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复旦附中2014-2015学年第二学期高一数学期中考试试卷


复旦附中 2014-2015 学年第二学期 高一数学期中考试试卷
时间:100 分钟 满分:120 分

2015.04

一、填空题(每题 4 分,共 48 分) 1.已知角 ? 的顶点在坐标原点,始边在 x 轴的正半轴上,其终边上有一点 P ? 5, ?12 ? , 则 sec? ? _____. 2.已知扇形的圆心角为 2 弧度,面积为 9 cm 2 ,则该扇形的弧长为______ cm . 1 ? 3? ? 3.若 cos ? ? ? ,则 sin ? ? ? ? ? _____. 3 ? 2 ?
?? 4 ?? ? ? 4.若 cos ? ? ? , ? ? ? , ? ? ,则 cos ? ? ? ? ? _____. 4? 5 ?2 ? ?

5.已知等腰三角形顶角的余弦值为 ? 6.函数 y ? sin ?

7 ,则这个三角形底角的正切值为_____. 25

?? ? ? 2 x ? 的单调递减区间 为_____. ...... 3 ? ?

7.函数 y ? 16 ? x2 ? lgsin x 的定义域 为_____. ... 8.函数 y ?
2cos x ?1 的值域 为_____. .. 2cos x ?1
cos C 2a ? c ,则角 B 的弧度数 为_____. ? ... cos B b

9.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且

10. 若动直线 x ? a ? a ? R ? 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M , N 两点,则
MN 的最大值为_____.

11.函数 f ( x) ? Asin ?? x ? ? ? (其中 A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ? )的部分图像如右图所示,则该函 y 数的解析式为 f ( x) ? _____. 4 ?2 12.为了使函数 y ? sin ? x ?? ? 0? 在区间 ?0,1? 上仅 出现 10 次最大值, . x O 4 ?4 则 ? 的取值范围是_____. 二、选择题(每题 5 分,共 20 分) 13.下列函数中,既是奇函数,又是以 ? 为周期的函数是( ) A. y ? x3 tan x B. y ? sin x C. y ? ?2sin x cos x D. y ? tan x

14.在 ?ABC 中,下列命题中,真命题的个数为( ) ① ?A ? ?B 是 sin A ? sin B 的充要条件;② ?A ? ?B 是 cos A ? cos B 的充要条件; ③ ?A ? ?B 是 tan A ? tan B 的充要条件;④ ?A ? ?B 是 cot A ? cot B 的充要条件; A.1 B.2 C.3 D.4

15.要得到函数 y ? cos ? 2 x ? A.向左平移 C.向左平移

? ?

??

? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像( 4?



? 个单位 4

B. 向右平移

? 个单位 4

? ? 个单位 D. 向右平移 个单位 8 8 16.已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图像不可能 是( ... y y y
2 1 2 1
x


y
2

1

1

O

? ? x O 2? 2? A. B. 三、解答题(共 5 题,共计 52 分) 17.(本题满分 8 分)

O

?
C.

2?

x

O

?
D.

2?

x

? ? 3? ? 作出函数 y ? tan x ? sin x ? tan x ? sin x , x ? ? , ? 的图像,并写出函数的单调区间(不必 ?2 2 ?

证明)

18.(本题满分 10 分) 已知 tan ? ? ?
? ?

??

? ? 3 ,求下列各式的值: 4?

?? ? cos ?? ? ? ? ? cos ? ? ? ? 2 ? ?; (1) ? 3? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? ?? ? 2 ? ?

(2) sin 2? ? 2cos 2 ? .

19.(本题满分 10 分) 已知函数 f ( x ) ? cos 2 ? x ?
? ?

1 ? , g ( x) ? 1 ? sin 2 x . 12 ? 2
? ? ? , 0 ? 上的值域. ? 2 ?

? ?

(1)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图像的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值; (2)求函数 h( x) ? f ( x) ? h( x) 在 x ? ? ?

20.(本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 c ? 2 , C ? (1)若 ?ABC 的面积为 3 ,求 a , b ; (2)若 sin C ? sin( B ? A) ? sin 2 A ,求 a , b .

?
3

.

21*.(本题满分 12 分) 设函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 对任意的 x ? R 恒成立,且当
x ? ? 0,1? 时, f ( x) ? x 2 .

(1)求证: f ( x) 是以 2 为周期的函数(不需要证明 2 是 f ( x) 的最小正周期) ; (2)对于整数 k ,当 x ? ? 2k ? 1, 2k ? 1? 时,求函数 f ( x) 的解析式; (3) 对于整数 k , 记 M k ? a f x ( )a x ? x 在k ? 2 x1 , 2 1 ? ??

?

求集合 M 2015 . ? 有两个不等的实数根? ,


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