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合肥一中高一下学期期中考试数学试题及答案


合肥一中 2012-2013 学年第二学期期中考试 高 一 年 级 数 学 试 卷
(考试时间:120 分钟 一、选择题(本题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1.下列不等式正确的是( D ) A.若 a ? b, 则 a?c ? b?c C. 若 a ? b, 则 B.若 a ? b, 则 a?c ? b?c
2 2

满分:100 分)

1 1 2 2 ? D. 若 a ? c ? b ? c 则 a ? b a b 2. 在 ABC中,A =60 ,B=75 ,a ? 10, 则c边的长度为( )C
A. 5 2 B. 10 2 C.

10 6 3


D. 5 6

 ? y ? 6, 则 3. 若 1 ? x ? 4,3
A. [ , ]

x 的取值范围是.(B y
1 4 6 3
C.

1 2 3 3

B. [ , ]

1 4 [ , ] 3 3

D. [ , ] .

2 4 3 3

4.在△ABC 中,∠A=60°,a= 6 ,b= 7 满足条件的△ABC( D ) A. 不能确定 B. 无解 C. 有一解 D. 有两解

5.数列 ?an ? 的通项公式 a n ? A. 98 B. 99

1 n ? n ?1

,则该数列的前( B )项之和等于 9 。 C. 96 D. 97

6.在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? ( A ) A. 2 ? ln n B. 2 ? (n ? 1) ln n ( C) B. sin x ? D. C. 2 ? n ln n D. 1 ? n ? ln n

1 n

7. 下列不等式一定成立的是 A. x ?
2

1 ? x ( x ? 0) 4

1 ? 2( x ? k? , k ? Z ) sin x

C. x ? 1 ? 2 x ( x ? R)
2

1 ? 1( x ? R ) x ?1
2

8.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边。若 b ? 2a cos C , 则 ?ABC 的形状一定是( A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形 C )

C )

9.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sm ? x , S2m ? y , S3m ? z ,则( A. x ? y ? z C. x ? y ? xy ? xz
2 2

B. y ? x ? z
2

D. 2 y ? x ? z

10. 一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为 120°,公差为 5°,那么这个多边 形的边数 n 等于( A.12 D ) B.16 C.9 D.16 或 9

二、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 11. 不等式

x?3 <0 的解集为______-2<X<3______ x?2

12. 在 ?ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B =根号 6/3_________ 13. 两个等差数列 ?an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn ,若

Sn n ? 3 a ,则 6 ? 14/23 ? Tn 2n ? 1 b6

14.若正实数 x、y, 满足2x ? y ? 6 ? xy, 则xy的最小值是_________ 18

? an ? ,当an为偶数时, 15.已知数列 ?an ? 满足: a1=m (m 为正整数) , an ?1 ? ? 2 若 a6=1,则 m 所有可能 ?3an ? 1,当an为奇数时。 ?
的取值为_32 或 4 或 5_________。 三、解答题(第 16、17、18 题各 7 分,19、20、21 题各 8 分,共 45 分)

? x ? y ? 3, ? 16.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1, 求目标函数 z=2x+y 的最大值及此时的最优解 ? y ? 1, ?

17.已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (Ⅰ )求数列 ?an ? 的通项; 解:d=1 an=n (Ⅱ )求证:

1 1 ? ? a1a2 a2 a3

?

1 ?1 an an?1

18.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积,满足 S ? (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值。

3 2 2 2 (a ? c ? b ) 。 4

19.各项均为正数的数列 ?an ? 中, Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,对任意 n ? N ,有 2Sn ? 2an2 ? an ?1 .
*

(Ⅰ ) 求数列 ?an ? 的通项公式;

(Ⅱ ) 记 b ? 2n ? a 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . n n

20.

某兴趣小组测量渡江战役纪念馆前的胜利之塔的高度H(单位 :m)如示意图,垂直放

置的标杆 BC 高度 h=2m,仰角∠ABE= ? ,∠ADE= ? 。
(Ⅰ )该小组已经测得一组 ? 、 ? 的值,tan ? =1.21,tan ? =1.17,请据此算出 H 的值; (Ⅱ )该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到胜利之塔的距离 d(单位:m) ,使

可以提高测量精确度。 若胜利之塔的实际高度为 60m, 试问 d 为多少时, ? 与 ? 之差较大, ? -? 最大?




?


?
B A

21.







{an }













an ? pn ? q(n ? N ? , P ? 0)
下:对于正整数 m,
(Ⅰ )若 p ?

. 数列

{bn } 定义如

bm

是使得不等式

an ? m

成立的所有 n 中的最小值.

1 2 , q ? ? ,求 b3 ; 2 3

(Ⅱ )若 p ? 2, q ? ?1 ,求数列 {bm } 的前 2m 项和公式;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(III)是否存在 p 和 q,使得

bm ? 4m ?1(m ? N ? ) ?如果存在,求 p 和 q 的

取值范围;如不存在,说明理由.

------------------密--------------封----------------线---------------内--------------不------------准---------答---------题--------------------------------------

高 一 年 级 期 中 考 试 数 学 答 题 卷
座位号 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3

一、选择题。 (每题 4 分,共计 40 分)

二、填空题 (每题 3 分,共计 15 分) 11.__________________ 12.____________________ 15.____________________ 13._______________

14.__________________ 三、解答题(共 45 分) 16.(本题 7 分)

准考证号

作图区 --------------题--------------------------------

班级

参考答案 1-5DCBDB 11.

6-10ACCCC 12.

? x ?2 ? x ? 3?

6 14 13. 14. 18 15.4、5、32 23 3

16. 最优解为(2,1) ,z 取得最大值 5

姓名

17. (Ⅰ )由题设知公差 d≠0, 由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 解得 d=1,d=0(舍去) , (II)

1 ? 2 d 1 ? 8d = , 1 1 ? 2d

故{an}的通项 an=1+(n-1)× 1 = n.

1 1 ? ? a1a2 a2 a3

1 1 1 ? ? ? an an?1 1? 2 2 ? 3

1 1 ? 1? ?1 n(n ? 1) n ?1

18.(I)B=

? 3 2 (II) sin B ? sin A sin C ? 3 4

19. (I)令 n ? 1, 得a1 ? 1(另一负值舍)

( II )Tn ? 2 ?1 ? 3 ? 2 ? 4 ? 22 ? 2Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? 4 ? 23 ? Tn ? n 2n
20.(1)

? (n ? 1)2n ?1 ? ( n ? 1)2n

(1) (2)

(1) ? (2)得:-Tn ? 2 ? 20 ? (2 ? 22 ?

? 2n ?1 ) ? (n ? 1)2n

H H H h ? tan ? ? AD ? ,同理: AB ? , BD ? 。 tan ? AD tan ? tan ?

AD—AB=DB,故得

H H h h tan ? 2 ?1.21 ? ? ? ? 60.5(m) 。 ,解得: H ? tan ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1.21 ? 1.17

因此,算出的胜利塔的高度 H 是 60.5m。 (2)由题设知 d ? AB ,得 tan ? ?

H H h H ?h , tan ? ? ? ? , d AD DB d H H ?h ? tan ? ? tan ? hd h d tan(? ? ? ) ? ? d ? 2 ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? H ? H ? h d ? H ( H ? h) d ? H ( H ? h) d d d

d?

H ( H ? h) ? 2 H ( H ? h) , d
时,取等号) H (H ? h) ? 60 ? 58 ? 2 870时取得“=”

(当且仅当 d ?

故当 d ? 2 870 时, tan(? ? ? ) 最大。 因为 0 ? ? ? ? ?

?
2

,则 0 ? ? ? ? ?

?
2

,故所求的 d 是 d ? 2 870 m。

21.(Ⅰ)由题意,得 an ? ∴

22 1 2 1 2 n ? ,解 n ? ? 3 ,得 n ? . 3 2 3 2 3

w.w. w. k.s.5. u.c.o.m

1 2 n ? ? 3 成立的所有 n 中的最小整数为 8,即 b3 ? 8 . 2 3
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

(Ⅱ)由题意,得 an ? 2n ? 1,

对于正整数,由 an ? m ,得 n ? 根据 bm 的定义可知
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

m ?1 . 2

* * 当 m ? 2k ? 1 时, bm ? k k ? N ;当 m ? 2 k 时, bm ? k ? 1 k ? N .

?

?

?

?

∴ b1 ? b2 ?

? b2m ? ?b1 ? b3 ?
? ?1 ? 2 ? 3 ?

? b2m?1 ? ? ?b2 ? b4 ?
? m? ? ? ?2 ? 3 ? 4 ?

? b2m ?
? ? m ? 1? ? ?

?

m ? m ? 1? m ? m ? 3? ? ? m 2 ? 2m . 2 2

w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

(Ⅲ)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn ? q ? m 及 p ? 0 得 n ?

m?q . p

∵ bm ? 4m ? 1(m ? N ? ) ,根据 bm 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有

4m ?

m?q ? 4m ? 1 ,即 ? p ? q ? ? 4 p ?1? m ? ?q 对任意的正整数 m 都成立. p
当 4 p ? 1 ? 0 (或 4 p ? 1 ? 0 )时,得 m ? ? 这与上述结论矛盾!

q p?q (或 m ? ? ) , 4 p ?1 4 p ?1

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

当 4 p ? 1 ? 0 ,即 p ?

1 1 1 时,得 ? ? q ? 0 ? ? q ,解得 ? ? q ? 0 . 4 4 4

∴ 存在 p 和 q,使得 bm ? 4m ? 1(m ? N ? ) ; p 和 q 的取值范围分别是 p ?

1 1 ,? ? q ? 0 . 4 4

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m


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