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红对勾理科数学课时作业69


课时作业 69 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
时间:45 分钟 分值:100 分 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.若随机变量 ξ 的分布列如下表,则 E(ξ)的值为( ξ P 1 A.18 20 C. 9 0 2x 1 3x 2 7x 3 2x 1 B.9 9 D.20 4 3x 5 x )

1 解析:根据概率和为 1 求出

x=18,E(ξ)=0×2x+1×3x+2×7x 20 +3×2x+4×3x+5×x=40x= 9 . 答案:C 2.若 ξ~B(n,p)且 E(ξ)=6,D(ξ)=3,则 P(ξ=1)的值为( A.3· 2 -2 C.2-4 B.3· 2-10 D.2-8 )

1 解析:E(ξ)=np=6,D(ξ)=np(1-p)=3?p=2,n=12,P(ξ=1) 3 1 ?1?12 ? ? = 10. =C12 2 2
? ?

答案:B 3.若 P 为非负实数,随机变量 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2

P 则 E(ξ)的最大值为( A.1 2 C.3 )

1 2-P

P

1 2

3 B.2 D.2

1 1 3 解析:由 P≥0,2-P≥0,则 0≤P≤2,E(ξ)=P+1≤2. 答案:B 4. 设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的, 且概率都是 0.4, 则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为( A.0.4 C.0.43 B.1.2 D.0.6 )

解析:∵途中遇红灯的次数 X 服从二项分布,即 X~B(3,0.4), ∴E(X)=3×0.4=1.2. 答案:B 5.

(2013· 湖北卷)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的小正方体. 经过搅拌后, 从中随机取一个小正方体, 记它的涂漆面数为 X,则 X 的均值 E(X)=( )

126 A.125 168 C.125

6 B.5 7 D.5

9×6 54 3×12 33 27 解析: P(X=0)=125=125, P(X=1)= 125 =125, P(X=2)= 125 36 8 54 36 8 150 6 =125,P(X=3)=125,E(X)=125×1+125×2+125×3=125=5.故 选 B. 答案:B 6.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于 没有发芽的种子,每粒需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的 数学期望为( A.100 C.300 ) B.200 D.400

解析:记“不发芽的种子数为 ξ”,则 ξ~B(1 000,0.1), 所以 E(ξ)=1 000×0.1=100,而 X=2ξ, 故 E(X)=E(2ξ)=2E(ξ)=200. 答案:B 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.已知随机变量 x~N(2,σ2),若 P(x<a)=0.32,则 P(a≤x<4- a)=________.

解析: 由正态分布图象的对称性可得: P(a≤x<4-a)=1-2P(x<a)

=0.36. 答案:0.36 8.袋中有 3 个黑球,1 个红球.从中任取 2 个,取到一个黑球 得 0 分,取到一个红球得 2 分,则所得分数 ξ 的数学期望 E(ξ)= __________. 解析: 由题得 ξ 所取得的值为 0 或 2, 其中 ξ=0 表示取得的球为
2 C3 1 两个黑球,ξ=2 表示取得的球为一黑一红,所以 P(ξ=0)=C2=2, 4 1 C3 1 1 1 P(ξ=2)=C2=2,故 E(ξ)=0×2+2×2=1. 4

答案:1 9.抛掷两个骰子,至少有一个 4 点或 5 点出现时,就说这次试 验成功,则在 10 次试验中,成功次数 X 的期望是__________. 2 2 5 解析:由题意一次试验成功的概率为 1-3×3=9,10 次试验为 5 50 10 次独立重复试验,则成功次数 X~B(10,9),所以 E(X)= 9 . 50 答案: 9 三、解答题(共 55 分,解答应写出必要的文字说明、演算步骤或 证明过程) 10.(15 分)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一 个白球得 2 分,取出一个黑球得 1 分.现从该箱中任取(无放回,且 每球取到的机会均等)3 个球,设随机变量 X 为取出此 3 球所得分数 之和. (1)求 X 的分布列; (2)求 X 的数学期望 E(X). 解:(1)由题意得 X 取 3,4,5,6,且

3 1 2 C5 5 C4 · C5 10 P(X=3)=C3=42,P(X=4)= C3 =21, 9 9 2 1 C4 · C5 5 C3 1 4 P(X=5)= C3 =14,P(X=6)=C3=21. 9 9

所以 X 的分布列为 X P 3 5 42 4 10 21 5 5 14 6 1 21

(2)由(1)知 E(X)=3· P(X=3)+4· P(X=4)+5· P(X=5)+6· P(X=6) 13 =3. 11.(20 分)公安部修订发布《机动车驾驶证申领与使用规定》 , 出台了史上最严厉的扣分制度, 新规定从 2013 年 1 月 1 日起执行. 某 中学从高中三个年级选派 4 名教师和 20 名学生去参加文明交通宣传 活动,学生的名额分配如下: 高一年级 10 人 高二年级 6人 高三年级 4人

(1)若从 20 名学生中选出 3 人,求他们中恰好有 1 人是高一年级 学生的概率; (2)若将 4 名教师安排到三个年级(假设每名教师加入各年级是等 可能的,且各位教师的选择是相互独立的),记安排到高一年级的教 师人数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列和数学期望. 解:(1)设“他们中恰好有 1 人是高一年级学生”为事件 A,则
2 C1 15 10C10 P(A)= C3 =38. 20

(2)ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,4.由题意可知,每位教师选择高一 1 年级的概率均为3.

1 0 2 4 16 P(ξ=0)=C0 4( ) ( ) = 3 3 81, 1 1 2 3 32 P(ξ=1)=C1 4( ) ( ) = 3 3 81, 1 2 2 2 24 8 P(ξ=2)=C2 4( ) ( ) = 3 3 81=27, 1321 8 P(ξ=3)=C3 4( ) ( ) = 3 3 81, 14 1 P(ξ=4)=C4 4( ) = 3 81. 所以随机变量 ξ 的分布列为 ξ P 所以 16 32 24 8 1 4 Eξ=0×81+1×81+2×81+3×81+4×81=3. ——创新应用—— 12.(20 分)气象部门提供了某地区今年六月份(30 天)的日最高气 温的统计表如下: 日最高气温 t(单位:℃) 天数 t≤22 6 22<t≤28 12 28<t≤32 Y t>32 Z 0 16 81 1 32 81 2 8 27 3 8 81 4 1 81

由于工作疏忽,统计表被墨水污染,Y 和 Z 数据不清楚,但气象 部门提供的资料显示, 六月份的日最高气温不高于 32℃的频率为 0.9. 某水果商根据多年的销售经验, 六月份的日最高气温 t(单位: ℃) 对西瓜的销售影响如下表:

日最高气温 t (单位:℃) 日销售额 X (单 位:千克) (1)求 Y,Z 的值;

t≤22

22<t≤28

28<t≤32

t>32

2

5

6

8

(2)若视频率为概率,求六月份西瓜日销售额的期望和方差; (3)在日最高气温不高于 32℃时,求日销售额不低于 5 千元的概 率. 解:(1)由已知得:P(t≤32)=0.9, ∴P(t>32)=1-P(t≤32)=0.1, ∴Z=30×0.1=3,Y=30-(6+12+3)=9. 6 12 (2)P(t≤22)=30=0.2,P(22<t≤28)=30=0.4, 9 3 P(28<t≤32)=30=0.3,P(t>32)=30=0.1, ∴六月份西瓜日销售额 X 的分布列为 X P 2 0.2 5 0.4 6 0.3 8 0.1

∴E(X)=2×0.2+5×0.4+6×0.3+8×0.1=5, D(X) = (2 - 5)2×0.2 + (5 - 5)2×0.4 + (6 - 5)2×0.3 + (8 - 5)2×0.1 =3. (3)∵P(t≤32)=0.9,P(22<t≤32)=0.4+0.3=0.7, ∴ 由 条 件 概 率 得 : P(X≥5|t≤32) = P(22<t≤32|t≤32) = P?22<t≤32? 0.7 7 =0.9=9. P?t≤32?


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