tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

2015步步高理科数学第七章 7.4


数学

R A(理)

§7.4 合情推理与演绎推理
第七章 不等式、推理与证明

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.推理 根据 一个或几个已知的判断 来确定一个新的判断, 这种思维 方式叫做推理.推理一般分为 合情推理 与 演绎推理 两类. 2.合情推理 归纳推理 由某类事物的 部分对象 具有某些特征,推出该类事 定 物的 全部对象 都具有这 义 些特征的推理,或者由 个别事实 概括出 一般结论 的推理
基础知识 题型分类

类比推理 由两类对象具有 某些 类似特征和其中一类对 象的 某些已知特征 ,推 出另一类对象也具有这 些特征的推理

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

特 由 部分 到 整体 、由 个别 点 到 一般 的推理 一 (1)通过观察个别情况发现某 般 些相同性质; (2)从已知的相同 步 性质中推出一个明确的一般 骤 性命题(猜想)

由 特殊 到 特殊 的 推理 (1)找出两类事物之间相 似性或一致性;(2)用一 类事物的性质去推测另 一类事物的性质,得出 一个明确的命题(猜想)

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

3.演绎推理 (1)定义:从 一般性的原理 出发,推出 某个特殊情况

下的结论,我们把这种推理称为演绎推理; (2)特点:演绎推理是由
一般到特殊

的推理;

(3)模式:三段论.“三段论”是演绎推理的一般模式, 包括:

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

“三段 论”的 结构

①大前提——已知的 一般原理 ②小前提——所研究的特殊情况;



③结论——根据一般原理, 对 特殊情况 做出的判断. . . ③结论

“三段 ①大前提—— M是P 论”的 ②小前提—— 表示 ——S 是 P.
基础知识 题型分类

S是 M

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5
2 2 2 2

答案
(1)× (2) √ (3) × (4) √ (5) ×(6) √

解析

B D
1 -2 +3 -4 +?+(-1) n =(-1) · 2 T8 T12 T4 T 8
n+1 2 n+1 n?n+1?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 归纳推理
思维启迪 解析 思维升华

1 【例 1】 设 f(x)= x , 3+ 3 先 分 别 求 f(0) + f(1) , f( - 1) + f(2) , f( - 2) + f(3),然后归纳猜想一般 性结论,并给出证明 .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 归纳推理
思维启迪 解析 思维升华

1 【例 1】 设 f(x)= x , 3+ 3 先 分 别 求 f(0) + f(1) , f( - 1) + f(2) , f( - 2) + f(3),然后归纳猜想一般 性结论,并给出证明 .
解 题 的 关 键 是 由 f(x) 计 算 各 式,利用归纳推理得出结论并 证明.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 归纳推理
解析 思维升华 1 1 f(0)+ f(1)= 0 + 3 + 3 31+ 3 3-1 1 1 = + = + 2 1+ 3 3+ 3 3- 3 3 = , 6 3 3 同理可得:f(- 1)+ f(2)= , 3 3 f(-2)+f(3)= , 并注意到在这三个 3 思维启迪

1 【例 1】 设 f(x)= x , 3+ 3 先 分 别 求 f(0) + f(1) , f( - 1) + f(2) , f( - 2) + f(3),然后归纳猜想一般 性结论,并给出证明 .

特殊式子中,自变量之和均等于 1. 归纳猜想得:当 x1+x2=1 时,均 3 为 f(x1)+f(x2)= 3 .
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
题型一 归纳推理
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

证明:设 x1+x2=1, 1 1 1 设 f(x)= x , ∵f(x1)+f(x2)= 3x ? 3 ? 3x ? 3 3+ 3
1 2

先 分 别 求 f(0) + f(1) , f( - 1) + f(2) , f( - 2) + f(3),然后归纳猜想一般 性结论,并给出证明 .

(3x1 ? 3) ? (3x2 ? 3 ) ? (3x1 ? 3)(3x2 ? 3 )

3x1 ? 3x2 ? 2 3 ? x ?x 3 1 2 ? 3(3x1 ? 3x2 ) ? 3

3x1 ? 3x2 ? 2 3 ? 3(3x1 ? 3x2 ) ? 2 ? 3
3x1 ? 3x2 ? 2 3 3 ? ? . x1 x2 3 3(3 ? 3 ? 2 3
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
题型一 归纳推理
思维启迪 解析 思维升华

1 (1)归纳是依据特殊现象推断出一般 【例 1】 设 f(x)= x , 3+ 3 现象,因而由归纳所得的结论超越 先 分 别 求 f(0) + f(1) ,
了前提所包含的范围.

(2) 归纳的前提是特殊的情况,所以 基础之上的.
(3) 归纳推理所得结论未必正确,有 待进一步证明,但对数学结论和科 学的发现很有用.

f( - 1) + f(2) , f( - 2) + 归纳是立足于观察、经验或试验的 f(3),然后归纳猜想一般 性结论,并给出证明 .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)观察下列等式 1= 1 2+ 3+ 4= 9 3+ 4+ 5+ 6+ 7= 25 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 10= 49 ? 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81 照此规律,第五个等式应为 _______________________________________. 1 1 1 5 (2)已知 f(n)= 1+ + +?+ (n∈ N*),经计算得 f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3, 2 3 n 2 7 f(32)> ,则有 ______________________________. 2

解析 (1)由于 1=12,2+3+4=9=32,3+4+5+6+7=25=52,4 +5+6+7+8+9+10=49=72, 所以第五个等式为 5+6+7+8 +9+10+11+12+13=92=81.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)观察下列等式 1= 1 2+ 3+ 4= 9 3+ 4+ 5+ 6+ 7= 25 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 10= 49 ? 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81 照此规律,第五个等式应为 _______________________________________. 1 1 1 5 (2)已知 f(n)= 1+ + +?+ (n∈ N*),经计算得 f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3, 2 3 n+2 n 2 n * 7 f (2 )> ( n ≥ 2 , n ∈ N ) f(32)> ,则有 ______________________________. 2 2

4 3 5 4 6 5 7 (2)由题意得 f(2 )>2,f(2 )>2,f(2 )>2,f(2 )>2, n n+2 所以当 n≥2 时,有 f(2 )> 2 . n n+2 故填 f(2 )> 2 (n≥2,n∈N*).
2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

类比推理
已知数列{an}为等差
思维启迪 解析 答案 思维升华

数列,若 am= a , an= b(n- m≥ 1 , m, n∈ N*),则 am+ n nb- ma = . 类比等差数列 {an} n- m 的上述结论,对于等比数列 {bn}(bn>0,n∈ N*), 若 bm= c, bn= d(n- m≥ 2,m,n∈ N*), 则可以得到 bm+n= ________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

类比推理
已知数列{an}为等差
*

思维启迪

解析

答案

思维升华

数列,若 am= a , an= b(n- m≥ 1 , m, n∈ N ),则 am+ n nb- ma = . 类比等差数列 {an} n- m 的上述结论,对于等比数列 {bn}(bn>0,n∈ N*), 若 bm= c, bn= d(n- m≥ 2,m,n∈ N*), 则可以得到 bm+n= ________.
基础知识 题型分类

等差数列 {an} 和等比数列 {bn} 类比时,等差数列的公差对应 等比数列的公比,等差数列的 加减法运算对应等比数列的 乘除法运算,等差数列的乘除 法运算对应等比数列中的乘 方开方运算.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

类比推理
已知数列{an}为等差
思维启迪 解析 答案 思维升华

数列,若 am= a , an= b(n- m≥ 1 , m, n∈ N*),则 am+ n nb- ma = . 类比等差数列 {an} n- m

设数列{an}的公差为 d, 数列{bn} 的公比为 q.

因为 an=a1+(n-1)d, bn=b1qn-1, nb-ma 的上述结论,对于等比数列 am+n= , * n - m {bn}(bn>0,n∈ N ), 若 bm= c, n-m dn * bn= d(n- m≥ 2,m,n∈ N ), 所以类比得 bm+n= cm
则可以得到 bm+n= ________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

类比推理
已知数列{an}为等差
思维启迪 解析 答案 思维升华

数列,若 am= a , an= b(n- m≥ 1 , m, n∈ N*),则 am+ n nb- ma = . 类比等差数列 {an} n- m

设数列{an}的公差为 d, 数列{bn} 的公比为 q.

因为 an=a1+(n-1)d, bn=b1qn-1, nb-ma 的上述结论,对于等比数列 am+ n= , * n - m {bn}(bn>0,n∈ N ), 若 bm= c, n-m dn * bn= d(n- m≥ 2,m,n∈ N ), 所以类比得 bm+n= m c n- m dn
则可以得到 bm+n= ________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

cm

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

类比推理
已知数列{an}为等差
*

思维启迪

解析

答案

思维升华

数列,若 am= a , an= b(n- m≥ 1 , m, n∈ N ),则 am+ n nb- ma = . 类比等差数列 {an} n- m 的上述结论,对于等比数列 {bn}(bn>0,n∈ N*), 若 bm= c, bn= d(n- m≥ 2,m,n∈ N*), 则可以得到 bm+n= ________.
基础知识 题型分类

(1) 进行类比推理,应从具体问 题出发,通过观察、分析、联想 进行对比,提出猜想 .其中找到 合适的类比对象是解题的关键 .
(2) 类比推理常见的情形有平面 与空间类比; 低维的与高维的类 比;等差数列与等比数列类比; 数的运算与向量的运算类比; 圆 锥曲线间的类比等 .
思想方法 练出高分

n- m dn cm

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

类比推理
已知数列{an}为等差
思维启迪 解析 答案 思维升华

数列,若 am= a , an= b(n- m≥ 1 , m, n∈ N*),则 am+ n nb- ma = . 类比等差数列 {an} n- m 的上述结论,对于等比数列 {bn}(bn>0,n∈ N*), 若 bm= c, bn= d(n- m≥ 2,m,n∈ N*), 则可以得到 bm+n= ________.
基础知识 题型分类

(3)在进行类比推理时,不仅要注 意形式的类比,还要注意方法的 类比,且要注意以下两点:①找 两类对象的对应元素,如:三角 形对应三棱锥,圆对应球,面积 对应体积等等; ② 找对应元素的 对应关系, 如: 两条边(直线)垂直 对应线面垂直或面面垂直,边相 等对应面积相等.
思想方法 练出高分

n- m dn cm

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (1)给出下列三个类比结论: ① (ab)n=anbn 与 (a+b)n 类比,则有 (a+b)n=an+bn; ② loga(xy)= logax+ logay 与 sin(α+ β)类比, 则有 sin(α+ β)= sin αsin β; ③ (a+ b)2=a2+2ab+b2 与 (a+b)2 类比,则有 (a+b)2=a2+2a· b+b2. 其中结论正确的个数是 (B ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形,则矩形的对角 a2+b2 线长即为直角三角形外接圆直径,以此可求得外接圆半径 r= 2 (其中 a,b 为直角三角形两直角边长).类比此方法可得三条侧棱长分别 a2+b2+c2 为 a,b,c 且两两垂直的三棱锥的外接球半径 R=________________. 2

解析 (1)①②错误,③正确.
(2)由平面类比到空间,把矩形类比为长方体,从而得出外接球 半径.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 演绎推理
思维启迪 解析 思维升华

【例 3 】 已知函数 f( x )= a - x (a>0,且 a≠1). a+ a (1)证明: 函数 y=f(x)的图象关 1 1 于点( ,- )对称; 2 2 (2)求 f(-2)+f(-1)+ f(0)+ f(1)+f(2)+f(3)的值.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 演绎推理
思维启迪 解析 思维升华

【例 3 】 已知函数 f( x )= a - x (a>0,且 a≠1). a+ a

证明本题依据的大前提是中心对 称的定义,函数 y= f(x)的图象

(1)证明: 函数 y=f(x)的图象关 上的任一点关于对称中心的对 1 1 称点仍在图象上 .小前提是 f(x) 于点( ,- )对称; 2 2 a =- x (a>0 且 a≠1)的图象 a+ a (2)求 f(-2)+f(-1)+ f(0)+ 1 1 关于点( ,- )对称. 2 2 f(1)+f(2)+f(3)的值.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 演绎推理
思维启迪 解析 思维升华

【例 3 】 已知函数 f( x )= a - x (a>0,且 a≠1). a+ a

(1)证明

函数 f(x)的定义域为全体

实数,任取一点(x,y),

1 1 它关于点( , - )对称的点的坐标为 2 2 (1)证明: 函数 y=f(x)的图象关 (1-x,-1-y). 1 1

于点( ,- )对称; 2 2

(2)求 f(-2)+f(-1)+ f(0)+ f(1)+f(2)+f(3)的值.
基础知识 题型分类

a 由已知得 y=- x ,则-1 -y a+ a a ax =-1+ x =- x , a+ a a+ a
思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 演绎推理
思维启迪 解析 思维升华

【例 3 】 已知函数 f( x )= a - x (a>0,且 a≠1). a+ a

(1)证明: 函数 y=f(x)的图象关 1 1 ∴-1-y=f(1-x),即函数 y=f(x) 于点( ,- )对称; 2 2 1 1 (2)求 f(-2)+f(-1)+ f(0)+ f(1)+f(2)+f(3)的值.
基础知识 题型分类

a a f(1 - x) =- 1- x =- a a + a + a ax a· ax ax =- =- x , a+ a· ax a+ a

的图象关于点(2,-2)对称.
(2) 解

由(1)知-1-f(x) =f(1-x) ,

即 f(x)+f(1-x)=-1.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 演绎推理
思维启迪 解析 思维升华

【例 3 】 已知函数 f( x )= a - x (a>0,且 a≠1). a+ a

∴f( - 2)+ f(3) =- 1 , f(- 1) + f(2)=-1,f(0)+ f(1)=-1.

(1)证明: 函数 y=f(x)的图象关 1 1 则 f( - 2) + f( - 1) + f(0) + f(1) 于点( ,- )对称; 2 2 +f(2)+f(3)=-3. (2)求 f(-2)+f(-1)+ f(0)+ f(1)+f(2)+f(3)的值.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 演绎推理
思维启迪 解析 思维升华

【例 3 】 已知函数 f( x )= a - x (a>0,且 a≠1). a+ a

演绎推理是由一般到特殊的推 理,常用的一般模式为三段论, 演绎推理的前提和结论之间有

(1)证明: 函数 y=f(x)的图象关 1 1 着某种蕴含关系, 解题时要找准 于点( ,- )对称; 2 2 正确的大前提,一般地,若大前 (2)求 f(-2)+f(-1)+ f(0)+ f(1)+f(2)+f(3)的值.
基础知识 题型分类

提不明确时, 可找一个使结论成 立的充分条件作为大前提 .
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 已知函数 y=f(x), 满足: 对任意 a, b∈R, a≠b,都有 af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a),试证明:f(x)为 R 上的单调增函数.
证明 设 x1,x2∈R,取 x1<x2,
则由题意得 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),
∴x1[f(x1)-f(x2)]+x2[f(x2)-f(x1)]>0, [f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0, ∵x1<x2,∴f(x2)-f(x1)>0,f(x2)>f(x1).

所以 y=f(x)为 R 上的单调增函数.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点7
高考中的合情推理问题
典例:(1)(5 分 )(2013· 湖北 )古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如 n? n+ 1? 1 2 1 三角形数 1,3,6,10,?,第 n 个三角形数为 = n + n,记第 n 个 k 边形数 2 2 2 为 N(n, k)(k≥ 3),以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 1 1 三角形数 N(n,3)= n2+ n, 2 2 正方形数 N(n,4)= n2, 3 1 五边形数 N(n,5)= n2- n, 2 2 六边形数 N(n,6)= 2n2- n ??????????????? 可以推测 N(n, k)的表达式,由此计算 N(10,24)= __________.

思 维 启 迪

解 析

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点7
高考中的合情推理问题
典例:(1)(5 分 )(2013· 湖北 )古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如 n? n+ 1? 1 2 1 三角形数 1,3,6,10,?,第 n 个三角形数为 = n + n,记第 n 个 k 边形数 2 2 2 为 N(n, k)(k≥ 3),以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 1 1 三角形数 N(n,3)= n2+ n, 2 2 正方形数 N(n,4)= n2, 3 1 五边形数 N(n,5)= n2- n, 2 2 六边形数 N(n,6)= 2n2- n ??????????????? 可以推测 N(n, k)的表达式,由此计算 N(10,24)= __________.

思 维 启 迪

解 析

温 馨 提 醒

从已知的部分 k 边形数观察一般规律写出 N(n, k), 然后求 N(10,24).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点7
高考中的合情推理问题
典例:(1)(5 分 )(2013· 湖北 )古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如 n? n+ 1? 1 2 1 三角形数 1,3,6,10,?,第 n 个三角形数为 = n + n,记第 n 个 k 边形数 2 2 2 为 N(n, k)(k≥ 3),以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 1 1 三角形数 N(n,3)= n2+ n, 2 2 正方形数 N(n,4)= n2, 3 1 五边形数 N(n,5)= n2- n, 2 2 六边形数 N(n,6)= 2n2- n ??????????????? 可以推测 N(n, k)的表达式,由此计算 N(10,24)= __________.

温 馨 提 醒 k-2 2 2 由 N(n,4)=n , N(n,6)=2n -n, 可以推测: 当 k 为偶数时, N(n, k)= 2 4-k 2 n+ n, 2 思 维 启 迪
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

解 析

题型分类·深度剖析
高频小考点7
高考中的合情推理问题
典例:(1)(5 分 )(2013· 湖北 )古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如 n? n+ 1? 1 2 1 三角形数 1,3,6,10,?,第 n 个三角形数为 = n + n,记第 n 个 k 边形数 2 2 2 为 N(n, k)(k≥ 3),以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 1 1 三角形数 N(n,3)= n2+ n, 2 2 正方形数 N(n,4)= n2, 3 1 五边形数 N(n,5)= n2- n, 2 2 六边形数 N(n,6)= 2n2- n ??????????????? 1 000 可以推测 N(n, k)的表达式,由此计算 N(10,24)= __________.

思 维 启 迪

解 析

温 馨 提 醒

24-2 4-24 ∴N(10,24)= ×100+ ×10 2 2 =1 100-100=1 000.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点7
高考中的合情推理问题
典例:(1)(5 分 )(2013· 湖北 )古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如 n? n+ 1? 1 2 1 三角形数 1,3,6,10,?,第 n 个三角形数为 = n + n,记第 n 个 k 边形数 2 2 2 为 N(n, k)(k≥ 3),以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 1 1 三角形数 N(n,3)= n2+ n, 2 2 正方形数 N(n,4)= n2, 3 1 五边形数 N(n,5)= n2- n, 2 2 六边形数 N(n,6)= 2n2- n ??????????????? 1 000 可以推测 N(n, k)的表达式,由此计算 N(10,24)= __________.

思 维 启 迪
常会考到;

解 析

温 馨 提 醒

(1)合情推理可以考查学生的抽象思维能力和创新能力,在每年的高考中经

(2)合情推理的结论要通过演绎推理来判断是否正确.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点7
高考中的合情推理问题
x2 y2 (2)(5 分)若 P0(x0,y0)在椭圆 2+ 2= 1(a>b>0)外,过 P0 作椭圆的两条切线的切 a b x0x y0y 点为 P1,P2,则切点弦 P1P2 所在的直线方程是 2 + 2 = 1,那么对于双曲线则 a b 2 2 x y 有如下命题:若 P0(x0, y0)在双曲线 2- 2= 1(a>0,b>0)外,过 P0 作双曲线的 a b 两条切线,切点为 P1,P2,则切点弦 P1P2 所在直线的方程是______________.

思 维 启 迪

解 析

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点7
高考中的合情推理问题
x2 y2 (2)(5 分)若 P0(x0,y0)在椭圆 2+ 2= 1(a>b>0)外,过 P0 作椭圆的两条切线的切 a b x0x y0y 点为 P1,P2,则切点弦 P1P2 所在的直线方程是 2 + 2 = 1,那么对于双曲线则 a b 2 2 x y 有如下命题:若 P0(x0, y0)在双曲线 2- 2= 1(a>0,b>0)外,过 P0 作双曲线的 a b 两条切线,切点为 P1,P2,则切点弦 P1P2 所在直线的方程是______________.

思 易 维 错 启 分 迪 析

解 析

温 馨 提 醒

直接类比可得.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点7
高考中的合情推理问题
x2 y2 (2)(5 分)若 P0(x0,y0)在椭圆 2+ 2= 1(a>b>0)外,过 P0 作椭圆的两条切线的切 a b x0x y0y 点为 P1,P2,则切点弦 P1P2 所在的直线方程是 2 + 2 = 1,那么对于双曲线则 a b 2 2 x y 有如下命题:若 P0(x0, y0)在双曲线 2- 2= 1(a>0,b>0)外,过 P0 作双曲线的 a b 两条切线,切点为 P1,P2,则切点弦 P1P2 所在直线的方程是______________.

思 易维 错启 分迪 析
x1x y1y x2x y2y 2 - 2 =1, 2 - 2 =1. a b a b 因为 P0(x0,y0)在这两条切线上,

解 解 析 析

温 温馨 馨提 提醒 醒

设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则 P1,P2 的切线方程分别是

x1x0 y1y0 x2x0 y2y0 故有 2 - 2 =1, 2 - 2 =1, a b a b

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点7
高考中的合情推理问题
x2 y2 (2)(5 分)若 P0(x0,y0)在椭圆 2+ 2= 1(a>b>0)外,过 P0 作椭圆的两条切线的切 a b x0x y0y 点为 P1,P2,则切点弦 P1P2 所在的直线方程是 2 + 2 = 1,那么对于双曲线则 a b 2 2 x y 有如下命题:若 P0(x0, y0)在双曲线 2- 2= 1(a>0,b>0)外,过 P0 作双曲线的 a b x0x y0y 2 - 2 =1 a b 两条切线,切点为 P1,P2,则切点弦 P1P2 所在直线的方程是______________.

思 易维 错启 分迪 析

解 解 析 析

温 温馨 馨提 提醒 醒

x0x y0y 这说明 P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线 2 - 2 =1 上, a b x0x y0y 故切点弦 P1P2 所在的直线方程是 2 - 2 =1. a b

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点7
高考中的合情推理问题
x2 y2 (2)(5 分)若 P0(x0,y0)在椭圆 2+ 2= 1(a>b>0)外,过 P0 作椭圆的两条切线的切 a b x0x y0y 点为 P1,P2,则切点弦 P1P2 所在的直线方程是 2 + 2 = 1,那么对于双曲线则 a b 2 2 x y 有如下命题:若 P0(x0, y0)在双曲线 2- 2= 1(a>0,b>0)外,过 P0 作双曲线的 a b x0x y0y - =1 a2 b2 两条切线,切点为 P1,P2,则切点弦 P1P2 所在直线的方程是______________.

思 维 启 迪

解 析

温 馨 提 醒

(1)合情推理可以考查学生的抽象思维能力和创新能力,在每年 的高考中经常会考到;

(2)合情推理的结论要通过演绎推理来判断是否正确.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点7
高考中的合情推理问题
(3)(5 分)在计算“1×2+2×3+?+n(n+1)”时,某同学学到了如下一种方 法:先改写第 k 项: 1 k(k+1)= [k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)],由此得 3 1 1×2= (1×2×3-0×1×2), 3 1 2×3= (2×3×4-1×2×3), 3 ?, 1 n(n+1)= [ n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)] . 3 1 相加,得 1×2+2×3+?+n(n+1)= n(n+1)· ( n+2). 3 类比上述方法, 请你计算“1×2×3+2×3×4+?+n(n+1)· (n+2)”, 其结 果为________________________ .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点7
思维启迪 验证.
解析 1 类比已知条件得 k(k+1)(k+2)=4[k(k+1)(k+2)(k+3)-

高考中的合情推理问题

根据两个数积的和规律猜想,可以利用前几个式子

(k-1)k(k+1)(k+2)], 1 由此得 1×2×3= (1×2×3×4-0×1×2×3), 4 1 2×3×4= (2×3×4×5-1×2×3×4), 4 1 3×4×5=4(3×4×5×6-2×3×4×5),

?,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点7
高考中的合情推理问题

1 n(n+ 1)(n+ 2)= [n(n + 1)(n+ 2)(n+ 3)- (n- 1)n(n+ 1) 4 (n+2)].
以上几个式子相加得:

1 1×2×3 +2×3×4 +?+n(n +1)(n +2)= n(n +1)(n +2) 4 (n+3).
1 答案 4n(n+1)(n+2)(n+3)
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高

1.合情推理的过程概括为

方 法 与 技 巧

从具体问题出发 —→观察、分析、比较、联想 —→ 归纳、类比 —→ 提出猜想

2.演绎推理是从一般的原理出发,推出某个特 殊情况的结论的推理方法,是由一般到特殊 的推理, 常用的一般模式是三段论.数学问题 的证明主要通过演绎推理来进行.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论, 发现

失 误 与 防 范

与猜想的结论都要经过进一步严格证明.

2.演绎推理是由一般到特殊的证明,它常用来证 明和推理数学问题,注意推理过程的严密性, 书写格式的规范性.

3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象,要有猜 想或拓展依据.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1.(2012· 江西)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4, a4+b4=7,a5+b5=11,?,则 a10+b10 等于 A.28 B.76 C.123 D.199 ( C )

解析 观察规律,归纳推理.
从给出的式子特点观察可推知, 等式右端的值,从第三项开 始,后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和, 照此规律,则 a10+b10=123.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

2.定义一种运算“*”:对于自然数 n 满足以下运算性质: 1*1=1, (2) (n+1)*1=n*1+1,则 n*1 等于 A.n B.n+1 C.n-1 D.n2 ( A )

解析 由(n+1)*1=n*1+1,

得 n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2=?=1*1+(n-1). 又∵1*1=1,∴n*1=n.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

3.下列推理是归纳推理的是 ( B ) A.A,B 为定点,动点 P 满足|PA|+|PB|= 2a>|AB|,则 P 点的轨 迹为椭圆 B.由 a1=1,an= 3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式 2 2 x y C.由圆 x2+y2=r2 的面积 πr2,猜想出椭圆 2+ 2= 1 的面积 S= a b πab D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
解析 从 S1,S2,S3 猜想出数列的前 n 项和 Sn,是从特殊

到一般的推理,所以 B 是归纳推理,故应选 B.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

4.已知△ABC 中,∠A=30° ,∠B=60° ,求证:a<b. 证明:∵∠A=30° ,∠B=60° ,∴∠A<∠B. ∴a<b,其中,画线部分是演绎推理的 A.大前提 B.小前提 C.结论 ( B ) D.三段论

解析

由三段论的组成可得画线部分为三段

论的小前提.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

a1+a2+?+ an 5.若数列 {an}是等差数列, 则数列{bn}(bn= )也为 n 等差数列 .类比这一性质可知,若正项数列{cn}是等比数列, 且 {dn}也是等比数列,则 dn 的表达式应为 ( ) c1+c2+?+cn c1· c2· ?· cn A.dn= B.dn= n n n cn+cn+?+cn n 1 2 n C.dn= D.dn= c1· c2· ?· cn n

解析 若 {an} 是等差数列,则 a1 + a2 + ? + an = na1 + n?n-1? d, 2 ?n-1? d d ∴bn=a1+ 2 d=2n+a1-2,即{bn}为等差数列;
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

a1+a2+?+ an 5.若数列 {an}是等差数列, 则数列{bn}(bn= )也为 n 等差数列 .类比这一性质可知,若正项数列{cn}是等比数列, 且 {dn}也是等比数列,则 dn 的表达式应为 ( D ) c1+c2+?+cn c1· c2· ?· cn A.dn= B.dn= n n n cn+cn+?+cn n 1 2 n C.dn= D.dn= c1· c2· ?· cn n
1+2+?+(n-1) n 若{cn}是等比数列,则 c1· c2· ?· cn=cn · q = c 1 1· q
n ( n ?1) 2



n ?1 n ∴dn= c1· c2· ?· cn=c1· q 2 ,即{dn}为等比数列,故选 D.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

6.仔细观察下面○和●的排列规律:○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●??若依此规 律继续下去,得到一系列的○和●,那么在前 120 个○和●

14 中,●的个数是________.
解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●| ○○○○○●|○○○○○○●|??,
则前 n 组两种圈的总数是 f(n)=2+3+4+?+(n+1) n?n+3? = , 易知 f(14)=119,f(15)=135,故 n=14. 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

x x 7.若函数 f(x)= (x>0),且 f1(x)=f(x)= ,当 n∈N*且 n≥2 x+2 x+2 时,fn(x)=f[fn-1(x)],则 f3(x)=__________,猜想 fn(x)(n∈N*)的 表达式为______________. x 解析 ∵f1(x)= ,fn(x)=f[fn-1(x)](n≥2), x+2 x x+2 x x ∴f2(x)=f( )= = . x x+2 3x+4 ? +2? x+2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

x x 7.若函数 f(x)= (x>0),且 f1(x)=f(x)= ,当 n∈N*且 n≥2 x+2 x+2

x 7x+8 时,fn(x)=f[fn-1(x)],则 f3(x)=__________ ,猜想 fn(x)(n∈N*)的
x n n ? 2 - 1 ? x + 2 表达式为______________.
x 3x+4 x x f3(x)=f[ f 2(x)] =f( )= = . x 3x+4 7x+8 ? +2? 3x+4 由所求等式知,分子都是 x,分母中常数项为 2n ,x 的系数比 x n 常数项少 1,为 2 -1,故 fn(x)= n n. ?2 -1?x+2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

8.在平面几何中, △ABC 的内角平分线 CE 分 AE AC AB 所成线段的比为 = ,把这个结论 EB BC 类比到空间:在三棱锥 A-BCD 中(如图所 示),平面 DEC 平分二面角 A-CD-B 且与 AB 相交于点 E, BE S△BCD = EA S△ACD 则类比得到的结论是 ______________.

解析 易知点 E 到平面 BCD 与平面 ACD 的距离相等,
VE-BCD BE S△BCD 故 = = . VE-ACD EA S△ACD
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

9.已知等差数列{an}的公差 d=2,首项 a1=5. (1)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (2)设 Tn=n(2an-5),求 S1,S2,S3,S4,S5;T1,T2,T3, T4,T5,并归纳出 Sn 与 Tn 的大小规律 .
解 (1)由于 a1=5,d=2,

n?n-1? ∴Sn=5n+ 2 ×2=n(n+4).
(2)∵Tn=n(2an-5)=n[2(2n+3)-5] =4n2+n.

∴T1=5,T2=4×22+2=18,T3=4×32+3=39,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

9.已知等差数列{an}的公差 d=2,首项 a1=5. (1)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (2)设 Tn=n(2an-5),求 S1,S2,S3,S4,S5;T1,T2,T3, T4,T5,并归纳出 Sn 与 Tn 的大小规律 .

T4=4×42+4=68,T5=4×52+5=105.
S1=5,S2=2×(2+4)=12,S3=3×(3+4)=21,

S4=4×(4+4)=32,S5=5×(5+4)=45. 由此可知 S1=T1,当 n≥2 时,Sn<Tn.
归纳猜想: 当 n=1 时, Sn=Tn; 当 n≥2, n∈N 时, Sn<Tn.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1 1 10.在 Rt△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于 D,求证: 2= 2+ AD AB 1 2,那么在四面体 ABCD 中,类比上述结论,你能得到怎样的 AC 猜想,并说明理由.
解 如图所示,由射影定理

AD2=BD· DC,AB2=BD· BC,AC2=BC· DC, 1 1 ∴ 2= AD BD· DC
BC2 BC2 = = . BD· BC· DC· BC AB2· AC2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1 1 10.在 Rt△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于 D,求证: 2= 2+ AD AB 1 2,那么在四面体 ABCD 中,类比上述结论,你能得到怎样的 AC 猜想,并说明理由.

又 BC2=AB2+AC2,
AB2+AC2 1 1 1 ∴ 2= = + . AD AB2· AC2 AB2 AC2

猜想,四面体 ABCD 中,AB、AC、AD 两两垂直,AE⊥ 平面 BCD, 1 1 1 1 则 2= 2+ 2+ 2. AE AB AC AD
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1 1 10.在 Rt△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于 D,求证: 2= 2+ AD AB 1 2,那么在四面体 ABCD 中,类比上述结论,你能得到怎样的 AC 猜想,并说明理由.
证明: 如图, 连接 BE 并延长交 CD 于 F,连接 AF.
∵AB⊥AC,AB⊥AD,

∴AB⊥平面 ACD.∴AB⊥AF.
在 Rt△ABF 中,AE⊥BF,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1 1 10.在 Rt△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于 D,求证: 2= 2+ AD AB 1 2,那么在四面体 ABCD 中,类比上述结论,你能得到怎样的 AC 猜想,并说明理由.
1 1 1 ∴ 2= 2+ 2. AE AB AF

1 1 1 在 Rt△ACD 中,AF⊥CD,∴ 2= 2+ 2, AF AC AD
1 1 1 1 ∴ 2= 2+ 2+ 2. AE AB AC AD
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

1.给出下面类比推理命题 (其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复 数集 ): ①“若 a,b∈R,则 a-b= 0?a= b”类比推出“若 a, b∈C, 则 a- b= 0? a=b”; ②“若 a,b,c,d∈ R,则复数 a+ bi= c+ di?a= c,b= d”类比 推出“若 a, b,c, d∈ Q,则 a+b 2= c+d 2? a= c, b= d”; ③若“ a,b∈ R,则 a- b>0? a>b”类比推出“若 a,b∈ C,则 a - b>0? a>b”.其中类比结论正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 ( C )

解析 ①②正确,③错误.因为两个复数如果不全是实数, 不能比较大小.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

2.设 ? 是 R 的一个运算,A 是 R 的非空子集.若对于任意 a,b∈A,有 a ? b∈A,则称 A 对运算 ? 封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除 法(除数不等于零)四则运算都封闭的是 A.自然数集 B.整数集 C.有理数集
解析 A 错:因为自然数集对减法、除法不封闭;
B 错:因为整数集对除法不封闭;

( C ) D.无理数集

C 对:因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数,故有理 数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭;

D 错:因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

3.平面内有 n 条直线,最多可将平面分成 f(n)个区域,则 f(n)的表
n2+n+2 2 达式为______________.

解析 1 条直线将平面分成 1+1 个区域; 2 条直线最多可 将平面分成 1+(1+2)=4 个区域; 3 条直线最多可将平面 分成 1+(1+2+3)=7 个区域;??,n 条直线最多可将 n?n+1? n2+n+2 平面分成 1+ (1+ 2+ 3+ ?+ n) =1+ = 2 2 个区域.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

n+2 4.数列{an}的前 n 项和记为 Sn, 已知 a1=1, an+1= Sn(n∈N*).证明: n Sn (1)数列{ }是等比数列; n (2)Sn+1=4an.
证明 n+2 (1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1= S, n n

∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn), 即 nSn+1=2(n+1)Sn.

Sn+1 Sn 故 =2· , n n+1

(小前提)

Sn 故{ }是以 2 为公比,1 为首项的等比数列. n

(结论)

(大前提是等比数列的定义,这里省略了)
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

n+2 4.数列{an}的前 n 项和记为 Sn, 已知 a1=1, an+1= Sn(n∈N*).证明: n Sn (1)数列{ }是等比数列; n (2)Sn+1=4an.
Sn+1 Sn-1 (2)由(1)可知 =4· (n≥2), n+1 n-1
Sn-1 n-1+2 ∴Sn+1=4(n+1)· =4· · Sn-1=4an(n≥2). n-1 n-1 (小前提)

又∵a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1, ∴对于任意正整数 n,都有 Sn+1=4an.
基础知识 题型分类 思想方法

(小前提) (结论)
练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

5.对于三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设 f′(x)是 函数 y=f(x)的导数, f″(x)是 f′(x)的导数,若方程 f″(x)=0 有实 数解 x0,则称点 (x0,f(x0))为函数 y=f(x)的“拐点”.某同学经过探 究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对 1 3 1 2 5 称中心,且“拐点”就是对称中心.若 f(x)= x - x +3x- ,请你根 3 2 12 据这一发现, 1 3 1 2 5 (1)求函数 f(x)= x - x +3x- 的对称中心; 3 2 12 1 2 3 4 2 012 (2)计算 f( )+f( )+f( )+f( )+?+f( ). 2 013 2 013 2 013 2 013 2 013
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1


B组
2

专项能力提升
3 4 5

(1)f′(x)=x2-x+3,f″(x)=2x-1,

1 1 1 1 1 1 1 5 由 f″(x)=0,即 2x-1=0,解得 x= . f( )= ×( )3- ×( )2+3× - =1. 2 2 3 2 2 2 2 12 13 12 5 1 由题中给出的结论,可知函数 f(x)= x - x +3x- 的对称中心为( ,1). 3 2 12 2 1 3 1 2 5 1 (2)由(1),知函数 f(x)=3x -2x +3x-12的对称中心为(2,1),

1 2 012 1 1 所以 f( +x)+f( -x)=2,即 f(x)+f(1-x)=2. 故 f(2 013)+f(2 013)=2, 2 2
2 2 011 3 2 010 2 012 1 f( )+f( )=2,f( )+f( )=2,?f( )+f( )=2. 2 013 2 013 2 013 2 013 2 013 2 013

所以 f(

1 2 3 4 2 012 )+f( )+f( )+f( )+?+f( ) 2 013 2 013 2 013 2 013 2 013

1 =2×2×2 012=2 012.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分


推荐相关:

【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:7.4 基本不...

步步高2015高考数学(福建,理)一轮作业:7.4 基本不等式]_数学_高中教育_教育专区。【步步高2015高考数学(福建,理)一轮作业:7.4 基本不等式]§...


2015步步高理科数学选修4-4

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...2015步步高理科数学4.6 暂无评价 15页 免费2...选修4-4 坐标系与参数方程 1.极坐标系 (1)极...


2015步步高高中数学文科文档第七章 7.2

2015步步高高中数学文科文档第七章 7.2_数学_高中教育_教育专区。§ 7.2 二...( 2,1),则 z=OM· OA的最大值为 A.3 B.4 C.3 2 D.4 2 ( ) ...


2015步步高理科数学7.2

-7 答案 A B. -4 C.1 D.2 则目标函数 z=y-2x 的最小值为 ( ) ...2015步步高理科数学第七... 暂无评价 58页 免费 2015步步高理科数学3.2 15页...


2015步步高高中数学理科文档第七章 7.1

2015步步高高中数学理科文档第七章 7.1_数学_高中教育_教育专区。§ 7.1 不...7.函数 y= x2+x-12的定义域是___. 答案 (-∞,-4]∪[3,+∞) 解析...


2015步步高高中数学理科文档第七章 7.6

2015步步高高中数学理科文档第七章 7.6_数学_高中教育_教育专区。§ 7.6 数学...第四步:下结论,由上可知结论对任意 n≥n0,n∈N*成立. 温馨提醒 解决数学...


2015步步高高中数学理科文档第七章 7.3

2015步步高高中数学理科文档第七章 7.3_数学_高中教育_教育专区。§ 7.3 ...y x x y (2)∵x>0,y>0 且 1= +≥2 3 4 题型二 不等式与函数的...


2015步步高理科数学8.7

2015步步高理科数学8.7_数学_高中教育_教育专区。§ 8.7 立体几何中的向量方法...第四步:计算向量的夹角(或函数值). 第五步:将向量夹角转化为所求的空间角....


2015步步高理科数学2.3

2015步步高理科数学2.3_数学_高中教育_教育专区。§ 2.3 函数的奇偶性与周期...(4)=-,f(5)=,f(6)=,f(7)=, 4 4 2 4 1 1 f(8)=-,f(9)=-...


2015步步高理科数学12.5

2015步步高理科数学12.5_数学_高中教育_教育专区。§ 12.5 二项分布及其应用 ...2 2 2 16 比赛局数的分布列为 X P 4 1 8 5 1 4 6 5 16 7 5 16...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com