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2017年南通市数学学科基地命题高考模拟密卷(8)(含详解)


2017 年高考模拟试卷(8)
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . 1. 集合 A ? 0,2x , B ? ??1,0,1? ,若 A ? B ? ?0,1? ,则 x ?

?

?



. ▲ . ▲ .

2. 若复数 z ? (1 ? i) ?1 ? ai ? ( i 为虚数单位, a ? R )满足 | z |? 2 ,则 (ai)2016 = 3. 已知倾斜角为 ? 的直线 l 的斜率等于双曲线 x2 ?

y2 ? 1 的离心率,则 sin( 2016? ? 2?) = 3 3

4. 某中学共有学生 2000 人,其中高一年级共有学生 650 人,高二男生有 370 人。现在全校学生 中随机抽取 1 名,抽到高二年级女生的概率是 0.19.则该校高三学生共有 5. 已知偶函数 f ( x) 在 ?0, ?? ? 上单调递减,且 f ? 3? ? 0 ,则 不等式 f ( x2 ? 2x) ? 0 的解集为 ▲ . ▲ . ▲ 人.

6. 运行如图所示的算法流程图,输出的结果为

7. 已知集合 A ? ??2, ?1,0? , B ? ??1,0,1,2? ,若 a ? A, b ? B , 则 b ? a ? A ? B 的概率 ▲ .

8. 数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 1, 且
n=

an ?1 an ?1 ? an ? (n ? 2) ,则使得 an ? 2a2016 成立的正整数 an ?1 an ? an ?1



.

9. 函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? a 在区间 ?0, 2? ? 上恰有三个零点 x1,x2,x3,则 x1+x2+x3





.
x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的左、右焦点分别为 F1、F2 .其中 F2 也是抛物线 C2:y 2 ? 4x 2 a b

10. 已知椭圆 C1 :

5 的焦点,点 M 为 C1与C2 在第一象限的交点,且 MF1 ? 2a ? .则椭圆 C1 的方程为 3



.

?2 x 2 ? 2mx ? 1 ,0 ≤ x ≤ 1, 11. 已知函数 f ( x) ? ? , 若 f ( x) 在区间 ?0, ?? ? 上有且只有 2 个零点, 则实数 m x ? 1, ?mx ? 2,

的取值范围是



.
4 1 ? 的最小值为 x ? 2 y 2x ? y

12. 已知 x ? 0, y ? 0 ,且 x ? y ? 2 ,则 13. 在平行四边形 ABCD 中, ?A ?



.

? ,边 AB 、 AD 的长分别为 2、1,若 M 、 N 分别是边 BC 、CD 3
▲ .

???? ? ???? ???? ? ???? | BM | | CN | ? ? ??? ? ,则 AM ? AN 的最大值为 上的点,且满足 ??? | BC | | CD |

1

2 14. 已知函数 f ( x) ? x x2 ? 12 的定义域为 ?0,m? ,值域为 ? ?0,am ? ? ,则实数 a 的取值范围





.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15. (本小题满分 14 分)已知斜三角形 ?ABC 中. sin(C ? (1)求角 C ; (2)若 c = 2 3 ,求当 ?ABC 的周长最大时的三角形的面积.

? 1 ) ? cos C ? . 6 2

16. (本小题满分 14 分)如图,矩形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,其中 AB∥CD, AB⊥BC, AB ? 2 DC , ?BDC ? 45? ,点 M 在线段 EC 上. (1)若 EM ? 2CM ,求证: AE ∥面 BDM ; (2)证明:平面 BDM⊥平面 ADEF.
F D C M E

A

B

17. (本小题满分 14 分) 为解决城市的拥堵问题, 某城市准备对现有的一条穿城公路 MON 进行分流, 已知穿城公路 MON 自西向东到达城市中心点 O 后转向东北方向, 现准备修建一条城市高架道路

L , L 在 MO 上设一出入口 A ,在 ON 上设一出入口 B ,假设高架道路 L 在 AB 部分为直线段,
且要求市中心 O 与 AB 的距离为 10 km . (1)求两站点 A, B 之间距离的最小值; (2)公路 MO 段上距离市中心 O 30 km 处有一古建筑群 C ,为保护古建筑群,设立一个以 C 为 圆心, 5 km 为半径的圆形保护区.则如何在古建筑群和市中心 O 之间设计出入口 A ,才能 使高架道路及其延伸段不经过保护区?
B N

M

C

A

O

2

18.(本小题满分 14 分)已知圆 O:x2 + y2 = 4,两个定点 A(a,2),B(m,1),其中 a∈R,m > 0. P 为圆 O 上任意一点,且 (1)求常数 k 的值; (2)过点 E(a,t)作直线 l 与圆 C:x2 + y2 = m 交于 M、N 两点,若 M 点恰好是线段 NE 的中点, 求实数 t 的取值范围. PA = k (k 为常数). PB

19.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? ? x2 ? (2a+1) x ? ln x ,且该函数在 x ? 1 处取得极值. (1)求实数 a 的值,并求出函数的单调区间; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? b ? 5 x 在区间 (0, 2016) 上只有一个零点,求实数 b 的值; 2 (3)令 h( x) ?

2 f ( x) k ? x ? ? 2 ,当 k ? 0 时,若函数 f ? x ? 的图象与 x 轴交于不同的两点 A( x1 ,0) , x x

B ? x2 ,0? , x1 ? x2 ,求证: x1 ? x2 ? 2

20.(本小题满分 16 分)对于数列 {an } ,记 ?an ? an?1 ? an , ?k ?1an ? ?k an?1 ? ?k an , k , n ? N ? ,则称 数列 {?k an } 为数列 {an } 的“ k 阶差数列”.

1 (1)已知 ?an ? (? )n , 2
① 若 {an } 为等比数列,求 a1 的值; ② 设 t 为任意正数,证明:存在 k ? N ? ,当 n ? m ? k , n ? N ? , m ? N ? 时总有 | an ? am |? t. (2)已知 ?2 an ? 3n -2 ,若 a1 ? 1 ,且 an ? a3 对 n ? N ? 恒成立,求 a 2 的取值范围.

3

第 II 卷(附加题,共 40 分)
21.【选做题】本题包括 A, B,C,D 四小题,每小题 10 分,请选定其中两小题,并在相应的答题区域 ......... 内作答 . ... A.(选修 4-1;几何证明选讲)如图, ?ABC 内接于圆 O ,过点 A 作圆 O 的切线交 CB 的延长线于 点 P , ?BAC 的平分线分别交 BC 于点 D ,若 PA ? 2PB . 求证: CD ? 2 DB .
C O D B P A

?1 ? ?3 0 ? ?1 ? 3 0? ,求 A2 . B. (选修 4-2:矩阵与变换)已知矩阵 A ? ? , A 的逆矩阵 A ? ? ? ? 2 a ? ? ? ? b 1? ?

C. (选修 4-4:坐标系与参数方程)在极坐标系中,圆 C 的方程为 ? ? 2a cos ? (a ? 0) ,以极点为
? x ? 3t ? 1 坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系,设直线 l 的参数方程为 ? , (t 为参数) ? y ? 4t ? 3

若直线 l 与圆 C 恒有公共点,求实数 a 的取值范围.

D. (选修 4-5:不等式选讲)已知正数 x,y,z 满足 x+y+z=1.求证:

x2 y2 z2 1 ? ? ? . y ? 2z z ? 2x x ? 2 y 3

【选做题】第 22 题、23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.如图,一简单几何体 ABCDE 的一个面 ABC 内接于圆 O, AB 是圆 O 的直径,四边形 DCBE 为平行 四边形,且 DC ? 平面 ABC. 若 AC=BC=BE=2, (1)BE 边上是否存在一点 M,使得 AD 和 CM 的夹角为 60? ? (2)求锐角二面角 O-CE-B 的余弦值.
A D E

O

B

C

23.设整数 n≥ 3,集合 P ? {1,2,3,?,n},A,B 是 P 的两个非空子集.记 an 为所有满足 A 中 的最大数小于 B 中的最小数的集合对(A,B)的个数. (1)求 a3; (2)求 an.
4

2017 年高考模拟试卷(8)参考答案
一、填空题 1. 0 . 由 A ? B ? ?0,1? ,可得 2 x ? 1 ,所以, x ? 0 2. 1. 法一:由 z ? (1 ? i) ?1 ? ai ? ? (1 ? a) ? (1 ? a)i ,所以 z ? (1 ? a)2 ? (1 ? a)2 ,所以

(1 ? a)2 ? (1 ? a)2 ? 22 ,所以 a 2 ? 1 ,即 a ? ?1 ,所以 (ai)2016 ? (i)2016 ? 1
法二:由 z ? (1 ? i) 1 ? ai ? 2 ? 1 ? a2 ? 2 ,所以 1 ? a 2 ? 2 ,所以 a 2 ? 1 ,即 a ? ?1 , 所以 (ai)2016 ? (i)2016 ? 1 .
4 2016? 2sin ? cos ? 2tan ? 4 3. ? . 因为 tan ? ? 2 ,所以, sin( ? 2? ) ? ? sin 2? ? ? 2 ?? ?? . 2 2 5 3 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 5

4. 600. 设高二女生人数为 x 人,所以, 2000-650-370-380=600 人。

x ? 0.19 ,即 x ? 380 ,所以,高三人数为 2000

5. ? ?1,3? . 根据偶函数的性质, 可得 ?3 ? x 2 ? 2 x ? 3 , 从而可得 ?1 ? x ? 3 , 从而不等式的解集为 ? ?1,3? . 6. 6. 根据算法流程图, s ? 12(1 ? 3 ? 32 ? ? ? 3k ?1 ) ? 故输出结果为 6. 7.
3 . 所有基本事件共 12 个:(?2, ?1) ,(?2,0) ,( ?2,1) ,(?2, 2) ,(?1, ?1) ,(?1,0) ,( ?1,1) ,(?1, 2) , 4

12(1 ? 3k ) ? 6(3k ? 1) ? 2017 ,所以 k ? 6 1? 3

分别为 (?2, ?1) ,(?2,0) ,(?1, ?1) , (0, ?1) ,(0, 0) ,(0,1) ,(0, 2) . 其中,b ? a ? A ? B 的事件共有 9 个,
(?1,0) , ( ?1,1) , (0, ?1) , (0, 0) , (0,1) , (0, 2) .所以,概率 P( E) ?

9 3 ? . 12 4

8.1008. 显然数列 {an } 中通项 an ? 0 ,由

an ?1 an ?1 ? an an ? an ?1 a ?a ? ? n n ?1 可得, an ?1 an ? an ?1 an ?1 ? an an ? an ?1

两边取倒数可得:

1 1 1 1 ?1? 1 1 1 1 ? ? ? ,所以 ? ? 是等差数列,首项 ? ,公差 d= 1 ? ? , an an ?1 an ?1 an 2 2 a1 2 ? an ?

所以

2 2 2 1 1 1 n ,所以 n ? 1008 . ? ? ? n ? 1? ? ,即 an ? ,所以,由 an ? 2a2017 可得 ? 2 ? n n 2016 an 2 2 2

9.

7 ? ? . f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? a ? 2sin( x ? ) ? a ,函数在区间 ?0, 2? ? 上恰有三个零点 x1,x2, 3 3

x3,则 a ? 3 .令 sin( x ? ) ?
3

?

? ? ? ? 3 ,所以 x ? ? 2k? ? 或者 x ? ? 2k? ? ? ? ,所以 x ? 2 k ? 或者 2 3 3 3 3
?
3
7 , x3 ? 2? ,即 x1 ? x2 ? x3 ? ? . 3
5

x ? 2k? ?

?
3

,所以 x1 ? 0 , x2 ?

10.

5 x2 y 2 ? ? 1 . 依题意知 F2 ?1, 0? ,设 M ? x1 , y1 ? ,由椭圆的定义可得 MF2 ? ,由抛物线定义得 3 4 3
2

2 ?2 6? ?2? ? ? ? ? ? 3 ? 2 6 5 2 2 3 ,进而由 ? 2? ? ? 2 ? ? 1 及 MF2 ? 1 ? x1 ? ,即 x1 ? ,将 x1 ? 代入抛物线方程得 y1 ? 3 a b 3 3 3

a 2 ? b2 ? 1 ,解得 a 2 ? 4, b2 ? 3 ,故椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 3

1 m ( ) ? 1? , 11. ? ? m ? 0 .法一: 由题意得: 当 m ? 0 时, 函数 f ( x) ? 2x2 ? 2mx ? 2 的对称轴 ? ? 0 , 且 f0 2 2
所以,此时 f ( x) 在 ?0,1? 上至多有一个零点,而 f ( x) ? mx ? 2 在 ?1, ?? ? 没有零点.所以, m ? 0 不符合 题意. 当 m ? 0 时, 函数 f ( x) ? 2x2 ? 2mx ? 1 的对称轴 ?

m ? , 所以, 此时 f ( x) 在 ?0,1? ? 0 ,且 f (0) ? 1 2

上至多有一个零点, 而 f ( x) ? mx ? 2 在 ?1, ?? ? 至多有一个零点, 若 f ( x) 在 ?0, ?? ? 有且只有 2 个零点,
m ? ?0 ? ? 2 ? 1 ? 1 1 则要求 ?2 ? 2m ? 1 ? 0 ,解之可得 ? ? m ? 0 .综上: ? ? m ? 0 2 2 ?m ? 2 ? 0 ? ?

法二:由题意得:x=0 不是函数 f(x)的零点.当 0<x≤1 时,由 f(x)=0,得 m ?

1 ? x ,此时函数 2x

1 1 1 1 ? x 在 ? 0,1? 上单调递减,从而 y ? ? x ? ? ,所以,当 m≥-2时,f(x)在 ? 0,1? 上有且只有 2x 2x 2 2 2 一个零点,当 x > 1 时,由 f(x) = 0 ,得 m ? ? ,此时函数 y ? ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,从而 x x 2 y ? ? ? ? ?2,0? ,所以,当-2<m<0 时,f(x)在 ?1, ?? ? 上有且只有一个零点,若 f ( x) 在 ?0, ?? ? 有且 x 1 ? 1 1 ?m ? ? 只有 2 个零点,则要求 ? 2 ,解之可得 ? ? m ? 0 .综上, ? ? m ? 0 . 2 2 ? ??2 ? m ? 0

y?

12.

3 . 令 x ? 2 y ? m, 2 x ? y ? n(m ? 0, n ? 0) , 则 问 题 转 化 为 m ? n ? 6, 求 4 ? 1 的 最 小 值 , 而 2 m n y 3 4 1 4 1 9 3 (m ? n)( ? ) ? 9 ,即 ? ? ? 故知最小值为 . 2 m n m n m?n 2
D N M O A B x C

13.5.以 AB 所在直线为 x 轴,过点 A 作垂直于直线 AB 所在的直线 为 y 轴,建立如图所示的直角坐标系. ???? ? ???? BM CN ???? ? ???? 设 ??? ,所以, BM ? ? , CN ? 2? , ? ? ??? ? = ? (0≤ ? ≤1) BC CD 所以, M (2 ?

?
2

,

3 ? ) , N ( 5 ? 2? , 3 ) , 2 2 2

6

???? ? ???? 5 3 所以, AM ? AN ? 5 ? 4? ? ? ? ? 2 ? ? ? ?? 2 ? 2? ? 5 ? ?(? ? 1)2 ? 6 , 4 4 ???? ? ???? ???? ? ???? 1] ,所以, AM ? AN ?[2, 5] ,即最大值为 5. 因为 ? ? [0, 5] ,所以 AM ? AN 的取值范围是 [2,
3 ? ?12 x ? x , x ? 2 3, 14. a ≥ 1 .仅考虑函数 f ( x) 在 x ? 0 时的情况,可知 f ( x) ? ? 函数 f ( x) 在 x ? 2 时, 3 x ? 12 x , x ≥ 2 3 . ? ?

取得极大值 16. 令 x ? 12 x ? 16 ,解得, x ? 4 .作出函数的图象(如右图所示) .
3

y 16

函数 f ( x) 的定义域为 [0, m] ,值域为 [0,am ] ,分为以下情况考

2

,m (1 2 ? m2 ), ] 有 虑: (1)当 0 ? m ? 2 时,函数的值域为 [0 m(12 ? m2 ) ? am2 ,所以 a ? 12 ? m ,因为 0 ? m ? 2 ,所以 a ? 4 ; m
16] ,有 am2 ? 16 ,所以 (2)当 2 ≤ m ≤ 4 时,函数的值域为 [0,

O

2 2 3 4

x

a ? 16 ,因为 2 ≤ m ≤ 4 ,所以 1 ≤ a ≤ 4 ; (3)当 m ? 4 时,函 m2
数的值域为 [0,m(m2 ? 12)] ,有 m(m2 ? 12) ? am2 ,所以 a ? m ? 12 ,因为 m ? 4 ,所以 a ? 1 ;综上所 m 述,实数 a 的取值范围是 a ≥ 1 . 二、解答题 15. (1) sin(C ?
3 1 3 1 ? sin C ? cos C ? cos C ? sin C ? cos C ? sin(C ? ) 6 2 2 2 2 6 ? ? ? 5? ? ? 1 sin(C ? ) ? ,因为 ?C ? ? 0, ? ? ,所以 C ? ? ? ? , ? , 6 ? 6 6 ? 6 2 ) ? cos C ?

?

所以 C ?

?
6

?

?

5 ? 或 ? ,即 C ? 或 ? (舍去). 6 6 3

(2)因为

c ? 2R ,所以 2R ? 4 , sin C

要使三角形周长最大,即要求 a ? b 最大.
3 1 ? ? cos A ? sin A) ? 4 3 sin( A ? ) 所以, a ? b ? 2R(sin A ? sin B) ? 4(sin A ? sin( ? A)) ? 4(sin A ? 2 2 6 3 2 ? ? ? 因为 A ? ? 0, ? ? ,所以,当 A ? 时, a ? b 有最大值. 3 ? 3 ?

此时, ?ABC 为等边三角形, c = 2 3 , 所以 S ? ABC ?
1 3 ?2 3?2 3? ? 3 3. . 2 2

16. (1)连 AC 交 BD 于 O,连 CO; 因为 AB∥CD, AB ? 2 DC ,所以 AO ? 2CO ,
7

又因为 EM ? 2CM ,所以, AE ∥ MO , 又因为 AE ? 面 BDM , MO ? 面 BDM ,所以 AE ∥面 BDM . (2)设 DC ? 1 ,因为 DC⊥BC, BC ? 1 ,所以 BD ? 2 , 在梯形 ABCD 中, AB / / CD ,所以 ?ABD ? ?BDC ? 45? , 因为 AB ? 2 DC , 所以在 ?ABD 中,由余弦定理知 AD ? AB2 ? BD2 ? 2 AB ? BD cos ?ABD ? 2 , 因为 AB=2,所以 AD2+BD2=AB2,所以∠ADB=90° ,所以,AD⊥BD, 因为平面 ADEF⊥平面 ABCD,BD⊥AD,平面 ADEF∩平面 ABCD=AD, BD ? 面 ABCD 所以 BD⊥平面 ADEF, 因为 BD? 平面 BDM,所以平面 BDM⊥平面 ADEF. 17. (1)过 O 作直线 OE ? AB 于 E,则 OE ? 10, 设 ?EOA ? ? , 则 ?EOB ?

3? ? ? 3? ? ? ,( ? ? ? ), 故 AE ? 10 tan ? , BE ? 10 tan( ? ? ), 4 4 2 4

3? 3? sin( ? ? ) 10sin 3? sin ? 4 4 AB ? 10 tan ? ? tan( ? ? ) ? 10( ? ) ? , 3? 4 cos ? cos( 3? ? ? ) cos ? ? cos( ? ? ) 4 4
又 cos ? ? cos( 由
3? 2 2 1 ? 2 ? ? ) ? cos ? ? (? cos ? ? sin ? ) ? sin(2? ? ) ? , 4 2 2 2 4 4

?
4

?? ?

?
2

,得 2? ?

?
4

? 3? ? ( , ), 4 4

故 cos ? ? cos(

3? 2? 2 ? ? 3? ? ? ) max ? ,当且仅当 2? ? ? ,? ? 时取等号. 4 4 4 2 8

此时, AB 有最小值为 20( 2 ? 1) . 即两出入口之间距离的最小值为 20( 2 ? 1) . (2)由题意可知直线 AB 是以 O 为圆心,10 为半径的圆 O 的切线, 根据题意,直线 AB 与圆 C 要相离,其临界位置为直线 AB 与圆 C 相切,设切点为 F 此时直线 AB 为圆 C 与圆 O 的公切线. 因为,出入口 A 在古建筑群和市中心 O 之间, 如图,以 O 为坐标原点,以 CO 所在的直线为 x 轴, 建立平面直角坐标系 xoy
M C F A E y N B

O

x

8

由 CF=5,OE=10, 因为圆 O 的方程为 x2 ? y 2 ? 100 ,圆 C 的方程为 ( x ? 30)2 ? y 2 ? 25 , 设直线 AB 的方程为 y ? kx ? t (k ? 0) ,
? t ? 10,(1) ? t ? 1? k2 则? ,所以, (1)/(2)得 ? 2, ?30k ? t ? ?30k ? t ? 5,(2) ? 2 ? 1? k

所以 t ? 20k 或 t ? 60k , 所以此时 A(?20,0) 或 A(?60,0) (舍去) ,此时 OA ? 20 , 又由(1)知当 AB / / ON 时, OA ? 10 2, 综上, OA ? (10 2,20) ? (60, ??). 即设计出入口 A 离市中心 O 的距离在 10 2km 到 20 km 之间时, 才能使高架道路及其延伸段不经过保 护区. 18. (1)设点 P(x,y),x2 + y2 = 4, PA = (x - a)2 + (y - 2)2,PB = (x - m)2 + (y - 1)2,

PA 因为 = k,所以(x –a)2 + (y –2)2 = k2[(x –m)2 + (y –1)2], PB 又 x2 + y2 = 4,化简得 2ax + 4y – a2 – 8 = k2(2mx + 2y – m2 – 5), 2a = 2mk ? 4 = 2k2 因为 P 为圆 O 上任意一点,所以? , 2 ?a + 8 = k2(m2 + 5)
2

?k = 2 又 m > 0,k > 0,解得? a = 2 , ? m=1
所以常数 k = 2.

(2)法一:设 M(x0,y0),M 是线段 NE 的中点,N(2x0 – 2,2y0 – t), x02 + y02 = 1 ? 又 MN 在圆 C 上,即关于 x,y 的方程组?(2x -2)2 + (2y - t)2 = 1有解, ? 0 0 x02 + y02 = 1 ? 化简得? 有解, 2 ?8x0 + 4t y0 - t - 7 = 0 即直线 n:8x + 4t y –t2– 7 = 0 与圆 C:x2 + y2 = 1 有交点, 则 do-n = |t2 + 7| 4 2 2 ≤1,化简得:t – 2t – 15 ≤0,解得 t∈[? 5, 5]. 64 + 16t
9

法二:设过 E 的切线与圆 C 交于切点 F,EF2 = EM· EN, 又 M 是线段 NE 的中点,所以 EN = 2MN,EM = MN,所以 EF2 = 2MN2, 又 EF2 = EO2 – OF2 = 22 + t2 – 1 = t2 + 3,所以 MN ≤ 2,t2 + 3 ≤ 8, 所以 t∈[- 5, 5]. 19.(1)由已知,得 f ' (x) ? ?2 x ? 2a ? 1 ? 1 , x 据题意,f ' (1) = 0,得到 a ? ?1 .所以 f ( x) ? ?x 2 ? x ? ln x , f ' (x) ? ?2 x ? 1 ? 1 ? x

(2 x ? 1)(? x ? 1) . x

由 x ? 0 ,令 f ' (x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 , 令 f ' (x) ? 0 ,得 x ? 1 ,所以函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,所以 a ? ?1 ,
f ( x) 的单调增区间为 (0,1) , f ( x) 的单调减区间为 (1 ,∞ + ).

(2) g ( x) ? f ( x) ? b ? 5 x ? ? x 2 ? 7 x ? ln x ? b , x ? (0, 2016) . 2 2 则 g ' (x) ? ?2 x ? 7 ? 1 , 2 x 令 g ' (x) ? 0 ,得 x ? 2 ,负舍.
2) 上递增, 当 0 ? x ? 2 时,g ' (x) ? 0 ,g (x)在 (0,
2016) 上递减, 当 2 ? x ? 2016 时,g ' (x) ? 0 ,g (x)在 (2,

所以函数 g ( x) ? f ( x) ? b ? 5 x 在区间 (0, 2016) 上只有一个零点,等价于 g (2) ? 0 , 2 解得 b ? ln 2 ? 3 . (3) 由条件可得 h( x) ?

2ln x k ?x? x x

因为 h( x1 ) ? h( x2 ) ? 0 ,所以 2ln x1 ? x12 ? 2ln x2 ? x22 令 ?( x) ? 2ln x ? x2 ,所以 ??( x) ?

2 2(1 ? x2 ) ? 2x ? x x

当 0 ? x ? 1 时, ??( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, ??( x) ? 0 , 所以 ?( x) 在 ? 0,1? 上递增,在 ?1, ?? ? 上递减, 所以 ?( x) 在 x ? 1 处有极大值, 所以 0 ? x1 ? 1 ? x2 令 s( x) ? ? ? x ? ? ? ? 2 ? x ? , x ? ? 0,1? ,

10

s? ? x ? ?

4 2 ?4? ?4?0 2 x ? 2 ? x? ? x?2? x? ? ? 2 ? ?

s ( x ) 在 ? 0,1? 上单调递增, s ? x ? ? s ?1? ? 0

有 ? ? x2 ? ? ? ? x1 ? ? ? ? 2 ? x1 ? , 因为, ?( x) 在 ?1, ?? ? 上递减,且 x2 ? 1, 2 ? x1 ? 1 所以 x2 ? 2 ? x1 ? x1 ? x2 ? 2 . 20. (1)①因为 a2 ? a1 ? ?a1 ? a1 ?

1 1 , a3 ? a2 ? ?a2 ? a1 ? ,且 {an } 为等比数列. 2 4

1 1 1 2 所以 a2 ? a1 ? a3 ,即 (a1 ? )2 ? a1 (a1 ? ) ,解得 a1 ? . 2 4 3 1 当 a1 ? 时, 3
1 ? 1 ? (? ) ?1 ? (? ) n ?1 ? 1 2 ? 2 ? 1 1 ? ? ? (? )n ?1 . 当 n ? 2 时, an ? ?an ?1 ? …… ??a1 ? a1 ? 1 3 3 2 1 ? (? ) 2
n ? 1 适合上式,

1 所以 {an } 为等比数列,即 a1 ? . 3
1 ? 1 ? (? )m ?1 ? (? ) n ? m ? 2 ? 2 ? ? 2 ? [(? 1 )n ? (? 1 )m ] ②因为 an ? am ? ?an ?1 ? …… ??am ? 1 3 2 2 1 ? (? ) 2

所以 | an ? am |?

2 1 1 2 1 1 4 1 ? | (? )n ? (? )m | ? ? [( )n ? ( )m ] ? ? ( )m , 3 2 2 3 2 2 3 2

4 1 4 令 ? ( )m ? t ,则 m ? log2 , 3 2 3t
故可取 k 不小于 log 2

4 的正整数, 3t

4 1 则对任意 n ? m ? k , n ? N ? , m ? N ? , | an ? am | ? ? ( )m ? t . 3 2
(2)因为 ?an ? ?2 an?1 ? ?? ??2 a1 ? ?a1 ?

3(1 ? 3n?1 ) ? 2(n ? 1) ? ?a1 1? 3

?

3n 1 3n 1 ? 2n ? ? ?a1 ? ? 2n ? a2 ? . 2 2 2 2

由 ?2 an ? 3n -2 ? 0 知 {?an } 递增,

11

??a2 ? a3 ? a2 ? 0 所以 an ? a4 对 n ? N ? 恒成立当且仅当满足 ? , ? ?a3 ? a4 ? a3 ? 0 ? a2 ? 0 即? ,解得 -7 ? a2 ? 0 . ?a2 ? 7 ? 0
所以 a 2 的取值范围是 [?7,0].

第 II 卷(附加题,共 40 分)
21.A. 因为,PA 是圆 O 的切线 所以, ?PAB ? ?ACB 所以, ?ABP ∽ ?CAP 所以, 又 ?P 是公共角

AC AP ? ?2 AB PB

所以, AC ? 2 AB 又因为,AD 是 ?BAC 的平分线 所以,

AC CD ? ? 2, AB DB
0? ?

所以, CD ? 2 DB . 1 3 0? ? ? ? 3 B.因为 A A = ?2 a? ? ? b
-1

? 1 ?2 ?=? +ab 1? ?3

? =? 1 0 ? . a? ?0 1? ?

0?

? ?a=1, 2 所以?2 解得 a=1,b=-3. +ab=0. ? ?3
所以,A=

? 3 0 ?, A2 ? ?3 0? ?3 0? ? ?9 0? . ? 2 1? ? 2 1? ?8 1 ? ?2 1? ? ?? ? ? ?

? x ? 3t ? 1 C.由 ? ,可得直线 l 的普通方程为 4x﹣3y+5=0, (t 为参数) ? y ? 4t ? 3

由 ? ? 2a cos ? (a ? 0) 得 ? 2 ? 2 ? a cos ? 所以,圆 C 的标准方程为 ( x ? a)2 ? y 2 ? a2 , 若直线 l 与圆 C 恒有公共点, 所以,

4a ? 5 42 ? (?3)2

?a

12

5 所以,实数 a 的取值范围 a ? ? 或 a ? 5 . 9 D.因为 x>0,y>0,z>0,所以由柯西不等式得
? x2 y2 z2 ? 2 ? ? y ? 2 z ? z ? 2 x ? x ? 2 y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y ? 2z z ? 2x x ? 2 y ? ? ? x ? y ? z ? . ? ?

又因为 x+y+z=1, 所以

? x ? y ? z? x2 y2 z2 1 ? ? ? ? y ? 2z z ? 2x x ? 2 y ? y ? 2z ? ? ? z ? 2x ? ? ? x ? 2 y ? 3
2

当且仅当

y ? 2z z ? 2x x ? 2 y ? ? 时取等号. x y z

22. (1)因为,AB 是圆 O 的直径,所以, AC ? CB 以 C 为原点,CB 为 x 轴正方向,CA 为 y 轴正方向,CD 为 z 轴正方向, 建立如图所示的直角坐标系 因为,AC=BC=BE=2, 所以,C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),O(1,1,0),E(2,0,2),D(0,0,2),

???? 所以, AD ? (0, ?2,2)
z

E

设 BE 边上是否存在一点 M,设 M (2,0, ? ), ? ? ?0, 2?

D

???? ? 所以, CM ? (2,0, ? )
???? ???? ? 所以, cos ? AD, CM ??
解得 ? ? 2 所以,当点 M 取点 E 时, AD 和 CM 的夹角为 60? .

y

A

O

x B

2? 2 2 4??
2

?

1 2

C

?? ? (2)平面 BCE 的法向量 m ? ? 0,1,0? ,设平面 OCE 的法向量 n ? ? x0 , y0 , z0 ? ??? ? ??? ? 由 CE ? ? 2,0,2? , CO ? ?1,1,0?
? ??? ? ?n ? CE ? 0 ? 所以, ? ? ??? ? ? ?n ? CO ? 0
?2 x ? 2 z0 ? 0, ? z ? ? x0 , 则? 0 ,故 ? 0 ? x0 ? y0 ? 0, ? y0 ? ? x0 ,

? 令 x0 ? ?1, n ? ? ?1,1,1?

13

?? ? m?n ?? ? 因为,二面角 O-CE-B 是锐二面角,记为 ? ,则 cos ? m, n ? ? ?? ? ? 3 . . 3 m?n

23. (1)当 n ? 3 时,P ? {1,2,3 }, 其非空子集为:{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}, 则所有满足题意的集合对(A,B)为: ({1},{2}) , ({1},{3}) , ({2},{3}) , ({1},{2,3}) , ({1,2},{3})共 5 对, 所以 a3 ? 5 ; (2)设 A 中的最大数为 k,其中 1≤k≤n ? 1 ,整数 n≥ 3, 则 A 中必含元素 k,另元素 1,2,?,k ?1 可在 A 中,故 A 的个数为:
1 k? 1 C0 ? k ?1 ? C k ? 1? ??? ? C k? 1 k? 1 2,

B 中必不含元素 1,2,?,k,另元素 k ? 1,k ? 2,?,k 可在 B 中,但不能
2 n?k n?k 都不在 B 中,故 B 的个数为: C1 ?1 , n ? k ? Cn ? k ? ??? ? Cn ? k ? 2

从而集合对(A,B)的个数为 2k ?1 ? 2n?k ? 1 ? 2n ?1 ? 2k ?1 , 所以,an ? ? ? 2n ?1 ? 2k ?1 ? ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 1 ? 2 ? (n ? 2) ? 2n ?1 ? 1 . 1? 2 k ?1
n ?1 n ?1

?

?

14



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