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专题四 第一讲 空间几何体配套限时规范训练


专题四 第一讲

立体几何

空间几何体

(推荐时间:50 分钟) 一、选择题 1.给出下列三个命题: ①相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱;②各侧面都是正方形的四棱柱是正方体;③底面是 正三角形,各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正棱锥.其中正确的命题有 ( A.1 个 C.3 个 为 A.π a C.
2

)

B.2 个 D.0 个 ( 7 2 B. π a 3 D.5π a
2

2.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积 )

11 2 πa 3

3.已知三棱锥的正(主)视图与俯视图如图所示,俯视图是边长为 2 的正三角形,则该三棱锥 的侧(左)视图可能为 ( )

4.(2011·陕西)某几何体的三视图如下,则它的体积是 ( )

2π A.8- 3

π B.8- 3

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C.8-2π

D.

2π 3 )

5.(2011·湖北)设球的体积为 V1, 它的内接正方体的体积为 V2, 下列说法中最合适的是( A.V1 比 V2 大约多一半 B.V1 比 V2 大约多两倍半 C.V1 比 V2 大约多一倍 D.V1 比 V2 大约多一倍半

6.将一个正方体截去四个角后得到一个正四面体 BDA1C1,这个正四面体的体积是正方体体积 的 1 A. 2 1 B. 3 2 C. 3 1 D. 4 ( )

7.(2012·江西)如图,

已知正四棱锥 S-ABCD 所有棱长都为 1,点 E 是侧棱 SC 上一动点,过点 E 垂直于 SC 的截 面将正四棱锥分成上、下两部分.记 SE=x(0<x<1),截面下面部分的体积为 V(x),则函 数 y=V(x)的图象大致为( )

二、填空题 8. 正三角形 AOB 的边长为 a, 在画它的水平放置的直观图时, 建立如图所示的直角坐标系 xOy, 则它的直观图的面积是________.

9.若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为 3,则其外接球的表面积是________. 10.如图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多
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面体最长的一条棱的长为________.

11. (2011·山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形,给定下列三个命题:①存在三棱柱, 其正(主)视图、俯视图如右图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;③存在 圆柱,其正(主)视图、俯视图如右图.其中真命题的个数是________.

3 12.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF∥AB,EF= ,EF 与面 2

AC 的距离为 2,则该多面体的体积是________.

三、解答题 1 13.(2011·辽宁)如图,四边形 ABCD 为正方形,QA⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD. 2

(1)证明:PQ⊥平面 DCQ; (2)求棱锥 Q-ABCD 的体积与棱锥 P-DCQ 的体积的比值. 14.下图为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,EC∥PD,且 PD=AD=2EC =2.

(1)请画出该几何体的三视图; (2)求四棱锥 B—CEPD 的体积.

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答案 1.D 2.B 3.B 4.A 5.D 6.B 7.A 6 2 8. a 16 9.9π 10.2 3 11.3 15 12. 2 13.(1)证明 由条件知四边形 PDAQ 为直角梯形. 因为 QA⊥平面 ABCD, 所以平面 PDAQ⊥平面 ABCD,交线为 AD. 又四边形 ABCD 为正方形,DC⊥AD, 所以 DC⊥平面 PDAQ,可得 PQ⊥DC. 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ= 2 PD,则 PQ⊥QD. 2

又 DQ∩DC=D,所以 PQ⊥平面 DCQ. (2)解 设 AB=a.由题设知 AQ 为棱锥 Q-ABCD 的高, 1 3 所以棱锥 Q-ABCD 的体积 V1= a . 3 由(1)知 PQ 为棱锥 P-DCQ 的高, 2 2 而 PQ= 2a,△DCQ 的面积为 a , 2 1 3 所以棱锥 P-DCQ 的体积 V2= a . 3 故棱锥 Q-ABCD 的体积与棱锥 P-DCQ 的体积的比值为 1. 14.解 (1)该组合体的三视图如图所示.

(2)∵PD⊥平面 ABCD,PD? 平面 PDCE, ∴平面 PDCE⊥平面 ABCD.∵四边形 ABCD 为正方形, ∴BC⊥CD,且 BC=DC=AD=2. 又∵平面 PDCE∩平面 ABCD=CD,BC? 平面 ABCD. ∴BC⊥平面 PDCE.∵PD⊥平面 ABCD,DC? 平面 ABCD,
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∴PD⊥DC.又∵EC∥PD,PD=2,EC=1, ∴四边形 PDCE 为一个直角梯形,其面积: 1 1 S 梯形 PDCE= (PD+EC)·DC= ×3×2=3, 2 2 1 1 ∴四棱锥 B—CEPD 的体积 VB—CEPD= S 梯形 PDCE·BC= ×3×2=2. 3 3

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