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07-10全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案[1]


2010 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案
(2010 年 4 月 18 日 8:00-10:00) 一、填空 1、 方程 9x+|1-3x|=5 的解为 .

提示与答案: 提示与答案:x<0 无解; 当 x ≥ 0 时,原方程变形为 32x+3x-6=0,解得 3x=2,x=log32. 2、 函数 y=|sinx|+|cosx|的单调减

区间是 .
kπ kπ π , + ], k ∈ Z . 2 2 4

2 提示与答案: 提示与答案:与 f(x)=y =1+|sin2x|的单调区间相同, [

→ → → → → 3、 在△ABC 中,已知 AB · AC =4, AB · BC =-12,则| AB |= → → → → → 2 → 提示与答案: 提示与答案 AB · AC - AB · BC =| AB | =16,得| AB |=4.
4、 函数 f(x)=(x-2) (x+1)2 在区间[0,2]上的最大值是

.

,最小值是



提示与答案:极小值-4,端点函数值 f(2)=0,f(0)=-2,最小值-4,最大值 0. 提示与答案:
5、 在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在原点 O、半径为 R 的圆与△ABC 的边有公共点,其

中 A(4,0)、B(6,8)、C(2,4),则 R 的取值范围为



8 5 提示与答案: 提示与答案:画图观察,R 最小时圆与直线段 AC 相切,R 最大时圆过点 B.[ 5 ,10]. 6、 设函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x-1)都是关于 x 的奇函数,在区间[0,100]上

函数 y=f(x)至少有 n 个零点,则 n=

.

提示与答案: 提示与答案:f(2k-1)=0,k∈Z。所以至少有 50 个零点.
7、 从正方体的 12 条棱和 12 条面对角线中选出 n 条,使得其中任意两条

线段所在的直线都是异面直线,则 n 的最大值为



提示与答案: 提示与答案:不能有公共端点,最多 4 条,图上知 4 条可以.
8、 圆环形手镯上等距地镶嵌着 4 颗小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色中的一种.其中镀 2 金 2

银的概率是



1 提示与答案: 提示与答案:穷举法,注意可翻转,有 6 种情况,2 金 2 银有两种,概率为3. 9、 在三棱锥 A-BCD 中,已知∠ACB=∠CBD,∠ACD=∠ADC=∠BCD=∠BDC=θ,

且 cosθ=

10 .若此棱锥的体积为 144,则棱 AB 的长为 10



提示与答案: 提示与答案:4 面为全等的等腰三角形,设棱 AB 的长为 x,由体积列式求解,x=6 2.
axn 在复数范围内, 设数列{xn}满足 xn≠a-1, , xn+1 = 0 且 . 若对任意的 n∈N*都有 xn+3 = xn, 10、 xn+1
1

则 a 的值是



axn axn+2 a2xn+1 a3xn 提示与答案: 提示与答案:由 xn+1=x +1,xn+3=x +1=(a+1)x +1=(a2+a+1)x +1= xn 恒成立,即 n n+2 n+1 n 1 3 (a2+ a+1)xn(x+1-a)=0,因为 xn≠a-1 或 0,则 a2+a+1=0,所以 a = - ± i. 2 2 二、解答题 → 3→ 4→ x2 11、已知椭圆 C: +y2=1 上三点 A、B、M,O 为坐标原点.若OM= OA+ OB,证明: 5 5 4 x2 线段 AB 的中点在椭圆 +2y2=1 上. 2 x12 x22 2 2 解:设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 4 +y1 =1, 4 +y2 =1. → 3→ 4→ 3 4 3 4 由OM= OA+ OB得 M( x1+ x2, y1+ y2). 5 5 5 5 5 5 因为 M 是椭圆 C 上一点,所以 3 4 ( x1+ x2)2 5 5 3 4 +( y1+ y2)2=1, 4 5 5 x12 x22 4 3 4 x1x2 2 3 2 即( +y1 )( ) +( +y22)( )2+2( )( )( +y1y2)=1, 4 5 4 5 5 5 4 3 4 3 4 x1x2 得 ( )2+( )2+2( )( )( +y1y2)=1, 5 5 5 4 5 x1x2 +y1y2=0. 4 x1+x2 y1+y2 又 线段 AB 的中点的坐标为( , ), 2 2 x1+x2 2 ( ) 2 y1+y2 2 1 x12 1 x22 x1x2 +2( ) = ( +y12)+ ( +y22)+ +y1y2=1, 2 2 2 4 2 4 4 …………………20 分 …………………15 分

…………………5 分

所以

x1+x2 y1+y2 x2 , )在椭圆 +2y2=1 上. 从而推知线段 AB 的中点( 2 2 2

12、已知各项为整数的数列{an}满足 a3=-1,a7=4,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项起依 次成等比数列. (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 求出所有的正整数 m,使得 am+am+1+am+2=amam+1am+2. 解:(1) 设数列前 6 项的公差为 d,则 a5=-1+2d,a6=-1+3d,d 为整数. 又 a5,a6,a7 成等比数列,所以(3d-1)2=4(2d-1), 即 9d2-14d+5=0,得 d =1. 当 n≤6 时,an =n-4,
2

…………………4 分

由此 a5=1,a6=2,数列从第 5 项起构成的等比数列的公比为 2, 所以,当 n≥5 时,an =2n-5.
? ?n-4,n≤4, 故 an =? n-5 ? ?2 , n≥5.

…………………8 分

(2) 观察数列:-3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,… 当 m=1 时等式成立,即-3-2-1=―6=(-3)(-2)(-1); 当 m=3 时等式成立,即-1+0+1=0; 当 m=2、4 时等式不成立;
3

…………………14 分

当 m≥5 时,amam+1am+2 =23m-12, am +am+1+am+2=2m-5(2 -1)=7×2m-5, 7×2m-5≠23m-12, 所以 am +am+1+am+2≠amam+1am+2,与题设不符. 故所求 m= 1,或 m=3. …………………20 分

13、如图,圆内接五边形 ABCDE 中,AD 是外接圆的直径,BE⊥AD,垂足 H,过点 H 作 平行于 CE 的直线,与直线 AC、DC 分别交于点 F、G. 证明:(1) 点 A、B、F、H 共圆; (2) 四边形 BFCG 是矩形. 证明: 证明:(1)由 HG∥CE,得∠BHF=∠BEC, 又同弧的圆周角 ∠BAF=∠BEC, ∴ ∠BAF=∠BHF, ∴ 圆; (2) 点 A 、 B 、 F 、 H 共 B G …………………8 分 由(1)的结论,得 ∠BHA=∠BFA, C A H F D E

∵ BE⊥AD, ∴ BF⊥AC, 又 AD 是圆的直径,∴ CG⊥AC, 由 A、B、C、D 共圆及 A、B、F、H 共圆, ∴∠BFG =∠DAB =∠BCG, ∴ B、G、C、F 共圆. ∴ ∠BGC=∠AFB=900, ∴ BG⊥GC, …………………14 分

3

∴ 所以四边形 BFCG 是矩形. 14、求所有正整数 x,y,使得 x2+3y 与 y2+3x 都是完全平方数.
2 解:若 x=y,则 x +3x 是完全平方数.

…………………20 分

∵ x2<x2+3x<x2+4x+4= (x+2)2, ∴ x2+3x= (x+1)2, ∴ x=y =1. 若 x>y,则 x2<x2+3y<x2+3x<x2+4x+4= (x+2)2. ∵ x2+3y 是完全平方数, ∴ x2+3y= (x+1)2,得 3y = 2x+1,由此可知 y 是奇数,设 y = 2k+1,则 x=3k+1,k 是正整数. 又 y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4 是完全平方数,且 (2k+2)2=4k2+8k+4<4k2+13k+4<4k2+16k+16= (2k+4)2, ∴ y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2, 得 k=5,从而求得 x=16,y=11. 若 x<y,同 x>y 情形可求得 x=11,y=16. 综上所述,(x,y)= (1,1), (11,16), (16,11). …………………20 分 …………………15 分 …………………5 分

4

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案
(2009 年 5 月 3 日 8:00-10:00) 一、填空题(本大题共10小题,每小题7分,共70分) 1.已知 sin α cos β = 1 ,则 cos(α + β ) = . 0 .提示:由于|sinα|≤1,|cosβ|≤

π 1,现 sinαcosβ=1,故 sinα=1,cosβ=1 或 sinα=-1,cosβ=-1,∴ α=2kπ+ ,β 2 π π =2lπ 或 α=2kπ- ,β=2lπ+π?α+β=2(k+l)π+ (k,l∈Z).∴ cos(α+β)=0. 2 2 2. 已知等差数列 {an } 的前 11 项的和为 55 , 去掉一项 ak 后, 余下 10 项的算术平均值为 4 . 若

a1 = ?5 ,则 k =

1 . 11 .提示:设公差为 d,则得 55=-5×11+ ×11× 2

10d?55d=110?d=2.ak=55-4×10=15=-5+2(k-1)?k=11. 3.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列,则此椭圆的离心率

e=
-1+ 5 . 2 4.已知



5 ?1 .提示:由(2b)2 =2c×2a?a2 -c2 =ac?e2 +e-1=0?e= 2

3x + 1 1 = ,则实数 x = x 9 ? 1 3 ? 31? x

. 1 .提示:

1 3x = x ?32x-4× 3 -1 3(3 -1)
x

3x+3=0?3x=1(舍去),3x=3?x=1. 5. 如图, 在四面体 ABCD 中,P 、Q 分别为棱 BC 与 CD 上的点, 且 BP = 2 PC ,CQ = 2QD .R 为棱 AD 的中点, 则点 A 、B 到平面 PQR 的距离的比值为 . . 提示: 法一, A、

1 4

B 到平面 PQR 的距离分别为三棱锥 APQR 与 BPQR 的以三角形 PQR 为底的高. 故其比 1 1 1 1 1 1 1 值等于这两个三棱锥的体积比.VAPQR= VAPQD= × VAPCD= × × VABCD= VABCD; 2 2 3 2 3 3 18 1 2 1 4 4 1 4 又,SBPQ=SBCD-SBDQ-SCPQ=(1- - × )SBCD= SBCD,VRBPQ= VRBCD= × VABCD= 3 3 3 9 9 2 9 4 V .∴ A、B 到平面 PQR 的距离的比=1∶4.法二:可以求出平面 PQR 与 AB 的 18 ABCD 交点来求此比值:在面 BCD 内,延长 PQ、BD 交于点 M,则 M 为面 PQR 与棱 BD 的 DQ 1 CP 1 BM BM DQ CP · · =1,而 = , = ,故 =4.在面 ABD 交点.由 Menelaus 定理知, QC 2 PB 2 MD MD QC PB
5

BM DR AN 内, 作射线 MR 交 AB 于点 N, N 为面 PQR 与 AB 的交点. Menelaus 定理知, · · 则 由 MD RA NB =1,而 BM DR AN 1 =4, = 1 , 故 = . ∴ A 、 B 到 平 面 PQR 的 距 离 的 比 = 1 ∶ MD RA NB 4

4



则满足 f ( x ) ≥ 0 的 x 的取值范围是 6. f ( x) = log 3 x ? 4 ? x , 设

. , . [3 4] 提

示:定义域(0,4].在定义域内 f(x)单调增,且 f(3)=0.故 f(x)≥0 的 x 的取值范围为[3, 4]. 7.右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽

10 cm 、体积为 3000 cm3 的长方体,长和高未定.净水水箱
的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长 20 cm 、20 cm 、

60 cm .若不计净水器中的存水,则净水水箱中最少可以存


cm3 . 78000 .提示:设净水器的长、高分别为 x,ycm,则 xy=300,V

=30(20+x)(60+y)=30(1200+60x+20y+xy)≥30(1200+2 60x×20y+300)=30(1500 +1200)=30×2700.∴ 至少可以存水 78000cm3. 8.设点 O 是 △ ABC 的外心, AB = 13 , AC = 12 ,则 BC ? AO =

uuu uuur r

.?

25 .提 2

→ → → → → → → → → → → → 示:设| AO|=| BO|=| OC|=R.则 BC · AO=( BO+ OC)· AO= BO· AO+ OC· AO= 1 1 1 R2cos(π-2C)+R2cos2B=R2(2sin2C-2sin2B)= (2RsinB)2 - (2RsinC)2 = (122 -132)= 2 2 2
A R R B O R C

25 - . 2

6

9.设数列 {an } 满足: an +1an = 2an +1 ? 2 ( n = 1,2, , ) , a2009 = 3 …

2 ,则此数列的前

2009 项的和为

2 . 2008 + 2 .提示:若 an+1≠0,则 an=2- ,故 a2008 a n+ 1

2 =2- 2,a2007=2- =- 2,a2006=2+ 2,a2005= 2.一般的,若 an≠0,1, 2- 2 an+1-2 2 2 2,则 an=2- ,则 an-1= ,a - = ,a - =an+1,故 an-4=an.于是, an+1-1 n 2 2-an+1 n 3 a n+ 1
2009 k=1

Σ a =502(a +a +a +a )+a
n 1 2 3 4

2009=502(a2005+a2006+a2007+a2008)+a2009=2008+

2.

10. a 是整数,0 ≤ b < 1 . a 2 = 2b( a + b) , b = 设 若 则

.0 ,

3 ?1 , 3 ?1. 提 2

示:若 a 为负整数,则 a2>0,2b(a+b)<0,不可能,故 a≥0.于是 a2=2b(a+b)<2(a +1)?a2-2a-2<0?0≤a<1+ 3?a=0,1,2.a=0 时,b=0;a=1 时,2b2+2b -1=0?b= 3-1 ;a=2 时,b2+2b-2=0?b= 3-1.说明:本题也可以这样说: 2

求实数 x,使[x]2=2{x}x. 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 解答题 11.在直角坐标系 xOy 中,直线 x ? 2 y + 4 = 0 与椭圆

x2 y 2 + = 1 交于 A , B 两点, F 是 9 4

椭圆的左焦点.求以 O , F , A , B 为顶点的四边形的面积.

?4x2+9y2=36, 14 11.取方程组? 代入得,25y2-64y+28=0.此方程的解为 y=2,y= .即 25 ?x=2y-4.

72 14 得 B(0,2),A(- , ),又左焦点 F1(- 5,0).连 OA 把四边形 AFOB 分成两个三 25 25 1 72 1 14 1 角形.得,S= ×2× + × 5× = (72+7 5).也可以这样计算面积:直线与 x 2 25 2 25 25 1 1 14 1 轴交于点 C(-4,0).所求面积= ×4×2- ×(4- 5)× = (72+7 5).也可以这 2 2 25 25 1 14 72 72 14 样计算面积:所求面积= (0×2-0×0+0× -(- )×2+(- )×0-(- 5)× + 2 25 25 25 25

7

1 144 14 1 (- 5)×0-0×0)= ( + 5)= (72+7 5). 2 25 25 25 12.如图,设 D 、 E 是 △ ABC 的边 AB 上的两点,已知 ∠ACD = ∠BCE , AC = 14 ,

AD = 7 , AB = 28 , CE = 12 ,求 BC .

12.

AD AC = ?△ACD∽△ABC?∠ABC=∠ACD=∠BCE.∴ CE=BE=12.AE=AB- AC AB AC2+AE2-CE2 142+162-122 142+28·4 11 = = = .∴ BC2=AC2+ 2·14·16 16 2AC·AE 2·14·16 11 =72·9?BC=21. 16

BE=16.∴ cosA=

AB2-2AC·ABcosA=142+282-2·14·28· 13.若不等式 x +

y ≤ k 2 x + y 对于任意正实数 x , y 成立,求 k 的取值范围.

13.解法一:显然 k>0.( x+ y)2≤k2(2x+y)?(2k2-1)x-2 xy+(k2-1)y≥0 对于 x,y> 0 恒成立.令 t= x >0,则得 f(t)=(2k2-1)t2-2t+(k2-1)≥0 对一切 t>0 恒成立.当 y

1 2k2-1≤0 时,不等式不能恒成立,故 2k2-1>0.此时当 t= 2 时,f(t)取得最小值 2k -1 2k4-3k2 k2(2k2-3) 1 2 6 - 2 +k2-1= 2 = . 2k2-1>0 且 2k2-3≥0, k≥ 时, 当 即 2 2k -1 2k -1 2k -1 2k2-1
2

不等式恒成立,且当 x=4y>0 时等号成立.∴ k∈[
2

6 ,+∞). 2 t2+2t+1 x 2 >0,则 k ≥ 2 = y 2t +1

( x+ y)2 x+2 xy+y 解法二: 显然 k>0, k ≥ 故 = .令 t= 2x+y 2x+y

4t+1 u-1 1 8u (1+ 2 ).令 u=4t+1>1,则 t= .只要求 s(u)= 2 的最大值.s(u)= 2 4 2t +1 u -2u+9 8 ≤ 9 u+ -2 2 u 8 9 u· -2 u 4t+1 1 1 3 3 6 =2,于是, (1+ 2 )≤ (1+2)= .∴k2≥ ,即 k≥ 时,不 2 2 2 2 2t +1 2

4t+1 8t2+4-4t(4t+1) 等式恒成立(当 x=4y>0 时等号成立). : s(t)= 2 , s′(t)= 则 = 又 令 2t +1 (2t2+1)2 -8t2-4t+4 1 1 1 ,t>0 时有驻点 t= .且在 0<t< 时,s′(t)>0,在 t> 时,s′(t)<0,即 2 2 2 (2t2+1)2 1 1 1 3 s(t)在 t= 时取得最大值 2,此时有 k2≥ (1+s( ))= . 2 2 2 2

8

1 6 解法三:由 Cauchy 不等式,( x+ y)2≤( +1)(2x+y).即( x+ y)≤ 2x+y对一切 2 2 正实数 x,y 成立.当 k< × ≤ 1 3 6 6 6 时,取 x= ,y=1,有 x+ y= ,而 k 2x+y=k < 4 2 2 2 2

6 3 6 = .即不等式不能恒成立.而当 k≥ 时,由于对一切正实数 x,y,都有 x+ y 2 2 2 6 6 2x+y≤k 2x+y,故不等式恒成立.∴ k∈[ ,+∞). 2 2

14. (Ⅰ)写出三个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数, 请予以验证; (Ⅱ)是否存在四个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平 方数?请证明你的结论. 14.对于任意 n∈N*,n2≡0,1(mod 4).设 a,b 是两个不同的自然数,①若 a≡0(mod 4) 或 b≡0(mod 4),或 a≡b≡2(mod 4),均有 ab≡0(mod 4),此时,ab+10≡2(mod 4),故 ab+10 不是完全平方数;② 若 a≡b≡1(mod 4),或 a≡b≡3(mod 4),则 ab≡1(mod 4), 此时 ab+10≡3(mod 4),故 ab+10 不是完全平方数.由此知,ab+10 是完全平方数的 必要不充分条件是 a≡b(mod 4)且 a 与 b 均不能被 4 整除. / (Ⅰ)由上可知,满足要求的三个自然数是可以存在的,例如取 a=2,b=3,c=13, 则 2×3+10=42,2×13+10=62,3×13+10=72.即 2,3,13 是满足题意的一组自 然数. (Ⅱ) 由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数. 这是因为, 任取 4 个不同自然数, 若其中有 4 的倍数,则它与其余任一个数的积加 10 后不是完全平方数,如果这 4 个数 都不是 4 的倍数,则它们必有两个数 mod 4 同余,这两个数的积加 10 后不是完全平方 数. 故证.

9

2008 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案
(2008 年 5 月 4 日 8:00-10:00) 一、填空题(本大题共10小题,1~5题每小题6分,6~10每小题10分,共80分) 1. 如果实数 m , , ,y 满足 m + n = a , + y = b , n x x 其中 a , 为常数, b 那么 mx + ny
2 2

2

2

的 最 大 值 为



ab . 提 示 : 由 柯 西 不 等 式

(mx + ny )2 ≤ (m 2 + n 2 )( x 2 + y 2 ) = ab ;或三角换元, m = n = ,当
时, mx + ny =

a b ,x = y = 2 2

ab .

1) 3) 2.设 y = f ( x ) 为指数函数 y = a x .在 P (1, ,Q (1,2) , M (2, , N ( , ) 四点中,
函数 y = f (x ) 与其反函数 y = f
?1

1 1 2 4

( x) 的图像的公共点只可能是点

.N .提

1 1 1 1 1 1 1 2 示:取 a = ,把坐标代入检验,∵ ( ) = ,而 ( ) 4 = ,∴公共点只可能是点 16 16 4 16 2 N.
3. 在如图的表格中, 如果每格填上一个数后, 每一横行成等差数列, 每一纵列成等比数列,

那么 x + y + z 的值为



1 .提示:第一、二行后两
5 3 ,z = ,则 16 16

个数分别为 2.5,3 与 1.25,1.5;第三、四、五列中的 x = 0.5 , y =

x + y + z = 1.
4. 如果 △ A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别是 △ A2 B2C2 的三个内角的正弦值, 那么下列说 法中正确的有 .⑵.提示:两个三角形的内角不能有直角; △ A1 B1C1 的内

角 余 弦 都 大 于 零 , 所 以 是 锐 角 三 角 形 ; 若 △ A2 B2C2 是 锐 角 三 角 形 , 则 不 妨 设

cos A1 = sin A2 = cos( ? A2 ) 2

π



cos C1 = sin C2 = cos( ? C2 ) ,则 A1 = ? A2 ,即 A1 + A2 = .同理 B1 + B2 = , 2 2 2 2 π 3π C1 + C2 = ,从而有 A1 + B1 + C1 + A2 + B2 + C2 = ,矛盾.故选⑵. 2 2
10

π

π

cos B1 = sin B2 = cos( ? B2 ) 2

π



π

π

⑴ △ A1 B1C1 与 △ A2 B2C2 都是锐角三角形; ⑵ △ A1 B1C1 是锐角三角形, △ A2 B2C2 是钝角三角形; ⑶ △ A1 B1C1 是钝角三角形, △ A2 B2C2 是锐角三角形; ⑷ △ A1 B1C1 与 △ A2 B2C2 都是钝角三角形. 5.设 a , b 是夹角为 30 的异面直线,则满足条件“ a ? α , b ? β ,且 α ⊥ β ”的平面
o

α ,β 有

对.无数.提示:任作 a 的平面 α ,可以作无数个.在 b 上任取

一点 M ,过 M 作 α 的垂线, b 与垂线确定的平面 β 垂直于 α . 6. 设集合 A = {x | x 2 ? [ x ] = 2} ,B = {x || x |< 2} , 其中符号 [ x ] 表示不大于 x 的最大整数, 则 AI B = . ?1, 3} . { 提示: | x |< 2 , [ x ] 的值可取 ?2, 1, , . ∵ ∴ ? 0 1 当

[ x] = ?2 ,则 x 2 = 0 无解;当 [ x] = ?1 ,则 x 2 = 1 ,∴ x = ?1 ;当 [ x] = 0 ,则 x 2 = 2
无解;当 [ x ] = 1 ,则 x = 3 ,∴ x =
2

3 .所以, x = ?1 或 3
(结果要求写成既约

7.同时投掷三颗骰子,至少有一颗骰子掷出 6 点的概率是 分数).提示:考虑对立事件, P = 1 ? ( ) = .

5 3 91 . 6 216 uuu r uuu r uuur r 8.已知点 O 在 △ ABC 内部,且有 OA + 2OB + 2OC = 0 ,则 △ ABC 与 △OCB 的面积
之比为 高 的 . 5 :1 .提示:由图, △ ABC 与 △OCB 同底边 BC ,面积比等于 比 , 也 等 于 .

AM : OM = ( AO + OM ) : OM = (OD + OM ) : OM = 5 :1
A

O C M B E D

F

9 . 与 圆 x 2 + y 2 ? 4x = 0 外 切 , 且 与 y 轴 相 切 的 动 圆 圆 心 的 轨 迹 方 程 为 . y 2 = 8 x ( x > 0) 或 y = 0 ( x < 0) .提示:由圆锥曲线的定义,圆心可

0) 以是以 (2, 为焦点、 x = ?2 为准线的抛物线上的点;若切点是原点,则圆心在 x 轴
11

负半轴上.所以轨迹方程为 y = 8 x ( x > 0) 或 y = 0 ( x < 0) .
2

10





△ ABC







tan A tan B = tan A tan C + tan C tan B





a2 + b2 = c2

. 3 . 提 示 : 切 割 化 弦 , 已 知 等 式 即

sin A sin B sin A sin C sin B sin C sin A sin B sin( A + B ) = + , 亦 即 = , 即 sin C cos C cos A cos B cos A cos C cos B cos C sin A sin B cos C ab cos C a2 + b2 ? c2 a2 + b2 =1,即 = 1 .所以, = 1 ,故 = 3. sin 2 C c2 2c 2 c2
二、解答题(本大题共 4 小题,各小题分别为 15 分、15 分、20 分、20 分,共 70 分) 解答题 11.已知函数 f ( x ) = ?2 x 2 + bx + c 在 x = 1 时有最大值 1 , 0 < m < n ,并且 x ∈ [ m,n] 时,

1 1 f ( x) 的取值范围为 [ , ] .试求 m , n 的值. n m
11.由题 f ( x ) = ?2( x ? 1) 2 + 1(5 分) ∴ f ( x ) ≤ 1 ,∴ ,

1 ≤ 1 ,即 m ≥ 1 ,∴ f ( x)在[m, n] m 1 1 2 2 上单调减,∴ f ( m) = ?2( m ? 1) + 1 = 且 f ( n) = ?2( n ? 1) + 1 = (10 分) ∴ m , . m n 1 2 n 是方程 f ( x ) = ?2( x ? 1) + 1 = 的两个解,方程即 ( x ? 1)( 2 x 2 ? 2 x ? 1) =0,解方程, x

得解为 1,

1+ 3 1? 3 1+ 3 , .∴1 ≤ m < n ,∴ m = 1 , n = (15 分). 2 2 2

12.已知 A 、 B 为双曲线

uuu uuu r r x2 y2 ? = 1 上的两个动点,满足 OA ? OB = 0 . 4 9

r (Ⅰ)求证: uuu

1 1 r + uuu 2 为定值; 2 | OA | | OB |

(Ⅱ)动点 P 在线段 AB 上,满足 OP ? AB = 0 ,求证:点 P 在定圆上. 12. (Ⅰ)设点 A( r cos θ,r sin θ ) ,点 B ( r ′ cos θ ′,r ′ sin θ ′) ,则 r =| OA | , r ′ =| OB | , A 在双曲线上,则 r (
2

uuu uuu r r

uuu r

uuu r

cos 2 θ sin 2 θ 1 cos 2 θ sin 2 θ ? ) = 1 .所以, 2 = ? (5 分) .由 4 9 4 9 r

uuu uuu r r uuu uuu r r OA ? OB = 0 ,得 OA ⊥ OB = 0 ,所以 cos 2 θ ′ = sin 2 θ , cos 2 θ = sin 2 θ ′ .同理,
1 cos 2 θ ′ sin 2 θ ′ sin 2 θ cos 2 θ = ? = ? 4 9 4 9 r ′2
, 所 以 ,

12

1 1 1 1 1 1 5 uuu 2 + uuu 2 = 2 + 2 = ? = (10 分). r r r r' 4 9 36 | OA | | OB |
(Ⅱ)由 OA ? OB = 0 和 OP ? AB = 0 ,知 OA ⊥ OB , OP ⊥ AB ,根据三角形面积公 式 , 得

uuu uuu r r

uuu uuu r r

uuu r uuu uuu r r uuu r | OA | × | OB |=| OP | × | AB |



所 .

以 即

uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r | OA |2 × | OB |2 =| OP |2 × | AB |2 =| OP |2 ×(| OA |2 + | OB |2 )

uuu r uuu r uuu 2 r uuu 2 | OA |2 + | OB |2 r 1 1 36 r r r r | OP | ×( uuu 2 + uuu 2 ) =| OP | × uuu 2 uuu 2 = 1 .于是,| OP |2 = .即 P 在 5 | OA | | OB | | OA | × | OB |
以 O 为圆心、

6 5 为半径的定圆上(15 分) . 5

13. 如图, 平面 M 、N 相交于直线 l . A 、D 为 l 上两点, 射线 DB 在平面 M 内, 射线 DC 在平面 N 内.已知 ∠BDC = α , ∠BDA = β , ∠CDA = γ ,且 α , β , γ 都是锐 角.求二面角 M ?l ? N 的平面角的余弦值(用 α , β , γ 的三角函数值表
N C

A B

l

D

示) .

M

13.在平面 M 中,过 A 作 DA 的垂线,交射线 DB 于 B 点;在平面 N 中,过 A 作 DA 的垂 线,交射线 DC 于 C 点.设 DA=1,则 AB = tan β , DB =

1 , AC = tan γ , cos β

DC =


1 (5 分)并且 ∠BAC = ? 就是二面角 M ? l ? N 平面角 , (10 分)在 △DBC . cos γ
中 , 利 用 余 弦 定 理 , 可 得 等 式

△ ABC

BC 2 =


1 1 2 + ? cos α = tan 2 β + tan 2 γ ? 2 tan β tan γ cos ? , 2 2 cos β cos γ cos β cos γ
以 ,

2 tan β tan γ cos ? = tan 2 β + tan 2 γ ?

1 1 2 ? + cos α 2 2 cos β cos γ cos β cos γ

13

=

2(cos α ? cos β cos γ ) cos α ? cos β cos γ (15 分) ,故得到 cos ? = (20 分). cos β cos γ sin β sin γ

14.能否将下列数组中的数填入 3 × 3 的方格表,每个小方格中填一个数,使得每行、每列、 两条对角线上的 3 个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不能,请给予证明. (Ⅰ) 2,4, , , , ,24, ,48 ; 6 8 12 18 36

6 8 12 18 36 72 (Ⅱ) 2,4, , , , ,24, , .
14 . Ⅰ ) 不 能 ( 5 分 ) . 因 为 若 每 行 的 积 都 相 等 , 则 9 个 数 的 积 是 立 方 数 . 但 是 (

2 × 4 × 6 × 8 × 12 ×18 × 24 × 36 × 48 = 21+ 2+1+3+ 2+1+3+ 2+ 4 × 31+1+ 2 +1+ 2 +1 = 219 × 38 ,不是立方
数,故不能. (10 分) ( Ⅱ ) 可 以 ( 15 分 ) 如 右 表 , 表 中 每 行 、 每 列 及 对 角 线 的 积 都 是 2 × 3 ( 20 .
6 2

分) .

14

2007 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案
一、填空题(本大题共10小题,每小题7分,共70分) 1.关于 x 的不等式 x ? ax ? 20a < 0 任意两个解的差不超过 9 ,则 a 的最大值与最小值
2 2

的和是

.0 .提示:方程 x ? ax ? 20 a = 0 的两根是 x1 = ?4a , x2 = 5a ,
2 2

则 由 关 于 x 的 不 等 式 x ? ax ? 20a < 0 任 意 两 个 解 的 差 不 超 过 9 , 得
2 2

| x1 ? x2 |=| 9a |≤ 9 ,即 ?1 ≤ a ≤1 .
2.设 f ( x) = log a ( x + b) ( a > 0,且a ≠ 1) 的图象经过点 (2, ,它的反函数的图象经过 1) 点 (2, ,则 a + b 等于 8) . 4 .提示:由题设知 ?

? log a (2 + b) = 1, 化简得 log a (8 + b) = 2, ?

?a1 = 3, ?a2 = ?2, ?(2 + b) = a, 解之得 ? (舍去).故 a + b 等于 4 . ? ? 2 ? (8 + b) = a . ? b1 = 1; ? b2 = ?4.
3.已知向量 a 、 b ,设 AB = a + 2b , BC = ?5a + 6b , CD = 7a ? 2b ,则 A 、 B 、 C 、

uuu r

uuu r

uuu r

D 四个点中一定共线的三点是

. A 、 B 、 D .提示:

uuu uuu uuu r r r uuu r BD = BC + CD = 2a + 4b = 2 AB ,所以 A 、 B 、 D 三点共线.
4.设 α 、 β 、 γ 为平面, m 、 n 为直线,则 m ⊥ β 的一个充分条件是 .④.提

示:① 选项缺少条件 m ? α ;② 选项当 α // β , β ⊥ γ 时, m // β ;③ 选项当 α 、 , β 、 γ 两两垂直(看着你现在所在房间的天花板上的墙角) m = β I γ 时, m ? β ; ④ 选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行. ① α ⊥ β ,α I β = n , m ⊥ n ; ③ α ⊥ β ,β ⊥ γ ,m ⊥α ; 5.在 △ ABC 中,已知 tan B = ② α I γ = m ,α ⊥ γ , β ⊥ γ ; ④ n ⊥α ,n ⊥ β ,m ⊥α .

3 , sin C =

2 2 , AC = 3 6 ,则 △ ABC 的面积 3 3 得 B = 60° .由正



. 8 3 ± 6 2 .提示:在 △ ABC 中,由 tan B =

15

弦定理得 AB =

AC ? sin C 2 2 = 8 . 因为 arcsin > 60° ,所以角 C 可取锐角或钝角, sin B 3

从 而 cos C = ±

1 2 3 . sin A = sin( B + C ) = sin B cos C + cos B sin C = .故 ± 3 3 6

S ?ABC =

AC ? AB sin A = 8 3 ± 6 2 . 2

6.设命题 P : a 2 < a ,命题 Q : 对任何 x ∈ R ,都有 x 2 + 4 ax + 1 > 0 . 命题 P 与 Q 中有 且仅有一个成立, 则实数 a 的取值范围是
2 2

.?

1 1 < a ≤ 0 或 ≤ a < 1 .提 2 2

示 : 由 a < a 得 0 < a < 1 . 由 x + 4ax + 1 > 0 对 于 任 何 x ∈ R 成 立 , 得

1 1 < a < .因为命题 P 、 Q 有且仅有一个成立,故实数 a 的 2 2 1 1 取值范围是 ? < a ≤ 0 或 ≤ a < 1. 2 2
? = 16 a 2 ? 4 < 0 ,即 ?
7.圆锥曲线 示 :

x 2 + y 2 + 6 x ? 2 y + 10 ? | x ? y + 3 |= 0 的离心率是
原 式 变 形 为

. 2 .提 , 即

( x + 3) 2 + ( y ? 1) 2 =| x ? y + 3 |

( x + 3) 2 + ( y ? 1) 2 = 2 ×

| x ? y + 3| . 所以动点 ( x,y ) 到定点 ( ?3, 的距离与它到 1) 2

直线 x ? y + 3 = 0 的距离之比为 2 .故此动点轨迹为双曲线,离心率为 2 . 8 . 已 知 函 数 y = f ( x) 的 图 象 如 图 , 则 满 足

2 x2 ? x ? 1 f( 2 ) ? f (lg( x 2 ? 6 x + 20)) ≤ 0 的 x 的 取 值 范 围 x ? 2x + 1
为 .[ ?2, .提示:因为 lg( x 2 ? 6 x + 20) = lg(( x ? 3) 2 + 11) ≥ lg11 > 1 , 1)

所以 lg( x 2 ? 6 x + 20) < 0 .于是,由图象可知,

2x +1 x+2 ≤ 1 ,即 ≤ 0 ,解得 x ?1 x ?1

?2 ≤ x < 1 .故 x 的取值范围为 x ∈ [ ?2, . 1)

, 3 4 5 6 7} 9 . 若 m 、 n ∈ {x | x = a2 ×10 2 + a1 × 10 + a0 } , 其 中 ai ∈ {1 2, , , , , , i = 0,,2 , 并 且 m + n = 636 , 则 实 数 对 ( m,n) 表 示 平 面 上 不 同 点 的 个 数 1
为 . 90 .提示:由 6 = 5 + 1 = 4 + 2 = 3 + 3 及题设知,个位数字的选择有 5

种. 因为 3 = 2 + 1 ,或 3 = 7 + 6 ? 10 ,故① 由 3 = 2 + 1 知,首位数字的可能选择有
16

2 × 5 = 10 种 ; ② 由 3 = 7 + 6 ? 10 及 5 = 4 + 1 = 2 + 3 知 , 首 位 数字 的 可 能 选 择有 2 × 4 = 8 种. 于是,符合题设的不同点的个数为 5 × (10 + 8) = 90 种.
10 . 已 知 f ( x) =| x + 1| + | x + 2 | + L + | x + 2007 | + | x ? 1| + | x ? 2 | + L + | x ? 2007 | ,

x ∈ R ,且 f (a 2 ? 3a + 2) = f (a ? 1) ,则 a 的值有
设 知

个.无数.提示:由题

f ( x)

为 偶 函 数 , 则 考 虑 在

?1 ≤ x ≤1 时 , 恒 有

f ( x ) = 2 × (1 + 2 + 3 + L + 2007) = 2008 × 2007 .所以当 ?1 ≤ a 2 ? 3a + 2 ≤ 1 ,且

?1 ≤ a ? 1 ≤ 1 时, 恒有 f ( a 2 ? 3a + 2) = f ( a ? 1) . 由于不等式 ?1 ≤ a 2 ? 3a + 2 ≤ 1 的
解集为

3? 5 3+ 5 ,不等式 ?1 ≤ a ? 1 ≤ 1 的解集为 0 ≤ a ≤ 2 .因此当 ≤a≤ 2 2

3? 5 ≤ a ≤ 2 时,恒有 f ( a 2 ? 3a + 2) = f ( a ? 1) . 2
二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 解答题 11. 设不等式组 ?

? x + y > 0, 表示的平面区域为 D . 区域 D 内的动点 P 到直线 x + y = 0 和 ?x ? y < 0

直线 x ? y = 0 的距离之积为 2 .记点 P 的轨迹为曲线 C .过点 F (2 2,0) 的直线 l 与 曲线 C 交于 A 、 B 两点. 若以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切,求直线 l 的斜率. 11.. 12 . 如 图 , 斜 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , 面 AA1C1C 是 菱 形 , ∠ACC1 = 60° , 侧 面

ABB1 A1 ⊥ AA1C1C , A1 B = AB = AC = 1 ,求证:
(Ⅰ) AA1 ⊥ BC1 ; (Ⅱ)求点 A1 到平面 ABC 的距离.
B B1

A

A1

C

C1

12. (Ⅰ)设 AA1 中点为 D ,连 C 、 D . 因为 A1 B = AB ,所以 BD ⊥ AA1 .因为面
17

ABB1 A1 ⊥ AA1C1C ,所以 BD ⊥ 面 AA1C1C .又 ?ACC1 为正三角形, AC1 = C1 A1 ,
所以 C1 D ⊥ AA1 . 从 BC1 ⊥ AA1 . (Ⅱ)由(Ⅰ) ,有 BD ⊥ C1 D , BC1 ⊥ CC1 , CC1 ⊥ 面 C1 DB .设 A1 到面 ABC 的距 离为 h ,则

1 hS ?ABC = VB ?CAC1 = VB ?CDC1 . 3

因 为 VC ?C1DB =

1 CC1 × S ?C1DB , 所 以 3 3 . 设 ?ABC 的高 4

h=

S ?C1DB S ?ABC



又 C1 D = BD ,且 2 S ?C1DB = C1 D × BD = BD 2 =

为 AE ,则 BC 2 = BC12 + CC12 = 2 BD 2 + 1 =

1 5 3 3 5 , + 1 = , AE = 1 ? ? = 2 2 4 2 8

2S ?ABC =
15 . 5

5 3 15 3 15 ? = .于是有 h = = ,即 A1 到平面 ABC 的距离为 2 8 4 5 15

13.已知数列 {an } 中, a1 = 1 , an +3 ≤ an + 3 , an + 2 ≥ an + 2 ,求 a2007 . 13.由题设, an + 2 ≥ an + 2 ,则 a2007 ≥ a2005 + 2 ≥ a2003 + 2 × 2 ≥ L ≥ a1 + 2 × 1003 = 2007 . 由 于

an + 2 ≥ an + 2 , an ≤ an + 2 ? 2 , an +3 ≤ an + 3 ≤ an + 2 ? 2 + 3 = an + 2 + 1 ( n ≥ 1) . 得 则


a2007 ≤ a2006 + 1 ≤ a2005 + 1× 2 ≤ a2002 + 3 + 1× 2 ≤ a1999 + 3 × 2 + 1× 2

≤ L ≤ a1 + 3 × 668 + 1× 2 = 2007 ,所以 a2007=2007.易知数列 a1 = 1 , a2 = 2 ,L , an = n 符合本题要求.注意 注意:猜得答案 a n = n 或 a2007 = 2007 ,给 2 分. 注意
14.已知平面上 10 个圆,任意两个都相交.是否存在直线 l ,与每个圆都有公共点?证明你 的结论. 14.存在直线 l ,与每个圆都有公共点.证明如下:如图,先作直线 l0 ,设第 i 个圆在直线 l0 上的正投影是线段 Ai Bi ,其中 Ai 、 Bi 分别是线段的左右端点. 10 个圆有 10 个投影线 段,有 10 个左端点,有 10 个右端点.因为任意两个圆都相交,所以任意两条投影线段 都有重叠的部分,设 Ak 是最右边的左端点,则所有右端点都在 Ak 的右边,否则必有两 条投影线段无重叠部分,与对应的两个圆相交矛盾.再设 Bm 是最左边的右端点,同理
18

所有左端点都在 Bm 的左边. Ak 与 Bm 不重合,线段 Ak Bm 是任意一条投影线段的一部 分,过线段 Ak Bm 上某一点作直线 l0 的垂线 l ,则 l 与 10 个圆都相交.

A1

A2 Ak

B1

Bk

B2

l0

19


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