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河北省故城县高级中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文


高二数学(文科)期中检测卷
时间 120 分钟 满分 150 分 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.满足 M? {a1,a2,a3,a4},且 M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合 M 的个数是( A.1 C.3 B.2 D.4 )

>1 2 2 2.设集合 P={x|x -x-2≥0},Q={y|y= x -1,x∈P},则 P∩Q=( 2 A.{m|-1≤m<2} C.{m|m≥2} B.{m|-1<m<2} D.{-1}

)

1 2 3.已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x + ,则 f(-1)=(

x

)

A.2 C.0

B.1 D.-2

4.数列{an}中,a2=2,a6=0 且数列{ A. C. 1 2 1 4 B. D. 1 3 1 6

1

an+1

}是等差数列,则 a4=(

)

5.过点 M(1,2)的直线 l 与圆 C:(x-2) +y =9 交于 A、B 两点,C 为圆心,当∠ACB 最小时,直线 l 的方程为( )

2

2

A.x=1 C.x-2y+3=0

B.y=1 D.x-y+1=0 )

3 3 → → → → 6. 在△ABC 中 , AB·BC=3, △ABC 的面积 S∈[ ,], 则AB与BC夹角的取值范围是( 2 2 π π A.[ , ] 4 3 π π B.[ , ] 6 4

1

π π C.[ , ] 6 3

π π D.[ , ] 3 2

7.设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面.下列命题中正确的是( A.若 α ⊥β ,m? α ,n? β ,则 m⊥n B.若 α ∥β ,m? α ,n? β ,则 m∥n C.若 m⊥n,m? α ,n? β ,则 α ⊥β D.若 m⊥α ,m∥n,n∥β ,则 α ⊥β

)

8.袋中有红、黄、绿三种颜色的球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,球的 颜色全相同的概率是( A. C. 2 27 2 9 ) B. D. 1 9 1 27

9.已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示,俯视图是等腰直角三角形,那么该三棱锥 的侧视图可能为( )

10.如果执行如图所示的程序框图, 输入正整数 n=6,m=4,那么输出的 p 等于(

)

2

A.720 B.360 C.240 D.120

1 1 1 3 5 * 11.设 n∈N ,f(n)=1+ + +?+ ,计算知 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)> 2 3 n 2 2 7 3,f(32)> ,由此猜想( 2 2n+1 A.f(2n)> 2 C.f(2 )≥
n

) B.f(n )≥
2

n+2
2

n+2
2

D.以上都不对

12.已知函数①y=sinx+cosx,②y=2 2sinxcosx,则下列结论正确的是( π A.两个函数的图象均关于点(- ,0)成中心对称图形 4 π B.两个函数的图象均关于直线 x=- 成轴对称图形 4 π π C.两个函数在区间(- , )上都是单调递增函数 4 4 D.两个函数的最小正周期相同

)

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知向量 a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a-c)∥b,则 k=________.

3

y-2≤0 ? ? 14.已知 x,y 满足?x+3≥0 ? ?x-y-1≤0

,则

x+2y-6 的取值范围是________. x -4

2 15.数列{an}的前 n 项之和为 Sn,Sn=1- a n,则 an=________. 3

16.已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,对于 x∈R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立,当

f?x1?-f?x2? x1,x2∈[0,3],且 x1≠x2 时,都有 > 0,给出下列命题: x1-x2
①f(3)=0; ②直线 x=-6 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在[-9,-6]上为增函数; ④函数 y=f(x)在[-9,9]上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为________.(把所有正确命题的序号都填上)

三、解答题(本大题共 6 小题,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) π 2 2 已知函数 f(x)=cos(2x- )+sin x-cos x. 3 (1)求函数 f(x)的最小正周期及图象的对称轴方程; (2)设函数 g(x)=[f(x)] +f(x),求 g(x)的值域. 18.(本小题满分 12 分) 已知{an}为等差数列,且 a3=-6,a6=0. (1)求{an}的通项公式; (2)若等比数列{bn}满足 b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前 n 项和公式.
2

19.(本小题满分 12 分) 如图,将一副三角板拼接,使它们有公共边 BC,且使两个三角形所在的平面互相垂直, 若∠BAC=90°,AB=AC,∠CBD=90°,∠BDC=60°,BC=6.

4

(1)证明:平面 ABD⊥平面 ACD; (2)求二面角 A-CD-B 的正切值.

20.(本小题满分 12 分) 口袋中有质地、大小完全相同的 5 个球,编号分别为 1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游 戏:甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶 数算甲赢,否则算乙赢. (1)求甲赢且编号的和为 6 的事件发生的概率; (2)这种游戏规则公平吗?试说明理由.

21.(本小题满分 12 分) 一束光线通过点 M(25,18)射到 x 轴上,被反射到圆 C:x +(y-7) =25 上. (1)求通过圆心的反射光线方程; (2)求在 x 轴上入射点 A 的活动范围.
2 2

22.(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=x+

a ,x∈[0,+∞). x+1

(1)当 a=2 时,求函数 f(x )的最小值; (2)当 0<a<1 时,求函数 f(x)的最小值

5

高二数学(文科)期中检测卷参考答案 1 解析:由题意得{a1,a2}? M? {a1,a2,a4}, 所以 M={a1,a2}或 M={a1,a2,a4}. 答案:B 1 1 1 2. 解析: P={x|x≥2 或 x≤-1}, 又 x∈P 时, y= x2-1∈[- , +∞), 故 Q={y|y≥- }, 2 2 2 故 P∩Q={m|m≥2}. 答案:C 3. 解析:因 f(x)为奇函数,故 f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2. 答案:D 4.解析:设公差为 d,由 4d= 答案:A 5. 解析:若∠ACB 最小,则 CM⊥l, 可知 C(2,0), 2-0 1 ∴kCM= =-2,∴直线 l 的斜率为 k= , 1-2 2 1 ∴直线 l 的方程为 y-2= (x-1),即 x-2y+3=0 2 答案:C → → 6. 解析:设AB与BC的夹角为 θ , → → → → 则AB·BC=|AB||BC|cosθ =3, 3 → → ∴|AB||BC|= . cosθ 1 → → 又 S△ABC= |AB||BC|sinθ 2 1 3 3 = × ×sinθ = tanθ , 2 cosθ 2 由题意 3 3 3 ≤ tanθ ≤ , 2 2 2 1

a6+1 a2+1



1

1 1 1 1 1 得 d= ,所以 = +2× ,解得 a4= . 6 a4+1 2+1 6 2



3 π π ≤tanθ ≤1,解得 ≤θ ≤ . 3 6 4

答案:B 7. 解析:由 m⊥α ,m∥n? n⊥α ,又 n∥β ,则 n 平行于 β 内某一直线 n′,此时 n′∥m, 于是 α ⊥β . 答案:D

6

3 1 8. 解析:基本事件总数为 27,颜色全相同的有 3 个,故 P(颜色全相同)= = . 27 9 答案:B 9. 解析:依题意可知,该三棱锥的侧视图可能是 D. 答案:D 10. 解析:由程序框图知,当 n=6,m=4,第一次循环:p=(6-4+1)×1=3,k=2; 第二次循环:p=(6-4+2)×3=12,k=3; 第三次循环:p=(6-4+3)×12=60,k=4; 第四次循环:p=(6-4 +4)×60=360,此时 k=m,终止循环; 输出 p=360,故选 B. 答案:B 11. 解析:由 f(2),f(4),f(8),f(16)可猜想 f(2 )≥ 答案:C π 12. 解析:由于 y=sinx+cosx= 2sin(x+ ),y=2 2sinxcosx= 2sin2x.对于 A、B 4 π π 选项, 当 x=- 时, y= 2sin(x+ )=0, y= 2sin2x=- 2, 因此函数 y=sinx+cosx 4 4 π π 的图象关于点(- ,0)成中心对称图形、不关于直线 x=- 成轴对称图形,函数 y=2 2 4 4 π π sinxcosx 的图象不关于点(- ,0)成中心对称图形、关于直线 x=- 成轴对称图形,故 4 4 π π A、B 选项均不正确;对于 C 选项,结合图象可知,这两个函数在区间(- , )上都是单 4 4 π 调递增函数, 因此 C 正确; 对于 D 选项, 函数 y= 2sin(x+ )的最小正周期是 2π , y= 2 4 sin2x 的最小正周期是 π ,D 不正确.综上所述,选 C. 答案:C 13. 解析:依题意得 a-c=(3-k,-6),3(3-k)+6=0,由此解得 k=5. 答案:5 14. 解析:
n

n+2
2

.

x+2y-6 y-1 y-1 =1+2· ,设 k= ,k 表示定点 P(4,1)与动点 N(x,y)连线的斜率, x-4 x-4 x-4

7

5 点 N 在如图所示的三角形 ABC 的边界上或内部, A(-3, -4), C(3,2), kCP=-1≤k≤kAP= , 7 所以

x+2y-6 10 17 ∈[1-2,1+ ]=[-1, ]. x-4 7 7
17 答案:[-1, ] 7

2 3 15. 解析:n=1 时,a1=S1=1- a1,得 a1= , 3 5

n≥2 时,Sn=1- an,Sn-1=1- an-1.
2 2 两式相减得 an= an-1- an, 3 3 5 2 an 2 即 an= an-1, = , 3 3 an-1 5 3 2 所以{an}是等比数列,首项为 a1= ,公比为 , 5 5 3 2 n- 1 所以 an= ·( ) . 5 5 3 2 n-1 答案: ·( ) 5 5

2 3

2 3

16. 解析:

由已知 f(x+6)=f(x)+f(3),令 x=-3 得 f(3)=

f(-3)+f(3),则 f(-3)=0,又函数为偶函数,故 f(-3)=f(3)=0,故①正确.据此可
得 f(x+6)=f(x),即函数以 6 为周期,由条件还可知函数在[0,3]上递增,据此可作出满 足题意的函数图象如图: 观察图象可知函数在[-9,-6]上递减,即③错,②④均正确,故应填①②④. 答案:①②④ 1 3 17. 解:(1)f(x)= cos2x+ sin2x-cos2x 2 2 = 3 1 π sin2x- cos2x=sin(2x- ). 2 2 6

2π ∴最小正周期 T= =π . 2 π π kπ π 由 2x- =kπ + ,k∈Z,得 x= + ,k∈Z. 6 2 2 3

8

∴函数图象的对称轴方程为 x= (2)g(x)=[f(x)] +f(x) π π 2 =sin (2x- )+sin(2x- ) 6 6 π 1 2 1 =[sin(2x- )+ ] - . 6 2 4
2



π + ,k∈Z. 2 3

π 1 1 当 sin(2x- )=- 时,g(x)取得最小值- , 6 2 4 π 当 sin(2x- )=1 时,g(x)取得最大值 2. 6 18. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d. 因为 a3=-6,a6=0, 所以?
?a1+2d=-6, ? ?a1+5d=0, ?

解得?

?a1=-10, ? ?d=2, ?

所以 an=-10+(n-1)·2=2n-12. (2)设等比数列{bn}的公比为 q. 因为 b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8, 所以-8q=-24,即 q=3, 所以{bn}的前 n 项和公式为 Sn= 19. 解:(1)∵∠CBD=90°, ∴BC⊥BD. ∵平面 ABC⊥平面 BCD,且平面 ABC∩平面 BCD=BC, ∴BD⊥平面 ABC, 又 AC? 平面 ABC,∴BD⊥AC. 又∵AC⊥AB,∴AC⊥平面 ABD,且 AC? 平面 ACD,

b1?1-qn? n =4(1-3 ). 1-q

∴平面 ABD⊥平面 ACD. (2)取 BC 的中点 O,连接 AO,则 AO⊥BC. 作 OF⊥CD,则 AF⊥CD, ∠AFO 即是二面角 A-CD-B 的平面角,

9

tan∠AFO= =2.

AO OF

20. 解: (1)设“甲胜且两数字之和为 6”为事件 A, 事件 A 包含的基本事件为(1,5), (2,4), (3,3),(4,2),(5,1),共 5 个. 5 1 又甲、乙二人取出的数字共有 5×5=25(个)等可能的结果,所以 P(A)= = . 25 5 (2)这种游戏规则不公平. 设“甲胜”为事件 B,“乙胜”为事件 C, 则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数有 13 个: (1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5), 13 13 12 所以甲胜的概率 P(B)= ,从而乙胜的概率 P(C)=1- = . 25 25 25 由于 P(B)≠P(C),所以这种游戏规则不公平. 21. 解:∵圆心 C(0,7),半径 r=5, (1)M 关于 x 轴的对称点 N(25,-18),由光的性质可知,过圆心的反射光线所在的直线 就是过 N、C 两点的直线,则过 N、C 的直线方程为 x+y-7=0,即为所求. (2)设过 N 的直线方程为 y+18=k(x-25), 即 kx-y-25k-18=0, 当它为圆 C 的切线 |-7-25k-18| 4 3 时,由 =5? k=- 或 k=- , 2 3 4 1+k 4 3 ∴过 N 与圆 C 相切的直线为 y+18=- (x-25)或 y+18=- (x-25),令 y=0,得 x 3 4 23 = 或 x=1, 2 ∵A 点活动范围在两切线与 x 轴的两交点之间, 23 ∴A 点在 x 轴上的活动范围是[1, ]. 2 22. 解:(1)把 a=2 代入 f(x)=x+ 得 f( x)=x+

a

x+1

中,

2 2 =x+1+ -1. x+1 x+1 2

由于 x∈[0,+∞),所以 x+1>0, 所以 f(x)≥2 2-1.

x+1

>0,

当且仅当 x+1=

2 , x+1
10

即 x= 2-1 时,f(x)取得最小值,最小值为 2 2-1. (2)因为 f(x)=x+

a a =x+1+ -1,(此时再利用 (1)的方法,等号取不到) x+1 x+1 a x1+1
- x2 -

设 x1 > x2≥0 , 则 f(x1) - f(x2) = x1 + ]. ?x1+1??x2+1?

a x2+1

= (x1 - x2)·[1 -

a

由于 x1>x2≥0,所以 x1-x2>0,x1+1>1,x2+1≥1, 所以(x1+1)(x2+1)>1,而 0<a<1, 所以 <1,所以 f(x1)-f(x2)>0, ?x1+1??x2+1? 即 f(x1)>f(x2),所以 f(x)在[0,+∞)上单调递 增, 所以 f(x)min=f(0)=a.

a

11


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