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江苏省南通市天星湖中学2016届高三数学上学期第一次阶段性教学反馈试题


2015-2016 学年第一学期阶段性教学反馈 高三数学试题
考试时间:120 分钟 分值:160 分 一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案填写在答题卡的相应位置 ........ 上 . . 1.设集合 M={0,1,2} ,N= ?x | x2 ? 3x ? 2≤ 0? ,则 M ? N = 2.函数 y ? lg x ? x

? 1 的定义域是
a b 3.“ 0 ? a ? b ”是“ ( ) ? ( ) ”的

▲ .

.

▲ ▲

1 4

1 4

条件. (填充分而不必要条件、

必要而不充分件、充分条件、既不充分也不必要条件中一个) 4.已知命题 p : ?x ? R, 2 x 2 ? 1 ? 0 ,则非 p 为: 5.曲线 y ? sin x ? e 在点 ? 0,1? 处的切线方程是
x

▲ ▲ .

6.已知函数 f ? x ?=x ? mx ? (m ? 6) x ? 1存在极值,则实数 m 的取值范围为_ __▲_______.
3 2

x 7. 已知幂函数 f ( x ) ? (t ? t ? 1) 是偶函数,且在 (0, ??) 上为增函数,则 t 的值为 ▲ . 2 8. 已知定义在 R 上的函数 f(x)=(x -3x+2)·g(x)+3x-4,其中函数 y=g(x)的图象是一
3

7 ? 3t ? 2 t2 5

条连续曲线.已知函数 f(x)有一个零点所在区间为(k,k+1)(k∈N),则 k 的值为 ▲ . 9. 设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 且对于 ?x ? R 恒有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) , 已知当 x ? ?0,1? 时, f ( x) ? ( )1? x , 则(1) f ( x) 的周期是 2;

1 2

(2) f ( x) 在(1,2)上递减,在(2,

3)上递增; (3) f ( x) 的最大值是 1,最小值是 0; (4)当 x ? (3,4) 时, f ( x) ? ( ) x ?3 其中正确的命题的序号是
2

1 2





10.若曲线 f ( x) ? ax ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是__▲_____. 11.设 f(x)表示-x+6 和-2x +4x+6 中较小者,则函数 f(x)的最大值是____▲____. (0<x≤10) ? ?lgx 1 12. 已知函数 f (x)=? , 若 a,b,c 互不相等, 且 f (a)=f (b)=f (c), ?|6-2x| (x>10) ? 则 a+b+c 的取值范围为 ▲ .
2

x 13. 设 x1 , x 2 ? R , 函 数 f ( x) 满 足 e ?

1 ? f ( x) , 若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 , 则 1 ? f ( x)

-1-

f ( x1 ? x2 ) 最小值是



(0, ? ?)的 函 数 f ( x) 满 足 :(1) 对 任 意 x ? (0, ?? ), 恒 有 14. 已 知 定 义 域 为
成立;(2)当 x ? f ( 2 x )? 2f (x ) (1,2] 时, f ( x) ? 2 ? x .给出如下结论: ①对任意 m? Z ,有 f (2m ) ? 0 ;②函数 f ( x ) 的值域为 [0, ;③存在 n ? Z ,使得 ? ?)

f (2n ? 1) ? 9 ;④“函数 f ( x) 在区间 (a, b) 上单调递减”的充要条件是 “存在 k ? Z ,
使得 (a, b) ? (2k , 2k ?1 ) ” ;其中所有正确结论的序号是_____▲__________. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出 文字说明、证明过程和解题步骤.

15. 已知命题 p:“方程

有解”,q:“

1 1 ? x ? a ? 0在?0, ?? ? 上 x 4 2

恒成立”, 若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求实数 的取值范围.

16.已知函数 f ( x ) 是 (??,0) ? (0, ??) 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? ? (1)当 x ? 0 时,求函数 f ( x ) 的解析式; (2)证明函数 f ( x ) 在区间 ( ??, 0) 上是单调增函数.

1 ?1 x

17. 已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)若 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的解集.

18.已知函数 f ( x) ? x ? a ln x , g ( x) ? ?

1? a (a ? R) . x

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)设函数 h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ,求函数 h( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若 a 是正实数且存在 x0 ? [1, e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围.

-2-

19.轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动. 如图, 助跑道 ABC 是一段抛物线, 某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为 1 米的平台上 E 处,飞行 的轨迹是一段抛物线 CDE(抛物线 CDE 与抛物线 ABC 在同一平面内) ,D 为这段抛物线的最高 点.现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系, x 轴在地面上,助跑道一 端点 A(0,4),另一端点 C(3,1),点 B(2,0),单位:米. (Ⅰ)求助跑道所在的抛物线方程; (Ⅱ)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点 C 处有相同的切线,为使运动员安全 和空中姿态优美,要求运动员的飞行距离在 4 米到 6 米之间(包括 4 米和 6 米) ,试求运动员 飞行过程中距离平台最大高度的取值范围? (注:飞行距离指点 C 与点 E 的水平距离,即这两点横坐标差的绝对值. )

y
4 A

D

C B O
2

E x

n * 20.记函数 f n ? x ? ? a ? x ? 1 a ? R, n ? N 的导函数为 fn? ? x ? ,已知 f3?? 2? ? 12 .

?

?

(Ⅰ)求 a 的值. (Ⅱ)设函数 gn ( x) ? f n ( x) ? n2 ln x ,试问:是否存在正整数 n 使得函数 gn ( x) 有且只有一 个零点?若存在,请求出所有 n 的值;若不存在,请说明理由. (Ⅲ)若实数 x0 和 m ( m ? 0 ,且 m ? 1 )满足: 大小,并加以证明.

f n? ? x0 ? f ? m? ,试比较 x0 与 m 的 ? n f n??1 ? x0 ? f n?1 ? m ?

-3-

2015-2016 学年第一学期阶段性教学反馈 高三理科数学附加题试题 考试时间:30 分钟 分值:40 分 命题人:宋茂华 21. 【选做题】 在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题,每小题 10 分,共 20 分.解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. B. 选修 4?2:矩阵与变换 ?1 b? ?2? 已知矩阵 M=? ?有特征值 λ 1=4 及对应的一个特征向量 e1=? ?. ?c 2? ?3? (1) 求矩阵 M; 2 2 (2) 求曲线 5x +8xy+4y =1 在 M 的作用下的新曲线的方程.

C. 选修 4?4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 的参数方程为?
?x=2cosα , ? ?y=sinα ?

(α 为参数).以直

角坐标系原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 π? ? ρ cos?θ - ?=2 2.点 P 为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 距离的最大值. 4? ? 【必做题】 第 22 题、第 23 题,每小题 10 分,共 20 分.解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 22. 如图,已知三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M、N、 P 分别是 CC1、BC、A1B1 的中点. (1) 求证:PN⊥AM; (2) 若直线 MB 与平面 PMN 所成的角为 θ ,求 sinθ 的值.

23. 已知等比数列{an}的首项 a1=2,公比 q=3,Sn 是它的前 n 项和.求证:

Sn+1 3n+1 ≤ . Sn n

-4-

B. 选修 4?2:矩阵与变换 ?1 b??2? ?8 ? 解:(1) 由已知? ?? ?=? ?,即 2+3b=8,2c+6=12,b=2,c=3, ?c 2??3? ?12? ?1 2? 所以 M=? ?.(4 分) ?3 2? ?x′? ?1 (2) 设曲线上任一点 P(x, y), P 在 M 作用下对应点 P′(x′, y′), 则? ?=? ?y′? ?3
?x′=x+2y, ? ? ?y′=3x+2y,

2??x? 2??y?

?? ? ,

即?

y′-x′ x= , ? ? 2 解之得? 3x′-y′ y= , ? ? 4
2

代入 5x +8xy+4y =1 得 x′ +

2

2

2

y′2=2,
即曲线 5x +8xy+4y =1 在 M 的作用下的新曲线的方程是 x +y =2.(10 分) C. 选修 4?4:坐标系与参数方程 π? ? 解:ρ cos?θ - ?=2 2化简为 ρ cosθ +ρ sinθ =4, 4? ? 则直线 l 的直角坐标方程为 x+y=4.(4 分) |2cosα +sinα -4| 设点 P 的坐标为(2cosα ,sinα ),得 P 到直线 l 的距离 d= , 2 | 5sin?α +φ ?-4| 1 2 即 d= ,其中 cosφ = ,sinφ = .(8 分) 2 5 5 当 sin(α +φ )=-1 时,dmax=2 2+ 10 .(10 分) 2
2 2 2

22. (1) 证明:建立如图所示直角坐标系,则 A(0,0,0),B(1,0,0), ?1 ? C(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(0,1,1),P? ,0,1?, ?2 ? 1 1 1 1 1? ? ? ? ? → ? ? → ? M?0,1, ?,N? , ,0?,NP=?0,- ,1?,AM=?0,1, ?. 2? ?2 2 ? 2 ? 2? ? ? ? 1 1 → → 因为PN·AM=0×0+1× +(-1)× =0, 2 2 所以 PN⊥AM.(4 分) (2) 解:设平面 PMN 的一个法向量为 n1=(x1,y1,z1), 1 ? → ? 1 1 1? → ? NP=?0,- ,1?,NM=?- , , ?, 2 ? ? ? 2 2 2? → ? ?n1·NP=0 则? → ? ?n1·NM=0 1 - y +z =0, ? ? 2 ?? 1 1 1 - x + y + z =0. ? ? 2 2 2
1 1 1 1 1

令 y1=2,得 z1=1,x1=3, 所以 n1=(3,2,1).(6 分) 1? → ? 又MB=?1,-1,- ?, 2? ?
-5-

1 → 2 n1·MB 14 所以 sinθ = = = .(10 分) → 3 42 |n1||MB| × 14 2

23. 已知等比数列{an}的首项 a1=2,公比 q=3,Sn 是它的前 n 项和.求证: 23. 证明:由已知,得 Sn=3 -1, n+1 Sn+1 3n+1 3 -1 3n+1 n ≤ 等价于 n ≤ ,即 3 ≥2n+1.(*)(2 分) Sn n 3 -1 n (方法 1)用数学归纳法证明. ① 当 n=1 时,左边=3,右边=3,所以(*)成立.(4 分) k ② 假设当 n=k 时,(*)成立,即 3 ≥2k+1, k+1 k 那么当 n=k+1 时,3 =3×3 ≥3(2k+1)=6k+3≥2k+3=2(k+1)+1, 所以当 n=k+1 时,(*)成立.(8 分) n 综合①②,得 3 ≥2n+1 成立. Sn+1 3n+1 所以 ≤ .(10 分)
n

Sn+1 3n+1 ≤ . Sn n

Sn

n

-6-


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