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人教版高一数学必修1第一章集合与函数概念单元测试题


高一数学必修一单元测试题(一)
一、 选择题 1.集合 {a, b} 的子集有 ( A.2 个 2. B.3 个 ) C.4 个 D.5 个 )

设集合 A ? ?x | ?4 ? x ? 3? , B ? ?x | x ? 2? ,则 A B ? ( B. (?4, 2] C. (??, 2] )

A. (?4,3)

D. (??,3)

3.已知 f ?x ? 1? ? x 2 ? 4x ? 5 ,则 f ?x ? 的表达式是( A. x 2 ? 6 x B. x 2 ? 8x ? 7 C. x 2 ? 2 x ? 3

D. x 2 ? 6 x ? 10

4.下列对应关系: ( ) ① A ? {1, 4,9}, B ? {?3, ?2, ?1,1, 2,3}, f : x ? x 的平方根 ② A ? R, B ? R, f : x ? x 的倒数 ③ A ? R, B ? R, f : x ? x2 ? 2 ④ A ? ??1,0,1?, B ? ??1,0,1?, f : A 中的数平方 其中是 A 到 B 的映射的是 A.①③ B.②④ C.③④ D.②③

?? x ( x ? 0) 1 ? 2 5.下列四个函数:① y ? 3 ? x ;② y ? 2 ;③ y ? x ? 2x ?10 ;④ y ? ? 1 . x ?1 ? ( x ? 0) ? ? x

其中值域为 R 的函数有 A.1 个 B.2 个 6. 已知函数 y ? ?
? x2 ? 1 ? ?2 x



) C.3 个

D.4 个 )
5 2

( x ? 0) ,使函数值为 5 的 x 的值是( ( x ? 0)

A.-2

B.2 或 ?

5 2

C. 2 或-2

D.2 或-2 或 ? ) D. y ? ( x ? 1)2 ( )

7.下列函数中,定义域为[0,∞)的函数是 ( A. y ?
x

B. y ? ?2 x2

C. y ? 3x ? 1

8.若 x, y ? R ,且 f ( x ? y) ? A.

f ( x) ? f ( y) ,则函数 f ( x)

f (0) ? 0 且 f ( x) 为奇函数
1

B. f (0) ? 0 且 f ( x) 为偶函数

C. f ( x) 为增函数且为奇函数 9.下列图象中表示函数图象的是 ( y y
0 0 0

D. f ( x) 为增函数且为偶函数 ) y
0 y

x

x

x

x

(A)

(B)

(C )

(D)

10.若 x ? R, n ? N * ,规定: H x ? x( x ? 1)( x ? 2) ????? ( x ? n ? 1) ,例如: (

n



H

4 ?4

? (?4) ? (?3) ? (?2) ? (?1) ? 24 ,则 f ( x ) ? x ? H x ? 2 的奇偶性为

5

A.是奇函数不是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 二、 填空题

B.是偶函数不是奇函数 D.既不是奇函数又不是偶函数

11.若 A ? ?0,1,2,3?, B ? ?x | x ? 3a, a ? A? ,则 A B ?



12 . 已 知 集 合 M={(x , y)|x + y=2} , N={(x , y)|x - y=4} , 那 么 集 合 M∩N = .

13.函数 f ? x ? ? ?

? x ? 1, x ? 1, 则 f ? f ? 4? ? ? ?? x ? 3, x ? 1,



14.某班 50 名学生参加跳远、铅球两项测试,成绩及格人数分别为 40 人和 31 人, 两项测试均不及格的人数是 4 人,两项测试都及格的有 人.

2

15 . 已 知 函 数 f(36)=

f(x) 满 足 .

f(xy)=f(x)+f(y), 且

f(2)=p,f(3)=q , 那 么

三、 解答题 16.已知集合 A= ?x 1 ? x ? 7?,B={x|2<x<10},C={x|x<a},全集为实数集 R. (Ⅰ)求 A∪B,(CRA)∩B; (Ⅱ)如果 A∩C≠φ ,求 a 的取值范围.

17.集合 A={x|x2-ax+a2-19=0} ,B={x|x2-5x+6=0} , C={x|x2+2x-8=0} . (Ⅰ)若 A=B,求 a 的值; (Ⅱ)若 ? A∩B,A∩C= ? ,求 a 的值.

18.已知方程 x 2 ? px ? q ? 0 的两个不相等实根为 ? , ? .集合 A ? {? , ? } ,
B ? {2,4,5,6}, C ? {1,2,3,4},A∩C=A,A∩B= ? ,求 p, q 的值?

3

19.已知函数 f ( x) ? 2 x2 ?1 . (Ⅰ)用定义证明 f ( x) 是偶函数; (Ⅱ)用定义证明 f ( x) 在 (??, 0] 上是减函数; (Ⅲ)作出函数 f ( x) 的图像,并写出函数 f ( x) 当 x ?[?1, 2] 时的最大值与最小值.
y

o x

20.设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1( a ? 0 、b ? R ) ,若 f (?1) ? 0 ,且对任意实数 x( x ? R ) 不等式 f ( x) ? 0 恒成立. (Ⅰ)求实数 a 、 b 的值; (Ⅱ)当 x ?[-2,2]时, g ( x) ? f ( x) ? kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围.

4

高一数学必修一单元测试题(一)参考答案
一、选择题 CBACB AAACB 二、填空题 11. ?0,3? 三、解答题 16.解: (Ⅰ)A∪B={x|1≤x<10} (CRA)∩B={x|x<1 或 x≥7}∩{x|2<x<10} ={x|7≤x<10} (Ⅱ)当 a>1 时满足 A∩C≠φ 12. {(3,-1)} 13. 0 14. 25 15. 2( p ? q)

17.解: 由已知,得 B={2,3} ,C={2,-4} (Ⅰ)∵A=B 于是 2,3 是一元二次方程 x2-ax+a2-19=0 的两个根, 由韦达定理知:
?2 ? 3 ? a ? 2 ?2 ? 3 ? a ? 19

解之得 a=5.
? ? A ∩ B ? ? ,又

(Ⅱ)由 A∩B

A∩C= ? ,

得 3∈A,2 ? A,-4 ? A, 由 3∈A, 得 32-3a+a2-19=0,解得 a=5 或 a=-2 当 a=5 时,A={x|x2-5x+6=0}={2,3} ,与 2? A 矛盾; 当 a=-2 时,A={x|x2+2x-15=0}={3,-5} ,符合题意. ∴a=-2.

18.解:由 A∩C=A 知 A ? C
5

又 A ? {? , ? } ,则 ? ? C , ? ? C . 而 A∩B= ? ,故 ? ? B , ? ? B 显然即属于 C 又不属于 B 的元素只有 1 和 3. 不仿设 ? =1, ? =3. 对于方程 x 2 ? px ? q ? 0 的两根 ? , ? 应用韦达定理可得 p ? ?4, q ? 3 . 19. (Ⅰ)证明:函数 f ( x) 的定义域为 R ,对于任意的 x ? R ,都有 f (? x) ? 2(? x)2 ?1 ? 2x2 ?1 ? f ( x) ,∴ f ( x) 是偶函数. (Ⅱ)证明:在区间 (??, 0] 上任取 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,则有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (2x12 ?1) ? (2x22 ?1) ? 2( x12 ? x22 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) , ∵ x1, x2 ? (??,0] , x1 ? x2 ,∴ x1 ? x2 ? ?? x1 ? x2 ? 0, 即 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x) 在 (??, 0] 上是减函数. (Ⅲ)解:最大值为 f (2) ? 7 ,最小值为 f (0) ? ?1 . ∴a ? b ?1? 0 ?a ? 0 ∵任意实数 x 均有 f ( x) ? 0 成立∴ ? 2 ?? ? b ? 4a ? 0 解得: a ? 1 , b ? 2 (Ⅱ)由(1)知 f ( x) ? x 2 ? 2x ? 1 k ?2 ∴ g ( x) ? f ( x) ? kx ? x 2 ? (2 ? k ) x ? 1 的对称轴为 x ? 2 ∵当 x ?[-2,2]时, g ( x) 是单调函数 20.解: (Ⅰ)∵ f (?1) ? 0
k ?2 k ?2 ? ?2 或 ?2 2 2 ∴实数 k 的取值范围是 (??,?2] ? [6,??) .



21.解:(Ⅰ)令 m ? n ? 1 得 f (1) ? f (1) ? f (1) 所以 f (1) ? 0
1 1 1 f (1) ? f (2 ? ) ? f (2) ? f ( ) ? ?1 ? f ( ) ? 0 2 2 2 1 所以 f ( ) ? 1 2

(Ⅱ)证明:任取 0 ? x1 ? x2 ,则

x2 ?1 x1

6

因为当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,所以 f ( 2 ) ? 0 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ?
x2 x ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ) ? f ( x1 ) x1 x1

x x1

所以 f ( x) 在 ?0,??? 上是减函数.

高一数学必修一单元测试题(二)
一、选择题(每小题 3 分,共 36 分) 1.设集合 A ? {1,3}, 集合 B ? {1, 2, 4,5} ,则集合 A ? B ? ( A.{1,3,1,2,4,5} B. {1} C. {1, 2,3, 4,5} ) D. {2,3, 4,5} ) D. a ? 2 D.y=x )

2.设集合 A ? {x |1 ? x ? 2}, B ? {x | x ? a}. 若 A ? B, 则 a 的范围是( A. a ? 2 A. y ? (
x )2

B. a ? 1 ) 。 B. y ? x2

C. a ? 1 C. y ?

3.与 y ?| x | 为同一函数的是(

?

x,( x ? 0) ? x,( x ? 0)

4.设集合 M ? {x | ?1 ? x ? 2} , N ? {x | x ? k ? 0} ,若 M N ? ? ,则 k 的取值范围是( A. (??,2] B. [?1,??) C. (?1,??) D.[-1,2] 7 5 3 5.已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? 2 ,且 f (?5) ? m, 则 f (5) ? f (?5) 的值为( ) . A.4 B.0 C.2m D. ? m ? 4 6.已知函数 f ( x) ? ? A.1
? x ? 1, x ? 0
2 ?x , x ? 0

,则 f [ f (?2)] 的值为( C.4

) . D.5

B.2

7

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 7 若集合 A ? ?x | x ? 6, x ? N? , B ? {x | x是非质数} , C ? A B ,则 C 的
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非空子集的个数为 8 9
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若集合 A ? ?x | 3 ? x ? 7? , B ? ?x | 2 ? x ? 10? ,则 A B ? _____________ 设集合 A ? {x ? 3 ? x ? 2} , B ? {x 2k ?1 ? x ? 2k ?1} ,且 A ? B ,
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则实数 k 的取值范围是

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10. 已知 A ? ? y y ? ? x 2 ? 2 x ? 1? , B ? ? y y ? 2 x ? 1? ,则 A B ? _________ 11.已知函数f ( x) ? ?
? x 2 ? 4, 0 ? x ? 2 , 则f (2) ? ? 2x , x ? 2

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;若 f ( x0 ) ? 8,

则x0 ?



三、解答题(第 17 题 8 分,18~21 题每题 10 分,共 48 分) 12.设 A ? {x ? Z | | x |? 6} , B ? ?1,2,3?, C ? ?3,4,5,6? ,求: (1) A ( B C ) ; (2) A CA (B C) .

13.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2 | x | . (Ⅰ )判断并证明函数的奇偶性; (Ⅱ )判断函数 f ( x) 在 (?1, 0) 上的单调性并加以证明.

8

14. 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 2, x ???5,5?

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(1)当 a ? ?1 时,求函数的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y ? f ( x) 在区间 ?? 5,5? 上是单调函数
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15.已知函数 f ( x) ? a ?

1 . 2 ?1
x

(1)求证:不论 a 为何实数 f ( x) 总是为增函数; (2)确定 a 的值,使 f ( x) 为奇函数; (3)当 f ( x) 为奇函数时,求 f ( x) 的值域。

9

高一数学必修一单元测试题(二)参考答案
1 C 13. 2 A 3 B 4 B 5 C 6 B 14. 7 A 8 C 9 D 10 A 11 B 12 D 16.
(1,1), (5,5) ;

y ? 13 ?1.01x , x ? N * ;

[1, ??) ;

15.0,4;

17.解:

A ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0,1,2,3,4,5,6?

(1)又 B C ? ?3? ,∴ A ( B C ) ? ?3? ; (2)又 B C ? ?1,2,3,4,5,6? , 得 CA (B C) ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0? . ∴ A CA (B C) ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0? . 18.解: (Ⅰ )是偶函数. 定义域是 R, ∵ f (? x) ? (? x)2 ? 2 | ? x |? x2 ? 2 | x |? f ( x) ∴ 函数 f ( x) 是偶函数. (Ⅱ )是单调递增函数.当 x ? (?1, 0) 时, f ( x) ? x2 ? 2x 设 ?1 ? x1 ? x2 ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ? ?2 ,即 x1 ? x2 ? 2 ? 0
2 ∵ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x12 ? x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ? 2) ? 0



f ( x1 ) ? f ( x2 )

所以函数 f ( x) 在 (?1, 0) 上是单调递增函数. 19.解: (1)a ? ?1, f ( x) ? x2 ? 2x ? 2, 对称轴 x ? 1, f ( x)min ? f (1) ? 1, f ( x)max ? f (?5) ? 37 ∴ f ( x)max ? 37, f ( x)min ? 1 (2)对称轴 x ? ?a, 当 ?a ? ?5 或 ? a ? 5 时, f ( x) 在 ??5,5? 上单调 ∴ a ? 5 或 a ? ?5 (2)
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20.解: (1) y ? a(1 ?10%) x ( x ? N ? ).
1 1 1 y ? a, ?a(1 ? 10%) x ? a, ?0.9x ? , 3 3 3 1 ? lg 3 x ? log 0.9 ? ? 10.4, 3 2lg 3 ? 1
10



x ? 11 .

答:至少通过 11 块玻璃后,光线强度减弱到原来的 1 以下。
3

21.解: (1)

f ( x) 的定义域为 R,

设 x1 ? x2 ,

1 1 2 x1 ? 2 x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a ? x1 ? a ? x2 = , 2 ?1 2 ? 1 (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 )

x1 ? x2 , ? 2x1 ? 2x2 ? 0,(1 ? 2x1 )(1 ? 2 x2 ) ? 0 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以不论 a 为何实数 f ( x) 总为增函数. (2)
f ( x) 为奇函数, ? f (? x) ? ? f ( x) ,即 a ?
1 1 ? ?a ? x , 2 ?1 2 ?1
?x

解得: a ? . ? f ( x) ? ? (3)由(2)知 f ( x) ? ?
1 2
x

1 2

1 2

1 . 2 ?1
x

1 1 , 2 x ? 1 ? 1 ,? 0 ? x ? 1 , 2 ?1 2 ?1 1 1 1 ??1 ? ? x ? 0?? , ? f x( ? ) 2 ?1 2 2 1 1 所以 f ( x) 的值域为 ( ? , ). 2 2

11



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