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2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第六章第3课时课后达标检测


[基础达标] 一、选择题 x≥1, ? ? 1. (2014· 北京海淀高三期中测试)不等式组?x+y-4≤0, ? ?kx-y≤0 区域,则 k 的值为( A.0 C.2 ) B.1 D.3 表示面积为 1 的直角三角形

解析:选 B.画出平面区域如图所示: 直线 y=kx 一定垂直 x+y-4=0,即 k=1,只有这样才可使围成的区域为直角三角形, 且面

积为 1. ?|x|≤|y| ? 2.在平面直角坐标系 xOy 中,满足不等式组? 的点(x,y)的集合用阴影表示为下 ?|x|<1 ? 列图中的( )

解析:选 C.|x|=|y|把平面分成四部分,|x|≤|y|表示含 y 轴的两个区域;|x|<1 表示 x=± 1 所夹含 y 轴的带状区域. x+y+5≥0 ? ? 3.(2014· 广东省惠州市调研测试)已知 x,y 满足约束条件?x-y≤0, ? ?y≤0 的最小值为( A.-14 C.-16 ) B.-15 D.-17 则 z=2x+4y

解析:选 B.由图可知当目标函数 z=2x+4y 经过 y=x 与 x+y+5=0 的交点时取得最小 ?y=x ? 值,联立? ,解得交点坐标为(-2.5,-2.5),故 zmin=-15. ? ?x+y+5=0

x+y-1≥0 ? ? 4.(2014· 安徽合肥市质量检测)点(x,y)满足?x-y+1≥0, ? ?x≤a

若目标函数 z=x-2y 的最

大值为 1,则实数 a 的值是( ) A.1 B.-1 C.-3 D.3 解析:选 A.由题意可知,目标函数经过点(a,1-a)时达到最大值 1,即 a-2(1-a)=1, 解得 a=1. 2x-y≥5 ? ?x-y≤2 5. 某所学校计划招聘男教师 x 名, 女教师 y 名, x 和 y 需满足约束条件? x≤6 ? ?x∈N,y∈N 则该校招聘的教师最多为( A.10 名 C.12 名 解析: ) B.11 名 D.13 名



选 D.设 z=x+y,作出可行域如图阴影中的整点部分,可知当直线 z=x+y 过 A 点时 z 最大, ? ? ?x=6 ?x=6 由? ,得? , ?2x-y=5 ?y=7 ? ? 故 z 最大值为 7+6=13. 二、填空题 x+y-2≥0 ? ? 6 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 不 等 式 组 ?x-y+2≥0, ? ?x≤2 ________. 解析:作出可行域为△ABC(如图),则 S△ABC=4. 表示的平面区域的面积为

答案:4 x+y-1≤0 ? ? 7.(2014· 云南昆明市调研测试)已知变量 x,y 满足条件?x-y≤0, ? ?x≥0 值为________. 则 2x-y 的最大

解析:在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线 2x-y=0,平移该直 1 1? 线,当平移到经过该平面区域内的点? ?2,2?时,相应直线在 x 轴上的截距达到最大,此时 1 1 1 2x-y 取得最大值,最大值是 2x-y=2× - = . 2 2 2 1 答案: 2 x,y≥0 ? ? 8.(2014· 黄冈市质检)设 P 是不等式组?x-y≥-1, ? ?x+y≤3 表示的平面区域内的任意一点,

→ 向量 m=(1,1),n=(2,1),若OP=λm+μn(λ,μ 为实数),则 2λ+μ 的最大值为________.

? ? ?x=λ+2μ, ?λ=-x+2y, → 解析:由OP=(λ+2μ,λ+μ)=(x,y),得? 解得? ?y=λ+μ, ?μ=x-y. ? ? 所以 2λ+μ=-2x+4y+x-y=-x+3y,即求 z=-x+3y 的最大值.

x,y≥0 ? ? 作出不等式组?x-y≥-1, ? ?x+y≤3

表示的平面区域如图中的阴影部分,

1 1 目标函数的几何意义是直线 y= x+ z 在 y 轴上截距的 3 倍,结合图形在点 A(1,2)处取 3 3 得最大值,最大值为 5. 答案:5 三、解答题 9. 已知 D 是以点 A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内 部).如图所示.

(1)写出表示区域 D 的不等式组; (2)设点 B(-1,-6),C(-3,2)在直线 4x-3y-a=0 的异侧,求 a 的取值范围. 解:(1)直线 AB、AC、BC 的方程分别为 7x-5y-23=0,x+7y-11=0,4x+y+10=0. 原点(0,0)在区域 D 内,故表示区域 D 的不等式组为:

7x-5y-23≤0, ? ? ?x+7y-11≤0, ? ?4x+y+10≥0. (2)根据题意有 [4×(-1)-3×(-6)-a][4×(-3)-3×2-a]<0, 即(14-a)(-18-a)<0, 得 a 的取值范围是-18<a<14. 故 a 的取值范围是(-18,14). x-4y+3≤0, ? ? 10.变量 x,y 满足?3x+5y-25≤0, ? ?x≥1, (1)设 z=4x-3y,求 z 的最大值. y (2)设 z= ,求 z 的最小值; x

解:(1)由约束条件 x-4y+3≤0, ? ? ?3x+5y-25≤0, ? ?x≥1, 作出(x,y)的可行域如图所示. 4 z 由 z=4x-3y,得 y= x- . 3 3 4 z z 求 z=4x-3y 的最大值,相当于求直线 y= x- 在 y 轴上的截距- 的最小值. 3 3 3 4 4 z z 平移直线 y= x 知,当直线 y= x- 过点 B 时,- 最小,z 最大. 3 3 3 3 ?x-4y+3=0, ? 由? 解得 B(5,2). ?3x+5y-25=0, ? 故 zmax=4×5-3×2=14. y y-0 (2)∵z= = . x x-0 2 ∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率,观察图形可知 zmin=kOB= . 5 [能力提升] 一、选择题 x+y≤a ? ? 1.(2014· 辽宁六校联考)设变量 x、y 满足约束条件?x+y≥8, ? ?x≥6 成立,则实数 a 的取值范围是( A.[8,10] C.[6,9] ) B.[8,9] D.[6,10] 且不等式 x+2y≤14 恒

解析:选 A.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,显然 a≥8,否则可行域无 意义.由图可知 x+2y 在点(6,a-6)处取得最大值 2a-6,由 2a-6≤14 得,a≤10. x+y-4≥0 ? ? 2 . (2014· 东北三校联考 )已知二元一次不等式组?x-y-2≤0 ? ?x-3y+4≥0 所表示的平面区域为 )

M.若 M 与圆(x-4)2+(y-1)2=a(a>0)至少有两个公共点,则实数 a 的取值范围是( 1 ? A.? B.(1,5) ?2,5? 1 ? C.? D.(1,5] ?2,5?

解析:选 C.如图,若使以(4,1)为圆心的圆与阴影部分区域至少有两个交点,结合图形, 1 1 当圆与直线 x-y-2=0 相切时,恰有一个公共点,此时 a=? ?2= ,当圆的半径增大到 ? 2? 2 1 恰好过点 A(2,2)时, 圆与阴影部分至少有两个公共点, 此时 a=5, 故 a 的取值范围是 <a≤5. 2 二、填空题 3 . (2012· 高考上海卷 ) 满足约束条件 |x| + 2|y|≤2 的目标函数 z = y - x 的最小值是 __________.

解析:作出可行域如图所示: 由图可知,当目标函数线经过点(2,0)时,目标函数 z=y-x 取得最小值,zmin=0-2= -2. 答案:-2 x≥0 ? ?y≥0 4.已知 x,y 满足不等式? x+2y≤t ? ?2x+y≤4 [20,22],则 t 的取值范围是________.

,且目标函数 z=9x+6y 最大值的变化范围是

? ?x+2y=t 解析: 由约束条件确定的可行域如图, 当目标函数过点 A 时取得最大值, 由? , ?2x+y=4 ? 8-t 2t-4 8-t 2t-4 解得 A( , ),所以 20≤9× +6× ≤22,解得 4≤t≤6. 3 3 3 3 答案:[4,6] 三、解答题 5.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个,生产一个卫 兵需 5 分钟,生产一个骑兵需 7 分钟,生产一个伞兵需 4 分钟,已知总生产时间不超过 10 小时.若生产一个卫兵可获利润 5 元,生产一个骑兵可获利润 6 元,生产一个伞兵可获利润 3 元. (1)试用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 w(元); (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少? 解:(1)依题意每天生产的伞兵个数为 100-x-y, 所以利润 w=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300.

5x+7y+4?100-x-y?≤600, ? ? (2)约束条件为?100-x-y≥0, ? ?x≥0,y≥0,x,y∈N. x+3y≤200, ? ? 整理得?x+y≤100, ? ?x≥0,y≥0,x,y∈N. 目标函数为 w=2x+3y+300. 作出可行域,如图所示:

初始直线 l0:2x+3y=0,平移初始直线经过点 A 时,w 有最大值. ? ? ?x+3y=200, ?x=50, 由? 得? ?x+y=100, ?y=50. ? ? 最优解为 A(50,50),所以 wmax=550(元). 所以每天生产卫兵 50 个,骑兵 50 个,伞兵 0 个时利润最大为 550 元. x+y≥1, ? ? 6.(选做题)若 x,y 满足约束条件?x-y≥-1, ? ?2x-y≤2, 1 1 (1)求目标函数 z= x-y+ 的最值; 2 2 (2)若目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值,求 a 的取值范围.

解:(1)作出可行域如图,可求得 A(3,4),B(0,1),C(1,0). 1 平移初始直线 x-y=0,过 A(3,4)取最小值-2,过 C(1,0)取最大值 1. 2 ∴z 的最大值为 1,最小值为-2. a (2)直线 ax+2y=z 仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知-1<- <2, 2 解得-4<a<2. 故所求 a 的取值范围是(-4,2).


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