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正定中学11届一轮复习学案 学案四:不等式的证明


高三数学学案

5-14 班

不等式学案四

不等式的证明

下列等式:

一、考点梳理: 1、求差法:a>b ? a-b>0 a 2、求商法:a>b>0 ? ? 1并且 b ? 0 b
3、分析法——执果索因;模式: “欲证?, 只需证?” ; 4、综合法——由因导果;模式:根据不等 式性质等,演绎推理 5、放缩法证明不等式 6、用单调性证明不等式. 7、构造一元二次方程利用“Δ ”法证明不 等式. 8、数形结合法证明不等式. 9、反证法、换元法等.

a (1) b ? b c ? c a ? 1 (2)
2 2 2 2 2 2

1 ?2 3 abc

(3) (a ? b ? c) 2 ? 2 (4) a bc ? ab c ? abc ?
2 2 2

1 3

其中一定成立的式子有________
2 2 2 5、若 a ? b ? c ? 1 ,则 a ? b ? c 的最小值

为 __________ ___ 6、已知 x>0,y>0,x+ y =1, 求证: (1+

1 1 )(1+ ) ? 9 x y

二、考点自测: 1、已知下列不等式:

(1) x 2 ? 3? 2x( x ? R)
(2)a 5 ? b 5 ? a 3b 2 ? a 2b 3 (a, b ? R) (3)a 2 ? b 2 ? 2(a ? b ? 1)
个数为 A.0 B.1 2、1> a > b >0,那么 A. C. 2 其中正确的 D. 3

a >

a?b 2



ab



b

a?b > ab > a 2 a?b C. a > > b > 2 a?b D. > ab > a > b 2 ln 2 ln 3 ln 5 3、若 a= ,b= ,c= ,则( ) 2 3 5
B. b > A. a<b<c B. c<b<a C.c<a<b

ab

D. b<a<c

4、已知实数 a, b, c满足ab ? bc ? ca ? 1, 给出
1

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三、命题热点突破: 例 1、 求证:x
2

例 2、已知正数 a 、b 、c 满足 a ? b ? 2c , 求证: (1) c 2 ? ab (2) c ? c 2 ? ab ? a ? c ? c 2 ? ab

? y 2 ? 1 ? x ? y ? xy

2

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例 3、已知 a>1,n≥2,n∈N*.
求证: n a -1<

a ?1 . n

3

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例 4.设二次函数

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,方程
f ( x) ? x ? 0 的两个根 x1 、 x2 满足
0 ? x1 ? x 2 ? 1 。 a

(1) 当 x ? (0, x1 ) 时, 证明:x ? f ( x) ? x1 (2)设函数 f (x) 的图象关于直线 x ? x0 对 称,证明: x0 ?

x1 。 2

四、知识方法总结:

4

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学案四作业(不等式的证明)
一、选择: 1、不等式: (1)x3+3>2x; (2)a5+b5<a3b2
+ a2b3 ; 3 ) a2 + b2 ≥ 2(a + b - 1) ; 4 ) ( (

? 1 ?? 1 ?? 1 ? 设M ? ? ? 1?? ? 1?? ? 1?, ? a ?? b ?? c ? 6. 且a ? b ? c ? 1, a, b, c ? R ? ,

?

?

|

a b ? |? 2 恒成立的有( ) b a
A.(1)(2) B. (1)(3) C. (3)(4) D. (1)(2)(3)(4)

2.设a, b, c都是正实数, 则三个数a ? 1 1 b ? , c ? 满足 c a

1 , b

则M的取值范围是 1 1 A. [0, ] B.( ,1) 8 8 1 C. [-1, ] D. [8,+∞) 8
二、填空: 7. 已知函数 f(x)=ax +bx+c(a>0), ? , ? 为方程
2

A.都不大于是 2 B.都不小于是 2 C.至少有一个不大于 2 D.至少有一个不小 于2 3、已知 a、b 是不相等的正数,x=
a? b 2

f(x)=x 的两个根,且 0< ? ? ? ? 给出下列不等式①x<f(x) x>f(x) ④ ? > f(x) 其中成立的是__________

② ? < f(x)

1 ,0<x< ? , a




8.若 x,y 为正实数,且 x ?

y ?a x? y

y= a ? b ,则 x、y 的关系是( ) A.x>y B.y>x C.x> 2 y D.不能确定 4、给出下列三个命题: ①若 a ? b>-1,则

恒成立,则 a 的最小值为________

m 1 1 ? + 恒成 a?b b?c a?c 立,则 m 的取值范围是____
9.若 a>b>c,则

a b ? 1? a 1? b

② 若 正 整 数 m 和 n 满 足 m ? n, 则

m ?n ? m? ?

n 2
2 2

③设 P(x1,y1)为圆 O1:x +y =9 上任一点,圆 O2 以 Q(a,b)为圆心且半径为 1,当(a-x1 ) 2 2 +(b-y1) =1 时,圆 O1 与 O2 相切 其中假命题的个数为( ) A. 0 B. 1 C.2 D.3 5.若 x,y 是正数, ( x ? 则 最小值是( ) A. 3 B.

1 2 1 ) ? ( y ? )2 的 2y 2x
9 2
5

7 2

C.4

D.

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三、解答题
a b 10、 已知正数 x, y, a, b满足 ? ? 1, 求证 x y

x ? y ? ( a ? b)2

11 、 已 知 △ ABC 的 外 接 圆 半 径 R=1 , 1 S ?ABC ? , a 、 b 、 c 是三角形的三边, 4 1 1 1 令 s ? a ? b ? c , t ? ? ? 。求 a b c 证: t ? s

6

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2

12. t ? s 设 f(x)=3ax +2bx+c , 使 a+b+c=0,f(0)f(1)>0 求证: (1)方程 f(x)=0 有实根(2)-2<

b <-1 a

(3)设 x1, x2 是 f(x)=0 的两个实根,则

2 3 ? | x1-x2|< 3 3

7

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13. 已知数列{xn}{yn}满足 x1=x2=1,y1=y2=2, 并且

xn ?1 x y y ? ? n , n ?1 ? ? n ( ? 为 非 零 xn xn ?1 yn yn ?1

参数,n=2,3,4?) (1) 若 x1,x3, x5 成等比数列,求参数 ? 的值 (2) 当 ? >0 时,证明 (3) 当
x1 ? y1 x2 ? y2

xn?1 xn ? (n ? N ? ) yn?1 yn
时 , 证 明

?
?

>1

x ? yn x2 ? y2 ? ??? n ? (n ? N ? ) x3 ? y3 xn?1 ? yn?1 ? ? 1

注意: 本文件是河北正定中学 11 届高 三全体数学老师编写的教学学案, 是正中现用的教学资料。本人将本 文件发布于网上,是为了将正中的 一些优秀的学习方法和大家共享, 可以使大家从本文件有所收获。最 后, 若有转载, 请标明本文件作者: “河北正定中学 11 届所有数学老 师”

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