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四川省成都外国语学校2015-2016学年高一数学下学期期中试题文(新)


成都外国语学校高 2018 届第二学期半期考试 文科数学试题
一、选择题:(每小题 5 分共 60 分,每个题共有 4 个选项,其中只有一个选项是正确的,请把 正确选项的填在答题卷上,否则不得分) 1.由 a1 ? 1, d ? 3 确定的等差数列 {a n } ,当 an ? 298 时序号 n ? ( A.99 B.100 C.96 ) D.101

/>? ? ? ? 2.已知向量 a ? ( x ? 5, 3), b ? (2, x), 且a ? b , 则 x ? ( )
A.2 或 3
? ?

B.-1 或 6 )

C. 6

D.2

3. sin15 ? cos15 的值是( A.

1 2

B.

3 2

C.

6 2

D .

3 2
)

4.在 ?ABC 中,已知 A, B, C 成等差数列,且 b ? 3 ,则 A.2 B.

5.设平面向量 m ? ? ?1,2? , n ? ? 2, b ? ,若 m / / n ,则 m ? n 等于( A. 5 B. 10 C. 13 D. 3 5

??

1 2

?

??

sin A ? sin B ? sin C ?( a?b?c 3 C. 3 D. 3

?

?? ?



6.在 ?ABC 中, tan A 是以 ?4 为第三项, 4 为第七项的等差数列的公差, tan B 是以 2 为公差, ) 9 为第五项的等差数列的第二项,则这个三角形是( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 7.已知向量 a ? (cos x ? sin x, 2) ,b ? (cos x ? sin x,- 2) (x ? R) ,则函数 f ( x) ? a ? b 是 ( ) A.周期为 ? 的偶函数 B.周期为 ? 的奇函数 D.周期为

?

?

? ?

? C.周期为 的偶函数 2
8.在 ?ABC 中, sin A ?

? 的奇函数 2

5 3 ) , cos B ? ,则 cos C ? ( 13 5 33 16 56 16 56 A. ? B. ? C. ? D. ? 或 65 65 65 65 65 9.如右图, A, B 两点都在河的对岸(不可到达),为了测量 A, B 两点间的距离,选取一条基 线 CD ,测得: CD ? 200m, ?ADB ? ?ACB ? 300 , ?CBD ? 600 ,则 AB ? ( ) A 200 3 m A. B . 200 3 3 C. 100 2m D.数据不够,无法计算
10.设 a, b, c 为三角形 ABC 三边长, a ? 1, b ? c , D

B

C

1

若 logc?b a ? logc?b a ? 2logc?b a logc?b a ,则三角形 ABC 的形状为( A.锐角三角形



B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 3 3 3 11.已知 ?ABC 的三边 a , b, c 满足: a ? b ? c ,则此三角形是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 3 12.有以下命题:①对任意的 ? ? R 都有 sin 3? ? 3 sin ? ? 4 sin ? 成立;②对任意的 ?ABC 都有等 式 a ? b cos A ? c cos B 成立;③满足“三边是连续的三个正整数且最大角是最小的 2 倍”的三角形存 在且唯一;④若 A, B 是钝角 ?ABC 的二锐角,则 sin A ? sin B ? cos A ? cos B 。其中正确的命题的 个数是( ) A.4 B.3 C . 2 D.1 二、填空题:(每小题 4 分,共 16 分,请把结果填在答卷上,否则不给分) 13 . 已 知 数 列 1, a1 , a2 ,9 是 等 差 数 列 , 数 列 1, b1 , b2 , b3 ,9 是 等 比 数 列 , 则 _____________. 14 . 已 知 _________.

b2 的值为 a1 ? a2

? 3 12 3 ? ? ? ? ? ? , cos ?? ? ? ? ? , sin ?? ? ? ? ? ? , 则 sin ? ? cos ? 的 值 2 4 13 5

sin 2 a8 ? sin 2 a4 ?1 15.设等差数列 ?an ? 的公差 d ? (0, ,当 n ? 8 时, ?an ? 的前 n 项 1) ,且 sin(a4 ? a8 )
和 S n 取得最小值,则 a1 的取值范围是__________. 16.如图,定圆 C 的半径为 4,A 为圆 C 上的一个定点,B 为圆 C 上的动点,若点 A,B,C 不共线,且 | AB ? t AC |?| BC | 对任意的 t ? (0,??) 恒成立,则 AB ? AC = 三、解答题: 17. (文)(10 分)化简: tan 700 sin800 ( 3 tan 200 ? 1) ; 18.(12 分)已知 a ? (cos ?,sin ?) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? ? . (Ⅰ) 求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直; (Ⅱ)若 ka ? b 与 a ? k b 的模相 等,求 ? ? ? 的值 ( k 为非零常数) . .

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

n2 ? n ,又 2 (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)求数列 {bn } 的前 n 项和 an ? lo g 2 bn 。
19 . (12 分 ) 已 知 数 列 {a n } 中 的 前 n 项 和 为 S n ?

北 E A
600 3km

Tn 。
20.(12 分)如图,一架飞机以 600km / h 的速度,沿方位角 60 0 的航向 从 A 地出发向 B 地飞行,飞行了 36min 后到达 E 地,飞机由于天气原 因按命令改飞 C 地,已知 AD ? 600 3km, CD ? 1200km, BC ? 500km , 且 ?ADC ? 300 , ?BCD ? 1130 。问收到命令时飞机应该沿什么航向飞 3 行,此时 E 地离 C 地的距离是多少?(参考数据: tan 370 ? ) 4 D

500 km C
1130

30 0

1200km

a2 ? c2 ? b2 cos B ? ? 2ac
2

a2 ? c2 ?

2

21. (12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin 其图象的两个相邻对称中心的距离为

?x ??
2

cos

?x ??
2

? sin 2

?x ??
2

(? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

).

? ? , 且过点 ( ,1) .(I) 函数 f ( x) 的解析式;(Ⅱ) 在 2 3
2 2 2 sin C ? b2 ? a2 ? c 2 . 且 2sin A ? sin C c ? a ? b

△ABC 中 , 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b ,c. 已 知

f ( A) ?

1? 3 ,求角 C 的大小. 2

? ,半径为 R ? 200m ,房 3 产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼,为使得地皮的使用率最大,准备了两种设计方 案如图,方案一:矩形 ABCD 的一边 AB 在半径 OP 上, C 在圆弧上, D 在半径 OQ ;方案二:矩 形 EFGH 的顶点在圆弧上,顶点 G , H 分别在两条半径上。请你通过计算 ,为房产商提供决策建议。 O Q
22.(12 分)一房产商竞标得一块扇形 OPQ 地皮,其圆心角 ?POQ ? D O A 方案一 H G

C B P P

Q E 方案二 F

3

4

成都外国语学校高 2018 届下期半期考试 文科数学试题 命题人:李斌 审题人:文军 一、选择题:(每小题 5 分共 60 分,每个题共有 4 个选项,其中只有一个选项是正确的,请把 正确选项的填在答题卷上,否则不得分) 1.由 a1 ? 1, d ? 3 确定的等差数列 {a n } ,当 an ? 298 时序号 n ? ( A.99 B.100 C.96 )B D.101

2.已知向量 a ? ( x ? 5, 3), b ? (2, x), 且a ? b , 则 x ? ( ) D A.2 或 3
? ?

?

?

?

?

B.-1 或 6 )C

C. 6

D.2

3. sin15 ? cos15 的值是( A.

1 2

B.

3 2

C.

4.在 ?ABC 中,已知 A, B, C 成等差数列,且 b ? 3 ,则 A.2 B.

5.设平面向量 m ? ? ?1,2? , n ? ? 2, b ? ,若 m / / n ,则 m ? n 等于( A. 5 B. 10 C. 13 D. 3 5

??

1 2

?

??

sin A ? sin B ? sin C ?( a?b?c 3 C. 3 D. 3

6 2

D .

3 2

)B

?

?? ?

)D

6.在 ?ABC 中, tan A 是以 ?4 为第三项, 4 为第七项的等差数列的公差, tan B 是以 2 为公差, 为第五项的等差数列的第二项,则这个三角形是( )A 9 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 7.已知向量 a ? (cos x ? sin x, 2) , b ? (cos x ? sin x,- 2) (x ? R) ,则函数 f ( x) ? a ? b 是 ( )A A.周期为 ? 的偶函数 C.周期为 B.周期为 ? 的奇函数 D.周期为

?

?

? ?

? 的偶函数 2

? 的奇函数 2

8.在 ?ABC 中, sin A ? A. ?

33 16 56 D. ? 或 65 65 65 9.如右图, A, B 两点都在河的对岸(不可到达),为了测量 A, B 两点间的距离,选取一条基 线 CD ,测得: CD ? 200m, ?ADB ? ?ACB ? 300 , ?CBD ? 600 ,则 AB ? ( )A A 200 3 m A. B. 200 3 3 C. 100 2m D.数据不够,无法计算
10.设 a, b, c 为三角形 ABC 三边长, a ? 1, b ? c , 若 logc?b a ? logc?b a ? 2logc?b a logc?b a ,则三角形 ABC 的形状为( B A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
5

5 3 )B , cos B ? ,则 cos C ? ( 13 5 16 56 B. ? C. ? 65 65

B



D

C

11.已知 ?ABC 的三边 a , b, c 满足: a 3 ? b 3 ? c 3 ,则此三角形是( )B A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 3 12.有以下命题:①对任意的 ? ? R 都有 sin 3? ? 3 sin ? ? 4 sin ? 成立;②对任意的 ?ABC 都有等 式 a ? b cos A ? c cos B 成立;③满足“三边是连续的三个正整数且最大角是最小的 2 倍”的三角形存 在且唯一;④若 A, B 是钝角 ?ABC 的二锐角,则 sin A ? sin B ? cos A ? cos B 。其中正确的命题的个 数是( )B A.4 B.3 C . 2 D.1 二、填空题:(每小题 4 分,共 16 分,请把结果填在答卷上,否则不给分) 13 . 已 知 数 列 1, a1 , a2 ,9 是 等 差 数 列 , 数 列 1, b1 , b2 , b3 ,9 是 等 比 数 列 , 则 _____________. 【答案】

b2 的值为 a1 ? a2

3 10

14 . 已 知 _________. 【答案】

?

3 12 3 ? ? ? ? ? ? , cos ?? ? ? ? ? , sin ?? ? ? ? ? ? , 则 sin ? ? cos ? 的 值 2 4 13 5

3 65 65
sin 2 a8 ? sin a 2 4 ? 1 ,当 n ? 8 时, ?an ? 的前 n 项和 sin(a4 ? a8 )

15. 设等差数列 ?an ? 的公差 d ? (0, 1) ,且

S n 取得最小值,则 a1 的取值范围是__________.
【答案】 ? ?? , ?

? ?

7? ? 8 ? ?

16.如图,定圆 C 的半径为 4,A 为圆 C 上的一个定点,B 为圆 C 上的动点,若点 A,B,C 不 共线,且 | AB ? t AC |?| BC | 对任意的 t ? (0,??) 恒成立,则 AB ? AC = 【答案】16 三、解答题: 17. (文)(10 分)化简: tan 700 sin800 ( 3 tan 200 ? 1) ;
0 0 0 0 0 解:①原式 ? sin 70 ? cos100 ? ( 3 sin 20 ? 1) ? sin 70 ? cos100 ? 3 sin 20 ? cos 20 0 0 0 0 cos 70 cos 20 cos 70 cos 20 0 0 0 0 cos 200 2 sin( 20 ? 30 ) ? 2 cos 10 sin 10 ? ? cos100 ? ? ? ?1 sin 200 cos 200 sin 200



18.(12 分)已知 a ? (cos ?,sin ?) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? ? . (Ⅰ) 求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直;

?

?

?

?

?

?

6

(Ⅱ)若 ka ? b 与 a ? k b 的模相等,求 ? ? ? 的值 ( k 为非零常数) . 解 : ( Ⅰ ) 因 为

?

?

?

?

? a ? (cos ? ,sin ? )



? b ? (cos ? ,sin ? )

, 所 以 ,

?2 ?2 a ? cos2 ? ? sin2 ? ? 1, b ? cos2 ? ? sin2 ? ? 1 .
所以, (a ? b) ? (a ? b) ? a ? b ? 0 ,所以, (a ? b ) ? (a ? b ) . (Ⅱ)由 | ka ? b |? | a ? kb | 得 (ka ? b )2 ? (a ? kb )2 即 (k ? 1)a ? 4k a ? b ? (1 ? k )b ? 0 ,又 a
2 2 2 2 2 2

? ?

? ?
?

?

?

?

?

?

?

?

?2

?2 ? cos2 ? ? sin2 ? ? 1, b ? cos2 ? ? sin2 ? ? 1

a ? b ? cos? cos? ? sin ? sin ? ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )
所以 (k 2 ?1) ? 4k cos(? ? ? ) ? (1 ? k 2 ) ? 0 ,化简得 4k cos( ? ? ? ) ? 0 , 因为, k ? 0 , cos( ? ? ? ) ? 0 ,又 0 ? ? ? ? ? ? ,得 0 ? ? ? ? ? ? , 所以, ? ? ? ?

?
2



19.(12 分)已知数列 {a n } 中的前 n 项和为 S n ?

n2 ? n ,又 an ? log 2 bn 。(1)求数列 {a n } 的通项 2
时 ,

公式;(2)求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 解 : (1) 当 n?2 n 2 ? n ( n ? 1) 2 ? ( n ? 1) an ? S n ? S n ?1 ? ? ? n ??????????????3 分 2 2 当 n ?1 时, a1 ? S1 ?

12 ? 1 ? 1,也适合上式???????????????????5 分 2 ? 数列 {a n } 的通项公式为 a n ? n 。???????????????????????6 分
(2)由 an ? log2 bn ,得 bn ? 2n ???????????????????????9 分 则数列 {bn } 的前 n 项和为: Tn ?

2(1 ? 2n ) ? 2n ?1 ? 2 ?12 分 1? 2

20.(12 分)如图,一架飞机以 600km / h 的速度,沿方位角 60 0 的航向从 A 地出发向 B 地飞行,飞行 了 36min 后 到 达 E 地 , 飞 机 由 于 天 气 原 因 按 命 令 改 飞 C 地 , 已 知 AD ? 600 3km, CD ? 1200km, BC ? 500km ,且 ?ADC ? 300 , ?BCD ? 1130 。问收到命令时飞机应该 沿什么航向飞行,此时 E 地离 C 地的距离是多少?(参考数据: tan 370 ? 解:如图,连接 AC , CE ,在 ?ACD 中由余弦定理,得:

3 ) 4

AC 2 ? (600 3 ) 2 ? 12002 ? 2 ? 600 3 ? 1200 ?

AC ? 600 ,??????????1 分 则 CD2 ? AD 2 ? AC 2 , 即 ?A C D 是 直 角 三 角 形 , 且 ?ACD ? 600 ,???????????2 分 又 ?BCD ? 1130 ,则 ?ACB ? 530 ,????3 分 在 ?ABC 中,由余弦定理,则有:

3 ? 360000 2



则 北 E A
600 3km

B

500km C
1130

D

30 0

1200km

7

a2 ? c2 ? b2 cos B ? ? 2ac

a2 ? c2 ? (

a

2ac

3 AB2 ? 6002 ? 5002 ? 2 ? 600 ? 500 ? ? 5002 ,则 AB ? 500 ???????????????4 分 5 又 BC ? 500 则 ?ABC 是等腰三角形,且 ?BAC ? 530 , ???????????????6 分 36 由已知有 AE ? 600 ? ? 360 ,??????????????????????????7 分 60
在 ?ACE 中,由余弦定理,有 CE ?
2 2 2
0

3602 ? 6002 ? 2 ? 360? 600?
0

3 ? 480???? ??8 分 5

又 AC ? AE ? CE ,则 ?AEC ? 90 。????????????????????9 分 由飞机出发时的方位角为 60 ,则飞机由 E 地改飞 C 地的方位角为:

1800 ? (900 ? 600 ) ? 1500 ???????????????????????????11 分 0 答:收到命令时飞机应该沿方位角 150 的航向飞行,E 地离 C 地 480 km 。??????12 分 ?x ?? ?x ?? ?x ?? ? 21. (12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin cos ? sin 2 (? ? 0, 0 ? ? ? ) . 2 2 2 2 ? ? 其图象的两个相邻对称中心的 距离为 ,且过点 ( ,1) . 2 3
(I) 函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ) 在△ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b ,c.已知
2 2 2 sin C ? b2 ? a 2 ? c 2 . 2sin A ? sin C c ? a ? b

且 f ( A) ?

1? 3 ,求角 C 的大小. 2
3 1 sin( wx + j ) + [1 - cos( wx + j ) ] 2 2

【答案】 【解析】(Ⅰ) f ( x ) =

= sin( wx + j -

π 1 )+ . 6 2

π Q 两个相邻对称中心的距离为 ,则 T = π , 2

\

2π π = π, Q w>0, \ w=2 ,又 f ( x ) 过点 ( ,1) , 3 |w|

骣 骣 1 2π π 1 π 1 鼢 \ sin 珑 + j + = 1, 即 sin + j = , \ cos j = , 鼢 珑 鼢 珑 桫 桫 2 3 6 2 2 2
Q0< j < π π π 1 , \ j = , \ f ( x ) = sin(2 x + ) + . 2 3 6 2
2 2 2 sin C ? b2 ? a2 ? c 2 ? ?2ac cos B ? c cosB ? sin C cos B , 2sin A ? sin C c ? a ? b ?2ab cos C b cos C sin B cos C

(Ⅱ)在△ABC 中,

因为 sin C ? 0 ,所以 sin B cos C ? 2sin A cos B ? sin C cos B , 所以 2sin A cos B ? sin B cos C ? sin C cos B ? sin( B ? C ) ? sin A , 因为 sin A ? 0 ,所以 cos B ? 1 ,因为 0 ? B ? π ,所以 B ? π . 2 3

8

而由 f ( A) ?

? 5 1? 3 ? 得 A ? ,所以 C ? 4 12 2

? ,半径为 R ? 200m , 3 房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼,为使得地皮的使用率最大,准备了两种设计 方案如图,方案一:矩形 ABCD 的一边 AB 在半径 OP 上, C 在圆弧上, D 在半径 OQ ;方案二: 矩形 EFGH 的顶点在圆弧上,顶点 G , H 分别在两条半径上。请你通过计算,为房产商提供决策建议。 O Q
22.(12 分)一房产商竞标得 一块扇形 OPQ 地皮,其圆心角 ?POQ ? H D O A 方案一 C B P P E 方案二 F Q D O A 方案一 B Q G

解:按方案一:如图,连 OC ,设 ?POC ? x, x ? (0, ) , 在 Rt?OBC 中, BC ? R sin x, OB ? R cos x ,则 DA ? R sin x

? 4

C P

3 3 DA ? DA ? R sin x , ? tan ,得 OA ? 3 3 OA 3 3 sin x) ,设矩形 ABCD 的面积为 y ,则 则 AB ? OB ? OA ? R(cos x ? 3 3 3 y ? AB ? BC ? R 2 (cos x ? sin 2 x)] x) sin x ? R 2 (sin x cos x ? sin 2 x) 3 3 1 3 3 2 ? 3 2 ? R 2 [sin 2 x ? (1 ? cos 2 x)] ? R sin(2 x ? ) ? R 2 3 3 6 6 ? ? ? 5? 由 x ? (0, ) 得 ? 2 x ? ? 。 3 6 6 6 3 3 2 3 2 ? ? ? ? )R ? R 。 所以当 2 x ? ? ,即 x ? 时 ymax ? ( 3 6 6 6 6 2 按方案二:如图作 ?POQ 的平分线分别交 EF , GH 于点 M , N ,连 OE 。 ? 设 ?MOE ? ?, ? ? (0, ) ,在 Rt?MOE 中, ME ? R sin ?, OM ? R cos ? 6 NH ? 在 Rt?ONH 中, ? tan ,得 ON ? 3NH ? 3R sin ? ,则 ON 6 MN ? OM ? ON ? R(cos ? ? 3 sin ?) , 设矩形 EFGH 的面积为 S ,则
在 Rt?OAD 中,

O H G

N M

S ? 2ME ? MN ? 2R 2 sin ?(cos ? ? 3 sin ?)
2 2 2

? R (2 sin ? cos ? ? 2 3 sin ?) ? R (sin 2? ? 3 cos 2? ? 3 ) E F 方案二 ? ? 2R 2 sin(2? ? ) ? 3R 2 3 ? ? ? ? ? ? 2? 由 ? ? (0, ) ,则 ? 2? ? ? ,所以当 2? ? ? ,即 ? ? 时 Smax ? (2 ? 3 ) R 2 12 6 3 2 3 3 3 3 7 3 ? 12 ? ?2? 3 ? ? 0 ,即 ymax ? S max 6 6
答:给房产商提出决策建议:选 用方案一更好。
9

P

Q


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