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第30届全国中学生物理竞赛预赛计算题11题


第 30 届全国中学生物理竞赛预赛计算题 11 题
11.(20 分)在水平地面某处,以相同的速率 v0 用不同的抛射角分别抛射两个小球 A 和 B, 它们的射程相同。已知小球 A 在空中运行的时间为 TA ,求小球 B 在空中运行的时间 TB 。重 力加速度大小为 g ,不考虑空气阻力。

A

v0

v0
B

?B

?A

解析: 取抛射点为坐标原点, x 轴沿水平方向, y 轴竖直向上,抛射角为 ? 。抛出时刻时间 t 取为 0,对任何斜抛小球有

x ? tv0 cos?
y ? tv0 sin ? ? 1 2 gt 2

(1) (2)

消去 t 得小球运动轨迹方程为

y ? x tan? ?

g x2 2v cos2 ?
2 0

(3)

d 取 y ? 0 ,解出 x 即为射程

d?

2 v0 sin 2? g

(4)

利用(4)式可得小球在空中运行的时间

T?

2v sin ? d ? 0 v0 cos? g

(5)

以 ? A 表示小球 A 的抛射角, ? B 表示小球 B 的抛射角,现要两小球射程相同,由(4)式有

按题意有

sin 2? A ? sin 2? B


(6)

2? A ? ? ? 2? B

(7)

由(5)式,小球 A 和 B 在空中运行的时间分别为

TA ?

2v0 sin ? A g 2v0 sin ? B g

(8)

TB ?

(9)

由(7) 、 (8) 、 (9)式可得

TB ?

2 4v0 ? (TA g ) 2 g

(10)

评分标准: 本题 20 分。 (1) 、 (2)式各 4 分, (4) 、 (7)式各 3 分, (8) 、 (9) 、 (10)式各 2 分。



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