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(新课程)高中数学《第一章 计数原理》章末质量评估 新人教A版选修2-3


章末质量评估(一)
一、选择题 1.知识竞赛中给一个代表队的 4 人出了 2 道必答题和 4 道选答题,要求 4 人各答一题,共答 4 题,此代表队可 选择的答题方案的种类为 A.A6
4

答案 C

n ? 2 1? 6.在?x - ? 的展开式中,常数项为 15,则 n 等于

?
<

br />x?

( D.6

).

(

).
2 4

A.3 D.C4A4
2 2

B.4
r
2 n-r

C.5

B.A4

2

C.C4A4
2

解析 ∵Tr+1=Cn(x )

?-1? =(-1)rCrx2n-3r, ? x? n ? ?

r

解析 从 4 道选答题中选 2 道的选法为 C4,2 道必答题和 2 道选答题让 4 人 各答一题的方法为 A4,故选 C. 答案 C 2.已知{1,2}? Z? {1,2,3,4,5},满足这个关系式的集合 Z 共有 A.2 个 B.6 个 C.4 个 D.8 个 ( ).
4

∴又常数项为 15,∴2n-3r=0, 2 r r 即 r= n 时,(-1) Cn=15,∴n=6.故选 D. 3 答案 D 7.用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形 A、B、C、D 中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同涂法有 ( ).

解析 由题意知集合 Z 中的元素 1,2 必取,另外,从 3,4,5 中可以不取, 取 1 个,取 2 个,取 3 个,故共有 C3+C3+C3+C3=8(个). 答案 D 3.二项式(a+2b) 展开式中的第二项系数是 8,则它的第三项的二项式系数为 ( A.24 解析 T2=Cna 答案 D 4.某汽车生产厂家准备推出 10 款不同的轿车参加车展,但主办方只能为该厂提供 6 个展位,每个展位摆放一辆 车,并且甲、乙两款车不能摆放在 1 号展位,那么该厂家参展轿车的不同摆放方案有 A.C10A8种 C.C8A9种
1 5 2 4 1 n-1 0 1 2 3

A C

B

n

). A.72 种 B.48 种 C.24 种

D
D.12 种

B.18 (2b) =Cn·2a
1 1

C.16
n-1

D.6
2 2

·b,所以 2n=8,n=4,所以 Cn=C4=6.

解析 涂 A 共 4 种涂法,则 B 有 3 种涂法,C 有 2 种涂法,D 有 3 种涂法. ∴共有 4×3×2×3=72 种涂法. 答案 A 8.在(1-x) -(1-x) 的展开式中,含 x 的项的系数是 A.-5
5 5 6 3

(

).

( D.10

).

B.C9A9种 D.C8A8种
1 1 5

1 5

B.5
3 3

C.-10
6

解析 (1-x) 中 x 的系数为-C5=-10,-(1-x) 中 x 的系数为-C6· (-1) =20,故(1-x) -(1-x) 的展开式中 x 的系数为 10. 答案 D
3 5 6 3

3

3

解析 考查分步计数原理和排列数公式,在 1 号位汽车选择的种数为 C8,其 余位置的排列数为 A9,故种数为 C8A9,选 C. 答案 C 5.在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生,那么不同的夺冠情况的种数为( A.A4
3 5 1 5

).

9.从正方体 ABCD ?A1B1C1D1 的 8 个顶点中选取 4 个作为四面体的顶点,可得到的不同四面体的个数为 (
4

B.4

3

C.3

4

D.C4

3

). B.C8-8
4

解析 四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生,每项冠军都有 3 种可能, 由分步乘法计数原理知共有 3×3×3×3=3 种.
4

A.C8-12

C.C8-6

4

D.C8-4

4

解析 在正方体中,6 个面和 6 个对角面上的四个点不能构成四面体.

1

答案 A 10.将 7 名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排 2 名学生,那么互不相同的分配方案共有 ( ). B.112 种 D.56 种

=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6. 令 x=-1,有 a6x +a5x +…+a1x+a0 =a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6 =(-3) =3 . 答案 3
6 6 6 6 5

A.252 种 C.70 种

解析 分两类:甲、乙两个宿舍中一个住 4 人、另一个住 3 人或一个住 5 人、 另一个住 2 人,所以不同的分配方案共有 C7A2+C7A2=35×2+21×2=112 种. 答案 B
3 2 2 2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 5 n 15.(10 分)已知(1+2 x) 的展开式中,某一项的系数恰好是它前一项系数的 2 倍,而且是它后一项系数的 , 6 求展开式中二项式系数最大的项. 解 5 由题意设展开式中第 k+1 项系数是第 k 项系数的 2 倍,是第 k+2 项系数的 , 6
k k k-1 k-1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上) 11.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人担任奥运志愿者,若选出的 4 人中既有男生又有女生,则不同的选法共有 ________种. 解析 (间接法)共有 C -C =34 种不同的选法. 答案 34 12.若(3x+1) (n∈N )的展开式中各项系数的和是 256,则展开式中 x 项的系数是________. 解析 令 x=1,得(3+1) =256,解得 n=4,(3x+1) 的展开式中 x 项的系 数为 C43 =54. 答案 54 13.在 5 名乒乓球队员中有 2 名老队员和 3 名新队员,现从中选出 3 名队员排成 1,2,3 号参加团体比赛,则入 选的 3 名队员中至少有 1 名老队员,且 1,2 号中至少有 1 名新队员的排法有________种. 解析 两老一新时,有 C3×C2A2=12 种排法;两新一老时,有 C2C3×A3= 36 种排法,即共有 48 种排法. 答案 48
1 1 2 1 2 3 2 2 4 7 4 4

?Cn·2 =2Cn ·2 , ? ∴? k 5 k+1 k+1 解得 n=7. k ?Cn·2 =6Cn ·2 , ?
3

∴展开式中二项式系数最大的项是第 4 项和第 5 项,T4=C (2 x) =280x2,T5=C7(2 x) =560x . 16.(10 分)从 6 名短跑运动员中选出 4 人参加 4×100 m 接力赛.试求满足下列条件的参赛方案各有多少种?

3 7

3

4

4

2

n

*

2

(1)甲不能跑第一棒和第四棒; (2)甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒. 解 (1)法一 优先考虑特殊元素甲,让其选位置,此时务必注意甲是否参赛,因此需分两类:
4

n

4

2

第 1 类,甲不参赛有 A5种排法; 第 2 类,甲参赛,因只有两个位置可供选择,故有 A2种排法;其余 5 人占 3 个位置有 A5种排法,故有 A2A5种 方案.所以有 A5+A2A5=240 种参赛方案. 法二 先着眼于整体,后局部剔除不合要求的参赛方案.首先,6 个人占 4 个位置有 A6种占法;其次,甲跑 第一棒和第四棒的不合要求的参赛方案有 2A5种. 所以有 A6-2A5=240 种参赛方案. (2)显然第一、四棒为特殊位置,与之相伴的甲、乙则为特殊元素,这时特殊元素与特殊位置的个数相等,对
4 3 3 4 4 1 3 1 3 1 3

14.设(2x-1) =a6x +a5x +…+a1x+a0,则|a0|+|a1|+…+|a6|=________. 解析 由(2x-1) =C6(2x) +C6(2x) ·(-1)+…+C6(-1) , 可知 x ,x ,…,x 的系数正、负相间,且 |a0|+|a1|+…+|a6|
6 5 0 6 0 6 1 5 6 6

6

6

5

此我们仍从三方面进行思考,以在对比中积累经验. 法一 优先考虑特殊位置. 第 1 类,乙跑第一棒有 A1A5=60 种排法; 第 2 类,乙不跑第一棒有 A4A4A4=192 种排法.
1 1 2 1 3

2

故共有 60+192=252 种参赛方案. 法二 (间接法) 共有 A6=360 种参赛方案,其中不合要求的有: ①甲跑第一棒,乙跑第四棒,有 A A A =12 种排法; ②甲跑第一棒,乙不跑第四棒,有 A1A4A4=48 种排法; ③甲不跑第一棒,乙跑第四棒,有 A1A4A4=48 种排法. 综上知有 360-12-48-48=252 种参赛方案. 17.(10 分)设 f(x)=(1+x) +(1+x) (m、n∈N+),若其展开式中关于 x 的一次项系数的和为 11,试问 m、n 为 何值时,含 x 的系数最小?这个最小值是多少? 解 据题意可得 Cm+Cn=11,
3 1 1 3 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 4 4

第一类:一组中女医生 1 人,男医生 4 人,另一组中女医生 3 人,男医生 2 人.共有 C4C6种不同的分法; 1 2 3 第二类:两组中人数都有女医生 2 人男医生 3 人.因为组与组之间无顺序,故共有 C4C6种不同的分法. 2 1 2 3 1 4 因此,把 10 名医生分成两组,每组 5 人且每组都要有女医生的不同的分法共有 C4C6+ C4C6=120 种. 2 若将这两组医生分派到两地去,并且每组选出正副组长两人,则共有 =96 000 种不同方案. 19.(12 分)(2012·广州高二检测)从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问: (1)能组成多少个没有重复数字的七位数? (2)上述七位数中三个偶数排在一起的有几个? (3)在(1)中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个? (4)在(1)中任意两偶数都不相邻的七位数有几个? 6 解 (1)分步完成:第一步在四个偶数中取三个,可有 C4种情况;
4 3

1 4

m

n

∴m+n=11,含 x 的系数为 Cm+Cn=
3 3 3

m(m-1)(m-2) n(n-1)(n-2)
6
2 3 2



= =

m -3m +2m+n -3n +2n
6 (11-n) -3(11-n) +2(11-n)+n -3n +2n 6
2 27n -297n+990 9? 11?2 231 = ?n- ? + . 2? 6 2? 8 3 3 2 3 2

第二步在五个奇数中取四个,可有 C5种情况; 第三步三个偶数,四个奇数进行排列,可有 A7种情况,所以符合题意的七位数有 C4C5A7=100 800 个. (2)上述七位数中,三个偶数排在一起的有 C4C5A5A3=14 400 个. (3)上述七位数中,三个偶数排在一起,四个奇数也排在一起的有 C4C5A3A4A2=5 760 个. (4)上述七位数中, 偶数都不相邻, 可先把四个奇数排好, 再将三个偶数分别插入 5 个空档, 共有 A5C4A5=28 800 个.
4 3 3 3 4 3 4 2 3 4 5 3 7 3 4 7



∴当 m=5,n=6 或 m=6,n=5 时,x 的系数最小为 30. 18.(12 分)有 6 名男医生,4 名女医生. (1)选 3 名男医生,2 名女医生,让这 5 名医生到 5 个不同地区去巡回医疗,共有多少种不同方法? (2)把 10 名医生分成两组,每组 5 人且每组都要有女医生,则有多少种不同分法?若将这两组医生分派到两 地去,并且每组选出正副组长两人,又有多少种不同方案? 解 (1)分三步完成.
3

第一步:从 6 名男医生中选 3 名有 C6种方法; 第二步:从 4 名女医生中选 2 名有 C4种方法; 第三步:对选出的 5 人分配到 5 个地区有 A5种方法. 根据分步乘法计数原理,共有 N=C6C4A5=14 400(种). (2)医生的选法有以下两类情况:
3 2 5 5 2

3


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