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福建省福州八中2015届高考数学二模试卷(理科)


福建省福州八中 2015 届高考数学二模试卷(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 2 1. (5 分)设全集为 R,集合 A={x|x ﹣9<0},B={x|﹣1<x≤5},则 A∩(?RB)=() A.(﹣3,0) B.(﹣3,﹣1) C.(﹣3,﹣1] D.(﹣3,3) 2. (5 分)下列有关命题的说法错误的是() 2 2 A.命题“若 x ﹣3x+2=0 则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0” 2 B. “x=1”是“x ﹣3x+2=0”的充分不必要条件 C. 若 p∧q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D.对于命题 p:?x∈R,使得 x +x+1<0.则¬p:?x∈R,均有 x +x+1≥0 3. (5 分)函数 f(x)=ln(x+1)﹣ (x>0)的零点所在的大致区间是() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(3,4)
2 2

4. (5 分)若 a∈R,m∈R 且 m>0.则“a≠m”是“|a|≠m”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 5. (5 分)实数 A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c 的大小关系正确的是() D.b<c<a

6. (5 分)已知函数 f(x)=

,若 f[f(0)]=4a,则

dx=()

A.2ln2

B. ln2

C.ln2

D.9ln2

7. (5 分)若函数 f(x)=2cos(2x+?)是奇函数,且在 可能是() A. B. 0 C.

上是增函数,则实数 ?

D.π

8. (5 分)已知函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(x+3)=f(x+1) ,且 x∈[﹣1,1]时,f(x)=|x|, 则函数 y=f(x)﹣log5x, (x>0)的零点个数是() A.3 B. 4 C. 5 D.6 9. (5 分)已知函数 y=f(x)是偶函数,y=f(x﹣2)在[0,2]上是单调减函数,则()

A.f(0)<f(﹣1)<f(2) f(2)<f(0) D.

B.f(﹣1)<f(0)<f(2) f(2)<f(﹣1)<f(0)

C. f(﹣1)<

10. (5 分)已知函数

,若 a,b,c 互不相等,且满足 f(a)=f(b)

=f(c) ,则 a+b+c 的取值范围是() A.(1,10) B.(5,6)

C.(2,8)

D.(0,10)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 11. (4 分)已知幂函数 f(x)=(m ﹣3m+3)x
2 m+1

为偶函数,则 m=.

12. (4 分)函数 f(x)=

+

的定义域是.

13. (4 分)定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x<0 时,f(x)=xe ,则当 x>0 时,f(x)=. 14. (4 分)函数 f(x)=x + x ﹣6x+m 的图象不过第Ⅱ象限,则 m 的取值范围是
3 2

﹣x

15. (4 分)某同学在研究函数

时,分别给出下面几个结论:

①等式 f(﹣x)+f(x)=0 对 x∈R 恒成立; ②函数 f(x)的值域为[﹣a,a]; ③函数 f(x)为 R 的单调函数; ④若 x1≠x2,则一定有 f(x1)≠f(x2) ; ⑤函数 g(x)=f(x)﹣ax 在 R 上有三个零点. 其中正确结论的序号有. (请将你认为正确的结论的序号都填上)

三、解答题:本大题共 5 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (13 分)已知函数 的解. (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)当 x∈[0,π]时,求函数 f(x)值域. ,b 为常数,b∈R,且 是方程 f(x)=0

17. (13 分)已知命题 P:函数 f(x)为(0,+∞)上单调减函数,实数 m 满足不等式 f(m+1) <f(3﹣2m) .命题 Q:当 x∈[0, 不必要条件,求实数 a 的取值范围. 18. (13 分)某单位有员工 1000 名,平均每人每年创造利润 10 万元.为了增加企业竞争力, 决定优化产业结构,调整出 x(x∈N )名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利 润为 万元(a>0) ,剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.2x%.
*

],函数 m=sin x﹣2sinx+1+a.若命题 P 是命题 Q 的充分

2

(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润,则最多调 整出多少名员工从事第三产业? (2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利 润,则 a 的取值范围是多少? 19. (13 分)已知函数 f(x)=ax﹣lnx(a∈R) . (Ⅰ)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在 x=2 处切线的斜率; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间; (Ⅲ)当 a>0 时,求 f(x)在区间(0,e]上的最小值.

20. (14 分) 已知函数 f (x) =ax +bx+1, a, b 为实数, a≠0, x∈R, F (x) =

2



(1)若 f(﹣1)=0,且函数 f(x)的值域为[0,+∞) ,求 F(x)的表达式; (2)在(1)的条件下,当 x∈[﹣1,1]时,g(x)=f(x)+kx 是单调函数,求实数 k 的取值 范围; (3)设 mn<0,m+n>0,a>0,且函数 f(x)为偶函数,判断 F(m)+F(n)是否大于 0.

四、本题有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 21 分.如 果多做,则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂 黑,并将所选题号填入括号中. 选修 4-2:矩阵与变换 21. (7 分)二阶矩阵 M 对应的变换将点(1,﹣1)与(﹣2,1)分别变换成点(﹣1,﹣1) 与(0,﹣2) . (Ⅰ)求矩阵 M 的逆矩阵 M ; (Ⅱ)设直线 l 在变换 M 作用下得到了直线 m:2x﹣y=4,求 l 的方程.
﹣1

选修 4-4:极坐标与参数方程 22. (7 分)选修 4﹣4:坐标系与参数方程

在极坐标系中,已知直线 l 的极坐标方程为 ,半径为 .

,圆 C 的圆心是

(1)求圆 C 的极坐标方程; (2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长.

选修 4-5:不等式选讲 23.设函数 f(x)=|2x+1|﹣|x﹣2|. (1)解不等式 f(x)>0; (2)已知关于 x 的不等式 a+3<f(x)恒成立,求实数 a 的取值范围.

福建省福州八中 2015 届高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1. (5 分)设全集为 R,集合 A={x|x ﹣9<0},B={x|﹣1<x≤5},则 A∩(?RB)=() A.(﹣3,0) B.(﹣3,﹣1) C.(﹣3,﹣1] D.(﹣3,3) 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 根据补集的定义求得?RB,再根据两个集合的交集的定义,求得 A∩(?RB) . 2 解答: 解:∵集合 A={x|x ﹣9<0}={x|﹣3<x<3},B={x|﹣1<x≤5},∴?RB={x|x≤﹣1,或 x>5}, 则 A∩(?RB)={x|﹣3<x≤﹣1}, 故选:C. 点评: 本题主要考查集合的表示方法、集合的补集,两个集合的交集的定义和求法,属于 基础题. 2. (5 分)下列有关命题的说法错误的是() 2 2 A.命题“若 x ﹣3x+2=0 则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0” 2 B. “x=1”是“x ﹣3x+2=0”的充分不必要条件 C. 若 p∧q 为假命题,则 p、q 均为假命题 2 2 D.对于命题 p:?x∈R,使得 x +x+1<0.则¬p:?x∈R,均有 x +x+1≥0 考点: 命题的真假判断与应用;四种命题间的逆否关系;必要条件、充分条件与充要条件 的判断. 专题: 综合题.
2

分析: 根据四种命题的定义,我们可以判断 A 的真假;根据充要条件的定义,我们可以判 断 B 的真假;根据复合命题的真值表,我们可以判断 C 的真假;根据特称命题的否定方法, 我们可以判断 D 的真假,进而得到答案. 2 2 解答: 解:命题“若 x ﹣3x+2=0 则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0”故 A 为真 命题; 2 “x=1”是“x ﹣3x+2=0”的充分不必要条件.故 B 为真命题; 若 p∧q 为假命题,则 p、q 存在至少一个假命题,但 p、q 不一定均为假命题,故 C 为假命题; 命题 p:?x∈R,使得 x +x+1<0.则非 p:?x∈R,均有 x +x+1≥0,故 D 为真命题; 故选 C. 点评: 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,四种命题间的逆否关系,充要条件, 是对简单逻辑综合的考查,属于简单题型.
2 2

3. (5 分)函数 f(x)=ln(x+1)﹣ (x>0)的零点所在的大致区间是() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(3,4)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题. 分析: 先判断函数在其定义域(0,+∞)上是增函数,f(1)?f(2)<0,从而得出结论. 解答: 解:由于函数 f(x)=ln(x+1)﹣ (x>0)在其定义域(0,+∞)上是增函数,f (1)=ln2﹣2<0,f(2)=ln3﹣1>0, ∴f(1)?f(2)<0,故函数 f(x)=ln(x+1)﹣ (x>0)的零点所在的大致区间是 (1,2) , 故选 B. 点评: 本题主要考查函数的零点的定义,判断函数的零点所在的区间的方法,属于基础题. 4. (5 分)若 a∈R,m∈R 且 m>0.则“a≠m”是“|a|≠m”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 由 a∈R,m∈R 且 m>0,知由“a≠m”推不出“|a|≠m”,|a|≠m?a≠m.故“a≠m”是“|a|≠m”必 要而不充分条件. 解答: 解:∵a∈R,m∈R 且 m>0. ∴由“a≠m”推不出“|a|≠m”, 例:a=﹣3,m=3,a≠m,但|a|=m. ∵a∈R,m∈R 且 m>0, ∴|a|≠m?a≠m. 故“a≠m”是“|a|≠m”的必要而不充分条件. 故选 B. 点评: 本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断和应用,是基础题.解题时要认真 审题,仔细解答.

5. (5 分)实数 A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c

的大小关系正确的是() D.b<c<a

考点: 对数值大小的比较. 专题: 计算题. 分析: 根据指数函数的特殊点(0,1)与对数函数的特殊点(1,0)即可作出判断. 解答: 解:∵0< <0.3 =1,
0

0.3<

1=0,



=1.

∴b<a<c 故选 C. 点评: 本题主要考查指数函数与对数函数的特殊点,但需具备函数的思想才能把形如这样 的实数转化为它们的特殊点解决.

6. (5 分)已知函数 f(x)=

,若 f[f(0)]=4a,则

dx=()

A.2ln2

B. ln2

C.ln2

D.9ln2

考点: 定积分;函数的零点. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据条件 f[f(0)]=4a,求出 a 的值,然后根据积分公式进行计算即可. 解答: 解:由分段函数可知,f(0)=1+1=2, 则 f[f(0)]=f(2)=4+2a=4a, 即 2a=4,解得 a=2. ∴ dx= =2(ln2﹣ln1)=2ln2.

故选:A. 点评: 本题主要考查分段函数的应用,以及积分的计算,要求熟练掌握积分的运算公式.

7. (5 分)若函数 f(x)=2cos(2x+?)是奇函数,且在 可能是() A. B. 0 C.

上是增函数,则实数 ?

D.π

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;余弦函数的奇偶性;余弦函数的单调 性. 专题: 计算题. 分析: 通过函数是奇函数,求出 ? 的值,利用函数的单调性,进一步求出 ? 的值即可. 解答: 解:因为函数 f(x)=2cos(2x+?)是奇函数,所以 ?=kπ+ ,

函数在

上是增函数,所以 f(x)=2sin2x,所以 ?=



故选 A. 点评: 本题是基础题,考查三角函数的基本性质,奇偶性与单调性的应用,注意诱导公式 的应用是解题的关键. 8. (5 分)已知函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(x+3)=f(x+1) ,且 x∈[﹣1,1]时,f(x)=|x|, 则函数 y=f(x)﹣log5x, (x>0)的零点个数是() A.3 B. 4 C. 5 D.6

考点: 函数的零点. 专题: 计算题. 分析: 由已知“f(x+3)=f(x+1) ,”得 f(x+2)=f(x) ,知此函数是周期函数,可画出函数 f(x)的简图,再利用数形结合的方法探求零点个数. 解答: 解:∵f(x+3)=f(x+1) , ∴f(x+2)=f(x) , 知此函数是周期函数, 设 y=log5x 和 y=f(x) ,画出函数的简图 ∴数形结合求零点个数是 4. 故选 B.

点评: 数形结合是数学解题中常用的思想方法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握 数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷. 9. (5 分)已知函数 y=f(x)是偶函数,y=f(x﹣2)在[0,2]上是单调减函数,则() A.f(0)<f(﹣1)<f(2) B.f(﹣1)<f(0)<f(2) C. f(﹣1)< f(2)<f(0) D. f(2)<f(﹣1)<f(0) 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 常规题型. 分析: 此题是函数的奇偶性和单调性的综合应用.在解答时可以先由 y=f(x﹣2)在[0,2] 上是单调减函数,转化出函数 y=f(x)的一个单调区间,再结合偶函数关于 y 轴对称获得函 数在[﹣2,2]上的单调性,结合函数图象易获得答案. 解答: 解:由 y=f(x﹣2)在[0,2]上单调递减,

∴y=f(x)在[﹣2,0]上单调递减. ∵y=f(x)是偶函数, ∴y=f(x)在[0,2]上单调递增. 又 f(﹣1)=f(1) 故选 A. 点评: 本题考查的是函数的奇偶和单调性的综合应用.在解答时充分体现了数形结合的思 想、对称的思想以及问题转化的思想.值得同学们反思和体会.

10. (5 分)已知函数

,若 a,b,c 互不相等,且满足 f(a)=f(b)

=f(c) ,则 a+b+c 的取值范围是() A.(1,10) B.(5,6)

C.(2,8)

D.(0,10)

考点: 函数的零点与方程根的关系;函数的零点. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 先利用指数函数和一次函数的图象及性质,画出函数 f(x)的图象,再利用数形结 合可得 a、b、c 间的关系及其范围,最后求所求取值范围即可. 解答: 解:函数 f(x)的图象如图设 a<b<c, ∵y=2 的图象关于 x=0 对称,故 a+b=0, 数形结合可知足 f(a)=f(b)=f(c)的 c 的取值范围为: ∴a+b+c∈(2,8) 故选:C. ,解得 x∈(2,8)
|x|

点评: 本题主要考查了指数函数、一次函数、分段函数的图象及其画法,利用函数的对称 性数形结合求参数取值范围的方法,属中档题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 2 m+1 11. (4 分)已知幂函数 f(x)=(m ﹣3m+3)x 为偶函数,则 m=1. 考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据幂函数的定义和性质建立方程关系即可求解. 解答: 解:∵幂函数 f(x)=(m ﹣3m+3)x 2 ∴m ﹣3m+3=1, 2 即 m ﹣3m+2=0, 解得 m=1 或 m=2.
2 2 m+1

为偶函数

当 m=1 时,幂函数为 f(x)=x 为偶函数,满足条件. 3 当 m=2 时,幂函数为 f(x)=x 为奇函数,不满足条件. 故答案为:1. 点评: 本题主要考查幂函数的定义和性质,根据幂函数的定义确定 m 的值是解决本题的关 键.

12. (4 分)函数 f(x)=

+

的定义域是[0,1) .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数成立的条件建立不等式关系即可求出函数的定义域.

解答: 解:要使函数有意义,则





,则



解得 0≤x<1, 故函数的定义域为[0,1) . 故答案为:[0,1) . 点评: 此题主要考查函数定义域的求法问题,题中涉及到对数函数和幂函数的定义域求法, 计算量小,属于基础题目. 13. (4 分)定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x<0 时,f(x)=xe ,则当 x>0 时,f(x)=xe . 考点: 专题: 分析: 解答: 函数奇偶性的性质. 常规题型. 将 x>0 转化为﹣x<0,由奇函数 f(x)在 x<0 时的表达式可以求得答案. 解:∵x>0,∴﹣x<0,
﹣x ﹣x

x

又 x<0 时,f(x)=xe , x ∴f(﹣x)=﹣xe ,又 f(﹣x)=﹣f(x) , x ∴f(x)=xe . x 故答案为:xe . 点评: 本题考查函数奇偶性的性质,解决的关键是把将 x>0 转化为﹣x<0,属于容易题.

14. (4 分)函数 f(x)=x + x ﹣6x+m 的图象不过第Ⅱ象限,则 m 的取值范围是 (﹣∞,﹣10] 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 数形结合. 分析: 先求出 f′(x)=3x +3x﹣6,令其为 0 求出 x=﹣2 或 x=1,然后在(﹣∞,﹣2) , (﹣ 2,1) , (1,+∞)上得到导函数的正负继而得到函数的增减性,求出函数的极值,讨论 x=﹣2 时的极大值小于等于 0 即可求出 m 的取值范围. 2 解答: 解:求得 f′(x)=3x +3x﹣6=3(x+2) (x﹣1) ,令其为 0 得到 x=﹣2,x=1 在 x∈(﹣∞,﹣2)时,f′(x)>0,f(x)为增函数; 在 x∈(﹣2,1)时,f′(x)<0,f(x)为减函数; 在 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数. 所以 f(x)在 x=﹣2 时有极大值,极大值为 f(﹣2)=m+10, 因为函数的图象不过第Ⅱ象限,所以 m+10≤0,解得 m≤﹣10; 故答案为(﹣∞,﹣10] 点评: 考查学生利用导数研究函数极值的能力,理解函数图象不过第二象限的条件.
2

3

2

15. (4 分)某同学在研究函数 ①等式 f(﹣x)+f(x)=0 对 x∈R 恒成立; ②函数 f(x)的值域为[﹣a,a]; ③函数 f(x)为 R 的单调函数;

时,分别给出下面几个结论:

④若 x1≠x2,则一定有 f(x1)≠f(x2) ; ⑤函数 g(x)=f(x)﹣ax 在 R 上有三个零点. 其中正确结论的序号有①③④. (请将你认为正确的结论的序号都填上) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: ①计算 f(﹣x)+f(x)即可; ②当 x>0 时,f(x)= <a;当 x=0 时,f(0)=0;当 x<0 时,利用奇函数的性质即可得

出 f(x)>﹣a; ③当 x>0 时,利用导数可得函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,再利用奇函数的性质及 f (0)=0 可知:f(x)在 R 上单调递增; ④由③函数的单调性即可判断出; ⑤当 x≥0 时,g(x)= ,利用导数的运算法则可得函数 g(x)在 x≥0 时单调性,进而

判断出 g(x)在 x>0 时零点的个数.利用奇函数的性质即可得出. 解答: 解:①f(﹣x)+f(x)= =0,正确;

②当 x>0 时,f(x)=

<a;当 x=0 时,f(0)=0;当 x<0 时,利用奇函数的性质可得 f

(x)>﹣a. 综上可得:函数 f(x)的值域为(﹣a,a) ,因此不正确; ③当 x>0 时,f′(x)= ,可得函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,再利用

奇函数的性质及 f(0)=0 可知:f(x)在 R 上单调递增;因此正确; ④由③函数的单调性可知:当 x1≠x2,则一定有 f(x1)≠f(x2) ,因此正确; ⑤当 x≥0 时,g(x)= ,则 g′(x)= ≤0,∴函数 g(x)在 x≥0 时单调递

减,∴g(x)≤g(0)=0, 因此 g(x)在 x>0 时无零点.利用奇函数的性质可知:在 x<0 时,函数 g(x)也无零点. 又 g(0)=0,∴函数 g(x)=f(x)﹣ax 在 R 上有且仅有一个零点.因此不正确. 综上可知:只有①③④正确. 故答案为:①③④. 点评: 本题考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性、值域、零点等基础知识与 基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (13 分)已知函数 的解. (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)当 x∈[0,π]时,求函数 f(x)值域. 考点: 三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题. 分析: (1)先将 x= 式,根据 T= 代入函数 f(x)解出 b 的值,再将函数化简为 y=Asin(wx+ρ)的形 ,b 为常数,b∈R,且 是方程 f(x)=0

可得答案. 的范围,进而根据三角函数的性质可得到答案. ,

(2)先根据 x 的范围求出 x﹣ 解答: 解: (I) 则 所以 则 ,解得 b=﹣2;

, .

所以函数 f(x)的最小正周期为 2π.

(I)由 x∈[0,π],得 则 则 , ,







所以 y=f(x)值域为 . 点评: 本题主要考查三角函数的最小正周期和值域的求法,一般先将函数化简为 y=Asin (wx+ρ)的形式,再解题. 17. (13 分)已知命题 P:函数 f(x)为(0,+∞)上单调减函数,实数 m 满足不等式 f(m+1) <f(3﹣2m) .命题 Q:当 x∈[0, 不必要条件,求实数 a 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 集合;简易逻辑. 分析: 先根据已知条件求出命题 P,Q 下的 m 的取值范围: m ,根据命题 P 是 Q 的充分不必要条件得到 ,从而求得 a 的取值范围. ],函数 m=sin x﹣2sinx+1+a.若命题 P 是命题 Q 的充分
2

解答: 解: 命题 P: 根据已知条件得:

, 解得

, 即m



命题 Q:x

,∴sinx∈[0,1],m=sin x﹣2sinx+1+a=(sinx﹣1) +a;

2

2

∴当 sinx=1 时,m 取最小值 a,当 sinx=0 时,m 取最大值 1+a,所以 m∈[a,1+a]; ∵命题 P 是 Q 的充分不必要条件,所以 ;



,解得







点评: 考查根据函数的单调性解不等式,配方法求二次函数的值域,子集的概念. 18. (13 分)某单位有员工 1000 名,平均每人每年创造利润 10 万元.为了增加企业竞争力, * 决定优化产业结构,调整出 x(x∈N )名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利 润为 万元(a>0) ,剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.2x%.

(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润,则最多调 整出多少名员工从事第三产业? (2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利 润,则 a 的取值范围是多少? 考点: 基本不等式在最值问题中的应用;函数模型的选择与应用. 专题: 计算题;应用题. 分析: (1)根据题意可列出 10(1000﹣x) (1+0.2x%)≥10×1000,进而解不等式求得 x 的 范围,确定问题的答案. (2)根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总 利润,进而根据题意建立不等式,根据均值不等式求得求 a 的范围. 解答: 解: (1)由题意得:10(1000﹣x) (1+0.2x%)≥10×1000, 即 x ﹣500x≤0,又 x>0,所以 0<x≤500. 即最多调整 500 名员工从事第三产业. (2)从事第三产业的员工创造的年总利润为 从事原来产业的员工的年总利润为 则 所以 所以 ax≤ 即 a≤ 因为 当且仅当 , 恒成立, , ,即 x=500 时等号成立. (1+0.2x%) , 万元, 万元,
2

所以 a≤5,又 a>0,所以 0<a≤5, 即 a 的取值范围为(0,5]. 点评: 本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用.考查了学生综合运用所学知识, 解决实际问题的能力. 19. (13 分)已知函数 f(x)=ax﹣lnx(a∈R) . (Ⅰ)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在 x=2 处切线的斜率; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间; (Ⅲ)当 a>0 时,求 f(x)在区间(0,e]上的最小值. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线 上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用.

分析: (Ⅰ)当 a=1 时, 线 y=f(x)在 x=2 处切线的斜率. (Ⅱ)

,由此能求出曲

,由此根据 a≤0,a>0 进行分类讨论,结合导数

性质求出当 a≤0 时, f(x)的单调递减区间为(0,+∞) ;当 a>0 时,函数 f(x)的单调递 减区间为 ,单调递增区间为 . 时,f(x)在区间(0,e]上的最小值为 ae﹣

(Ⅲ)根据(Ⅱ)得到的结论,得到当 1,当

,f(x)在区间(0,e]上的最小值为 1+lna.

解答: (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 a=1 时, 故曲线 y=f(x)在 x=2 处切线的斜率为 . (4 分) (Ⅱ) . (6 分) , (2 分)

①当 a≤0 时,由于 x>0,故 ax﹣1<0,f'(x)<0. 所以,f(x)的单调递减区间为(0,+∞) . (8 分) ②当 a>0 时,由 f'(x)=0,得 在区间 . 上,f'(x)>0. ,

上,f'(x)<0,在区间

所以,函数 f(x)的单调递减区间为 单调递增区间为 . (10 分)

综上,当 a≤0 时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞) ; 当 a>0 时,函数 f(x)的单调递减区间为 分) (Ⅲ)根据(Ⅱ)得到的结论, 当 ,即 时, ,单调递增区间为 . (11

f(x)在区间(0,e]上的最小值为 f(e) ,f(e)=ae﹣1. (13 分) 当 ,即 时,f(x)在区间(0,e]上的最小值为 . 综上,当 时,f(x)在区间(0,e]上的最小值为 ae﹣1, ,



,f(x)在区间(0,e]上的最小值为 1+lna. (14 分)

点评: 本题考查切线斜率的求法,考查函数的单调区间的求法,考查函数的极值的求法, 解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.

20. (14 分) 已知函数 f (x) =ax +bx+1, a, b 为实数, a≠0, x∈R, F (x) =

2



(1)若 f(﹣1)=0,且函数 f(x)的值域为[0,+∞) ,求 F(x)的表达式; (2)在(1)的条件下,当 x∈[﹣1,1]时,g(x)=f(x)+kx 是单调函数,求实数 k 的取值 范围; (3)设 mn<0,m+n>0,a>0,且函数 f(x)为偶函数,判断 F(m)+F(n)是否大于 0. 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)把 x=﹣1 代入解析式列出一个方程,再由函数的值域和二次函数的性质得△ =0 得一个方程,联立方程求解; (2)由(1)和条件求出 g(x)的解析式,再求出对称轴,根据题意和和二次函数的单调性, 列出不等式求解; (3)由二次函数是偶函数的条件得 b=0,代入 F(x) ,再由条件判断出 n<0<m,表示出 F (m)+F(n)化简后判断符号. 解答: 解: (1)依题意,有
2



解得

,∴f(x)=x +2x+1,

∴ (2)由(1)得 g(x)=f(x)+kx=x +2x+1+kx=x +(k+2)x+1, ∴函数 g(x)的对称轴 x= ,
2 2

∵g(x)在区间[﹣1,1]上是单调函数, ∴ .

解得 k≥0,或 k≤﹣4. ∴实数 k 的取值范围为(﹣∞,﹣4]∪[0,+∞) , 2 2 (3)∵f(x)=ax +bx+1 为偶函数,∴b=0,即 f(x)=ax +1(a>0) , ∴ ∵mn<0,m+n>0,a>0,不妨设 n<0<m,则有 0<﹣n<m, ∴m﹣n>0,m+n>0. 2 2 ∵F(m)+F(n)=am +1﹣an ﹣1=a(m+n) (m﹣n) ,

∴F(m)+F(n)>0. 点评: 本题考查了求二次函数解析式,二次函数的单调性和奇偶性的综合应用,属于中档 题. 四、本题有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 21 分.如 果多做,则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂 黑,并将所选题号填入括号中. 选修 4-2:矩阵与变换 21. (7 分)二阶矩阵 M 对应的变换将点(1,﹣1)与(﹣2,1)分别变换成点(﹣1,﹣1) 与(0,﹣2) . (Ⅰ)求矩阵 M 的逆矩阵 M ; (Ⅱ)设直线 l 在变换 M 作用下得到了直线 m:2x﹣y=4,求 l 的方程. 考点: 逆矩阵与投影变换;直线的一般式方程. 专题: 计算题. 分析: (1)先设出所求矩阵,利用待定系数法建立一个四元一次方程组,解方程组即可, 再根据求逆矩阵的公式求出逆矩阵; (2)在所求的直线上任设一点写成列向量,求出该点在矩阵 M 的作用下的点的坐标,代入已 知曲线即可. 解答: 解: (Ⅰ)设 ,则有 = , = ,
﹣1

所以





解得

所以 M=
﹣1



从而 M =

(Ⅱ)因为

=

=

且 m:2x′﹣y′=4,

所以 2(x+2y)﹣(3x+4y)=4, 即 x+4=0,这就是直线 l 的方程. 点评: 本题主要考查来了逆矩阵与投影变换,以及直线的一般式方程等基础知识,属于基 础题. 选修 4-4:极坐标与参数方程 22. (7 分)选修 4﹣4:坐标系与参数方程

在极坐标系中,已知直线 l 的极坐标方程为 ,半径为 .

,圆 C 的圆心是

(1)求圆 C 的极坐标方程; (2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长. 考点: 简单曲线的极坐标方程;直线与圆相交的性质. 专题: 直线与圆. 分析: (1)先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程,再利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y, 2 2 2 ρ =x +y ,进行代换即得圆 C 的极坐标方程. (2) 把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程, 再把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程, 求出圆心到直线的距离,再根据圆的半径,求出弦长. 解答: 解: (1)将圆心
2 2

,化成直角坐标为( 1,1) ,半径 r=
2 2

, (2 分)

故圆 C 的方程为(x﹣1) +(y﹣1) =2.即 x +y =2x+2y(4 分) 2 再将 C 化成极坐标方程,得 ρ =2ρsinθ+2ρ sinθ. (6 分) 化简,得 ρ =2
2

ρsin(θ+

) .此即为所求的圆 C 的极坐标方程. (10 分) ,可化为 x+y=2+ ,…(14 分)

(2)∵直线 l 的极坐标方程为 ∴圆 C 的圆心 C(1,1)到直线 l 的距离为 d= 又∵圆 C 的半径为 r= ,

=1,…(15 分)

∴直线 l 被曲线 C 截得的弦长 l=2

=2 …(16 分)

点评: 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,即利用直角坐标与极坐标间的关系,即利 用 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ =x +y ,进行代换即可. 选修 4-5:不等式选讲 23.设函数 f(x)=|2x+1|﹣|x﹣2|. (1)解不等式 f(x)>0; (2)已知关于 x 的不等式 a+3<f(x)恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)把要解的不等式转化为与之等价的 3 个不等式组,求出每个不等式组的解集, 再取并集,即得所求. (2)由题意可得,a+1<fmin(x) ,而由(1)可得 fmin(x)=f(﹣ ) ,从而求得 a 的范围. 解答: 解: (1)等式 f(x)>0 即|2x+1|﹣|x﹣2|>0, ∴ ①,或 ,
2 2 2





解①求得 x<﹣3,解②求得 <x<2,解③求得 x≥2, 故不等式的解集为(﹣∞,﹣3)∪( ,+∞) . (2)由题意可得,a+1<fmin(x) ,而由(1)可得 fmin(x)=f(﹣ )=﹣ , ∴a+1<﹣ ,解得 a<﹣ . 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,关键是去掉绝对值,化为与之等价的不等式组 来解,函数的恒成立问题,属于基础题.


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