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三角函数1.0


第一讲

三角函数定义

1.任意角的三角函数 设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y), 那么角 α 的正弦、余弦、正切分别是 sinα=y,cosα=x,tanα y =x,它们都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的 比值为函数值的函数.

2.三角函数定义的拓展 已知角α终边上一点P(x

,y),求α的三角函数值时,可 y 先求出该点到原点的距离r,再利用下式求解:sinα= r , x y cosα= r ,tanα=x,这也是可看作三角函数的定义.

例 1.已知角 α 的终边经过点( 3,-1),则角 α 的 最小正值是( 2π A. 3 ) 11π B. 6 5π C. 6 3π D. 4

x 3 解析:∵r= ? 3? +?-1? =2,∴cosα= r = . 2
2 2

11π 又由题意知 α 是第四象限角,∴α 的最小正值是 . 6

答案:B

2π 例 2.若点 P 在 角的终边上,且 P 的坐标为(-1,y), 3 则 y 等于__________.

2π 解析:因 tan 3 =- 3=-y,∴y= 3.

答案: 3

3 例 3、已知角 α 的终边经过点 P(x,- 2) (x≠0),且 cosα= 6 1 x,求 sinα+ 的值. tanα 思维启迪:先根据任意角的三角函数的定义求 x,再求 sinα+ 1 的值. tanα

解析:∵P(x,- 2)(x≠0), ∴点P到原点的距离r= x2+2. 3 x 3 又cosα= x,∴cosα= 2 = x. 6 x +2 6 ∵x≠0,∴x=± 10.∴r=2 3. 当x= 10时,P点坐标为( 10,- 2), 由三角函数的定义, - 2 6 1 10 有sinα= =- , = =- 5, 6 tanα - 2 2 3

6 5+ 6 1 6 ∴sinα+ =- - 5=- ; tanα 6 6 6 5- 6 1 当x=- 10时,同理可求得sinα+tanα= . 6

6 5+ 6 6 5- 6 答案:- 或 . 6 6

例 4.已知点

? 3π 3π? P?sin 4,cos 4?落在角 ? ?

θ 的终边上,且

θ∈[0,2π),则 θ 的值为( π A.4 5π C. 4 3π B. 4 7π D. 4

)

3π 3π 解析:由 sin 4>0,cos 4 <0 知角 θ 是第四象限的角, 3π cos 4 7π ∵tanθ= 3π =-1,θ∈[0,2π),∴θ= 4 . sin 4 答案:D

例 5.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的非 2 5 负半轴.若 P(4,y)是角 θ 终边上一点,且 sinθ=- 5 , 则 y=__________.

解析:P(4,y)是角 θ 终边上一点,由三角函数的 2 5 定义知 sinθ= ,又 sinθ=- 5 , 2 16+y y 2 5 ∴ =- 5 ,解得 y=-8. 2 16+y y 答案:-8

谢谢大家!


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