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高考数学立体几何基础小题练习


高考数学立体几何基础小题训练
1.设 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,则( A.若 m ? n , n // ? ,则 m ? ? B.若 m // ? , ? ? ? ,则 m ? ? C.若 m ? ? , n ? D.若 m ? n , n ? )

? , n ? ? ,则 m ? ? ? , ? ? ? ,则 m ? ?

2.如图,网格纸上小正方形边长为 1,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的体积为 ( ) .

(A)

8 3

(B)

4 (C) 4 3 3

(D) 2 3

3.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都 a,顶点都在一个球面上,则该球的表面 积大小为( )
2 2 (A) ? a (B) ? a (C)

7 3

11 2 ? a (D) 5? a 2 3

4. 已知某锥体的正视图和侧视图如图 2, 其体积为

2 3 , 则该锥体的俯视图可以是 ( 3



1

5.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积等于( )

A.

75 2

B. 30

C. 75

D. 15 )

6.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是(

(A)54 (B)27 (C)18 (D) 9 7.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

A.

40 3

B.

80 3

C.40

D.80

8.如图,四棱锥 P ? ABCD 中, ?ABC ? ?BAD ? 90 ? , BC ? 2 AD , ?PAB 和

?PAD 都是等边三角形,则异面直线 CD 与 PB 所成角的大小为(



P
A

D
C
A. 90 ? B. 75 ?

B
C. 60 ? D. 45 ?

9. 给出下列关于互不相同的直线 m 、 l 、 n 和平面 ? 、 ? 的四个命题: ①若 m ? ? , l ? ? ? A ,点 A ? m ,则 l 与 m 不共面; ② 若 m 、 l 是异面直线, l // ? , m // ? ,且 n ? l , n ? m ,则 n ? ? ; ③ 若 l // ? , m // ? , ? // ? ,则 l // m ;
2

④ 若 l ? ? , m ? ? , l ? m ? A , l // ? , m // ? ,则 ? // ? , 其中为真命题的是( ) A.①③④ B.②③④ C.①②④ D.①②③ 10.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的是( ) 1 1 2 1 侧(左)视图 1 1

正(主)视图 1 1 2 2 俯视图 (A) 7 (B) 15 2

(C) 23 3

(D) 47 6

11.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是 2 的圆,则这个几 何体的表面积是( )

正视图

左视图

俯视图

A. 24? B. 16? C. 12? D. 8? 12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多 面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )

A. 2 2

B. 6

C. 2 3

D. 3

3

13. 已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示,则在下列图形中,可以是该几何体的俯 视图的图形有 ( )

A.①②③⑤ B.②③④⑤ C.①②④⑤ D.①②③④ 14.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.7

B.

22 3

C.

47 6

D.

23 3

15.如图 1,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,PQ 是异面直线 A1 D 与 AC 的公垂线,则直 线 PQ 与 BD1 的位置关系为( )

A.平行

B.异面

C.相交

D.无法判断

16.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD - A 1B 1C1D 1 中,O 是底面 ABCD 的中心,E、F 分别是 CC1 、AD 的中点,那么异面直线 OE 和 FD1 所成角的余弦值等于

4

(A)

10 5
4 5

(B) .

15 5
2 3

(C)

(D)

17.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的直观图是( )

18. 将长方体截去一个四棱锥, 得到的几何体如图所示, 则该几何体的侧视图为 (



19.如图所示是正方体的平面展开图.在这个正方体中,①BM 与 ED 平行;②CN 与 BE 是 异面直线;③CN 与 BM 成 60°角;④DM 与 BN 是异面直线.以上四个命题中,正确命题 的序号是( )

5

A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④ 20.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,O 是底面 ABCD 的中心,M、N 分别是棱 DD1、D1C1 的中点, 则直线 OM( )

A.和 AC、MN 都垂直 B.垂直于 AC,但不垂直于 MN C.垂直于 MN,但不垂直于 AC D.与 AC、MN 都不垂直 21.如图所示,甲、乙、丙是三个立体图形的三视图,甲、乙、丙对应的标号正确的是 ( )

主视图

左视图

俯视图

主视图

左视图

俯视图

主视图

左视图

俯视图

(甲)

(乙)

(丙)

①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱 A.④③② B.②①③ C.①②③ D.③②④ 22.设 A、B、C、D 是球面上的四点,AB、AC、AD 两两互相垂直,且 AB ? 5 ,

AC ? 4 , AD ? 23 ,则球的表面积为( )
A. 36? B. 64? C. 100 ? D.

144 ?

23. 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别为 AB 、BC 中点, 则异面直线 EF 与

AB1 所成角的余弦值为

A.

3 2

B.

3 3

C.

2 2
6

D.

1 2

24.棱长为 2 的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示, 那么该几何体的体积是( )

A.

14 3

B.4

C.

10 3

D.3

25.已知 m、n 是两条不同的直线,α 、β 是两个不同的平面,给出下列命题: ①若 ? ? ? , m // ? ,则 m ? ? ; ②若 m ? ? , n ? ? ,且 m ? n ,则 ? ? ? ; ③若 m ? ? , m // ? ,则 ? ? ? ; ④若 m // ? , n // ? ,且 m // n ,则 ? // ? . 其中正确命题的序号是( ) A.①④ B.②④

C.②③

D.①③

7

参考答案 【答案】 C 【解析】 试题分析:A.若 m⊥n,n∥α ,则 m⊥α 或 m? α 或 m∥α ,故 A 错误. B.若 m∥β ,β ⊥α ,则 m⊥α 或 m? α 或 m∥α ,故 B 错误. C.若 m⊥β ,n⊥β ,n⊥α ,则 m⊥α ,正确. D.若 m⊥n,n⊥β ,β ⊥α ,则 m⊥α 或 m? α 或 m∥α ,故 D 错误. 考点:空间中直线与平面之间的位置关系 点评:本题考查了空间直线,平面之间的位置关系的判定,要求熟练掌握相应的判定定理和 性质定理。 2.A 【解析】 试题分析:由三视图可知,该几何体是如图所示的四棱锥 P ? ABCD .补成如图正方体,由
2 2 三 视 图 所 给 数 据 , S ABCD ? 2 2 ? 2 ? 4 2 , 几 何 体 的 高 即 正 方 体 面 对 角 线 一 半

h?

1 8 1 2 2 ? 22 ? 2 ,所以其体积为 V ? ? 4 2 ? 2 ? , 选 A . 3 3 2

考点:1.三视图 2.几何体的结构特征;3.几何体的体积. 3.B 【解析】 试题分析:由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心,求出球的半径,即可求出球的表 面积. 根据题意条件可知三棱柱是棱长都为 a 的正三棱柱, 上下底面中心连线的中点就是球心, 则

a 7 2 7 7 ?a? ? ? a, ? S=4? ? a 2= ? a 2, 其外接球的半径为 R= ? ? ? ? 故选 B. ?= 12 12 3 ? 2 ? ? 2sin60? ?
考点: 4.C 【解析】 试题分析:由正视图得:该锥体的高是 h ? 2 ?1 ? 3 ,因为该锥体的体积为
2 2

2

2

2 3 ,所 3

2 3 2 3 以该锥体的底面面积是 S ? 3 ? 3 ? 2 .A 项的正方形的面积是 2 ? 2 ? 4 ,B 项的圆 1 3 h 3 3

8

的 面 积 是 ? ?12 ? ? , C 项 的 三 角 形 的 面 积 是

1 ? 2 ? 2 ? 2, D 项 的 三 角 形 的 面 积 是 2

3 2 ? 2 ? 3 ,故选 C. 4
考点:1、三视图;2、锥体的体积. 5.B. 【解析】 试题分析:由题意可知该几何体的直观图如下图所示,

2 可知该几何体的体积为 5 ? 3 ? 3 ? ? 5 ? 3 ? 30 ,故选 B.

1 3

考点:三视图. 6.C 【解析】 试题分析:由几何体的三视图可知,这是一个四棱锥,且底面为矩形,长 6,宽 3;体高为 3. 则V ?

1 1 Sh ? ? 6 ? 3 ? 3 ? 18 ,故选:C. 3 3

考点:由三视图求面积、体积. 7.A 【解析】 试题分析:由三视图,可知:该几何体是一个四棱锥(如图所示) ,底面为直角梯形(两 底边分别为 1,4 ;直角腰为 4 ;且 PA ? 平面 ABCD , PA ? 4 ;所以该几何体的体积

1 1 1 40 V ? S ABCD ? PA ? ? ? (1 ? 4) ? 4 ? . 3 3 2 3

考点:1.三视图;2.四棱锥的体积. 8.A 【解析】 试题分析:延长 DA 至 E ,使 AE ? DA ,连接 PE, BE ,

9

因为 ?ABC ? ?BAD ? 90 ? , BC ? 2 AD ,所以 DE ? BC, DE / / BC 所以四边形 CBED 为平行四边形,所以, CD / / BE 所以 ?PBE 就是异面直线 CD 与 PB 所成的角 在 ?PAE 中, AE ? PA, ?PAE ? 120 由余弦定理得: PE ?

PA2 ? AE2 ? 2 ? PA? AE cos ?PAE

? 1? ? AE 2 ? AE 2 ? 2 ? AE ? AE ? ? ? ? ? 3 AE ? 2?
在 ?ABE 中, AE ? AB, ?BAE ? 90 ,所以, BE ? 因为 ?PAB 是等边三角形,所以, PB ? AB ? AE 所以, PB2 ? BE 2 ? AE 2 ? 2 AE 2 ? 3 AE 2 ? PE 2 所以, ?PBE ? 90 ,故选 A.

2 AE

考点:1、异面直线所成的角;2、余弦定理;3、空间直线的位置关系. 9.C 【解析】 试题分析: ①若 m ? ? , l ? ? ? A ,点 A ? m ,则直线 l 与 m 是异面直线,所以不共面,所以命题正 确; ②若 m 、 l 是异面直线, l // ? , m // ? ,且 n ? l , n ? m ,则在平面 ? 内任取一点 O , 可过点 O 在平面内分别作直线 m 、 l 的平行线 m?, l ? ,则 m?

l? ? O

由 n ? l , n ? m ,得 n ? l ? , n ? m? ,所以, n ? ? ,所以命题②正确; ③若 l // ? , m // ? , ? // ? ,则 l // m 或, l 与 m 相交,或 l 与 m 异面;所以命题③不 正确; ④ 若 l ? ? , m ? ? , l ? m ? A , l // ? , m // ? ,根据两平面平行的判定定理,一个平

10

面内有两条相交直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行,所以有 ? // ? ,因此命题④ 正确; 所以正确的命题有①②④,故选 C. 考点:空间直线与平面的位置关系. 10.D 【解析】
1 1 47 23 ? ?1? ?12 ? 3 2 6 , 试题分析:几何体为一个正方体截去一个角(三棱锥) ,所以体积为 选 D.

考点:三视图 11.B 【解析】

3 1 ,缺口部分为挖去球体的 .球的半径 4 4 3 R=2 , 这 个 几 何 体 的 表 面 积 等 于 球 的 表 面 积 的 加上大圆的面积,所以 4 3 S ? ? 4? R 2 ? ? R 2 ? 16? ,故选 B. 4
试题分析:由三视图可知该几何体为一个球体的 考点:空间几何体的三视图. 12.D 【解析】 试题分析:多面体为如图三棱锥 ABCD:AB=2,BC=2,BD=CD= 5 ,AC= 2 2 ,最长棱为 AD=3

11

A

B

D

C

考点:三视图 13.D 【解析】 试题分析:由三视图知识分析可知 D 正确. 考点:三视图. 14.D 【解析】 试题分析:根据三视图可知,原几何体是在棱长为 2 的正方体的上,截去两个三棱锥 (V ?

1 1 ? ? 1? 1? 3 2

?1 ?

1 1 23 ) ,所以几何体的体积为 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? .答案为 D. 6 6 3

考点:1.空间几何体的三视图;2.三棱锥的体积. 15.A 【解析】 试题分析:

A1D / / B1C, PQ ? A1D ? PQ ? B1C 又

PQ ? AC 1 ? PQ ? 平 面 AB 1C

AC ? BD, AC ? DD1 ? AC ? BD1 , 同 理 B1C ? BD1 , 所 以 BD1 平 面 AB 1 C ,所以 PQ / / BD1
考点:空间平行与垂直的转化 16.B 【解析】

12

试题分析: 取 BC 的四等分点 G, 连接 EG, OG, EG 所成的角, 在

D1F ??OEG 为异面直线 CE 与 FD1


?OGE

1 5 2 2 2 2 EG ? EC 2 ? CG 2 ? 12 ? ( )2 ? , OE ? EC ? OC ? 1 ? ( 2) ? 3 , 2 2
OG ? 5 15 ? cos ?OEG ? 2 5

考点:本题考查异面直线所成的角 点评:解决本题的关键是用中位线平移找到异面直线所成的角,再用余弦定理求角。 17.B 【解析】 试题分析:根据正视图,排除 AD ,根据侧视图排除 C 考点:由三视图画直观图 18.D 【解析】 试题分析:由题可知,被截去的四棱锥的三条可见棱中,在两条为长方体的两条对角线,它 们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合,另一条为体对角线,它在右侧面上 的投影与右侧面的对角线重合,对照各图,D 符合题意。 考点:几何体的三视图 19.C 【解析】 试题分析:由题可知,将正方体的平面展开图还原,①BM 与 ED 是异面直线,故错误;②CN 与 BE 平行,故错误;③因为三角形 BEM 是等边三角形,BM 与 BE 成 60°角,又因为 BE//CN, 所以 CN 与 BM 成 60°角,故正确;④从图中显然得到 DM 与 BN 是异面直线,故正确; 考点: 柱、锥、台、球的结构特征 20.A 【解析】 试题分析: 此题的条件使得建立空间坐标系方便, 且选项中研究的位置关系也适合用空间向 量来证明其垂直关系,故应先建立坐标系,设出边长,据几何特征,给出各点的坐标,验证 向量内积是否为零. 解:以 DA、DC、DD1 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长 为 2a,则 D(0,0,0) 、D1(0,0,2a) 、M(0,0,a) 、A(2a,0,0) 、C(0,2a,0) 、O (a,a,0) 、N(0,a,2a) . ∴ ∴ =(﹣a,﹣a,a) , ? =0, ? =0, =(0,a,a) , =(﹣2a,2a,0) .

∴OM⊥AC,OM⊥MN. 故选 A. 点评: 考查用空间向量的方法来判断线线垂直, 本题的方法是空间向量应用于立体几何中的 主要方式,可以看到用向量法解决本题,大大降低了思维的难度.

13

21.A. 【解析】 试题分析:由三视图能判断甲是圆柱,乙是三棱锥,丙是圆锥. 考点:空间几何体的三视图. 22.B 【解析】 试题分析:因为 A、B、C、D 是球面上的四点,AB、AC、AD 两两互相垂直,且 AB ? 5 ,

AC ? 4 , AD ? 23 , 所 以 以 AB 、 AC 、 AD 为 棱 长 的 长 方 体 的 题 对 角 线 长 为
所以球的直径为 8, 半径为 4, 所以球的表面积为 4? ? 42 ? 64? , 52 ? 42 ? 23 ? 64 ? 8 , 故正确答案为 B. 考点:本题考查空间几何体的性质,运用. 23.D 【解析】 试题分析: 异面直线 EF 与 AB1 所成的角等于 AC 与 AB1 所成的角, 又 ?ACB1 为等边三角形, 所以异面直线 EF 与 AB1 所成角的余弦值为 考点:异面直线所成的角. 24.B
1 【解析】几何体如图,体积为: ? 23 ? 4 ,故选 B 2

1 2

考点:三视图,几何体体积 25.C. 【解析】 试题分析:当 ? ? ?,m / /? 时,有 m ? ?,m / / ?,m ? ? 等多种可能情况,所以①不正确; 当 m / /?,n / / ?,且m / / n 时, ? / / ? 或 ?,? 相交,所以④不正确,故选 C. 考点:直线与平面垂直的判定;平面与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定.

14



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