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高一数学必修1试题附答案详解


高一数学必修 1 试题
1.已知全集 I={0,1,2},且满足 CI (A∪B)={2}的 A、B 共有组数 2.如果集合 A={x|x=2kπ +π ,k∈Z},B={x|x=4kπ +π ,k∈Z},则集合 A,B 的关系 3.设 A={x∈Z||x|≤2},B={y|y=x +1,x∈A},则 B 的元素个数是 4.若集合 P={x|3<x≤22}, 非空

集合 Q={x|2a+1≤x<3a-5},则能使 Q ? (P∩Q)成立的所 有实数 a 的取值范围为 5.已知集合 A=B=R,x∈A,y∈B,f:x→y=ax+b,若 4 和 10 的原象分别对应是 6 和 9, 则 19 在 f 作用下的象为 3x-1 6.函数 f(x)= (x∈R 且 x≠2)的值域为集合 N, 则集合{2,-2,-1,-3}中不属于 N 的元 2-x 素是 7.已知 f(x)是一次函数,且 2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则 f(x)的解析式为 8.下列各组函数中,表示同一函数的是 A.f(x)=1,g(x)=x0 x≥0 ?x C.f(x)=|x|,g(x)=? -x x<0 ? x2-4 B.f(x)=x+2,g(x)= x-2 D.f(x)=x,g(x)=( x )2
2

?x ? 9. f(x)=?π ? ?0

2

x>0 x=0 ,则 f{f[f(-3)]}等于 x<0

x 10.已知 2lg(x-2y)=lgx+lgy,则 的 y 11.设 x∈R,若 a<lg(|x-3|+|x+7|)恒成立,则 a 取值范围是

12.若定义在区间(-1,0)内的函数 f(x)=log2a(x+1)满足 f(x)>0,则 a 的取值范围是

1

高一数学必修 1 试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.已知全集 I={0,1,2},且满足 CI (A∪B)={2}的 A、B 共有组数 A.5 B.7 C.9 D.11 2.如果集合 A={x|x=2kπ +π ,k∈Z},B={x|x=4kπ +π ,k∈Z},则 A.A B B.B A C.A=B D.A∩B= ? 2 3.设 A={x∈Z||x|≤2},B={y|y=x +1,x∈A},则 B 的元素个数是 A.5 B.4 C.3 D.2 4.若集合 P={x|3<x≤22}, 非空集合 Q={x|2a+1≤x<3a-5},则能使 Q ? (P∩Q)成立的所 有实数 a 的取值范围为 A.(1,9) B.[1,9] C.[6,9 ) D.(6,9] 5.已知集合 A=B=R,x∈A,y∈B,f:x→y=ax+b,若 4 和 10 的原象分别对应是 6 和 9, 则 19 在 f 作用下的象为 A.18 B.30 C. 27 2 D.28

3x-1 6.函数 f(x)= (x∈R 且 x≠2)的值域为集合 N, 则集合{2,-2,-1,-3}中不属于 N 的元 2-x 素是 A.2 B.-2 C.-1 D.-3 7.已知 f(x)是一次函数,且 2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则 f(x)的解析式为 A.3x-2 B.3x+2 C.2x+3 D.2x-3 8.下列各组函数中,表示同一函数的是 A.f(x)=1,g(x)=x0 x≥0 ?x C.f(x)=|x|,g(x)=? ?-x x<0 x2-4 B.f(x)=x+2,g(x)= x-2 D.f(x)=x,g(x)=( x )2

?x ? 9. f(x)=?π ?0 ?
A.0

2

x>0 x=0 ,则 f{f[f(-3)]}等于 x<0 B.π C.π2 D.9

x 10.已知 2lg(x-2y)=lgx+lgy,则 的值为 y A.1 B.4 C.1 或 4 D. 1 或4 4

11.设 x∈R,若 a<lg(|x-3|+|x+7|)恒成立,则 A.a≥1 B.a>1 C.0<a≤1

D.a<1

12.若定义在区间(-1,0)内的函数 f(x)=log2a(x+1)满足 f(x)>0,则 a 的取值范围是 1 A.(0, ) 2

1? B.(0, ? 2?

C.(

1 ,+∞) 2

D.(0,+∞)

2

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中横线上) 13.若不等式 x +ax+a-2>0 的解集为 R,则 a 可取值的集合为__________. 14.函数 y= x2+x+1 的定义域是______,值域为__ ____. 2 1 15.若不等式 3 x ? 2 ax >( )x+1 对一切实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为___ 3
2

___.

?3 x ?1 ? 2 ? 16. f(x)= ? ?31? x ? 2 ?
17.函数 y=
x

x ? (??,1? x ? ?1,?? ?

,则 f(x)值域为_____

_.

1 的值域是__________. 2 +1

18.方程 log2(2-2x)+x+99=0 的两个解的和是______. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 66 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.全集 U=R,A={x||x|≥1},B={x|x2-2x-3>0},求(CUA)∩(CUB).

20.已知 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足 f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1. (1)求证:f(8)=3 (2)求不等式 f(x)-f(x-2)>3 的解集.

21.某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出,当每辆车的 月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需维护费 150 元, 未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?

22.已知函数 f(x)=log 1 2x-log 1 x+5,x∈[2,4] ,求 f(x)的最大值及最小值.
4 4

a - 23.已知函数 f(x)= 2 (ax-a x)(a>0 且 a≠1)是 R 上的增函数,求 a 的取值范围. a -2

3

答案
1、由题知 A∪B={0,1},所以 A= ? 或{0 }或{1}或{0,1};对应的集合 B 可为{0,1}或{1}, {0,1}或{0},{0,1}或 ? ,{0},{1},{0,1} 2、解:当 k 为偶数即 k=2m,时 A={x|x=4mπ +π ,m∈Z},为奇数即 k=2m+1,时 A={x|x =4mπ +2π ,m∈Z},故.B A;注意 m , k 都是整数,虽字母不同但意义相同 3、解:A={-2,-1, 0,1,2},则 B={5,2, 1} 4、解:由 Q ? (P∩Q)知 Q ? P,故

2a ? 1 ? 3 3a ? 5 ? 22 2a ? 1 ? 3a ? 5

得 6<a≤9

5、解:由题知

4 ? 6a ? b 10 ? 9a ? b

得 a=2 b=-8,19×2-8=28

6、解:令 y=

3x-1 2y ?1 得 x= ,当 y=-3 时 x 不存在,故-3 是不属于 N 的元素 2-x 3? y

7、解:设 f(x)= ax+b,则 2(2a+b) -3(a+b) =5, 2(0a+b)-[(-1)a+b] =1, 解得 a=3 b=-2 故 f(x)= 3x-2 8、解:A. f(x)定义域为 R,g(x)定义域为 x≠0 B. f(x)定义域为 R,g(x)定义域为 x≠2 C f(x)去绝对值即为 g(x),为同一函数 D f(x)定义域为 R,g(x)定义域为 x≥2 9、解:-3<0,则 f(-3)=0,f(0)=π ,π >0,f(π )=π2,f{f[f(-3)]}=π2 x 1 10、解(x-2y) 2=xy,得(x-y) (x-4y) =0,x=y 或,x=4y 即 = 或 4 y 4 11、解:要使 a<lg(|x-3|+|x+7|)恒成立,须 a 小于 lg(|x-3|+|x+7|)的最小值,由于 y=lg x 是增函数,只需求|x-3|+|x+7|的最小值,

去绝对值符号得|x-3|+|x+7|=

? 2 x ? 7 (x ? ?7) 最小值为 10 10 (?7 ? x ? 3) 2x ? 4 ( x ? 3) 最小值为 10

故 lg(|x-3|+|x+7|)的最小值为 lg 10=1,所以.a<1 12、解:由 x ? (-1,0),得 x+1 ? (0,1),要使 f(x)>0,由函数 y=logax 的图像知 1 0<2a<1, 得 0<a< 2

4

1、由题知 A∪B={0,1},所以 A= ? 或{0 }或{1}或{0,1};对应的集合 B 可为{0,1}或{1}, {0,1}或{0},{0,1}或 ? ,{0},{1},{0,1} 2、解:当 k 为偶数即 k=2m,时 A={x|x=4mπ +π ,m∈Z},为奇数即 k=2m+1,时 A={x|x =4mπ +2π ,m∈Z},故.B A;注意 m , k 都是整数,虽字母不同但意义相同 3、解:A={-2,-1, 0,1,2},则 B={5,2, 1} 4、解:由 Q ? (P∩Q)知 Q ? P,故

2a ? 1 ? 3 3a ? 5 ? 22 2a ? 1 ? 3a ? 5

得 6<a≤9

5、解:由题知

4 ? 6a ? b 10 ? 9a ? b

得 a=2 b=-8,19×2-8=28

6、解:令 y=

3x-1 2y ?1 得 x= ,当 y=-3 时 x 不存在,故-3 是不属于 N 的元素 2-x 3? y

7、解:设 f(x)= ax+b,则 2(2a+b) -3(a+b) =5, 2(0a+b)-[(-1)a+b] =1, 解得 a=3 b=-2 故 f(x)= 3x-2 8、解:A. f(x)定义域为 R,g(x)定义域为 x≠0 B. f(x)定义域为 R,g(x)定义域为 x≠2 C f(x)去绝对值即为 g(x),为同一函数 D f(x)定义域为 R,g(x)定义域为 x≥2 9、解:-3<0,则 f(-3)=0,f(0)=π ,π >0,f(π )=π2,f{f[f(-3)]}=π2 x 1 10、解(x-2y) 2=xy,得(x-y) (x-4y) =0,x=y 或,x=4y 即 = 或 4 y 4 11、解:要使 a<lg(|x-3|+|x+7|)恒成立,须 a 小于 lg(|x-3|+|x+7|)的最小值,由于 y=lg x 是增函数,只需求|x-3|+|x+7|的最小值,

去绝对值符号得|x-3|+|x+7|=

? 2 x ? 7 (x ? ?7) 最小值为 10 10 (?7 ? x ? 3) 2x ? 4 ( x ? 3) 最小值为 10

故 lg(|x-3|+|x+7|)的最小值为 lg 10=1,所以.a<1 12、解:由 x ? (-1,0),得 x+1 ? (0,1),要使 f(x)>0,由函数 y=logax 的图像知 1 0<2a<1, 得 0<a< 2 13、解:要不等式的解集为 R,则△<0,即 a2-4a+a<0,解得 a ? ?

3 3 1 14、要使 x2+x+1 由意义,须 x2+x+1≥0, 解得 x ? R, 由 x2+x+1=(x+ )2+ ≥ ,所以 2 4 4
函数定义域为 R 值域为[ 15、解:原不等式可化为 3 x
2

3 ,+∞) 2 >3
-(x+1)

? 2 ax

对一切实数 x 恒成立,须 x2-2ax>-(x+1) 对一切实

1 3 数 x 恒成立,即 x2-(2a-1)x+1> 0 对一切实数 x 恒成立,须△<0 得- < a < 2 2

1 是增函数,当 x≤1 时 0<3x<3,-2<3x-1-2≤-1,而 31-x-2=3·3-x 3 1 是减函数,当 x>1 时 0<3-x< ,-2<31-x-2<-1,故原函数值域为(-2,-1] 3
16、解:因 3x-1-2=3x ?
5

1 x x 17、解:∵ 2 >0, ∴2 +1>1 ∴0< x <1 函数值域为(0,1) 2 +1 解:设方程 log2(2-2x)+x+99=0 的两个解为 x1,x2, ∵log2(2-2x)+x+99=0 ∴log2(2-2x)=-( x+99) ∴2-( x+99)= 2-2x ∴
令 t=2x 方程 2 t -2
-99
x

1 2
x

x ? 99

= 2-2x

∴299(2x)2-21002x+1=0

t+1=0 设此方程两根为 t1,t2, -99 x1+x2 -99 ∴t1t2=2 ∴2 1?2 2=2 ∴2 =2 ∴x1+x2=-99 故答案为:-99 19.解:全集 U=R,A={x||x|≥1},∴CUA={x|x<1} , B={x|x2-2x-3>0}={x| x≤-1 或 x≥3},∴CUB={x|-1<x<3} ∴(CUA)∩(CUB)={x|-1<x<1} 20(1) 【证明】 由题意得 f(8)=f(4×2)=f(4)+f(2)=f(2×2)+f(2)=f(2)+f(2)+f(2)= 3f(2) 又∵f(2)=1 ∴f(8)=3 (2)【解】 不等式化为 f(x)>f(x-2)+3 ∵f(8)=3 ∴f(x)>f(x-2)+f(8)=f(8x-16) 16 ?8( x ? 2) ? 0 ∵f(x)是(0,+∞)上的增函数∴ ? 解得 2<x< 7 ? x ? 8( x ? 2) 21.【解】 (1)当每辆车月租金为 3600 元时,未租出的车辆数为 所以这时租出了 88 辆. (2)设每辆车的月租金定为 x 元,则公司月收益为 x-3000 x-3000 f(x)=(100- )(x-150)- ×50 50 50 x2 1 2 整理得:f(x)=- +162x-2100=- (x-4050) +307050 50 50 ∴当 x=4050 时,f(x)最大,最大值为 f(4050)=307050 元 22.【解】 令 t=log 1 x
4

99 2

100

3600-3000 =12, 50

∵x∈[2,4] ,t=log 1 x 在定义域递减有
4

log 1 4<log 1 x<log 1 2,
4 4 4

1 1 2 19 ∴t∈[-1,- ]∴f(t)=t2-t+5=(t- ) + , 2 2 4

1 1 23 t∈[-1,- ]∴当 t=- 时,f(x)取最小值 当 t=-1 时,f(x)取最大值 7. 2 2 4 23.【解】 f(x)的定义域为 R,设 x1、x2∈R,且 x1<x2 则 f(x2)-f(x1)= =
2

a x ?x x ?x (a 2 -a 2 -a 1 +a 1 ) a2-2

a 1 1 x x (a 2 -a 1 )(1+ x1 x2 ) 由于 a>0,且 a≠1,∴1+ x1 x2 >0 a -2 a ?a a a
x2

∵f(x)为增函数,则(a2-2)( a 解得 a> 2 或 0<a<1

-a 1 )>0 于是有 ?

x

? 2 ? 2 ?a ? 2 ? 0 ?a ? 2 ? 0 , 或? x ?a x2 ? a x1 ? 0 ?a 2 ? a x1 ? 0 ? ?

6


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