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四川省成都市龙泉第一中学2015-2016学年高二数学下学期入学考试试题 文


龙泉一中高二年级下学期开学考试 数学(文科)试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分。 ) 1.若 p : “ x ? 0 ” , q : “ | x |? 0 ” ,则 p 是 q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.命题: “对任意的 x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 ”

的否定是 A.不存在 x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 B.存在 x0 ? R , x02 ? x0 ? 1 ? 0 C.存在 x0 ? R , x02 ? x0 ? 1 ? 0 D.对任意的 x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 3.如图是某样本数据的茎叶图,则该样本数据的茎叶图, 则该样本数据的中位数 A.22 B.25 C.28 D.31 4.执行如图所示的程序框图,则输出的 T 等于 A.32 B.30 C.20 D. 0 5.已知直线 l 的倾斜角为 ? ,若 cos ? ? 则该直线的斜率为 A.

4 , 5
D. ?

6.已知 ? 、 ? 是两个平面, m 、 n 是两条直线,则下列命题不正确 ... 的是 A.若 m ∥ n , m ? ? ,则 n ? ? B.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ?

3 4

B. ?

3 4

C. ?

3 4

4 3

C.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? D.若 m ? ? , ? I ? ? n ,则 m ∥ n 7.已知点 A(2,0), B(0,3) ,则直线 AB 的方程 为 A. 3x ? 2 y ? 6 ? 0 B. 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 C. 3x ? 2 y ? 6 ? 0 D. 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 8.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯 视图为全等的等腰直角三角形,若直角三角形 的直角边为 1,那么这个几何体体积为

1 1 D. 3 6 9.点 P(?2,1) 关于直线 l : x ? y ? 1 ? 0 对称的点 P? 的坐标是 A. (1, 0) B. (0,1) C. (0, ?1) D. (?1, 0) 10.如图,已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的
A. 1 B. C. 各条 棱长都相等,则异面直线 AB1 和 A1C 所成的角的余弦值大小为

1 2

1 1 D. ? 2 2 2 11 . 已 知 关 于 x 的 二 次 函 数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1 , 设 集 合 A ? {?1,1, 2,3, 4,5} , B ? {?2, ?1,1, 2,3, 4} ,分别从集合 A 和 B 中随机取一个数记为 a 和 b ,则函数 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上单调递增的概率为
A. B. ?

1 4

1 4

C.

1

1 2 1 4 B. C. D. 9 9 3 9 ? 12. 在 Rt △ ABC 中,?ACB ? 90 , AC ? 1, BC ? 2 ,CD 是 ?ACB 的角平分线 (如图①) 。 若沿直线 CD 将 △ ABC 折成直二面角 B ? CD ? A (如图②) 。则折叠后 A, B 两点间的
A. 距离为

A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13.设直线 l1 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与 l2 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 间的距离为 d ,则 d ? 14.执行如图所示的程序框图,则输出的 y 等于 ▲ 。 15. 已知一圆锥的侧面展开图是半径为 2 的半圆, 则该圆锥的 体积为 ▲ 。 16 . 已 知 圆 C : x 2 ? y 2 ? 9 , 直 线 l1 : x? 与 y?1 ? 0 l2 : x ? 2 y ?10 ? 0 的交点设为 P 点,过点 P 向圆 C 作两 条切线 a , b 分别与圆相切于 A, B 两点, 则 S△ ABP ? ▲ 。

▲ 。

三、解答题(17 至 21 每小题 12 分,22 题 10 分共计 70 分) 17、 (本题满分 12 分) 某企业准备投资 1200 万元兴办一所中学,对当地教育市场进行调查后,得到了如下的数据 表格(以班级为单位): 学段 硬件建设(万元) 配备教师数 教师年薪(万元) 初中 26 / 班 2 / 班 2 / 人 高中 54 / 班 3 / 班 2 / 人 因生源和环境等因素,全校总班级至少 20 个班,至多 30 个班。 (Ⅰ)请用数学关系式表示上述的限制条件;(设开设初中班 x 个,高中班 y 个) (Ⅱ)若每开设一个初、高中班,可分别获得年利润 2 万元、3 万元,请你合理规划办学规 模使年利润最大,最大为多少? ▲

18. (本题满分 12 分)
2

设 p : 实数 x 满足 a ? x ? 3a ,其中 a ? 0 ; q : 实数 x 满足 2 ? x ? 3 。 (1)若 a ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 q 是 p 的 充分不必要条件,求实数 a 的取值范围。 ▲

19. (本题满分 12 分) AB 、 在正方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中, E 、 F 分别是

B1C1 的中点。
(1)求证: BD ? 平面 ACC1 A1 ; (2)求证: EF ∥平面 ACC1 A 1。 ▲

20. (本题满分 12 分) 某高校在 2015 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试 成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下表所示. 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计 分组
[160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185]

频数
5
n

频率
0.050

0.350

30 20 10

p
0.200 0.100

100

1.000

(1)求频率分布表中 n, p 的值,并补充完整相应的频率分布直方图; (2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽 样的方法抽取 6 名学生进入第二轮面试,则第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮 面试? (3)在(2)的前提下,学校决定从 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的面试, 求第 4 组至少有 1 名学生被甲考官面试的概率。 ▲

3

21. (本题满分 10 分) 已知平面直角坐标系上一动点 P ( x, y ) 到点 A(?2, 0) 的距离是点 P 到点 B(1, 0) 的距离 的 2 倍。 (1)求点 P 的轨迹方程; (2)过 点 A 的直线 l 与点 P 的轨迹 C 相交于 E , F 两点,点 M (2,0) ,则是否存在直线

l ,使 S△EFM 取得最大值,若存在,求出此时 l 的方程,若不存在,请说明理由。



22. (本题满分 12 分) 如图,正四棱锥 S ? ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 2 倍,

CD ? 2 ,点 P 在侧棱 SD 上,且 SP ? 3PD 。 (1)求证: AC ? SD ; (2)求三棱锥 P ? ACD 的体积。



龙泉一中高二年级下学期开学考试

4

数学(文科)答案 一、选择题(5×12=60 分) 题号 1 2 3 4 5 答案 A C B B A 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.2 14.4 15.

6 D

7 C

8 D

9 C

10 A

11 D

12 B

3? 3

16.

192 25

三、解答题(共 70 分) 17. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设开设初中班 x 个,高中班 y 个,????1 分 根据题意,线性约束条件为

?20 ? x ? y ? 30 ?26x ? 54 y ? 2 ? 2 x ? 3 ? 2 y ? 1200 ? ? * ? x ? 0, x ? N ? y ? 0, y ? N * ? ?20 ? x ? y ? 30 ? x ? 2 y ? 40 ? 即? ??6 分 ? ? x ? 0, x ? N ? y ? 0, y ? N ? ?

??5 分

(Ⅱ)设年利润为 z 万元,则目标函数为 z ? 2 x ? 3 y 由(Ⅰ)作出可行域如图 ??9 分 由方程组 ?

??7 分

? x ? y ? 30 得交点 M(20,10) ? x ? 2 y ? 40 作直线 l : 2 x ? 3 y ? 0 ,平移 l ,当 l 过点 M(20,10),z 取最
大值 70。 ∴开设 20 个初中班,10 个高中班时,年利润最大,最大利润 为 70 万元。 ??12 分 18. (本题满分 12 分) 解: (1)当 a ? 1 时,若命题 p 为真,则 1 ? x ? 3 ;若命题 q 为真,则 2 ? x ? 3 , ∵ p ? q 为真,即 p , q 都为真, ∴ 2 ? x ? 3 ,即实数 x 的取值范围是 (2,3) 。?????????????6 分

?a ? 0 ? (2)若 q 是 p 的充分不必要条件,则 ? a 剟2 ? 1 ?3a …3 ?

a? 2,

所以,实数 a 的取值范围是 [1, 2] 。?????????????????12 分 19. (本题满分 12 分) 解: (1)∵ ABCD ? A1B1C1D1 为正方体, ∴ BD ? AC , CC1 ? 平面 ABCD , ∵ BD ? 平面 ABCD ,则 BD ? C1C ,
5

又∵ AC I C1C ? C , ∴ BD ? 平面 ACC1 A 1 。??????????6 分 (2)设 BC 的中点为 G ,连接 EG, FG 。 ∵E、G 分别是 AB 、BC 的中点,则 EG ∥ AC , ∵ EG ? 平面ACC1 A 1 , AC ? 平面ACC1 A 1, ∴ EG ∥ 平面 ACC1 A 1 ,同理 FG ∥ 平面 ACC1 A 1。 又∵ EG I FG ? G ,则平面 EGF ∥ 平面 ACC1 A 1, ∵ EF ? 平面 EGF , ∴ EF ∥ 平面 ACC1 A 1 ?????12 分 20. (本题满分 12 分) 解: (1)由已知: 5 ? n ? 30 ? 20 ? 10 ? 100 ,

D1

C1
B1

A1

F

D A E B
G

C

0.500 ? 0.350 ? p ? 0.200 ? 0.100 ? 1.000 , ∴ n ? 35, p ? 0.300 ? ????????4 分 (注 :若 p 未保留至小数点后 3 位,则扣 1 分,

图补全 2 分,即第(1)小题满分 6 分) (2)由已知,笔试成绩高的第 3、4、5 组的 人数之比为 3:2:1,现用分层抽样的方法选 6 名学 生。故第 3、4、5 组每组各抽学生人数为 3、2、 1。?????????8 分 (3)在(2)的前提下,记第 3 组的 3 名 学生为 c1 , c2 , c3 , 第 4 组的 2 名学生为 d1 , d 2 ,第 5 组的 1 名学生为 e1 ,且“第 4 组至少有 1 名学生被甲 考官面试”为事件 A 。 则所有的基本事件有:(c1 , c2 ) ,(c1 , c3 ) ,(c1 , d1 ) ,(c1 , d 2 ) ,(c1 , e1 ) ,(c2 , c3 ) ,(c2 , d1 ) ,

(c2 , d 2 ) , (c2 , e1 ) , (c3 , d1 ) , (c3 , d 2 ) , (c3 , e1 ) , (d1 , d 2 ) , (d1 , e1 ) , (d2 , e1 ) ,一共 15
种。????????????10 分 A 事件有:(c1 , d1 ) ,(c1 , d2 ) ,(c2 , d1 ) ,(c2 , d 2 ) ,(c3 , d1 ) ,(c3 , d 2 ) ,(d1 , d 2 ) ,(d1 , e1 ) ,

(d2 , e1 ) ,一共 9 种。?????????????11 分 9 3 ? ∴ P ( A) ? 15 5 3 答:第 4 组至少有 1 名学生被甲考官面试的概率为 。??????12 分 5
21. (本题满分 12 分)
2 2 2 2 解: (1)由已知, ( x ? 2) ? ( y ? 0) ? 2 ( x ? 1) ? ( y ? 0) ,?????????2 分

∴ x ? 4 x ? y ? 0 ,即 ( x ? 2) ? y ? 4 ,????????????????5 分
2 2
2 2

(2) 由题意知 l 的斜率一定存在, 不妨假设存直线 l 的斜率为 k, 且 E( x1 ,y 1) , F( x , 2y )2 则 l : y ? k ( x ? 2) , 联立方程: ?
2



? y ? k ( x ? 2)
2 2 ?( x ? 2) ? y ? 4

? (k 2 ? 1) x 2 ? 4( k 2 ? 1) x ? 4k 2 ? 0 ,??????7 分
2

∴ △? 16(k ? 1) ? 4(k ? 1) ? 4k ? 0 ? ?
2 2

3 3 ,?????????8 分 ?k? 3 3

6

又∵直线 l 不经过点 M (2,0) ,则 k ? (? ∵点 M (2,0) 到直线 l 的距离 d ?

3 3 , 0) ? (0, ) 。?????????9 分 3 3
, | EF |? 2 4 ? d 2 ,

4|k |
2

k ?1 1 2 2 2 ∴ S△ EFM ? | EF | ?d ? 4 ? d ? d ? ?(d ? 2) ? 4 , 2 16k 2 16 1 2 d ? ? , k 2 ? (0, ) ? d 2 ? (0, 4) , ∵ 2 1 k ?1 1? 3 k2

2 k2 1 7 ??11 分 ∴当 d ? 2 时, S△EFM 取得最大值 2,此时, 16 ? 2 ? k2 ? ? k ? ? 2 k ?1 7 7

∴直线 l 的方程为 x ? 7 y ? 2 ? 0或x ? 7 y ? 2 ? 0 。?????????12 分

22. (本题满分 10 分) 解: (1)设 AC 的中点为 O ,连接 OD, OS 。 由已知, AC ? OD , SO ? 底面 ABCD , ∵ AC ? 平面 ABCD , ∴ SO ? AC , 又∵ SO I DO ? O , ∴ AC ? 平面 SOD , ∵ SD ? 平面 SOD , ∴ AC ? SD 。???????5 分 (2)在 OD 边上找一点 Q ,连接 PQ ,使 PQ ∥ SO 。 由已知, SO ? 底面 ABCD , ∴ PQ ? 底面 ABCD ,????????6 分 又由已知 CD ? 2, AC ? SC ? AS ? 2 , 则 OS ? SD2 ? OD2 ? 3 ∵ △SDO ∽ △PDQ ,且 SP ? 3PD 则 PQ ? ∴ VP ? ACD ?

S

P A D

Q O
C

B

1 1 3 SO ? , S△ ACD ? AC ? CD ? 1 , 2 4 4

1 3 。??????????10 分 S△ ACD ? PQ ? 3 12

7


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