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甘肃省河西五市部分普通高中2016届高三第二次联合考试数学(理)试题


HLLYBQ 整理

供“高中试卷网(http://sj.fjjy.org) ”

2016 年甘肃省河西五市部分普通高中高三第二次联合考试

理科数学
命题学校:敦煌中学
注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上。

2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号框。写在本试卷上无效。 3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

命题教师:董志明

曹文军 陈平

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.已知集合 P ? {x | x ? 2 x ? 0} , Q ? {x | 1 ? x ? 2} ,则 (CR P) ? Q ? (
2



A. [0,1) 2.复数 z ?

B. (0,2]

C. (1,2)

D. [1,2] )

2?i ( i 为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为 ( 2?i
B.第二象限 ( ) C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

3.下列说法正确 的是 ..

A.命题“ ?x ? R , e x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , e x ? 0 ” B.命题 “已知 x, y ? R ,若 x ? y ? 3 ,则 x ? 2 或 y ? 1 ”是真命题 C.“ x 2 ? 2 x ? ax 在 x ? ?1, 2? 上恒成立” ? “ ( x 2 ? 2 x) min ? (ax) max 在 x ? ?1, 2? 上恒成立” D. 命题“若 a ? ?1 ,则函数 f ? x ? ? ax ? 2 x ? 1 只有一个零点”的逆命题为真命题
2

4.如图,四个边长为 1 的正方形排成一个大正方形,AB 是大正方形的一条边,Pi(i=1,2,?,7) → → 是小正方形的其余顶点,则AB·APi(i=1,2,?,7)的不同值的个数为( )

·1·

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A.7

B.5

C.3

D. 1

C 的对边分别为 a , b, c, 5. 在 △ ABC 中, 角 A ,B , 且满足 (b ? a)sin A ? (b ? c)(sin B ? sin C ) ,
则角 C 等于( )

? A. 3
A. i ? 10

? B. 6
B. i ? 10

? C. 4
C. i ? 9

2? D. 3
( ) D. i ? 9

6.如果下面的程序执行后输出的结果是 11880 ,那么在程序 UNTIL 后面的条件应为

?x ? 1 ? 7.设 W1 是不等式组 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 所表示的平面区域,平面区域 W2 与 W1 关于直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 ?y ? x ?
对称,对于 W1 中的任意一点 A 与 W2 中的任意一点 B , AB 的最小值等于 A. ( D.2 ) D. 6 ? ).

28 5

B.4

C.

12 5

8. 如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( A. 10 ? 5 B. 10 ?

2

C. 6 ? 2 2 ? 6

2? 6

i=12 s=1 DO s = s*i i = i-1 LOOP UNTIL 条 件 PRINT s END (第 6 题)

(第 4 题)程序 ·2·

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9.已知函数 f ( x) ? x ? sin x( x ? R) , 且 f ( y 2 ? 2 y ? 3) ? f ( x2 ? 4 x ? 1) ? 0 , 则当 y ? 1 时, 取值范围是 ( ) B. [0, ]

y 的 x ?1

A. [ , ]

1 3 4 4

3 4

C. [ , ]

1 4 4 3

D. [0, ]

4 3

10.《九章算术》是我国古代最具影响力的数学名著,书中有如下问题: “今有委米依垣内角,下周 八尺,高五尺.问积及委米几何?”其意思为: “在屋内墙角处堆放米(米堆形状为圆锥的四分之一 状) ,米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米 的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出米堆的米约有( A.14 B.22 C.36 )斛. D.66

x2 y2 11.设 F 1 , F2 分别为双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点 P , a b
满足 PF2 ? F 1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为( 1F 2 ,且 F2 到直线 PF )

A.

4 3

B.

5 3

C.

5 4

D.

41 4

12.已知函数 f ? x ? ? 2016 x ? log 2016 的解集为( )

?

x 2 ? 1 ? x ? 2016? x ? 2 , 则关于 x 的不等式 f ? 3 x ? 1? ? f ? x ? ? 4

?

A、 ? ? , ?? ?

? 1 ? 4

? ?

B、 ? ??, ? ?

? ?

1? 4?

C、 ? 0, ?? ?

D、 ? ??,0 ?

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

a ?? 1? ? 13. ? x ? ?? 2 x ? ? 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为 x ?? x? ?
14.计算:

5



cos100 ? 2sin 200 ? sin100

____________

.

15.设 E 为正方形 ABCD 边 AB 的中点,分别在边 AD 、 BC 上任取两点 P 、 Q ,则 ?PEQ 为锐角
·3·

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的概率为

.

16.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (1) ? 1 且对 ?x ? R, f ?( x) ? 1 . 则不等式 f (log 2 x) ? log 2 x ? 1 的解 ,

2

2

集为 17.(本小题满分 12 分)

.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

已 知 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 等 比 数 列 {bn } 的 各 项 均 为 正 数 , 公 比 是 q , 且 满 足

a1 ? 3, b1 ? 1, b2 ? S2 ? 12, S2 ? b2q .
(I)求 {an } , {bn } 的通项公式; (II)设 cn ? 3bn ? ? ? 2 3 (? ? R) ,若 {cn } 满足 cn?1 ? cn 对任意的 n ? N 恒成立,求 ? 的取值范围.
*

an

18.(本小题满分 12 分) 对某市 2016 年 3 月份高三诊断考试的数学成绩数据统计显示,全市 10000 名学生的成绩服从正态分 布 N(115,25).现从某校随机抽取 50 名学生的数学成绩,结果这 50 名同学的成绩全部介于 80 分到 140 分之间. 现将结果按如下方式分为 6 组, 第一组[80,90), 第二组[90,100), ??, 第六组[130,140], 得到如下图所示的频率分布直方图.

(I)试求 a 的值,并估计该校数学的平均成绩(同一组中的数据用该区间的中点值作代表); (II)从这 50 名学生中成绩在 120 分(含 120 分)以上的同学中任意抽取 3 人,该 3 人在全市前 13 名的人数记为 X,求 X 的分布列和期望. 附: 若 X~N(μ , σ ), 则 P(μ -σ <X<μ +σ )=0.6826, P(μ -2σ <X<μ +2σ )=0.9544, P(μ -3σ <X<μ +3σ )=0.9974. 19.(本小题满分 12 分)
·4·
2

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如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,侧棱 A1A⊥底面 ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E 为棱 AA1 的中点. (Ⅰ)证明:B1C1⊥CE; (Ⅱ)求二面角 B1-CE-C1 的正弦值;

第 19 题图

20.(本小题满分 12 分) 已知点 F ?1, 0? ,点 A 是直线 l1 : x ? ?1 上的动点,过 A 作直线 l2 , l1 ? l2 ,线段 AF 的垂直平分线 与 l2 交于点 P . (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)若点 M , N 是直线 l1 上两个不同的点, 且△ PMN 的内切圆方程为 x ? y ? 1, 直线 PF 的斜率
2 2

为 k ,求

k 的取值范围. MN

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? e
?x

?ax ( x ? R ) .

(Ⅰ) 当 a ? ?1 时,求函数 f ? x ? 的最小值; (Ⅱ) 若 x ? 0 时, f ? ? x ? ? ln ? x ? 1? ? 1,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)求证: e
2? e

?

3 . 2

请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的
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题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多图均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示, 已知 PA 与⊙ O 相切,A 为切点, 过点 P 的割线交圆于 B, C 两点, 弦 CD // AP ,AD, BC 相交于点 E , F 为 CE 上一点,且 DE 2 ? EF ? EC . (Ⅰ)求证: CE ? EB ? EF ? EP ; (Ⅱ)若 CE : BE ? 3 : 2, DE ? 3, EF ? 2 ,求 PA 的长.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? ?2 ? t ? 2 ? 第 22 题图 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,直线 l 与曲线 C : ?y ? 2? 3 t ? ? 2
( y ? 2) 2 ? x 2 ? 1 交于 A , B 两点.
(Ⅰ)求 AB 的长; (Ⅱ)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,设点 P 的极坐标为 ? 2 2, 点 P 到线段 AB 中点 M 的距离.

? ?

3? 4

? ? ,求 ?

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5: 不等式选讲. (Ⅰ)设函数 f ( x)=| x ?

1 | ? | x ? a | (a ? 0) .证明: f ( x) ? 2 ; a

2 2 2 (Ⅱ)若实数 x, y, z 满足 x ? 4 y ? z ? 3 ,求证: x ? 2 y ? z ? 3 .

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2016 年甘肃省河西五市部分普通高中高三第二次联合考试 理科数学参考答案及评分标准
评分说明: 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考 , 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考 查内容比照评分参考制订相应的评分细则。 2. 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难 度, 可视影响的程度决定后续部分的给分, 但不超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后续部分 的解答有较严重的错误, 就不给分。 3. 解答右端所注分数, 表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4. 只给整数分数。选择题不给中间分。

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,
(1)C (7)B (2)A (8)C (3)B (4)C (5)A (11)B (6)D (12)A

(9)A (10)B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
(13) 40 (14) (15) (16)

三、解答题:
17.分析: (I)设等差数列 的公差为 ,由题设

,

??????????????????4 分 所以,

an ? 3n, bn ? 3n?1 .

??????????????????6 分

(II)由(I)可知, cn ? 3n ? ? ? 2n ,??????????????????8 分

3 ? ? ? 2 ? ( ) n 对任意的 n ? N* 恒成立,??????????????????10 分 2 ? ? ? 3. ??????????????????????????12 分
18.(1)由频率分布直方图可知[120,130)的频率为: 1-(0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10)=1-0.88=0.12, 所以 a ? 0.012 ????????????????????2 分

所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为
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85×0.1+95×0.24+105×0.3+115×0.16+125×0.12+135×0.08 =8.5+22.8+31.5+18.4+15+10.8=107, 所以该校的平均成绩为 107. ???????????????????????5 分 13 (2)由于 =0.0013,根据正态分布: 10000 ∵P(115-3×5<X<115+3×5)=0.9974, 1-0.9974 ∴P(X≥130)= =0.0013,即 0.0013×10000=13, 2 所以前 13 名的成绩全部在 130 分以上, ????????????????7 分 根据频率分布直方图这 50 人中成绩在 130 分以上(包括 130 分)的有 0.08×50=4 人,而在 [120,140]的学生共有 0.12×50+0.08×50=10,所以 X 的取值为 0,1,2,3, 所以 P(X=0)=
2 1

C6 20 1 = , 3 = C10 120 6

3

P(X=1)= P(X=2)=

C5C4 60 1 = , 3 = C10 120 2 C4C4 36 3 C4 4 1 = ,P(X=3)= 2 = = . 4 = C10 120 10 C10 120 30
1 2 3

所以 X 的分布列为

X P
1 6 1 2 3 10 1 30

0 1 6

1 1 2

2 3 10

3 1 30

E(X)=0× +1× +2× +3× =1.2. ????????????????12 分
19. 方法一: 如图,以点 A 为原点,以 AD,AA1,AB 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐 标 系 , 依 题 意 得

A(0,0,0) , B(0,0,2) , C(1,0,1) , B1(0,2,2) , C1(1,2,1) ,

E(0,1,0).

???????????????????????????????3 分

→ → → → (1)证明 易得B1C1=(1,0,-1),CE=(-1,1,-1),于是B1C1·CE=0, 所以 B1C1⊥CE. ????????????????????????5 分

→ (2)解 B1C=(1,-2,-1). 设平面 B1CE 的法向量 m=(x,y,z), → ? ?m·B1C=0, 则? → ? ?m·CE=0,
?x-2y-z=0, ? 即? ?-x+y-z=0. ?

消去 x,得 y+2z=0,不妨令 z=1,可得一个法向量为

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m=(-3,-2,1).

?????????????????????? 8 分

→ 由(1)知,B1C1⊥CE,又 CC1⊥B1C1,可得 B1C1⊥平面 CEC1,故B1C1=(1,0,-1)为平面 CEC1 的一个法 向量. ??????????????????????????10 分 ????????11 分

→ m·B1C1 -4 2 7 → 于是 cos〈m,B1C1〉= = =- , → 7 14× 2 |m|·|B1C1|

21 21 → 从而 sin〈m,B1C1〉= ,所以二面角 B1-CE-C1 的正弦值为 . 7 7

???12 分

方法二 (1)证明 因为侧棱 CC1⊥底面 A1B1C1D1,B1C1?平面 A1B1C1D1,所以 CC1⊥B1C1. 经计算可得 B1E= 5,B1C1= 2,EC1= 3, 从而 B1E =B1C1+EC1, 所以在△B1EC1 中,B1C1⊥C1E,????????2 分 又 CC1,C1E?平面 CC1E,CC1∩C1E=C1,所以 B1C1⊥平面 CC1E, 又 CE?平面 CC1E,故 B1C1⊥CE. ????????5 分 (2)解 过 B1 作 B1G⊥CE 于点 G,连接 C1G. 由 (1) 知, B1C1⊥CE,故 CE⊥平面 B1C1G ,得 CE⊥C1G ,所以∠B1GC1 为二面角 B1 - CE - C1 的平面 角. ????????????????????????????????9 分 2 6 在△CC1E 中,由 CE=C1E= 3,CC1=2,可得 C1G= . 3 在 Rt△B1C1G 中,B1G= 42 21 ,所以 sin ∠B1GC1= , 3 7 21 . 7 ????????????????12 分
2 2 2

即二面角 B1-CE-C1 的正弦值为

20.解析:(Ⅰ)解:依题意,点 P 到点 F ?1,0 ? 的距离等于它到直线 l1 的距离, ∴点 P 的轨迹是以点 F 为焦点,直线 l1 : x ? ?1 为准线的抛物线. ????4 分 ∴曲线 C 的方程为 y ? 4 x .
2

??????????????????5 分

(Ⅱ)解法 1:设点 P ? x0 , y0 ? ,点 M ? ?1, m? ,点 N ? ?1, n ? , 直线 PM 方程为: y ? m ?

y0 ? m ? x ? 1? , x0 ? 1

化简得, ? y0 ? m? x ? ? x0 ?1? y ? ? y0 ? m? ? m ? x0 ?1? ? 0 .
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∵△ PMN 的内切圆方程为 x 2 ? y 2 ? 1, ∴圆心 ? 0, 0 ? 到直线 PM 的距离为 1 ,即
2 2 2

????????????6 分

y0 ? m ? m ? x0 ? 1?

? y0 ? m ? ? ? x0 ? 1?
2

2

? 1.

故 ? y0 ? m ? ? ? x0 ? 1? ? ? y0 ? m ? ? 2m ? y0 ? m ?? x0 ? 1? ? m
2

2

? x0 ? 1?

2

.

易知 x0 ? 1 ,上式化简得, ? x0 ?1? m ? 2 y0m ? ? x0 ? 1? ? 0 .??????7 分 同理,有 ? x0 ?1? n ? 2 y0n ? ? x0 ? 1? ? 0 .
2

????????????8 分

∴ m, n 是关于 t 的方程 ? x0 ?1? t ? 2 y0t ? ? x0 ?1? ? 0 的两根.
2

∴m?n ?

? ? x0 ? 1? ?2 y0 , mn ? . x0 ? 1 x0 ? 1

∴ MN ? m ? n ?
2

?m ? n?

2

? 4mn ?

? x0 ? 1?

2 4 y0

2

?

4 ? x0 ? 1? .?????9 分 x0 ? 1

∵ y0 ? 4 x0 , y0 ? 2 x0 , ∴ MN ?

? x0 ? 1?

16 x0

2

?

4 ? x0 ? 1? x 2 ? 4 x0 ? 1 ?2 0 . 2 x0 ? 1 ? x0 ? 1?

直线 PF 的斜率 k ?

2 x0 y0 y0 ? ,则 k ? . x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1



k MN

?

x0 ? x ? 4 x0 ? 1
2 0

1 . 1 x0 ? ? 4 x0

????????????10 分

∵函数 y ? x ? ∴ x0 ?

1 在 ?1, ?? ? 上单调递增, x

1 ? 1 ?1 ? 0 . x0 1 ? 4 ? 4. x0
??????????????????11 分

∴ x0 ?

∴0 ?

1 1 ? . 1 x0 ? ? 4 4 x0

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∴0 ?

k MN

?

1 . 2
? ? 1? 2?
?????????????????12 分



k MN

的取值范围为 ? 0, ? .

解法 2:设点 P ? x0 , y0 ? ,点 M ? ?1, m? ,点 N ? ?1, n ? , 直线 PM 的方程为 y ? m ? k1 ? x ? 1? ,即 k1 x ? y ? k1 ? m ? 0 , ∵ 直线 PM 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切, ∴

k1 ? m k12 ? 1

? 1.

∴ k1 ?

1 ? m2 . 2m

??????????????????6 分

∴ 直线 PM 的方程为 y ? m ?

1 ? m2 ? ? x ? 1? . 2m 1 ? m2 ? ? x0 ? 1? . ∴ y0 ? m ? 2m
2

∵ 点 P 在直线 PM 上,

易知 x0 ? 1 ,上式化简得 ? x0 ?1? m ? 2 y0m ? ? x0 ? 1? ? 0 . ???????7 分 同理,有 ? x0 ?1? n ? 2 y0n ? ? x0 ? 1? ? 0 .
2 2

??????????????8 分

∴ m, n 是关于 t 的方程 ? x0 ?1? t ? 2 y0t ? ? x0 ?1? ? 0 的两根. ∴m?n ?

? ? x0 ? 1? ?2 y0 , mn ? . x0 ? 1 x0 ? 1

∴ MN ? m ? n ?
2

?m ? n?

2

? 4mn ?

? x0 ? 1?

2 4 y0

2

?

4 ? x0 ? 1? . x0 ? 1

????9 分

∵ y0 ? 4 x0 , y0 ? 2 x0 , ∴ MN ?

? x0 ? 1?

16 x0

2

?

4 ? x0 ? 1? x 2 ? 4 x0 ? 1 ?2 0 . 2 x0 ? 1 ? x0 ? 1?

直线 PF 的斜率 k ?

2 x0 y0 y0 ? ,则 k ? . x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1
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k MN

?

x0 ? x ? 4 x0 ? 1
2 0

1 . ??????????????10 分 1 x0 ? ? 4 x0

∵函数 y ? x ? ∴ x0 ?

1 在 ?1, ?? ? 上单调递增, x
∴ x0 ?

1 ? 1 ?1 ? 0 . x0
1 1 ? . 1 x0 ? ? 4 4 x0

1 ? 4 ? 4. x0

∴0 ?

??????????????????11 分

∴0 ?

k MN

?

1 . 2
? ? 1? 2?
?????????????????12 分



k MN

的取值范围为 ? 0, ? .

解法 3:设点 P ? x0 , y0 ? ,并设直线 PM 的方程为 y ? y0 ? k1 ? x ? x0 ? , 即 k1 x ? y ? k1 x0 ? y0 ? 0 , 令 x ? ?1 ,得 yM ? y0 ? k1 ?1 ? x0 ? , ∴ M ?1, y0 ? k1 ?1 ? x0 ? . ∵ 直线 PM 与圆 x ? y ? 1相切,
2 2

?

?



?k1 x0 ? y0 k12 ? 1

?1.

2 2 2 化简得, 1 ? x0 k1 ? 2 x0 y0 k1 ? 1 ? y0 ? 0 .

?

?

??????????????6 分

同理,设直线 PN 的方程为 y ? y0 ? k2 ? x ? x0 ? ,
2 2 2 则点 N ?1, y0 ? k2 ?1 ? x0 ? ,且 1 ? x0 k2 ? 2 x0 y0 k2 ? 1 ? y0 ? 0 . ????7 分 2 2 2 ∴ k1 , k2 是关于 k 的方程 1 ? x0 k ? 2 x0 y0 k ? 1 ? y0 ? 0 的两根.

?

?

?

?

?

?

∴ k1 ? k2 ?

2 x0 y0 , 2 x0 ?1

k1k2 ?

2 y0 ?1 . 2 x0 ? 1

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2 依题意, x0 ? 1 , y0 ? 4 x0 .

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∴ MN ? ?1 ? x0 ?? k1 ? k2 ?

? ?1 ? x0 ?
? ?1 ? x0 ?
?

? k1 ? k2 ?

2

? 4k1k2

2 ? 2 x0 y0 ? 4 ? y0 ? 1? ? 2 ? ? 2 x0 ? 1 ? x0 ? 1 ? 2

2 2 2 x0 ? y0 ?1 x0 ? 1

?

2 2 x0 ? 4 x0 ? 1 . x0 ? 1

??????????????????9 分

直线 PF 的斜率 k ?

2 x0 y0 y0 ? ,则 k ? . x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1



k MN

?

x0 ? x ? 4 x0 ? 1
2 0

1 . ??????????????10 分 1 x0 ? ? 4 x0

∵函数 y ? x ? ∴ x0 ?

1 在 ?1, ?? ? 上单调递增, x
∴ x0 ?

1 ? 1 ?1 ? 0 . x0
1 1 ? . 1 x0 ? ? 4 4 x0

1 ? 4 ? 4. x0

∴0 ?

??????????????????11 分

∴0 ?

k MN

?

1 . 2
? ? 1? 2?
?????????????????12 分



k MN

的取值范围为 ? 0, ? .

解法 4:设点 P ? x0 , y0 ? ,如图,设直线 PM , PN 与圆 O 相切的切点分别为 R , T , 依据平面几何性质,得 PM ? PN ? 2 PR ? MN ,

·13·

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由 S ?PMN ?

1 1 MN ? ? x0 ? 1? ? ? MN ? PM ? PN ? ? OR , ??????6 分 2 2
y P

得 MN ? ? x0 ?1? ? MN ? PM ? PN , 得 MN ? ? x0 ? 1? ? 2 PR ? 2 MN . ????6 分 M 得 MN ? ? x0 ? 1? ? 2 PR ? 2 PO ? 1 .??7 分
2
2 2 2 x0 ? y0 ?1 故 MN ? . x0 ? 1
N R O

x T

?????????????????8 分

2 依题意, x0 ? 1 , y0 ? 4 x0 .

∴ MN ?

2 2 x0 ? 4 x0 ? 1 . x0 ? 1

?????????????????9 分

直线 PF 的斜率 k ?

2 x0 y0 y0 ? ,则 k ? . x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1



k MN

?

x0 ? x ? 4 x0 ? 1
2 0

1 . ??????????????10 分 1 x0 ? ? 4 x0

∵函数 y ? x ? ∴ x0 ?

1 在 ?1, ?? ? 上单调递增, x
∴ x0 ?

1 ? 1 ?1 ? 0 . x0
1 1 ? . 1 x0 ? ? 4 4 x0

1 ? 4 ? 4. x0
??????????????????11 分

∴0 ?

∴0 ?

k MN

?

1 . 2
? ? 1? 2?
?????????????????12 分



k MN

的取值范围为 ? 0, ? .

21.解析:(Ⅰ)解:当 a ? ?1 时, f ? x ? ? e

?x

? x ,则 f ? ? x ? ? ?
·14·

1 ?1. ex

?????1 分

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令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? 0 . 当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ; 当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 . ??????????2 分

∴函数 f ? x ? 在区间 ? ??,0? 上单调递减,在区间 ? 0, ??? 上单调递增. ∴当 x ? 0 时,函数 f ? x ? 取得最小值,其值为 f ? 0? ? 1.
x

????????4 分 (*)

(Ⅱ)解:若 x ? 0 时, f ? ? x ? ? ln ? x ? 1? ? 1,即 e ? ax ? ln ? x ? 1? ?1 ? 0 . 令 g ? x ? ? e ? ax ? ln ? x ? 1? ?1,
x

则 g?? x? ? e ?
x

1 ?a. x ?1
?x

讨论:① 若 a ? ?2 ,由(Ⅰ)知 e ∴ g? ? x ? ? e ?
x

? x ? 1 ,即 e? x ? 1 ? x ,故 e x ? 1 ? x .

1 1 ? a ? ? x ? 1? ? ?a ?2 x ?1 x ?1

? x ? 1? ?

1 ? a ? 2? a ? 0. x ?1

????????????????4 分 ∴函数 g ? x ? 在区间 ?0, ??? 上单调递增. ∴ g ? x ? ? g ? 0? ? 0 . ∴(*)式成立.
x ②若 a ? ?2 ,令 ? ? x ? ? e ?

????????????????6 分

1 ?a, x ?1
2

则?? ? x? ? e

x

? x ? 1? e x ? 1 ? 0 . ? ? 2 2 ? x ? 1? ? x ? 1?
1
1 1 1 ? a ? 1? a ? ? a ? 1? ?0. 1? a 1? a 1? a
????????????????7 分

∴函数 ? ? x ? 在区间 ?0, ??? 上单调递增. 由于 ? ? 0? ? 2 ? a ? 0 , ? ? ?a ? ? e 故 ?x0 ? ? 0, ?a ? ,使得 ? ? x0 ? ? 0 .
?a

?

则当 0 ? x ? x0 时, ? ? x ? ? ? ? x0 ? ? 0 ,即 g? ? x ? ? 0 . ∴函数 g ? x ? 在区间 ? 0, x0 ? 上单调递减.
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∴ g ? x0 ? ? g ? 0? ? 0 ,即(*)式不恒成立. ???????????????8 分 综上所述,实数 a 的取值范围是 ? ?2, ?? ? . ???????????????9 分 (Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知,当 a ? ?2 时, g ? x ? ? e ? 2x ? ln ? x ? 1? ?1 在 ?0, ??? 上单调递增.
x
1 ?1 ? ?1? 则 g ? ? ? g ? 0 ? ,即 e 2 ? 1 ? ln ? ? 1? ? 1 ? 0 .?????????????10 分 ?2? ?2 ?

∴ ln ∴

3 ? 2? e . 2

????????????????11 分

3 3 ? e 2 ? e ,即 e2? e ? . ????????????????12 分 2 2 22. 解: (Ⅰ)∵ DE 2 ? EF ? EC , ?DEF ? ?DEF ∴ ?DEF ∽ ?CED , ∴ ?EDF ? ?C ????????2 分 又∵ CD // AP , ∴ ?P ? ?C , ∴ ?EDF ? ?P , ?DEF ? ?PEA EA EP ∴ ?EDF ∽ ?EPA , ∴ , ? EF ED ∴ EA ? ED ? EF ? EP ????4 分 又∵ EA ? ED ? CE ? EB ,∴ CE ? EB ? EF ? EP .????????5 分 9 (Ⅱ)∵ DE 2 ? EF ? EC , DE ? 3, EF ? 2 ∴ EC ? , 2 ∵ CE : BE ? 3 : 2 ∴ BE ? 3 27 由(1)可知: CE ? EB ? EF ? EP ,解得 EP ? .????????7 分 4 15 ∴ BP ? EP ? EB ? . 4 ∵ PA 是⊙ O 的切线, ∴ PA2 ? PB ? PC

∴ PA2 ?

15 3 15 27 9 . ? ( ? ) ,解得 PA ? 4 4 4 2

????????10 分

1 ? x ? ?2 ? t, ? 2 ? 23.解: (Ⅰ)直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) , ? y ? 2 ? 3 t, ? ? 2

代入曲线 C 的方程得 t 2 ? 4t ? 10 ? 0 . 设点 A,B 对应的参数分别为 t1,t2 ,则 t1 ? t2 ? ?4 , t1t2 ? ?10 , 所以 | AB |?| t1 ? t2 |? 2 14 .?????????????????(5 分)
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(Ⅱ)由极坐标与直角坐标互化公式得点 P 的直角坐标为 (?2,2) , 所以点 P 在直线 l 上,中点 M 对应参数为
t1 ? t2 ? ?2 , 2

由参数 t 的几何意义,所以点 P 到线段 AB 中点 M 的距离 | PM |? 2 .??(10 分) 24. (10 分)证明:(Ⅰ)由 a ? 0 , 有 f ( x) =| x ? 所以 f ( x) ? 2
2 2

1 1 1 | ? | x ? a | ? |(x ? ) ? ( x ? a) | ? ? a ? 2 a a a
?????????5 分
2

(Ⅱ)? x ? 4 y ? z ? 3 ,由柯西不等式得:

[ x 2 ? (2 y ) 2 + z 2 ](12 ? 12 ? 12 ) ? ( x ? 2 y ? z ) 2 x 2y z 6 3 (当且仅当 ? ? 即 x ? z ? ,y ? 时 取 “ ? ” 号 ) 整 理 得 : ( x ? 2 y ? z ) 2 ? 9 , 即 1 1 1 5 5 x ? 2y ? z ? 3 ??????????????????????10 分
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