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专题01:集合、映射、简易逻辑与函数(含答案)


专题一:集合、映射、简易逻辑与函数 【经典题例】 例 1:给出下列四个命题: (1)函数 y=ax(a>0 且 a≠1)与函数 y ? log (2)函数 y=x3 与 y=3x 的值域相同; (3)函数 y ?
1 2 ? 1 2 ?1
x

a

a ( a ? 0 且 a ? 1) 的定义域相同:
x

与y ?
-1

(1 ? 2 )
x

2

x?2

x

都是奇函数;

(4)函数 y=(x-1)2 与 y=2x 其中正确命题的序号是 [简要评述]

在区间 [ 0 , ?? ) 上都是增函数. .(把你认为正确的命题序号都填上)

①③

通过这几种命题的真假判断,进一步增强学生对比学习意识和数形结合思想 例 2:已知 f(x)是偶函数,且 f(1)=993,g(x)=f(x—1)是奇函数 求 f(2005)的值。(993) [简要评述] 利用抽象形式推理出函数的重要性质(以 4 为周期) 例 3:关于 x 的方程 2 x ? 4 ? ax ? b ? 0 , (1) 对于任意 a ? R , 当且仅当 b ? _____ 恒有实数解;key: [ 4 , ?? ) (2) 当且仅当 _____ 时恰有两个实数解;key: ? 2 ? a ? 2 , 2 a ? b ? 0 (3) 当且仅当 _____ 时由无穷多个实数解;key: a ? 2 , b ? ? 4 或 a ? ? 2 , b ? 4 (4) 当且仅当 _____ 时无实数解。Key: ? 2 ? a ? 2 且 2 a ? b ? 0 [简要评述] 通过此题分析增强学生的属性结合思想意识,培养灵活机动的思维品质。 例 4:已知集合 A ? ?? 1, 2 ?, B ? ?x | mx ? 1 ? 0 ? ,若 A∪B=A,则符合条件的 m 的实数值组成 的集合 是 __________key: {? [简要评述] 在高考应试能力中, ,审题是关键,通过此题训练学生思维的严谨性。
1 2 , 0 ,1}

1

例 5:已知函数

f (x) ? a

x

?

x?2 x ?1

a ? 1.

(1)证明:函数

f ( x ) 在 ( ? 1, ?? ) f ( x) ? 0

上为增函数; 没有负数根.

(2)用反证法证明方程 [思路分析]

证明:设 ? 1 ? x 1 ? x 2 ,? 0 ? x 1 ? 1 ? x 2 ? 1,?

1 x1 ? 1
x1

?

1 x2 ? 1
x2

??

3 x1 ? 1

? ?

3 x2 ? 1

? ) (1

x 又? a ? 1,? y ? a 在 ( ? 1, ?? ) 上是增函数。 ? a

? a

? ) (2 ,

由(1) (2)得? a 是增函数。

x2

?1?

3 x1 ? 1

? a

x2

?1?

3 x2 ? 1

即 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ), ? f ( x ) ( ? 1, ?? ) 上

( 反 证 法 ) 设
a
x0

f (x) ? 0
? a
x0

存 在 负 数 根 , :
? ( 0 ,1)

x0 ( x0 ? 0)

, 则

?

x0 ? 2 x0 ? 1

? 0? ?

x0 ? 2 x0 ? 1

? ? ? ? ? ? ? ?

x0 ? 2 x0 ? 1 x0 ? 2 x0 ? 1

? 0

? 1 ? x0 ? 2 ? 1 ? ? ? 1 ? x 0 ? ( ,2 ) x 0 ? ? 1或 x 0 ? 2 ? ?1 2 ?

,又

x 0 ? 0 矛盾,所以假

设不成立。 则 f ( x ) ? 0 没有负数根。 [简要评述]通过(1)的证明让学生在处理函数单调性的证明时,能充分利用几种基本函数 的性质直接处理,同时增强应变能力训练,通过(2)的证明使学生增强对反证法这种重 要数学思想方法的认识。

例 6:设 (1)求

f (x) ? (

x ?1 x

)

2

( x ? 0)
?1

.

f ( x ) 的反函数 f

(x)


?1

(2)若 x

? 2

时,不等式 ( x ? 1) f

( x) ? a (a ?

x)

恒成立,试求实数 a 的取值范围.

[思路分析]

2

(1) x ? 0 ? y ? ( (2) ( x ? 1) f
? x ? 2 ,?
?1

x ?1 x

) ?
2

y ?

x ?1 x

? x ?

1 y ?1

? f

?1

(x) ?

1 x ?1
2

( x ? 1)

( x) ? a (a ?

x) ?

x ?1? a ? a
2

x ? ( a ? 1)

x ? a ? 1? ?

x ?

2 ,显然 a ? 1 ? 0

1 2

0

当 a ? 1 ? 0 时, ? ? 当 a ? 1 ? 0 时, ? ?

x ? a ?1 x ? a ?1

0

? a ?1? 0 ? a ? ? ,综上所述: ? 1 ? a ? 1 ? ? ?a ? 1 ? 2

2

[简要评述] 该题考查学生对函数与不等式的结合点的认识与处理能力,培养学生的转化能力及分类 讨论思想。 例 7:高三某班 52 名学生全部参加绿化美化环境的志愿者行动,这次行动要求完成栽 400 株花和种 200 棵树的任务,据经验如果栽花每个学生每小时可以栽 3 株,如果植树每个学 生每小时可以值 1 棵,现在把这 52 名学生分成甲乙两组,甲组只栽花,乙组只植树,并 且同时开始工作,为了在最短时间内完成这项任务,两组各应安排多少名同学?并论述这 种分组的合理性。 解:设甲组 x 人,乙组 ( 52 ? x ) 人, 1 ? x ? 52 且 x ? N , 据已知,栽花总用时为 f 1 ( x ) ?
400 3x

小时,植树总用时为 f 2 ( x ) ?

200 52 ? x

小时,

这样完成整个任务的时间,应该是 f 1 ( x ) 和 f 2 ( x ) 的较大者, 在 区 间 [1 , 52] 上 , 函 数 f 1 ( x ) 为 减 函 数 , f 2 ( x ) 为 增 函 数 , 为 使 整 体 最 少 , 应 有 | f 1 ( x ) ? f 2 ( x ) |最小,不妨先解
400 3x ? 200 52 ? x

,得 x 0 ? 20 . 8

因为 x 0 ? 20 . 8 不是整数,所以要比较两函数在 20 . 8 临近整数的函数值,

当 x ? 20 时,| f 1 ( 20 ) ? f 2 ( 20 ) | ? 0 . 42 ; 当 x ? 21 时,| f 1 ( 21 ) ? f 2 ( 21 ) | ? 0 . 1 。 因此,甲组为 21 人,乙组为 31 人,完成任务时间最短。
3

[简要评述] 增强应用意识,提高学生学习数学的兴趣 例 8:已知集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的全体:存在非零常数 T,对任意 x∈R, 有 f (x+T)=T f (x)成立. (1)函数 f (x)= x 是否属于集合 M?说明理由; (2) 设函数 f (x)= a x (a>0, a≠1)的图象与 y=x 的图象有公共点, 且 证明: (x) = a x∈M. f [思路分析] (1)对于非零常数 T,f (x+T)=x+T, Tf (x)=Tx. 因为对任意 x∈R,x+T= Tx 不能恒成立,所以 f(x)= x ? M . (2)因为函数 f (x) = a x(a>0 且 a≠1)的图象与函数 y=x 的图象有公共点, 所以方程组: ?
?y ? ax ?y ? x

有解,消去 y 得 ax=x,

显然 x=0 不是方程 ax=x 的解,所以存在非零常数 T,使 aT=T. 于是对于 f (x)=ax 有 f ( x ? T ) ? a [简要评述] 开放性、探索性问题是当今高考热点问题,通过此题培养学生科学探索精神。
x ?T

? a

T

?a

x

? T ?a

x

? Tf ( x ) 故 f (x) = a ∈M.

x

【热身冲刺】 一、选择题: 1.已知集合 A ? { y | y ? 2 (A) A ? B ? { 2 , 4}
x

x ? R} B ? { y | y ? x

2

x ? R } 则(

D ) (D) A ? B
?

(B) A ? B ? { 4 ,16 }

(C)A=B

2.“p 或 q 是假命题”是“非 p 为真命题”的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 3.已知函数 f ( x ) ? lg
1? x 1? x

( A ) (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

,若 f ( a ) ? b ,则 f ( ? a ) ?
1 b 1 b

( B )

(A) b

(B) ? b

(C)

(D)

4.已知函数 y ? f ( x )( a ? x ? b ) ,集合 A={ ( x , y ) | y ? f ( x )( a ? x ? b ) },B={ ( x , y ) | x ? 0} , 则 A ? B 的元素个数为
4

( C )

(A)0

(B)1

(C)0 或 1

(D)1 或 2

5.在 x 克 a%的盐水中,加入 y 克 b%的盐水,浓度变成 c%(a,b>0,a≠b),则 x 与 y 的函数 关系式是 (A)y=
c?a c?b

( B ) x (B)y=
c?a b?c

x

(C)y=

a ?c b?c

x


(D)y=

b?c c?a

x

6.已知(2,1)在函数 f(x)= ax ? b 的图象上,又知 f 1 ( 5 ) =1,则 f(x)等于 ( A ) (A) ? 4 x ? 9 (B) ? 3 x ? 7 (C) 3 x ? 5 (D) 4 x ? 7 ( C )

7.函数 y ? f ( x ? 1) 和 y ? ? f (1 ? x )( x ? R ) 的图象 (A)关于原点对称 (C)关于点(1,0)对称 8. 设函数 f ( x ) ?
x ?1 x ?1

(B)关于直线 x=0 对称 (D)关于直线 x=1 对称
?1

的反函数为 f

( x ) ,若 g ( x ) ? f

?1

( ? x ) ,则 g ( x ) 是 (

B )

(A) ( ?? , ?? ) 上增函数 (C) (1, ?? ) 上减函数
2

(B) ( ?? , ? 1) 上增函数 (D) ( ?? , ? 1) 上减函数

9.若函数 f ( x ) ? ax ? b | x | ? c ( a ? 0 ) 的定义域 R 分成了四个单调区间,则实数 a , b , c 满 足 (A) b ? 4 ac ? 0 , a ? 0
2

( C ) (B) b ? 4 ac ? 0
2

(C) ?

b 2a

? 0

(D) ?

b 2a

? 0

10.已知命题 p :若 S n 是无穷等差数列 { a n } 的前 n 项和,则点列 { n , S n ) 在一条抛物线上, 命题 q :若实数 m ? 1, 则 mx
2

? ( 2 m ? 2 ) x ? 1 ? 0 的解集是 R。又知 s 是 p 的逆否命题,

r 是 q 的逆命题,那么下列判断正确的是

( C ) (B) s 是真命题, r 是真命题 (D) s 是真命题, r 是假命题

(A) s 是假命题, r 是真命题 (C) s 是假命题, r 是假命题 二、填空题:

2 2 11.下列命题(1) ? ? { 0}, ( 2 )? ? { x | x ? 1, x ? R }, ( 3 ){( x , y ) | x ? 1} ? { ? 1,1} ,

( 4 ){ x | x ? 2 k ? 1, k ? Z } ? { x | x ? 4 k ? 1, k ? Z } ( 5 ){ x | x ? 4 k , k ? Z } ? { x | x ? 12 k , k ? Z }
?

中正确的是 12.方程 4 ? 1 ? 2
x x

(1) (5) (3)
? 19 的解集为

(把所有错误的序号全填上) {2}
5

13. A= { ? ? , ? 设

?
3

,0 ,

? ?
, 3 2

B= } , {? 1, 0 ,

1 2

定义 f : x ? cos x ,1} , ,则 x =
?

是 A 到 B 的函数,g : x ? ? x

是 B 到 A 的映射,若 g [ f ( x )] ?

?
2

?
3

? 2 ? x ? 1, x ? 0 , ? , 若 f ( x 0 ) ? 1, 则 x 0的取值范围是 14. 设函数 f ( x ) ? ? 1 ? x 2 , x ? 0. ?

( ?? , ? 1) ? (1, ?? )

三、解答题: 15.已知函数 g ( x ) ?
x?2 x , h(x) ? x ?
2

x ? 2 , f ( x ) 是 g ( x ) 与 h ( x ) 的积,

求: f ( x ) 解析式,并画出其图象; 解:? f ( x ) ? g ( x ) ? h ( x ) ? x ( x ? 2 ), ? f ( x ) ? x ? 2 x ( x ? ? 2 且 x ? 0 )
2

图略 16. .函数 求使 A ?
f (x) ? 2? x x ?1

的定义域为集合 A , 关于 x 的不等式 2

2 ax

?2

a?x

( a ? R ) 的解集为 B ,

B ? A

的实数 a 的取值范围.

解: A ? { x | 1 ? x ? 2} , B ? { x | ( 2 a ? 1) x ? a } 则当 a ?
1 2

时,B ? { x | x ?

a 2a ? 1

}; a ? 当

1 2

时, B=R; a ? 当

1 2

时,B ? { x | x ?

a 2a ? 1

}

又? A ? B ? A ? A ? B ,则
1 ? a ? ? 1 2 2 ? a?( , ) ? a 2 3 ? ? 2 ?1 ? 2 a 1 ? ? a ? 2 1 ? a ? ( ?? , ) ? 1 2 ? a ? 1, a ? 2 ? 1 ? a ? ? 2 ? a ? ?1 ? 2a ? 1



?a ?

1 2

,A? B ? A







综上所述: a ? ( ?? , )
3

2

6

17.对于函数 f ( x ) ? x ? ax ? b ( a , b ? R ) ,当 x ? [? 1,1] 时, | f ( x ) | 的最大值为 m ,
2

试用反证法证明: m ? 证明:假设 m ?
1 2

1 2

,则 f (1) ?

1 2

, f ( ? 1) ?

1 2

,所以可得

1 ? ? f ( 0 ) ? b ? 2 ? (1) ? ? ?? 1 ? (3)得 ? ? 1 ? a ? b ? ? ( 2 ) ,由(2) 2 ? ?? ? ? 1 ? a ? b ? 1 ? (3) ? 2 ?
? b ? 1 2

3 2 3 2

? a?b ? ? ?b?a ? ?

1 2 1 2

? ? 3 ? 2b ? ? 1 ? ? 3 2 ?b ? ? 1 2

与(1)矛盾,所以原命题成立。
ax
2

18.已知函数 g ( x ) ? 义域和值域。

? 8x ? b x ?1
2

的值域是[1,9],试求函数 f ( x ) ?

ax

2

? 8 x ? b 的定

解:? g ( x ) 的定义域为 R,令 y ? g ( x ) ,则有 ( y ? a ) x ? 8 x ? y ? b ? 0 .
2

若 y ? a ,由 ? ? 0 , 得 64 ? 4 ( y ? a )( y ? b ) ? 0 , 即 y ? ( a ? b ) y ? ab ? 16 ? 0 。
2

? 1 ? 9 ? a ? b , 且 1 ? 9 ? ab ? 16 ,? a ? b ? 5 。

若 y ? a ,取 a ? 5 ,则 y ? [1,9 ] 成立。
? f ( x) ?
2

5 x ? 8 x ? 5 ,而 ? ? 64 ? 100 ? 0 ,? 5 x ? 8 x ? 5 恒成立,
2

/

2

又 5 x ? 8 x ? 5 ? 5( x ?
2

8 5

x?

16 25

)?

9 5 3 5

?

9 5

? 函数 f ( x ) 的定义域为 R,值域是 [

5 , ?? )
4 2

19.是否存在常数 k ? R ,使 f ( x ) ? x ? ( 2 ? k ) x ? ( 2 ? k ) ,在 ( ?? , ? 1] 上是减函数, 且在
[ ? 1, 0 ) 上是增函数?
3 提示:由题意知 x ? ? 1, 是函数 f ( x ) 的一个极值点,由 f ? ( x ) ? 4 x ? 2 ( 2 ? k ) x , 3 令 f ? ( x ) | x ? ? 1 ? 0 , 得 k ? 4 , ? f ? ( x ) ? 4 x ? 4 x ? 4 x ( x ? 1)( x ? 1) ,故

7

当 x ? ( ?? , ? 1] 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 为减函数; 当 x ? [? 1, 0 ) 时, f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 为增函数,? k ? 4 , 适合题意 20. 已知集合 A={x|x2+3x+2 ≥0},B={x|mx2-4x+m-1>0 ,m∈R}, 若 A∩B= ? , 且 A∪B=A,试求实数 m 的取值范围. [思路分析]由已知 A={x|x2+3x+2 ? 0 },得 A ? { x | x ? ? 2 或 x ? ? 1}, 由 A ? B ? ? 得: (1)∵A 非空 ,∴B= ? ; (2)∵A={ x | x ? ? 2 或 x ? ? 1 } , ∴ B ? { x | ? 2 ? x ? ? 1}. 另 一 方 面 ,
A ? B ? A ,? B ? A ,

于是上面(2)不成立, 否则 A ? B ? R , 与题设 A ? B ? A 矛盾. 由上面分析知, ? . B= 由已知 B= ?x | mx
2

? 4 x ? m ? 1 ? 0 , m ? R ,结合 B= ? ,
2

?

得对一切 x ? R , mx 有?
?m ? 0 ?16 ? 4 m ( m ? 1) ? 0

? 4 x ? m ? 1 ? 0 恒成立,于是,
1? 2 17 ? m 的取值范围是 { m | m ?
1? 2 17

解得 m ?

}

8



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