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2014年长春市高中毕业班第一次调研测试理科数学试题参考答案及评分标准


2014 年长春市高中毕业班第一次调研测试 数学(理科)试题参考答案及评分标准
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题纸上)
题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 D 5 C 6 D 7 A 8 D 9 B 10 D

11 C 12 C

1.【试题答案】 B 【试题解析】由复数虚部定义:复数 a ? bi ?a ? R,b ? R ? 的虚部为 b ,得 z ? 1? i 的 虚部为 ? 1 ,故选 B . 2.【试题答案】 B 【试题解析】因为 M ? ?x | 1 ? x ? 3?, N ? ?x | x ? 2?,所以 M ? N ? ?x | 1 ? x ? 2?, 故选 B . 3.【试题答案】 A 【试题解析】 化简 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ? 2 sin x cos x ? 1 ? sin 2x ,
2 2 2

∴将选项代入验证,当 x ? 4.【试题答案】 D

?
4

时, f (x) 取得最值,故选 A .

2 【试题解析】由抛物线标准方程 x ? 2 py ? p ? 0? 中 p 的几何意义为:抛物线的焦点

到准线的距离,又 p ? 5.【试题答案】 C

1 ,故选 D . 4

【 试 题 解 析 】 S3 ? ? 3x 2 dx ? x3 3 ? 27 ? 0 ? 27 , 设 公 比 为 q , 又 a3 ? 9 , 则 0
0

3

1 9 9 ? ? 9 ? 27 ,即 2q 2 ? q ? 1 ? 0 ,解得 q ? 1 或 q ? ? ,故选 C . 2 2 q q
6.【试题答案】 D 【试题解析】 由题意可知, 程序框图的运算原理可视为函数 S ? a ? b ? ?

?a?b ? 1?, a ? b , ?a?b ? 1?, a ? b

一模数学试题答案(理科) 第 1 页 共 11 页

5? ?1? ? ln e ? 2 ? 1 ? 4 , lg100? ? ? ? 2 ? 3 ? 4 , 所以 2 tan 4 ? 3?
?? 5? ?? 2 tan 4 ??
?1 ? ? ? ?1? ? ? ln e ? ? ?lg100 ? ? ? ? ? 4 ? 4 ? 0 ,故选 D . ? ? ? 3? ? ? ? ? ?

?1

7.【试题答案】 A 【试题解析】由 z ? x ? y ,得 y ? ? x ? z ,则 z 表示该 组平行直线在 y 轴的截距。又由约束条件

y
A O 1

y?x y?a
x

平移至经过 y ? x 和 y ? a 的交点 A?a, a ? 时,z 取得 最大值,代入 A?a, a ? ,即 zmax ? a ? a ? 4 ,所以

? x ?1 ? ? y ? a ?a ? 1? 作出可行域如图,先画出 y ? ? x ,经 ?x ? y ? 0 ?

x ?1
第 7 题图

a ? 2 ,故选 A . 8.【试题答案】 D

【试题解析】A 选项,直线 m 可能在平面 ? 内;B 选项,如果直线 n 不在平面 ? 内, 不能得到 n ? ? ; 选项, C 直线 l 与 m 可能平行, 可能异面, 还可能相交; D. 故选 9.【试题答案】 B 【试题解析】 BA ? BF ? BA ? BF 得 BA? BF ? 0 , A?a,0? ,B?0,?b? ,F (?c,0) 由 又 则 BA ? ?a, b? ,BF ? ?? c, b? , 所以有 b ? ac ? 0 , c ? a ? ac ? 0 , 即
2 2 2

从而 e

2

? e ?1 ? 0
1? 5 1? 5 ,又 e ? 1 ,所以 e ? ,故选 B . 2 2

解得 e ?

10.【试题答案】 D 【试题解析】由三视图可知,该几何体为一个球体,下半球完整,上半球分为四份,

1 球的表面积,再 4 1 1 1 2 9 2 2 2 加上 6 个 圆面积,故 S ? 4?R ? ? 4?R ? 6 ? ?R ? ?R ,又球 4 4 4 2 9? 半径 R ? 1 , S ? ,故选 D . 2
去掉了对顶的两份,故表面积应为球的表面积,去掉
一模数学试题答案(理科) 第 2 页 共 11 页

11.【试题答案】 C 【试题解析】不等式 x ? y 表示的平面区域如图 所示,函数 f (x) 具有性质 S ,则函 数图像必须完全分布在阴影区域① 和②部分, f ( x) ? e x ?1 分布在区 域①和③内, f ( x) ? ln(x ? 1) 分布 在区域②和④内, f ( x) ? sin x 图像 分布在区域①和②内, f ( x) ? tan x 在每个区域都有图像,故选 C 12.【试题答案】 C 【试题解析】验证 f (0) ? 1 ? 0 ,
第 11 题图

f (?1) ? 1 ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?? ? ? ?0 2 3 4 5 2012 2013

f ?( x) ? 1 ? x ? x 2 ? x 3 ? ??? x 2012
易知 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;x ? 0 时, f ?( x) ?

1 ? ?? x ? 1? x

2013

?

1 ? x 2013 ?0 1? x

所 以 f ?( x) ? 0 在 R 上 恒 成 立 , 故 f (x) 在 R 上 是 增 函 数 , 又

f (?1) ? f (0) ? 0 ,
∴ f (x) 只有一个零点,记为 x1 ,则 x1 ? ?? 1,0? . 同理可证明 g (x) 也只有一个零点,记为 x2 ,且 x2 ? ?1,2? .故

F ( x) ? f ( x ? 3) g ( x ? 4) 有 2 个不同零点 x3 , x4 , x3 即将 x1 向左平移 3
个单位, x4 即将 x2 向右平移 4 个单位,∴ x3 ? ?? 4,?3? , x4 ? ?5,6? , 又函数 F (x) 的零点均在区间 ?a, b? 内,且 a ? b, a, b ? Z ,故当 a ? ?4 ,

b ? 6 时,即 b ? a 的最小值为 6 ? (?4) ? 10,故选 C

一模数学试题答案(理科) 第 3 页 共 11 页

第Ⅱ卷

(非选择题,共 90 分)

二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答 题卡中的横线上) 15 13.【试题答案】 2
【试题解析】 AB ? AD ? AB ? AB ? BD ? AB ? AB ? BD ? 9 ? 3 ?1? cos120? ?

??? ???? ??? ??? ??? ? ? ? ?

?

?

??? 2 ?

??? ??? ? ?

15 . 2

14.【试题答案】 3 3 【试题解析】设球半径 R ,上下底面中心设为 M , N ,由题意,外接球心为 MN 的 中点,设为 O ,则 OA ? R ,由 4?R ? 12? ,得 R ? OA ? 3 ,又易得
2

AM ? 2 ,由勾股定理可知,OM ? 1 ,所以 MN ? 2 ,即棱柱的高 h ? 2 ,
所以该三棱柱的体积为 15.【试题答案】 4024 【试题解析】设圆 C1 与圆 C 2 交于 A , B ,则直线 AB 的方程为:

3 ? 4

? 6?

2

?2 ?3 3 .

x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? x 2 ? y 2 ? 2an x ? 2a2013?n y ? 0 ,
化简得: ?an ? 2?x ? ?a2013?n ? 2?y ? 0 又圆 C 2 平分圆 C1 的周长,则直线 AB 过 C1 ?2,2? ,代入 AB 的方程得:

?

?

an ? a2013?n ? 4 ,

∴ a1 ? a2 ? ??? a2012 ? ?a1 ? a2012 ? ? ?a2 ? a2011 ? ? ??? ?a1006 ? a1007 ?

? 1006 ? 4 ? 4024 .
16.【试题答案】 ③

1 【试题解析】f (1.5) ? sin?1.5 - ? .5?? ? sin 0.5 ,f (?1.5) ? sin?? 1.5 ? ??1.5?? ? sin 0.5 ,
则 f (1.5) ? f (?1.5) ,故①错。

f ( x ? 1) ? sin?x ? 1 ? ?x ? 1?? ? sin?x ? 1 ? ?x? ?1? ? sin?x ? ?x?? ? f ( x) ,
∴ T ? 1 ,故②错。 g ( x) ? x ? ?x? 在 ?k , k ? 1? ?k ? Z? 是单调递增的周函 数,知 g ( x) ? ?0,1? ,故 f ( x) ? ?0, sin1? ,故③正确,易知④错。综上,正
一模数学试题答案(理科) 第 4 页 共 11 页

确序号为③。

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤).
17.【试题解析】 (1)设等差数列 ?an ?的公差为 d , 则 S5 ? S 2 ? 3a1 ? 9d ? 27 , 又 a1 ? 3 ,则 d ? 2 ,故 an ? 2n ? 1 .
2 2

……………………………………………6 分

(2)由(1)可得 S n ? n 2 ? 2n ,又 S n ? S n?2 ? 8(an?1 ? 1) 2 , 即 n(n ? 2) (n ? 4) ? 8(2n ? 4) ,化简得 n ? 4n ? 32 ? 0 , 解得 n ? 4 或 n ? ?8 (舍) ,所以 n 的值为 4.……………………………………12 分 18.【试题解析】
2

(1) f (x) ? (m ? n) ? m ? cos x ? 3 sin x cos x ?
2

3 1 ? cos 2 x 3 3 ? ? sin 2 x ? 2 2 2 2
…………4 分

?

1 3 ?? ? cos2 x ? sin 2 x ? 2 ? sin? 2 x ? ? ? 2 2 2 6? ?
2? ?? . 2

因为 ? ? 2 ,所以最小正周期 T ? (2)由(1)知 f ( x) ? sin? 2 x ?

……………………6 分

? ?

??

? ? 7? ? ?? . ? ? 2 ,当 x ? ?0, ? 时, ? 2 x ? ? 6 6 6 6? ? 2?
?
6 ?

由正弦函数图象可知,当 2 x ? 所以 2 A ?

?
2

时, f (x) 取得最大值 3 ,又 A 为锐角 ……………………8 分
2

?
6

?

?
2

,A?

?
6

.

2 2 2 由 余 弦 定 理 a ? b ? c ? 2bc cos A 得 1 ? b ? 3 ? 2 ? 3 ? b ? cos

?
6

,所以

b ? 1或 b ? 2
经检验均符合题意. 从而当 b ? 1 时,△ ABC 的面积 S ? ……………………10 分

1 ? 3 ? 3 ? 1 ? sin ? ;……………11 分 2 6 4
……………………12 分

S?

1 ? 3 ? 3 ? 2 ? sin ? . 2 6 2
一模数学试题答案(理科) 第 5 页 共 11 页

19.【试题解析】 (1)连结 AD1 交 A1 D 于 F , ∵四边形 AA D1 D 为正方形, 1 ∴ AD1 ? A1 D ,

D1 A1 F D A E
第 19 题图(1)

C B

∵正方形 AA D1 D 与矩形 ABCD 所在平面互相垂直,交线为 AD , AE ? AD , 1 ∴ AE ? 平面 AA D1 D ,又 A1 D 1 ∴ AE ? A1 D , 又 AD1 ? AE ? A ,∴ A1 D ? 平面 AD1 E , 又 D1 E ? 平面 AD1 E ,∴ A1 D ? D1 E .……………………………………………6 分 (2)存在满足条件的 AM ? 2 ?

? 平面 AA1 D1 D

3 . 3
D1 A1 D A M C B

【解法一】假设存在满足条件的点 M ,过点 D 作 DN ? CM 于点 N ,连结

D1 N ,则 D1 N ? CM ,
所以 ?D1 ND 为二面角 D1 ? CM ? D 的平面角, ……………………9 分 所以 ?D1 ND ?

N
第 19 题图(2)

?
6



在 Rt ?D1 ND 中, D1D ? 1 所以 DN ? 3 , 又在 Rt ?DNC 中, CD ? AB ? 2 ,所以 ?NDC ? 在 Rt ?MCB 中, BM ? BC ? tan

?
6

,∴ ?MCB ?

?
6



?
6

?

3 , 3

∴ AM ? 2 ?

3 . 3
一模数学试题答案(理科) 第 6 页 共 11 页

故 在 线 段 AB 上 存 在 一 点 M , 使 得 二 面 角 D1 ? CM ? D 为

? ,且 6

AM ? 2 ?

3 . 3

………………………………………12 分

【解法二】依题意,以 D 为坐标原点, DA 、 DC 、 DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、

z 轴建立空间直角坐标系,因为 AB ? 2 AD ? 2 ,则 D?0,0,0? , C ?0,2,0? , D1 ?0,0,1? ,

A1 ?1,0,1? ,所以 DD1 ? ?0,0,1? , D1C ? ?0,2,1? . ?
易知 DD1 为平面 MCD 的法向量,设 M ?1, a,0? ?0 ? a ? 2? ,所以 MC ? ??1,2 ? a,0? ,

?? ? ?n ? D1C ? 0 设平面 D1 MC 的法向量为 n ? ?x, y, z ? ,所以 ? ? ,即 ? n ? MC ? 0 ?

? ?x, y, z ?? ?0,2,?1? ? 0 , ? ??x, y, z ? ? ?? 1,2 ? a,0? ? 0
所以 ?

?z ? 2 y ,取 y ? 1 , ? x ? (2 ? a) y

z D1

则 n ? ?2 ? a,1,2? ,又二面角 D1 ? MC ? D 的大小为 所以 cos

?

? , 6

A1 F D x A E M B C

?
6

?

| DD1 ? n | | DD1 | ? | n |

?

| (0,0, ? (2 ? a,1,2) | 1) 12 ? (2 ? a ) 2 ? 1 ? 2 2



第 19 题图 2

即 3a ? 12a ? 11 ? 0 ,解得 a ? 2 ?
2

3 . 3

又因为 0 ? a ? 2 ,所以 a ? 2 ?

3 . 3

故在线段 AB 上是存在点 M ,使二面角 D1 ? MC ? D 的大小为

? 3 ,且 AM ? 2 ? . 6 3

……………………………………………12 分

一模数学试题答案(理科) 第 7 页 共 11 页

20.【试题解析】 , ( 1 ) 设 半 焦 距 为 c . 由 题 意 A F

A的 中 垂 线 方 程 分 别 为 B

x?

a?c b a a , y ? ? (x ? ) , 2 2 b 2

于是圆心坐标为 ? ?

? a ? c b 2 ? ac ? a ? c b 2 ? ac ? .所以 p ? q ? ? ?0, , 2 2b 2b ? ? 2 ?
2

整理得 ab ? bc ? b ? ac ? 0 , 即 (a ? b)(b ? c) ? 0 ,

……………………………………………4 分

所以 b ? c ,于是 b ? c ,即 a ? b ? c ? 2c .
2 2 2 2 2 2

所以 e ?
2

c2 1 2 ? ,即 ? e ?1. 2 2 2 a

……………………………………………6 分

(2)当 e ?

x2 y2 2 时, a ? 2b ? 2c ,此时椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1 , 2 2c c

设 M ?x, y ? ,则 ? 2c ? x ? 所以 MF ? OD ? MO ? 当c ?

2c ,

?

?

1 2 1 1 2 x ? x ? c 2 ? ?x ? 1? ? c 2 ? . …………………8 分 2 2 2

1 1 7 2 2 2 时,上式的最小值为 c ? ,即 c ? ? ,得 c ? 2 ;…………10 分 2 2 2 2

当 0?c?

2 2

时 , 上 式 的 最 小 值 为

1 ( 2c ) 2 ? 2c ? c 2 , 即 2

1 7 ( 2c ) 2 ? 2c ? c 2 ? , 2 2
解得 c ?

2 ? 30 ,不合题意,舍去. 4
x2 y2 ? ? 1. 8 4
……………………………………12 分

综上所述,椭圆的方程为

一模数学试题答案(理科) 第 8 页 共 11 页

21.【试题解析】 (1)由题意 F ( x) ? x ?

1 x 2 ? ax ? 1 ? a ln x ,其定义域为 ?0, ?? ,则 F ?( x) ? ,2 分 ? x x2 2 对于 m( x) ? x 2 ? ax ? 1,有 ? ? a ? 4 . ①当 ? 2 ? a ? 2 时, F ?( x) ? 0 ,∴ F (x) 的单调增区间为 (0,??) ;
②当 a ? 2 时, F ?( x) ? 0 的两根为 x1 ?

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 , x2 ? 2 2 ? a ? a2 ? 4 ? ? a ? a2 ? 4 ? ? 和? ∴ F (x) 的单调增区间为 ? 0, ,?? ? , ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? 2 2 ?a? a ?4 a? a ?4 ? ?. F (x) 的单调减区间为 ? , ? ? 2 2 ? ? 综上:当 ? 2 ? a ? 2 时, F (x) 的单调增区间为 (0,??) ;
? a ? a2 ? 4 ? ? a ? a2 ? 4 ? ? 和? ,?? ? , ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? 2 2 ?a? a ?4 a? a ?4 ? ?. , F (x) 的单调减区间为 ? ………6 分 ? ? 2 2 ? ? 1 (2)对 h( x ) ? x ? ? a ln x ,其定义域为 (0,??) . x 1 a x 2 ? ax ? 1 求导得, h?( x) ? 1 ? 2 ? ? , x x x2 由题 h?( x) ? 0 两根分别为 x1 , x2 ,则有 x2 ? x2 ? 1 , x1 ? x2 ? ?a , ………8 分 1 1 ∴ x2 ? ,从而有 a ? ? x1 ? x1 x1
当 a ? 2 时, F (x) 的单调增区间为 ? 0,

H ( x) ? x ?

2?1 ? x ??1 ? x ?ln x ? 1 ? . H ?( x) ? 2? 2 ? 1? ln x ? x2 ?x ? ? 1? ? 1? 当 x ? ? 0, ? 时, H ?( x) ? 0 ,∴ H (x ) 在 ? 0, ? 上单调递减, ? 2? ? 2? 1 又 H ( x1 ) ? h( x1 ) ? h( ) ? h( x1 ) ? h( x2 ) , x1 1 ∴ ?h( x1 ) ? h( x2 )?min ? H ( ) ? 5 ln 2 ? 3 . ………………12 分 2
一模数学试题答案(理科) 第 9 页 共 11 页

?1 ?? 1 ? 1? 1 ? 1? 1? 1? ? ? ? ? x ? ? ln x ? ? ? x ? ? ? x ? ? ln ? ? 2 ?? ? x ? ? ln x ? x ? ? x ? x? x ? x? x? x? ? ?x ?? ,……10 分

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题记分. 22. 【试题解析】 (1) 由题意知, AB 与圆 D 和圆 O 相切,切点分别为 A 和 B ,
2 2 由切割线定理有: EA ? EF ? EC ? EB 所以 EA ? EB ,即 E 为 AB 的中点.…5 分

(2)由 BC 为圆 O 的直径,易得 BF ? CE ,

1 1 BF ? CE ? CB ? BE , 2 2 BF CB 5 ? ∴ ∴ BF ? a. BE CE 5
∴ S△ BEC ? 23. 【试题解析】

………10 分

1 ? ? ? ? x ? 1 ? t cos 3 ?x ? 1? 2 t ? ? (1)直线 l 的参数方程 ? ,即 ? ( t 为参数) 3 ? ? y ? ?5 ? t sin ? y ? ?5 ? t ? ? 3 ? 2 ?
由题知 C 点的直角坐标为 ?0,4? ,圆 C 半径为 4 , ∴圆 C 方程为 x 2 ? ( y ? 4) 2 ? 16 将?

? x ? ? cos? 代入 ? y ? ? sin ?
………5 分

得圆 C 极坐标方程

? ? 8sin ?

(2)由题意得,直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 5 ? 3 ? 0 , 圆心 C 到 l 的距离为 d ? ∴直线 l 与圆 C 相离. 24. 【试题解析】 (1)由 f ( x) ? 4 ,即 x ? 1 ? x ?1 ? 4 , 当 x ? ?1 时,则 ? x ? 1 ? 1 ? x ? 4 ,得 x ? ?2 ,∴ ? 2 ? x ? ?1 ; 当 ? 1 ? x ? 1 时,则 x ? 1 ? 1 ? x ? 4 ,得 2 ? 4 ,恒成立,∴ ? 1 ? x ? 1 ; 当 x ? 1 时,则 x ? 1 ? x ? 1 ? 4 ,得 x ? 2 ,∴ 1 ? x ? 2 ; 综上, M ? ?x | ?2 ? x ? 2?. (2)当 a, b ? M 时, 则 ? 2 ? a ? 2 , ? 2 ? b ? 2 . 即: a ? 4 , b ? 4 ,∴ 4 ? a ? 0 , 4 ? b ? 0
2 2 2 2

?4?5? 3 2

?

9? 3 ? 4, 2
………10 分

………5 分

一模数学试题答案(理科) 第 10 页 共 11 页

∴ 4 ? a 2 4 ? b 2 ? 0 ,即 16 ? 4a ? 4b ? a b ? 0 ,
2 2 2 2

?

??
2

?

也就是 4a ? 4b ? 16 ? a b ,
2 2 2

∴ 4a ? 8ab ? 4b ? 16 ? 8ab ? a b ,
2 2 2 2

即: ?2a ? 2b? ? ?4 ? ab? ,
2 2

即 2 a ? b ? 4 ? ab .

………10 分

一模数学试题答案(理科) 第 11 页 共 11 页


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