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§0-6-幂函数-指数函数与对数函数


§0-6 幂函数指数函数与对数函数 读者知道,相同底数的乘积称为幂。中学数学里,先是用记号 (为正整数)表示底数为的幂。 它有基本性质: (i) ; (ii) 其中和都是正整数。随后,当时,又规定了 为了使上述基本性质对于整数和仍然成立,就规定了 和 (为正整数) 以及当时,规定 这样一来,就把“幂”的概念推广到(正或负)分指数(指数为分数),而且上述那两个基本性 质对分指数(有

理指数)的幂也成立,即 (i); (ii) 其中和均为有理数。 作为补充,要使记号(次算术根)对于负数也适用,那就只限于正整数为奇数。对于,要假 定为既约分数且为奇数。 中学数学里并不严格地去定义无理指数的幂,因为这样会涉及到实数的一般理论。实际上, 幂的上述基本性质(ⅰ)与(ⅱ)对无理指数也成立。但读者要记住,对于无理指数的幂, 规定 1.幂函数 底数为自变量的函数称为幂函数。它的定义域根据指数才能确定,例如 (为正整数) ,定义域为; (为正整数) ,定义域为; ,定义域为; ,定义域为。 一般情形下,都假定幂函数中的。 2.指数函数 幂指数为自变量的函数(且)称为指数函数。它的定义域为(图 0-21)。当时,是增 函数;当时,是减函数。 根据幂的基本性质,指数函数具有性质: (加法定理)

3.对数函数 因为指数函数是增函数(当时)或减函数(当时)(图 0-22), 所以它有反函数, 记成, 或者把与对调位置后为 称它为对数函数。根据定义,有对数恒等式 和 而根据对数的定义和幂的基本性质,则有下面的结论: ⑴

⑵ ⑶ ⑷ ⑸ (换底公式) 4.双曲函数 在应用数学的一些书刊杂志中,读者会遇到所谓双曲函数: (双曲正弦) ; (双曲余弦) ; (双曲正切) , (双曲余切) 。 根据定义,则有(注意与三角函数的异同) , 若令, 则可以用等轴双曲线的右半支来解释双曲函数, 就像用单位圆解释简单三角函数一样。 “双曲正弦” 、 “双曲余弦”等这些名称当初就来源于此。 习题选解 1.设。证明: ⑴; ⑵; ⑶(和为正整数) 。 证 ⑴; ⑵; ⑶。 2.证明:与都是奇函数。 证

3.下列每对函数中,哪些表示同一个函数? (a)与; (b)与; (c)与; (d)与; (e)与。 答案:(b)(c)(e)。 【注】(a)(d)都是因为定义域不同。注意两个对数恒等式 与 之间的不同处! 4.求下列函数的定义域: ⑴ 解 因为,所以,即。 ⑵(称为“幂指函数” ,定义域为) 。 ⑶ 解 因为对数的真数是正数,所以,即 解不等式,得,即定义域为: 或写成。 5.已知,求。 解 令,则。于是,,即 6.设。证明:当足够小时,有

证 7.证明:函数的反函数是。 【注】函数是增函数(见图) , 所以它有反函数。 证 因为 则最后的等式是以为未知数的二次方程,解得 [注意取正根,因为] 在两端取对数,就得,即 反函数为。


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