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集合知识点归纳


高中数学第一章-集合 高中数学第一章 集合
考试内容: 考试内容: 集合、子集、补集、交集、并集. 考试要求: 考试要求: (1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念;了解空集和全集的意义;了解属于、包含、相等关系 的意义;掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合.

集 合知 识要 点
一、知识结构: 知识结构: 本 章 知 识 主 要 分 为 集 合 、 简 单 不 等 式 的 解 法 ( 集 合 化 简 )、 简 易 逻 辑 三 部 分 :

二、知识回顾: (一) 集合 1. 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用. 2. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 集合的性质: ①任何一个集合是它本身的子集,记为 A ? A ; ②空集是任何集合的子集,记为 φ ? A ; ③空集是任何非空集合的真子集; 如果 A ? B ,同时 B ? A ,那么 A = B. 如果 A ? B,B ? C,那么A ? C . [注]:①Z= {整数}(√)
Z ={全体整数} (×) ②已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集,则集合 A 也是有限集.(×) (例:S=N; A= N + ,则 CsA= {0}) ③空集的补集是全集. ④若集合 A=集合 B,则 CBA= ? ,CAB = ? CS(CAB) D = 3. ①{(x,y)|xy =0,x∈R,y∈R}坐标轴上的点集. ②{(x,y)|xy<0,x∈R,y∈R (注: AB = ? ) . C

} 二、四象限的点集.
高三数学总复习一—集合 — 1 —

③{(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R} 一、三象限的点集.
高中数学高考总复习

[注]:①对方程组解的集合应是点集. 例: ?
?x + y = 3 ?2 x ? 3 y = 1

解的集合{(2,1)}.

②点集与数集的交集是 φ . (例:A ={(x,y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则 A∩B = ? ) 4. ①n 个元素的子集有 2n 个. ②n 个元素的真子集有 2n -1 个. ③n 个元素的非空真子集有 2n-2 个. 5. ⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题 ? 逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题 ? 逆否命题. 例:①若 a + b ≠ 5,则a ≠ 2或b ≠ 3 应是真命题. 解:逆否:a = 2 且 b = 3,则 a+b = 5,成立,所以此命题为真. ② x ≠ 1且y ≠ 2, 解:逆否:x + y =3
∴ x ≠ 1且y ≠ 2

x + y ≠ 3.

x = 1 或 y = 2.

x + y ≠ 3 ,故 x + y ≠ 3 是 x ≠ 1且y ≠ 2 的既不是充分,又不是必要条件.

⑵小范围推出大范围;大范围推不出小范围. 3. 例:若 x f 5,? x f 5或 x p 2 . 4. 集合运算:交、并、补. 【并集】 在集合论和数学的其他分支中,一组集合的并集是这些集合的所有元素构成的集合,而不包含其他元素。 基本定义 : 若 A 和 B 是集合,则 A 和 B 并集是有所有 A 的元素和所有 B 的元素,而没有其他元素的集合。 A 和 B 的并集通常写作 "A ∪B"。 形式上:x 是 A ∪B 的元素,当且仅当 x 是 A 的元素,或 x 是 B 的元素。 举例:集合 {1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的并集是 {1, 2, 3, 4}。数字 9 不 属于素数集合 {2, 3, 5, 7, 11, …} 和 偶数集合 {2, 4, 6, 8, 10, …} 的并集,因为 9 既不是素数,也不是偶数。 更通常的,多个集合的并集可以这样定义:例如,A, B 和 C 的并集含有所有 A 的元素,所有 B 的元 素和所有 C 的元素,而没有其他元素。 形式上:x 是 A ∪B ∪C 的元素,当且仅当 x 属于 A 或 x 属于 B 或 x 属于 C。 代数性质: 二元并集(两个集合的并集)是一种结合运算,即 A ∪(B ∪C) = (A ∪B) ∪C。事实上,A ∪B ∪C 也 等于这两个集合,因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。 相似的,并集运算满足交换率,即集合的顺序任意。 空集是并集运算的单位元。即 {} ∪A = A,对任意集合 A。可以将空集当作零个集合的并集。 结合交集和补集运算,并集运算使任意幂集成为布尔代数。例如,并集和交集相互满足分配律,而且这三 种运算满足德·摩根律。若将并集运算换成对称差运算,可以获得相应的布尔环。 【交集】 数学上,两个集合 A 和 B 的交集是含有所有既属于 A 又属于 B 的元素,而没有其他元素的集合。 A 和 B 的交集写作 "A ∩B"。形式上: x 属于 A ∩B 当且仅当 x 属于 A 且 x 属于 B。 例如: 集合 {1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的交集为 {2, 3}。 数字 9 不属于素数集合 {2, 3, 5, 7, 11} 和奇数集合 {1, 3, 5, 7, 9, 11}的交集。 若两个集合 A 和 B 的交集为空,就是说他们没有公共元素,则他们不相交。 更一般的,交集运算可以对多个集合同时进行。例如,集合 A,B,C 和 D 的交集为 A ∩B ∩C∩D = A∩(B ∩(C ∩D))。交集运算满足结合律,即 A ∩(B∩C)=(A∩B) ∩C。
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最抽象的概念是任意非空集合的集合的交集。 M 是一个非空集合, 若 其元素本身也是集合, x 属于 M 则 的交集,当且仅当对任意 M 的元素 A,x 属于 A。 一般地,设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集,由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补 集(或余集)记作 CsA. 在集合论和数学的其他分支中,存在补集的两种定义:相对补集和绝对补集。 补集可以看作两个集合相减,有时也称作差集。 1:若 A,B,C 是集合,则下列恒等式成立: C ? (A ∩B) = (C ? A) ∪(C ? B) C ? (A ∪B) = (C ? A) ∩(C ? B) C ? (B ? A) = (A ∩C) ∪(C ? B) (B ? A) ∩C = (B ∩C) ? A = B ∩(C ? A) (B ? A) ∪C = (B ∪C) ? (A ? C) A?A= ? ? ?A=? A? ? =A 若给定全集 U,则 A 在 U 中的相对补集称为 A 的绝对补集(或简称补集) ,写作 AC,即: AC = U ? A 与补集有关的运算规律 求补律 A∪CsA=S A∩CsA=Φ 集合的性质: 确定性:每一个对象都能确定是不是某一集合的元素,没有确定性就不能成为集合,例如“个子高的同学” “很小的数”都不能构成集合。 互异性:集合中任意两个元素都是不同的对象。不能写成{1,1,2},应写成{1,2}。 无序性:{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合。 集合有以下性质:若 A 包含于 B,则 A∩B=A,A∪B=B 集合的表示方法:常用的有列举法和描述法。 1.列举法:常用于表示有限集合,把集合中的所有元素一一列举出来,写在大括号内,这种表示集合的方 法叫做列举法。{1,2,3,……} 2.描述法:常用于表示无限集合,把集合中元素的公共属性用文字,符号或式子等描述出来,写在大括号 内,这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}(x 为该集合的元素的一般形式,P 为这个集合的元素的共同 属性)如:小于π的正实数组成的集合表示为:{x|0<x<π} 3.图式法:为了形象表示集合,我们常常画一条封闭的曲线(或者说圆圈) ,用它的内部表示一个集合。 常用数集的符号: (1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集) ,记作 N (2)非负整数集内排除 0 的集,也称正整数集,记作 N+(或 N*) (3)全体整数的集合通常称作整数集,记作 Z (4)全体有理数的集合通常简称有理数集,记作 Q (5)全体实数的集合通常简称实数集,记作 R (6)复数集合计作 C

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交:A I B ? {x | x ∈ A, 且x ∈ B} 并:A U B ? {x | x ∈ A或x ∈ B} 补:C U A ? {x ∈ U , 且x ? A}
5. 主要性质和运算律 (1) 包含关系:

A ? A, Φ ? A, A ? U , C U A ? U , A ? B, B ? C ? A ? C ; A I B ? A, A I B ? B; A U B ? A, A U B ? B.

(2) 等价关系: A ? B ? A I B = A ? A U B = B ? C U A U B = U (3) 集合的运算律: 1.交换律 A∩B=B∩A A∪B=B∪A 2.结合律 (A∩B)∩C=A∩(B∩C) (A∪B)∪C=A∪(B∪C) 3.分配律 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 2 德.摩根律 Cs(A∩B)=CsA∪CsB Cs(A∪B)=CsA∩CsB 列举法和描述法是表示集合的常用方式。 吸收律 A∪(A∩B)=A A∩(A∪B)=A 求补律 A∪CsA=S A∩CsA=Φ

(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 1.整式不等式的解法 根轴法(零点分段法) 根轴法 ;(为了统一方便) ①将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式,并将各因式 x 的系数化“+” ②求根,并在数轴上表示出来; ③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么?) ; ④若不等式(x 的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在 x 轴上方的区间;若不等式是“<0”,则 找“线”在 x 轴下方的区间.

x1

x2

x3

x m-3

-

x m-2 x m-1

+

-

xm

+

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(自右向左正负相间) 则不等式 a 0 x + a1 x
n n ?1

+ a 2 x n ?2 + L + a n > 0(< 0)(a0 > 0) 的解可以根据各区间的符号确定.

特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论; 2 ②一元二次不等式 ax +box>0(a>0)解的讨论.

?>0
二次函数

?=0

?<0

y = ax 2 + bx + c
( a > 0 )的图象 一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

(a > 0)的根

ax + bx + c = 0
2

x1 , x2 ( x1 < x2 )

x1 = x2 = ?

b 2a

无实根

ax 2 + bx + c > 0 (a > 0)的解集 ax 2 + bx + c < 0 (a > 0)的解集

{x x < x 或x > x }
1 2

? b? ?x x ≠ ? ? 2a ? ?
?

R

{x x

1

< x <x2}

?

2.分式不等式的解法 (1)标准化:移项通分化为

f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) >0(或 <0); ≥0(或 ≤0)的形式, g ( x) g ( x) g ( x) g ( x) f ( x) f ( x) > 0 ? f ( x) g ( x) > 0; ≥ 0 ? ? f ( x) g ( x) ≥ 0 ? g ( x) ≠ 0 ? g ( x) g ( x)

(2)转化为整式不等式(组) 3.含绝对值不等式的解法

(1)公式法: ax + b < c ,与 ax + b > c(c > 0) 型的不等式的解法. (2)定义法:用“零点分区间法”分类讨论. (3)几何法:根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布 2 一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0) (1)根的“零分布” :根据判别式和韦达定理分析列式解之. (2)根的“非零分布” :作二次函数图象,用数形结合思想分析列式解之.

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