC, ∴CT⊥OT, ∴CT 为⊙O 的切线; 分) (5 (2)解:过 O 作 OE⊥AD 于 E,则 E 为 AD 中点, 又∵CT⊥AC, ∴OE∥CT, ∴四边形 OTCE 为矩形, 分) (7 ∵CT= , ∴OE= , 又∵OA=2, ∴在 Rt△ OAE 中, ∴AD=2AE=2. (10 分) ,

点评: 本题主要考查了切线的判定以及性质, 证明切线时可以利用切线的判定定理把问题转 化为证明垂直的问题. 24.(本小题满分 14 分) (2013 年广州市)已知 AB 是⊙O 的直径,AB=4,点 C 在线段 AB 的延长线上运动,点 D 在⊙O 上运动(不与点 B 重合) ,连接 CD,且 CD=OA. (1)当 OC= 2 2 时(如图 12) ,求证:CD 是⊙O 的切线; (2)当 OC> 2 2 时,CD 所在直线于⊙O 相交,设另一交点为 E,连接 AE. ①当 D 为 CE 中点时,求△ACE 的周长; ②连接 OD,是否存在四边形 AODE 为梯形?若存在,请说明梯形个数并求此时 AE· 的值; ED 若不存在,请说明理由。 分析: (1)关键是利用勾股定理的逆定理,判定△OCD 为直角三角形,如答图①所示;

(2)①如答图②所示,关键是判定△EOC 是含 30 度角的直角三角形,从而解直角三角形 求出△ACE 的周长; ②符合题意的梯形有 2 个,答图③展示了其中一种情形.在求 AE?ED 值的时候,巧妙地利 用了相似三角形,简单得出了结论,避免了复杂的运算. 解: (1)证明:连接 OD,如答图①所示. 由题意可知,CD=OD=OA= AB=2,OC=
2 2 2



∴OD +CD =OC 由勾股定理的逆定理可知,△OCD 为直角三角形,则 OD⊥CD, 又∵点 D 在⊙O 上, ∴CD 是⊙O 的切线. (2)解:①如答图②所示,连接 OE,OD,则有 CD=DE=OD=OE, ∴△ODE 为等边三角形,∠1=∠2=∠3=60°; ∵OD=CD,∴∠4=∠5, ∵∠3=∠4+∠5,∴∠4=∠5=30°, ∴∠EOC=∠2+∠4=90°, 因此△EOC 是含 30 度角的直角三角形,△AOE 是等腰直角三角形. 在 Rt△EOC 中,CE=2OA=4,OC=4cos30°= , 在等腰直角三角形 AOE 中,AE= OA= , ∴△ACE 的周长为:AE+CE+AC=AE+CE+(OA+OC)= +4+(2+ ) =6+ + . ②存在,这样的梯形有 2 个. 答图③是 D 点位于 AB 上方的情形,同理在 AB 下方还有一个梯形,它们关于直线 AB 成轴 对称. ∵OA=OE,∴∠1=∠2, ∵CD=OA=OD,∴∠4=∠5, ∵四边形 AODE 为梯形,∴OD∥AE,∴∠4=∠1,∠3=∠2, ∴∠3=∠5=∠1, 在△ODE 与△COE 中,

∴△ODE∽△COE, 则有 ,∴CE?DE=OE =2 =4.
2 2

∵∠1=∠5,∴AE=CE, ∴AE?DE=CE?DE=4. 综上所述,存在四边形 AODE 为梯形,这样的梯形有 2 个,此时 AE?DE=4.

点评:本题是几何综合题,考查了圆、含 30 度角的直角三角形、等腰直角 三角形、等边三角形、梯形等几何图形的性质,涉及切线的判定、解直角三 角形、相似三角形的判定与性质等多个知识点,难度较大

19. (本题满分 10 分) 如图, 四边形 ABCD 是平行四边形, 以对角线 BD 为直径作⊙ O , 分别于 BC 、 AD 相 交于点 E 、 F . (1)求证四边形 BEDF 为矩形. (2)若 BD ? BE ? BC 试判断直线 CD 与⊙ O 的位置
2

关系,并说明理由. 答案:
(1)证明: BD为?O的直径, ?DEB ? ?DFB ? 90 ? ? ? 又 ?四边形ABCD是平行四边形, AD // BC. ? ? ?FBC ? ?DFB ? 90 ?, ?EDA ? ?BED ? 90 ? ?四边形BEDF为矩形. (2)直线CD与?O的位置关系为相切. BD BC ? BE BD ? ?DBC ? ?CBD,? ?BED ?BDC ? ?BDC ? ?BED ? 90 ?,即BD ? CD. 理由如下: BD 2 ? BE ? BC ,? ? ? CD与?O相切.

考点:平行四边形的性质,矩形的判定, ,相似三角形的判定,直径对的圆周角是直角,圆 的切线的判定等知识的综合运用. 点评:关键是掌握矩形的判定方法,三角形相似的判定方法,圆的切线的判定方法. 23. (2013 宜宾)如图,AB 是⊙O 的直径,∠B=∠CAD. (1)求证:AC 是⊙O 的切线; (2)若点 E 是 的中点,连接 AE 交 BC 于点 F,当 BD=5,CD=4 时,求 AF 的值.

考点:切线的判定;相似三角形的判定与性质. 分析: (1)证明△ ADC∽△BAC,可得∠BAC=∠ADC=90°,继而可判断 AC 是⊙O 的切线. (2)根据(1)所得△ ADC∽△BAC,可得出 CA 的长度,继而判断∠CFA=∠CAF,利用 等腰三角形的性质得出 AF 的长度, 继而得出 DF 的长, Rt△ AFD 中利用勾股定理可得出 在 AF 的长. 解答:解: (1)∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB=∠ADC=90°, ∵∠B=∠CAD,∠C=∠C, ∴△ADC∽△BAC, ∴∠BAC=∠ADC=90°, ∴BA⊥AC, ∴AC 是⊙O 的切线. (2)∵△ADC∽△BAC(已证) ,



=

,即 AC =BC×CD=36,

2

解得:AC=6, 在 Rt△ ACD 中,AD= =2 ,

∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD, ∴CA=CF=6, ∴DF=CA﹣CD=2, 在 Rt△ AFD 中,AF= =2 .

点评:本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质,解答本题的关键是熟练掌握切线 的判定定理、相似三角形的性质,勾股定理的表达式. 23. (10 分) (2013?雅安)如图,AB 是⊙O 的直径,BC 为⊙O 的切线,D 为⊙O 上的一点, CD=CB,延长 CD 交 BA 的延长线于点 E. (1)求证:CD 为⊙O 的切线; (2)若 BD 的弦心距 OF=1,∠ABD=30°,求图中阴影部分的面积. (结果保留 π)

考点: 切线的判定与性质;扇形面积的计算. 分析: (1)首先连接 OD,由 BC 是⊙O 的切线,可得∠ABC=90°,又由 CD=CB,OB=OD, 易证得∠ODC=∠ABC=90°,即可证得 CD 为⊙O 的切线; (2)在 Rt△ OBF 中,∠ABD=30°,OF=1,可求得 BD 的长,∠BOD 的度数,又由 S =S 扇形 OBD﹣S△ BOD,即可求得答案. 解答: (1)证明:连接 OD, ∵BC 是⊙O 的切线, ∴∠ABC=90°, ∵CD=CB, ∴∠CBD=∠CDB, ∵OB=OD, ∴∠OBD=∠ODB, ∴∠ODC=∠ABC=90°, 即 OD⊥CD, ∵点 D 在⊙O 上, ∴CD 为⊙O 的切线;
阴影

(2)解:在 Rt△ OBF 中, ∵∠ABD=30°,OF=1, ∴∠BOF=60°,OB=2,BF=



∵OF⊥BD, ∴BD=2BF=2

,∠BOD=2∠BOF=120°, ﹣×2 ×1=π﹣ .

∴S 阴影=S 扇形 OBD﹣S△ BOD=

点评: 此题考查了切线的判定与性质、垂径定理以及扇形的面积.此题难度适中,注意掌握 辅助线的作法,注意数形结合思想的应用. 24. (10 分) (2013?遂宁)如图,在⊙O 中,直径 AB⊥CD,垂足为 E,点 M 在 OC 上, AM 的延长线交⊙O 于点 G,交过 C 的直线于 F,∠1=∠2,连结 CB 与 DG 交于点 N. (1)求证:CF 是⊙O 的切线; (2)求证:△ ACM∽△DCN; (3)若点 M 是 CO 的中点,⊙O 的半径为 4,cos∠BOC=,求 BN 的长.

考点: 圆的综合题. 分析: (1)根据切线的判定定理得出∠1+∠BCO=90°,即可得出答案; (2)利用已知得出∠3=∠2,∠4=∠D,再利用相似三角形的判定方法得出即可; (3)根据已知得出 OE 的长,进而利用勾股定理得出 EC,AC,BC 的长,即可得出 CD,利用(2)中相似三角形的性质得出 NB 的长即可. 解答: (1)证明:∵△BCO 中,BO=CO, ∴∠B=∠BCO, 在 Rt△ BCE 中,∠2+∠B=90°, 又∵∠1=∠2, ∴∠1+∠BCO=90°, 即∠FCO=90°, ∴CF 是⊙O 的切线; (2)证明:∵AB 是⊙O 直径, ∴∠ACB=∠FCO=90°,

∴∠ACB﹣∠BCO=∠FCO﹣∠BCO, 即∠3=∠1, ∴∠3=∠2, ∵∠4=∠D, ∴△ACM∽△DCN; (3)解:∵⊙O 的半径为 4,即 AO=CO=BO=4, 在 Rt△ COE 中,cos∠BOC=, ∴OE=CO?cos∠BOC=4×=1, 由此可得:BE=3,AE=5,由勾股定理可得: CE= AC= BC= = = = = , =2 =2 , ,

∵AB 是⊙O 直径,AB⊥CD, ∴由垂径定理得:CD=2CE=2 ∵△ACM∽△DCN, ∴ = ,



∵点 M 是 CO 的中点,CM=AO=×4=2, ∴CN= = ﹣ = = , .

∴BN=BC﹣CN=2

点评: 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定和勾股定理的应用等知识, 根据已知得出△ ACM∽△DCN 是解题关键.

25. 分) (6 (2013?内江)在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为圆心的圆过点 A(13,0) , 直线 y=kx﹣3k+4 与⊙O 交于 B、C 两点,则弦 BC 的长的最小值为 24 . 考点: 一次函数综合题. 分析: 根据直线 y=kx﹣3k+4 必过点 D(3,4) ,求出最短的弦 CD 是过点 D 且与该圆直径垂 直的弦,再求出 OD 的长,再根据以原点 O 为圆心的圆过点 A(13,0) ,求出 OB 的

长,再利用勾股定理求出 BD,即可得出答案. 解答: 解:∵直线 y=kx﹣3k+4 必过点 D(3,4) , ∴最短的弦 CD 是过点 D 且与该圆直径垂直的弦, ∵点 D 的坐标是(3,4) , ∴OD=5, ∵以原点 O 为圆心的圆过点 A(13,0) , ∴圆的半径为 13, ∴OB=13, ∴BD=12, ∴BC 的长的最小值为 24; 故答案为:24.

点评: 此题考查了一次函数的综合,用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质, 关键是求出 BC 最短时的位置. 五、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 26. (12 分) (2013?内江)如图,AB 是半圆 O 的直径,点 P 在 BA 的延长线上,PD 切⊙O 于点 C,BD⊥PD,垂足为 D,连接 BC. (1)求证:BC 平分∠PDB; (2)求证:BC =AB?BD; (3)若 PA=6,PC=6 ,求 BD 的长.
2

考点: 切线的性质;相似三角形的判定与性质. 专题: 计算题. 分析: (1)连接 OC,由 PD 为圆 O 的切线,利用切线的性质得到 OC 垂直于 PD,由 BD 垂直于 PD, 得到 OC 与 BD 平行, 利用两直线平行得到一对内错角相等, 再由 OC=OB, 利用等边对等角得到一对角相等,等量代换即可得证; (2)连接 AC,由 AB 为圆 O 的直径,利用直径所对的圆周角为直角得到△ ABC 为

直角三角形,根据一对直角相等,以及第一问的结论得到一对角相等,确定出△ ABC 与△ BCD 相似,由相似得比例,变形即可得证; (3)由切割线定理列出关系式,将 PA,PC 的长代入求出 PB 的长,由 PB﹣PA 求出 AB 的长,确定出圆的半径,由 OC 与 BD 平行得到△ PCO 与△ DPB 相似,由相似得 比例,将 OC,OP,以及 PB 的长代入即可求出 BD 的长. 解答: (1)证明:连接 OC, ∵PD 为圆 O 的切线, ∴OC⊥PD, ∵BD⊥PD, ∴OC∥BD, ∴∠OCB=∠CBD, ∵OC=OB, ∴∠OCB=∠OBC, ∴∠CBD=∠OBC, 则 BC 平分∠PBD; (2)证明:连接 AC, ∵AB 为圆 O 的直径, ∴∠ACB=90°, ∵∠ACB=∠CDB=90°,∠ABC=∠CBD, ∴△ABC∽△CBD, ∴ = ,即 BC =AB?BD;
2

(3)解:∵PC 为圆 O 的切线,PAB 为割线, ∴PC =PA?PB,即 72=6PB, 解得:PB=12, ∴AB=PB﹣PA=12﹣6=6, ∴OC=3,PO=PA+AO=9, ∵△OCP∽△BDP, ∴ = ,即 = ,
2

则 BD=4.

点评: 此题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质,熟练掌握切线的性质是解本题的 关键. 27. (2013 凉山州)在同一平面直角坐标系中有 5 个点:A(1,1) ,B(﹣3,﹣1) ,C(﹣ 3,1) ,D(﹣2,﹣2) ,E(0,﹣3) .

(1)画出△ ABC 的外接圆⊙P,并指出点 D 与⊙P 的位置关系; (2)若直线 l 经过点 D(﹣2,﹣2) ,E(0,﹣3) ,判断直线 l 与⊙P 的位置关系.

考点:直线与圆的位置关系;点与圆的位置关系;作图—复杂作图. 专题:探究型. 分析: (1)在直角坐标系内描出各点,画出△ ABC 的外接圆,并指出点 D 与⊙P 的位置关 系即可; (2)连接 OD,用待定系数法求出直线 PD 与 PE 的位置关系即可. 解答:解: (1)如图所示:△ ABC 外接圆的圆心为(﹣1,0) ,点 D 在⊙P 上; (2)连接 OD, 设过点 P、D 的直线解析式为 y=kx+b, ∵P(﹣1,0) 、D(﹣2,﹣2) , ∴ ,

解得



∴此直线的解析式为 y=2x+2; 设过点 D、E 的直线解析式为 y=ax+c, ∵D(﹣2,﹣2) ,E(0,﹣3) , ∴ ,

解得



∴此直线的解析式为 y=﹣ x﹣3, ∵2×(﹣ )=﹣1,

∴PD⊥PE, ∵点 D 在⊙P 上, ∴直线 l 与⊙P 相切.

点评:本题考查的是直线与圆的位置关系,根据题意画出图形,利用数形结合求解是解答此 题的关键. 26. 分) (6 (2013?巴中)若⊙O1 和⊙O2 的圆心距为 4,两圆半径分别为 r1、r2,且 r1、r2 是方程组 的解,求 r1、r2 的值,并判断两圆的位置关系.

考点: 圆与圆的位置关系;解二元一次方程组. 分析: 首先由 r1、r2 是方程组 的解,解此方程组即可求得答案;又由⊙O1
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和⊙O2 的圆心距为 4,根据两圆位置关系与圆心距 d,两圆半径 R,r 的数量关系间 的联系得出两圆位置关系. 解答: 解:∵ , ①×3﹣②得:11r2=11, 解得:r2=1, 吧 r2=1 代入①得:r1=4; ∴ ,

∵⊙O1 和⊙O2 的圆心距为 4, ∴两圆的位置关系为相交. 点评: 此题考查了圆与圆的位置关系与方程组的解法.注意掌握两圆位置关系与圆心距 d,

两圆半径 R,r 的数量关系间的联系是解此题的关键. 31. (12 分) (2013?巴中)如图,在平面直 角坐标系中,坐标原点为 O,A 点坐标为(4,0) , B 点坐标为(﹣1,0) ,以 AB 的中点 P 为圆心,AB 为直径作⊙P 的正半轴交于点 C. (1)求经过 A、B、C 三点的抛物线所对应的函数解析式; (2)设 M 为(1)中抛物线的顶点,求直线 MC 对应的函数解析式; (3)试说明直线 MC 与⊙P 的位置关系,并证明你的结论.

考点: 二次函数综合题;解二元一次方程组;待定系数法求一次函数解析式;二次函数的最 值;待定系数法求二次函数解析式;勾股定理;勾股定理的逆定理;切线的判定. 专题: 计算题. 分析: (1)求出半径,根据勾股定理求出 C 的坐标,设经过 A、B、C 三点抛物线解析式是 y=a(x﹣4) (x+1) ,把 C(0,2)代入求出 a 即可;
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(2)求出 M 的坐标,设直线 MC 对应函数表达式是 y=kx+b,把 C(0,2) ,M( , )代入得到方程组,求出方程组的解即可; (3)根据点的坐标和勾股定理分别求出 PC、DC、PD 的平方,根据勾股定理的逆定 理得出∠PCD=90°,即可求出答案. 解答: (1)∵A(4,0) 解: ,B(﹣1,0) , ∴AB=5,半径是 PC=PB=PA= , ∴OP= ﹣1= , 在△ CPO 中,由勾股定理得:OC= =2,

∴C(0,2) , 设经过 A、B、C 三点抛物线解析式是 y=a(x﹣4) (x+1) , 把 C(0,2)代入得:2=a(0﹣4) (0+1) , ∴a=﹣ , ∴y=﹣ (x﹣4) (x+1)=﹣ x + x+2, 答:经过 A、B、C 三点抛物线解析式是 y=﹣ x + x+2.
2 2

(2)y=﹣ x + x+2=﹣ M( , ) ,

2

+



设直线 MC 对应函数表达式是 y=kx+b, 把 C(0,2) ,M( , 解得:k= ,b=2, ∴y= x+2, y= x+2. 答:直线 MC 对应函数表达式是 y= x+2. )代入得: ,

(3)MC 与⊙P 的位置关系是相切. 证明:设直线 MC 交 x 轴于 D, 当 y=0 时,0= x+2, ∴x=﹣ ,OD= , ∴D(﹣ ,0) , 在△ COD 中,由勾股定理得:CD =2 + PC = PD =
2 2 2 2 2 2 2

=

=



=

= =

, ,

∴CD +PC =PD , ∴∠PCD=90°, ∴PC⊥DC, ∵PC 为半径, ∴MC 与⊙P 的位置关系是相切.

本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式,勾股定理及勾股定理 的逆定理, 解二元一次方程组, 二次函数的最值, 切线的判定等知 识点的连接和掌握, 能综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键. 24. (2013?烟台)如图,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,连接 AC 交⊙O 于点 D,E 为 上一点,连结 AE,BE,BE 交 AC 于点 F,且 AE =EF?EB.
2

(1)求证:CB=CF; (2)若点 E 到弦 AD 的距离为 1,cos∠C=,求⊙O 的半径.

考点: 切线的性质;相似三角形的判定与性质. 分析: (1)如图 1,通过相似三角形(△ AEF∽△AEB)的对应角相等推知,∠1=∠EAB; 又由弦切角定理、对顶角相等证得∠2=∠3;最后根据等角对等边证得结论; (2)如图 2,连接 OE 交 AC 于点 G,设⊙O 的半径是 r.根据(1)中的相似三角形 的性质证得∠4=∠5,所以由“圆周角、弧、弦间的关系”推知点 E 是弧 AD 的中点, 则 OE⊥AD; 然后通过解直角△ ABC 求得 cos∠C=sin∠GAO= 解答: (1)证明:如图 1, ∵AE =EF?EB, ∴ = .
2

=, 则以求 r 的值.

又∠AEF=∠AEB, ∴△AEF∽△AEB, ∴∠1=∠EAB. ∵∠1=∠2,∠3=∠EAB, ∴∠2=∠3, ∴CB=CF;

(2)解:如图 2,连接 OE 交 AC 于点 G,设⊙O 的半径是 r. 由(1)知,△ AEF∽△AEB,则∠4=∠5. ∴ = .

∴OE⊥AD, ∴EG=1. ∵cos∠C=,且∠C+∠GAO=90°, ∴sin∠GAO=, ∴ =,即 =,

解得,r=,即⊙O 的半径是.

点评: 本题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质.解答(2)题的难点是推知点 E 是弧 AD 的中点.

20. 分) (8 (2013?湖州)如图,已知 P 是⊙O 外一点,PO 交圆 O 于点 C,OC=CP=2,弦 AB⊥OC,劣弧 AB 的度数为 120°,连接 PB. (1)求 BC 的长; (2)求证:PB 是⊙O 的切线.

考点: 切线的判定;等边三角形的判定与性质;垂径定理. 分析: (1)首先连接 OB,由弦 AB⊥OC,劣弧 AB 的度数为 120°,易证得△ OBC 是等边 三角形,则可求得 BC 的长; (2)由 OC=CP=2,△ OBC 是等边三角形,可求得 BC=CP,即可得∠P=∠CBP,又 由等边三角形的性质,∠OBC=60°,∠CBP=30°,则可证得 OB⊥BP,继而证得 PB 是⊙O 的切线. 解答: (1)解:连接 OB,

∵弦 AB⊥OC,劣弧 AB 的度数为 120°, ∴弧 BC 与弧 AC 的度数为:60°, ∴∠BOC=60°, ∵OB=OC, ∴△OBC 是等边三角形, ∴BC=OC=2; (2)证明:∵OC=CP,BC=OC, ∴BC=CP, ∴∠CBP=∠CPB, ∵△OBC 是等边三角形, ∴∠OBC=∠OCB=60°, ∴∠CBP=30°, ∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°, ∴OB⊥BP, ∵点 B 在⊙O 上, ∴PB 是⊙O 的切线.

点评: 此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质.此题难度 适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用. 16.如图 AB 是半圆的直径,图 1 中,点 C 在半圆外;图 2 中,点 C 在半圆内,请仅用无刻 .. 度的直尺按要求画图. . (1)在图 1 中,画出△ABC 的三条高的交点; (2)在图 2 中,画出△ABC 中 AB 边上的高. 【答案】 (1)如图 1,点 P 就是所求作的点; (2)如图 2,CD 为 AB 边上的高.

【考点解剖】 本题属创新作图题,是江西近年热点题型之一.考查考生对圆的性质的理解、 读图能力,题(1)是要作点,题(2)是要作高,都是要解决直角问题,用到的知识就是“直 径所对的圆周角为直角”. 【解题思路】 图 1 点 C 在圆外,要画三角形的高,就是要过点 B 作 AC 的垂线,过点 A 作 BC 的垂线,但题目限制了作图的工具(无刻度的直尺,只能作直线或连接线段),说明 必须用所给图形本身的性质来画图(这就是创新作图的魅力所在),作高就是要构造 90 度 角 ,显然由圆的直径就应联想到“直径所对的圆周角为 90 度”.设 AC 与圆的交点为 E, 连 接 BE,就得到 AC 边上的高 BE;同理设 BC 与圆的交点为 D, 连接 AD,就得到 BC 边上的高 AD,则 BE 与 AD 的交点就是△ABC 的三条高的交点;题(2)是题(1)的拓展、升华,三 角形的三条高相交于一点,受题(1)的启发,我们能够作出△ABC 的三条高的交点 P,再 作射线 PC 与 AB 交于点 D,则 CD 就是所求作的 AB 边上的高. 【解答过程】 略. 【方法规律】 认真分析揣摩所给图形的信息,结合题目要求思考. 【关键词】 创新作图 圆 三角形的高 21.如图 1,一辆汽车的背面,有一种特殊形状的刮雨器,忽略刮雨器的宽度可抽象为一条 折线 OAB,如图 2 所示,量得连杆 OA 长为 10cm,雨刮杆 AB 长为 48cm,∠OAB=120°.若 启动一次刮雨器,雨刮杆 AB 正好扫到水 平线 CD 的位置,如图 3 所示. (1)求雨刮杆 AB 旋转的最大角度及 O、B 两点之间的距离; (结果精确到 0.01) (2)求雨刮杆 AB 扫过的最大面积. (结果保留π 的整数倍) (参考数据:sin60°= 计算器)

3 1 ,cos60°= ,tan60°= 3 , 721 ≈26.851,可使用科学 2 2

【答案】解: (1)雨刮杆 AB 旋转的最大角度为 180° . 连接 OB,过 O 点作 AB 的垂线交 BA 的延长线于 EH, ∵∠OAB=120°, ∴∠OAE=60° 在 Rt△OAE 中, ∵∠OAE=60°,OA=10, ∴sin∠OAE=

OE OE = , OA 10

∴OE=5 3 , ∴AE=5. ∴EB=AE+AB=53, 在 Rt△OEB 中, ∵OE=5 3 ,EB=53,

∴OB= OE ? BE = 2884 =2 721 ≈53.70;
2 2

(2)∵雨刮杆 AB 旋转 180°得到 CD,即△OCD 与△OAB 关于点 O 中心对称, ∴△BAO≌△OCD,∴S△BAO=S△OCD, ∴雨刮杆 AB 扫过的最大面积 S=

1 π (OB2-OA2) 2

=1392π . 【考点解剖】 本题考查的是解直角三角形的应用,以及扇形面积的求法,难点是考生缺乏 生活经验,弄不懂题意(提供的实物图也不够清晰,人为造成一定的理解困难). 【解题思路】 将实际问题转化为数学问题,(1)AB 旋转的最大角度为 180°;在△OAB 中,已知两边及其夹角,可求出另外两角和一边,只不过它不是直角三角形,需要转化为直 角三角形来求解,由∠OAB=120°想到作 AB 边上的高,得到一个含 60°角的 Rt△OAE 和 一个非特殊角的 Rt△OEB.在 Rt△OAE 中,已知∠OAE=60°,斜边 OA=10,可求出 OE、 AE 的长,进而求得 Rt△OEB 中 EB 的长,再由勾股定理求出斜边 OB 的长;(2)雨刮杆 AB 扫过的最大面积就是一个半圆环的面积(以 OB、OA 为半径的半圆面积之差). 【解答过程】 略. 【方法规律】 将斜三角形转化为直角三角形求解.在直角三角形中,已知两边或一边一角 都可求出其余的量. 【关键词】 刮雨器 三角函数 解直角三角形 中心对称 扇形的面积 22.如图,在平面直角坐标系中,以点 O 为圆心,半径为 2 的圆与 y 轴交于点 A,点 P(4, 2)是⊙O 外一点,连接 AP,直线 PB 与⊙O 相切于点 B ,交 x 轴于点 C. (1)证明 PA 是⊙O 的切线; (2)求点 B 的坐标; (3)求直线 AB 的解析式.

【答案】 (1)证明:依题意可知,A(0,2) ∵A(0,2) ,P(4,2) , ∴AP∥x 轴 . ∴∠OAP=90°,且点 A 在⊙O 上, ∴PA 是⊙O 的切线; (2)解法一:连接 OP,OB,作 PE⊥x 轴于点 E,BD⊥x 轴于点 D, ∵PB 切⊙O 于点 B, ∴∠OBP=90°,即∠OBP=∠PEC,

又∵OB=PE=2,∠OCB=∠PEC. ∴△OBC≌△PEC. ∴OC=PC. (或证 Rt△OAP≌△OBP,再得到 OC=PC 也可) 设 OC=PC=x, 则有 OE=AP=4,CE=OE-OC=4-x, 在 Rt△PCE 中,∵PC2=CE2+PE2, ∴x2=(4-x)2+22,解得 x= ∴BC=CE=4-

5 ,???????? 4 分 2

5 3 = , 2 2 1 1 1 3 1 5 6 ∵ OB?BC= OC?BD,即 ?2? = ? ?BD,∴BD= . 2 2 2 2 2 2 5
∴OD= OB ? BD = 4 ?
2 2

36 8 = , 25 5

由点 B 在第四象限可知 B(

8 6 ,? ) ; 5 5

解法二:连接 OP,OB,作 PE⊥ x 轴于点 E,BD⊥y 轴于点 D, ∵PB 切⊙O 于点 B, ∴∠OBP=90°即∠OBP=∠PEC. 又∵OB=PE=2,∠OCB=∠PEC, ∴△OBC≌△PEC. ∴OC=PC(或证 Rt△OAP≌△OBP,再得到 OC=PC 也可) 设 OC=PC=x, 则有 OE=AP=4,CE=OE-OC=4-x, 在 Rt△PCE 中,∵PC2=CE2+PE2, ∴x2=(4-x)2+22,解得 x= ∴BC=CE=4-

5 ,???????????? 4 分 2

5 3 = , 2 2

∵BD∥x 轴,

∴∠COB=∠OBD, 又∵∠OBC=∠BDO=90°, ∴△OBC∽△BDO, ∴

OB CB OC = = , BD OD BO

3 5 2 即 = 2 =2 . BD BD 2 8 6 ∴BD= ,OD= . 5 5
由点 B 在第四象限可知 B(

8 6 ,? ) ; 5 5

(3)设直线 AB 的解析式为 y=kx+b,

?b ? 2, 8 6 ? 由 A(0,2) ,B( , ? ) ,可得 ? 8 6; 5 5 ?5 k ? b ? ? 5 ?
解得 ?

?b ? 2, ∴直线 AB 的解析式为 y=-2x+2. ?k ? ?2,

【考点解剖】 本题考查了切线的判定、全等、相似、勾股定理、等面积法求边长、点的坐 标、待定系数法求函数解析式等. 【解题思路】(1) 点 A 在圆上,要证 PA 是圆的切线,只要证 PA⊥OA(∠OAP=90°) 即可, A、 两点纵坐标相等可得 AP∥x 轴, 由 P 所以有∠OAP+∠AOC=180°得∠OAP=90°; (2) 要求点 B 的坐标,根据坐标的意义,就是要求出点 B 到 x 轴、y 轴的距离,自然想到 构造 Rt△OBD,由 PB 又是⊙O 的切线,得 R t△OAP≌△OBP,从而得△OPC 为等腰三角 形,在 Rt△PCE 中, PE=OA=2, PC+CE=OE=4,列出关于 CE 的方程可求出 CE、OC 的长, △OBC 的三边的长知道了,就可求出高 BD,再求 OD 即可求得点 B 的坐标; (3)已知点 A、 点 B 的坐标用待定系数法可求出直线 AB 的解析式. 【解答过程】 略. 【方法规律】 从整体把握图形,找全等、相似、等腰三角形;求线段的长要从局部入手, 若是直角三角形则用勾股定理, 若是相似则用比例式求, 要掌握一些求线段长的常用思路和 方法. 【关键词】 切线 点的坐标 待定系数法求解析式 23. (10 分)如图 AB 是⊙O 的直径,AC、 DC 为弦,∠ACD=60°,P 为 AB 延长线上的点, ∠APD=30°. (1)求证:DP 是⊙O 的切线; (2)若⊙O 的半径为 3cm,求图中阴影部分的面积.

解:(1)证明:连接 OD,BD ∵OD=OB ∠ABD=∠ACD=60° ∴△OBD 是等边三角形

∴∠DOB=60° ∵∠DOB+∠ODP +∠APD =180° ∠APD=30° ∴∠ODP =90° ∴PD⊥OD ∴PD 是⊙O 的切线. (2)在 Rt△POD 中,OD=3cm, ∠APD=30°

3 PD 3 ∴ PD ? ?3 3 tan30?
∵ tan30? ? ∴图中阴影部分的面积 ? S△POD ? S扇形OBD ??

1 60 ? ? ? 32 9 3 3? ? 3? 3 3 ? ? ? 2 360 2 2

20. 分) (8 (2013?衢州)如图,已知 AB 是⊙O 的直径,BC⊥AB,连结 OC,弦 AD∥OC, 直线 CD 交 BA 的延长线于点 E. (1)求证:直线 CD 是⊙O 的切线; (2)若 DE=2BC,求 AD:OC 的值.

考点: 切线的判定;全等三角形的判定与性质;相似三角形的判定与性质. 分析: (1)首选连接 OD,易证得△ COD≌△COB(SAS) ,然后由全等三角形的对应角相 等,求得∠CDO=90°,即可证得直线 CD 是⊙O 的切线; (2)由△ COD≌△COB.可得 CD=CB,即可得 DE=2CD,易证得△ EDA∽△ECO, 然后由相似三角形的对应边成比例,求得 AD:OC 的值. 解答: (1)证明:连结 DO. ∵AD∥OC, ∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠COD.…(1 分) 又∵OA=OD, ∴∠DAO=∠ADO, ∴∠COD=∠COB.…(2 分) 在△ COD 和△ COB 中, , ∴△COD≌△COB(SAS)…(3 分)

∴∠CDO=∠CBO=90°. 又∵点 D 在⊙O 上, ∴CD 是⊙O 的切线.…(4 分) (2)解:∵△COD≌△COB. ∴CD=CB.…(5 分) ∵DE=2BC, ∴ED=2CD. ∵AD∥OC, ∴△EDA∽△ECO.…(7 分) ∴ .…(8 分)

…(6 分)

点评: 此题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质.此 题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用. 26. (14 分) (2013?宁波)如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点 A 的坐标为(0, 4) ,点 B 的坐标为(4,0) ,点 C 的坐标为(﹣4,0) ,点 P 在射线 AB 上运动,连结 CP 与 y 轴交于点 D,连结 BD.过 P,D,B 三点作⊙Q 与 y 轴的另一个交点为 E,延长 DQ 交 ⊙Q 于点 F,连结 EF,BF.

(1)求直线 AB 的函数解析式; (2)当点 P 在线段 AB(不包括 A,B 两点)上时. ①求证:∠BDE=∠ADP; ②设 DE=x,DF=y.请求出 y 关于 x 的函数解析式; (3)请你探究:点 P 在运动过程中,是否存在以 B,D,F 为顶点的直角三角形,满足两条 直角边之比为 2:1?如果存在,求出此时点 P 的坐标:如果不存在,请说明理由. 考点: 一次函数综合题. 分析: (1)设直线 AB 的函数解析式为 y=kx+4,把(4,0)代入即可; (2)①先证出△ BOD≌△COD,得出∠BOD=∠CDO,再根据∠CDO=∠ADP,即可

得出∠BDE=∠ADP, ②先连结 PE, 根据∠ADP=∠DEP+∠DPE, ∠BDE=∠ABD+∠OAB, ∠ADP=∠BDE, ∠DEP=∠ABD,得出∠DPE=∠OAB,再证出∠DFE=∠DPE=45°,最后根据 ∠DEF=90°,得出△ DEF 是等腰直角三角形,从而求出 DF= DE,即 y= x; (3) 当 = = =2 时, 过点 F 作 FH⊥OB 于点 H, 则∠DBO=∠BFH, 再证出△ BOD∽△FHB, =2,得出 FH=2,OD=2BH,再根据∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°,得出四

边形 OEFH 是矩形,OE=FH=2,EF=OH=4﹣OD,根据 DE=EF,求出 OD 的长,从 而得出直线 CD 的解析式为 y=x+,最后根据 求出点 P 的坐标即可;



=时,连结 EB,先证出△ DEF 是等腰直角三角形,过点 F 作 FG⊥OB 于点 G, = = =,得出 FG=8,OD=BG,再证出四边形 OEFG

同理可得△ BOD∽△FGB,

是矩形,求出 OD 的值,再求出直线 CD 的解析式,最后根据 点 P 的坐标. 解答: (1)设直线 AB 的函数解析式为 y=kx+4, 解: 代入(4,0)得:4k+4=0, 解得:k=﹣1, 则直线 AB 的函数解析式为 y=﹣x+4; (2)①由已知得: OB=OC,∠BOD=∠COD=90°, 又∵OD=OD, ∴△BOD≌△COD, ∴∠BOD=∠CDO, ∵∠CDO=∠ADP, ∴∠BDE=∠ADP, ②连结 PE, ∵∠ADP 是△ DPE 的一个外角, ∴∠ADP=∠DEP+∠DPE, ∵∠BDE 是△ ABD 的一个外角, ∴∠BDE=∠ABD+∠OAB, ∵∠ADP=∠BDE,∠DEP=∠ABD, ∴∠DPE=∠OAB, ∵OA=OB=4,∠AOB=90°, ∴∠OAB=45°, ∴∠DPE=45°, ∴∠DFE=∠DPE=45°, ∵DF 是⊙Q 的直径,

即可求出

∴∠DEF=90°, ∴△DEF 是等腰直角三角形, ∴DF= DE,即 y= x; (3)当 BD:BF=2:1 时, 过点 F 作 FH⊥OB 于点 H, ∵∠DBO+∠OBF=90°,∠OBF+∠BFH=90°, ∴∠DBO=∠BFH, 又∵∠DOB=∠BHF=90°, ∴△BOD∽△FHB, ∴ = = =2,

∴FH=2,OD=2BH, ∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°, ∴四边形 OEFH 是矩形, ∴OE=FH=2, ∴EF=OH=4﹣OD, ∵DE=EF, ∴2+OD=4﹣OD, 解得:OD=, ∴点 D 的坐标为(0,, ) ∴直线 CD 的解析式为 y=x+, 由 得: ,

则点 P 的坐标为(2,2) ; 当 =时,

连结 EB,同(2)①可得:∠ADB=∠EDP, 而∠ADB=∠DEB+∠DBE,∠EDP=∠DAP+∠DPA, ∵∠DEP=∠DPA, ∴∠DBE=∠DAP=45°, ∴△DEF 是等腰直角三角形, 过点 F 作 FG⊥OB 于点 G, 同理可得:△ BOD∽△FGB, ∴ = = =,

∴FG=8,OD=BG, ∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°, ∴四边形 OEFG 是矩形, ∴OE=FG=8, ∴EF=OG=4+2OD, ∵DE=EF, ∴8﹣OD=4+2OD,

OD=, ∴点 D 的坐标为(0,﹣) , 直线 CD 的解析式为:y=﹣x﹣, 由 得: ,

∴点 P 的坐标为(8,﹣4) , 综上所述,点 P 的坐标为(2,2)或(8,﹣4) .

点评: 此题考查了一次函数的综合,用到的知识点是一次函数、矩形的性质、圆的性质,关 键是综合运用有关知识作出辅助线,列出方程组.

21. (本题满分 12 分) 如图,AB 是⊙O 的直径,C 是半圆 O 上的一点,AC 平分∠DAB,AD⊥CD,垂足为 D,AD 交 ⊙O 于 E,连接 CE。 (1)判断 CD 与⊙O 的位 置关系,并证明你的结论;

(2)若E是 的中点,⊙O 的半径为 1,求图中阴影部 分的面积。 解(1)直线 CD 与⊙O 相切。 证明:连结 AC,OA=OC, ∠OAC=∠OCA, AC 平分∠DAB,∠DAC=∠OAC, ∠DAC=∠OCA,AD//OC,AD⊥CD,OC⊥CD,CD 与⊙O 相 切。 (2)连结 OE, 点 E 是 的中点, , ,∠DAC=∠ECA(相等的弧所对的圆周角相等) , ∠ DAC=∠OAC( (1)中已证) ,∠ECA=∠OAC,CE//OA,AD//OC, 四边形 AOCE 是平行四边形,CE=OA,AE=OC, OA=OC=OE=1, OC=OE=CE=OA=AE=1,四边形 AOCE 是菱形,△OCE 是等边三角形, ∠OCE=60?,∠OCD=90?,∠DCE=∠OCD-∠OCE=90?-60?=30?, AD⊥CD,在 Rt△DCE 中,ED= 1 1 3 CE = ,DC=cos30??CE= , 2 2 2

CE 弧与 CE 弦所围成部分的面积 = AE 弧与 AE 弦所围成部分的面积, 1 1 1 3 3 S 阴影=S△DCE= ?ED?DC= ? ? = . 2 2 2 2 8 答:图中阴影部分的面积为 3 。 8


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