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辽宁省沈阳二中2015-2016学年高二下学期6月月考试卷 数学理科


沈阳二中 2016—2017 学年度下学期 6 月份阶段测试 阶段验收高二(17 届) (理)数学试题
说明:1.测试时间:120 分钟 总分:150 分 2.客观题涂在答题卡上,主观题答在答题纸的相应位置上

第Ⅰ卷
一、选择题(每题 5 分,共 40 分)

(满分 60 分)


1

.

设集合 M ? {x | x2 ? x} , N ? {x | lg x ? 0} ,则 M ? N ? ( A. [0,1] B. (0,1] C. [0,1) ) C. 3 D.2

D. (??,1]

2.

设复数 z 满足 A.1

1+z =i,则|z|=( 1? z
B. 2

3. A. 4.

已知

?

56 65

3 12 3 ? ? ? ? ? ? , cos( ? ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? ? , 则 sin 2? ? ( 2 4 13 5 56 65 65 B. ? C. D. ? 65 56 56
x ?x



已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 和偶函数 g ? x ? 满足 f ? x ? ? g ? x ? ? a ? a )

?2

? a ? 0, a ? 1? ,若 g ? 2? ? a ,则 f ? 2? ? (
A.

2

15 B. 4

17 C. 4

D. a

2

5. 若 a ? b ? c , 则函 数 f ? x ? ? ? x ? a ?? x ? b ? ? ? x ? b ?? x ? c ? ? ? x ? c ?? x ? a ? 的 两个 零点 分别 位 于区 间 ( ) B. ? ??, a ? 和 ? a, b ? 内 D. ? ??, a ? 和 ? c, ??? 内
?
? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? AB, AF ? AD, CE 与 BF 相交于 G 点, 若 AB ? a , AD ? b , 则 AG = 3 4

A. ? a, b ? 和 ? b, c ? 内 C. ? b, c ? 和 ? c, ??? 内 6.
在平行四边形 ABCD 中 AE ?


?



A. 7.

2 1? 2? 3? 3? 1? 4? 2? a? b a? b a? b a? b B. C. D. 7 7 7 7 7 7 7 7 已 知 ?ABC 中 , 三 个 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c, 若 ?ABC 的 面 积 为 S, 且
2 S ? ? a ? b ? ? c 2 , 则 tan C 等于(
2

) C. ?

A.

3 4

B.

4 3

4 3

D. ?

3 4


8.

2 设函数 g ? x ? ? x ? 2 ? x ? R ? , f ? x ? ? ?

? ?g ? x? ? x ? 4 x ? g ? x ? ,则 f ? x ? 的值域是( x ? g ? x? ? ?g ? x? ? x
-1-

? 9 ? ? ? , 0? U ?1, ?? ? ?0, ??? , A. ? 4 ? B.
9. 已知函数 g ( x) ? a ? x
2

?9 ? , ?? ? ? ? C. ? 4

? 9 ? ?? , 0? U ? 2, ?? ? D. ? 4 ?

1 ( ? x ? e, e 为自然对数的底数)与 h( x) ? 2ln x 的图像上存在关于 x 轴对 e


称的点,则实数 a 的取值范围是 (

1 D [e2 ? 2, ??) ? 2, e 2 ? 2] 2 e ??? ? ???? ???? ???? 10. 已知圆 O 的半径为 3,直径 AB 上一点 D 使 AB ? 3 AD , E、F 为另一直径的两个端点,则 DE ? DF ?
A B

1 [1, 2 ? 2 ] e

[ 1e ,2 ? 2]

C [



) B. ? 4 C. ? 8 D. ? 6

A. ? 3

2 sin(x ? ) ? 2 x 2 ? 3x 4 11. 函数 f ( x) ? 的 最大值为 M,最小值为 N 则有 ( 2 x 2 ? cos x
A.M-N=4 B.M-N=2 C.M+N=4 D.M+N=2

?



12. 定义在 R 上的奇函数 y ? f ( x) 满足 f (3) ? 0 ,且不等式 f ( x) ? ? xf ?( x) 在 (0, ??) 上恒成立,则函数

g ( x) ? xf ( x) ? ln x ?1 的零点个数为(
A



1

B

2

C

3

D

4

第Ⅱ卷

(满分 90 分)

二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知 ?A B C 的内角 A, B, C 的对边长分别为 a , b, c , 若 a 2 ? c 2 ? b , 且 sin A cos C ? 2 cos A sin C , 则
b ? __________

14. 已知点 A、B、C 是直线 l 上不同的三个点,点 O 不在直线 l 上,则关于 x 的方程

??? ? ??? ? ??? ? ? x2 OA ? xOB ? AC ? 0 的解集为__________
o 15. 已 知 O 是 锐 角 ?ABC 的 外 接 圆 圆 心 , ?A ? 60 , ? cos B ? cos C ? AB ? AC ? 2m AO , 则 m 的 值 sin C sin B

__________________ 16. 下列命题中正确的序号是 ______ ①若 f ( x) ? ln(2 x) ,则 f ?( x) ?

1 ; x

②若 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 2)?( x ? 10) ,则 f ?(2) ? 8! ; ③若 f ( x ) 为可导函数,其导函数 f ?( x ) 为偶函数,则原函数为奇函数;
-2-



?

1

?1

4 ? x 2 dx ? 3 ?

2? 3

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

?? ? 17. 已知函数 f ? x ? ? 2cos ? ? x ? ? (其中 ? ? 0 x ? R )的最小正周期为 10? . 6? ?
(Ⅰ)求 ? 的值;

? ?? (Ⅱ)设 ? 、 ? ? ?0, ? , ? 2?

5 ? 6 ? f ? 5? ? ? ? ? ? , 3 5 ? ?

5 ? 16 ? f ? 5? ? ? ? ? ,求 cos ?? ? ? ? 的值. 6 ? 17 ?

18. 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx (a, b 为常数, 且 a ? 0) 满足条件: f ( x ? 1) ? f (3 ? x) , 且方程 f ( x) ? 2 x 有等根
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(1)求 f ( x) 的解析式; (2)是否存在实数 m 、 n ( m ? n) ,使 f ( x) 定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n] ,如果存在,求出 m、n 的值;如果不存在,说明理由
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B、 C 的对边分别为 a、、 b c,a ? 19. 已知 ?ABC 中,角 A、

?? 2 ,向量 m ? (?1,1) ,

?? ? ? 2 n ? (cos B cos C , sin B sin C ? ) ,且 m ? n . 2
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)当 sin B ? cos(

7? ? C ) 取得最大值时,求角 B 的大小和 ?ABC 的面积. 12
1 3

20. 在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos A ? (1)求 sin 2

B?C ? cos 2 A 的值 2

(2)若 a ? 3 ,求 bc 的最大值

21. 已知 f ( x) ? ( x ? a)e
2

x

,x?R

(1)若 a ? 3 ,求 f ( x) 的单调区间和极值; (2)已知 x1 , x 2 是 f ( x) 的两个不同的极值点,且 x1 ? x2 ? x1 x2 ,求实数 a 的取值的集合 M ;
3 (3) 在(2)的条件下,若不等式 3 f ( a ) ? a ?

3 2 a ? 3a ? b 对于 a ? M 都成立,求实数 b 的取值范围. 2

-3-

22. 设函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? 2x2 . (1)若当 x ? ?1 时, f ( x ) 取得极值,求 a 的值; (2)在(I)的条件下,方程 ln( x ? a) ? 2 x2 ? m ? 0 恰好有三个零点,求 m 的取值范围; (3)当 0 ? a ? 1 时,解不等式关于 x 的不等式 f (2 x ? 1) ? ln a .

沈阳二中 2016—2017 学年度下学期 6 月份阶段验收 高二(17 届) (理)数学答案
一、选择题(每题 5 分,共 60 分)

AABBA (13). (14) (15)

CCDBC DC 3

二、填空题(每题 5 分,共 20 分)

?

3 2

(16) ①②④

-4-

三、解答题

17. 解析:(Ⅰ) T ?

2?

1 ? 10? ,所以 ? ? . ----------3 分 5 ?

?1 ? 5 ? 5 ? ?? ?? 6 ? ? (Ⅱ) f ? 5? ? ? ? ? 2cos ? ? 5? ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ?2sin ? ? ? , 3 ? 3 ? 6? 2? 5 ? ? ?5 ?
所以 sin ? ?

3 .----------6 分 5

?1 ? 5 ? 5 ? ?? 16 8 ? f ? 5? ? ? ? ? 2cos ? ? 5? ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? ,所以 cos ? ? .------9 分 6 ? 6 ? 6? 17 17 ? ?5 ?
? ?? 因 为 ? 、 ? ? ?0, ? , 所 以 c o ?s ? ? 2?

4 15 , sin ? ? 1 ? cos2 ? ? , 所 以 ? 12 ? s ? i n 5 17

c o ??s? ? ? ?

c? o s ? ?c o s ?

4 8 3 1 5 1 3 分 s??i n? s ? i n ?. ----------12 ? ? 5 1 7 5 1 7 8 5

2 2 解: (1)∵方程 ax ? bx ? 2 x 有等根,∴ ? ? (b ? 2) ? 0 ,得 b=2 .

18. 由 f ( x ? 1) ? f (3 ? x) 知此函数图象的对称轴方程为 x ? ? 故 f ( x) ? ? x2 ? 2 x .------------5 分
2 (2) f ( x) ? ?( x ? 1) ? 1 ? 1 ,∴4n ? 1,即 n ?

b ? 1,得 a ? ?1 , 2a

1 4 1 时, f ( x) 在[m,n]上为增函数 4
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而抛物线 y ? ? x2 ? 2 x 的对称轴为 x ? 1 若满足题设条件的 m,n 存在,则 ?

∴n?

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? f (m) ? 4m , ? f ( n) ? 4n

2 ? ?? m ? 2m ? 4m ?m ? 0或m ? ?2 即? 2 ?? ? ?n ? 0或n ? ?2 ?? n ? 2 n ? 4 n

又m?n?

1 , ∴ m ? ?2, n ? 0 ,这时定义域为[–2,0] ,值域为[–8,0] 4

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由以上知满足条件的 m、n 存在, m ? ?2, n ? 0 .--------------12 分

19. 解答:(1)因为 m ? n ,所以 ? cos B cos C ? sin B sin C ?

??

?

2 ?0 2

即 cos ? B ? C ? ? ?

2 ,因为 A ? B ? C ? ? ,所以 cos( B ? C ) ? ? cos A 2
-5-

所以

cos A ?

2 ? ,A? 2 4
3? ?B, 4

----------------5 分

(2)由 A ?

?
4

,C ?

故 sin B ? cos( 由 B ? (0,

7? ? 3 3 ? ? C ) ? sin B ? cos( B ? ) ? sin B ? cos B ? 3 sin( B ? ) 12 6 2 2 6
--------9 分

3? ? ? ) ,故 3 sin B ? cos(C ? ) 最大值时, B ? 4 4 3 a b ? ? 2 ,得 b ? 3 由正弦定理, sin A sin B


1 6 ? ? 3? 3 ab sin C ? sin( ? ) ? 2 2 4 3 4
1 3

-----------12 分

20. 解: (1)在?ABC中? cos A ?

? sin 2

B?C 1 ? cos 2 A ? ?1 ? cos( B ? C ) ? ? 2 cos 2 A ? 1 2 2

?

1 1 ?1 ? cos A? ? 2 cos 2 A ? 1 ? ? ---------------------6 分 2 9

(2)由余弦定理知a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A
2 2 4 ? 3 ? b 2 ? c 2 ? bc ? 2bc ? bc ? bc 3 3 3

b?c?


3 9 2 时,bc 的最大值是 4 ---------------------------12 分

21.

(本小题满分 12 分)

解: (1)∵ a ? 3 ,∴ f ( x) ? ( x 2 ? 3)e x , f ' ( x) ? ( x 2 ? 2x ? 3)e x ? 0 ? x ? ?3 或 1 当 x ? (??,?3) ? (1,??) 时, f ' ( x) ? 0 。 x ? (?3,1) 时 f ' ( x) ? 0 ∴ f ( x) 的增区间为 (??,?3],[1,??) ;减区间为 [?3,1] ……………………………3 分

f ( x) 的极大值为 f (?3) ? 6e ?3 ;极小值为 f (1) ? ?2e ……………………………6 分
2 ' 2 x (2) f ( x) ? ( x ? 2 x ? a)e ? 0 即 x ? 2 x ? a ? 0

由题意两根为 x1 , x 2 ,∴ x1 ? x2 ? ?2, x1 x2 ? ?a .故 ? 2 ? a ? 2 又 ? ? 4 ? 4a ? 0 ,∴ ? 1 ? a ? 2 .
-6-

∴ M ? ? ?1,2?
3 (3)记 g (a) ? 3 f (a) ? a ?

……………………………8 分

3 2 a ? 3a ,则 g ' (a) ? 3(a2 ? a ?1)(ea ?1) ,令 g ' (a) ? 0 2
……………………………10 分

则a ?

?1 ? 5 或a ? 0 2

a

(?1,0)

(0,

g ' (a) g ' (a) ? 0 g (a) 递增

5 ?1 5 ?1 ) ( ,2) 2 2 ‘ g (a ) ? 0 g ' (a) ? 0 递减 递增

又 g (0) ? 0, g (2) ? 6e 2 ? 8
2 ∴ b ? 6e ? 8

2 ∴ g (a) max ? 6e ? 8 ……………………………11 分

………………………12 分

1 5 ? 4 x, f ?(?1) ? 0,? a ? ………………………2 分 x?a 4 5 5 2 2 (2)由 ln( x ? ) ? 2 x ? m ? 0 ,得 ln( x ? ) ? 2 x ? m , 4 4 5 2 令 f ( x) ? ln( x ? ) ? 2 x , g ( x) ? m ,则 f ( x ) 与 g ( x) 的图像恰好有 3 个交点。 4 1 4(4 x ? 1)( x ? 1) 5 f ?( x) ? ? 4x ? (x ? ? ) , 5 4x ? 5 4 x? 4 5 1 1 f ( x) 在 (? , ?1), (? , ??) 上单调递增,在 ( ?1, ? ) 上单调递减。 4 4 4 1 1 ? f ( x)极大 =f (?1) ? 2 ? 2 ln 2, f ( x)极小 =f ( ? ) ? 。 4 8 1 ? m ? 2 ? 2ln 2 。 …………7 分 由图像知, f ( x ) 与 g ( x) 的图像恰好有 3 个交点 , 8
22. 解(1) f ?( x) ? (3)? ln a ? f (0), ? f (2 x ?1) ? ln a ? f (2 x ?1) ? f (0) 当 0 ? a ? 1 ,考查 f ( x ) 的单调性:

f ?( x) ?

1 4 x 2 ? 4ax ? 1 ? 4x ? ( x ? ?a), ?? ? 16a 2 ? 16 ? 0, ? f ?( x) ? 0 x?a x?a

?2 x ? 1 ? ? a ? f ( x) 在 (?a, ??) 上单调递增,? ? , ? 2x ?1 ? 0
-7-

解得 x ? (

1? a 1 , ) 2 2

………………12 分

-8-


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