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辽宁省沈阳市铁路实验中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析


2015-2016 学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高二(上)期中数学试卷(理科)

一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.下列有关命题的说法错误的是( )

A.命题“若 x2﹣3x+2=0 则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x2﹣3x+2≠0” B.“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 C.若 p∧q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D.对于命题 p:? x∈R,使得 x2+x+1<0.则¬p:? x∈R,均有 x2+x+1≥0

2.等差数列{an}中,若 a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则前 9 项的和 S9 等于( A.66 B.99 C.144 D.297

)

3.已知条件 p: x>1,q: A.充分不必要条件

,则 p 是 q 的(

)

B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 已知命题 p: ? x∈R, 使得 x+ <2, 命题 q: ? x∈R, x2+x+1>0, 下列命题为真的是( A.p∧q B. (¬p)∧q C.p∧(¬q) D. (¬p)∧(¬q)

)

5. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1=﹣11, a4+a6=﹣6, 则当 Sn 取最小值时, n 等于( A.6 B.7 C.8 D.9

)

6.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若

=3,则

=(

)

A.2

B.

C.

D.3

7.下列说法正确的是(

)

A.函数 y=x+ 的最小值为 2 B.函数 y=sinx+ C.函数 y=|x|+ D.函数 y=lgx+ (0<x<π )的最小值为 2 的最小值为 2 的最小值为 2

8.设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=y﹣2x 的最小值为(

)

A.﹣7 B.﹣4 C.1

D.2

9.已知数列﹣1,a1,a2,﹣4 成等差数列,﹣1,b1,b2,b3,﹣4 成等比数列,则 值是( A. ) B. C. 或 D.



10.设 a>0,b>1,若 a+b=2,且不等式 + A.m>9 或 m<﹣1 B.m>1 或 m<﹣9

>m2+8m 恒成立,则 m 的取值范围是( C.﹣9<m<1 D.﹣1<m<9

)

11.已知变量 x,y 满足

,则 u=

的值范围是(

)

A. B. C. D.

12.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 S17>0,S18<0,则 的项为( A. B. ) C. D.

中最大

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知 a>0,b>0,ab﹣(a+b)=1,求 a+b 的最小值为__________.

14.变量 x、y 满足线性约束条件

,则使目标函数 z=ax+y(a>0)取得最大值的最

优解有无数个,则 a 的值为__________.

15.已知{an}是等比数列,

,则 a1a2+a2a3+?+anan+1=__________.

16.下列命题中: ①△ABC 中,A>B?sinA>sinB ②数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣2n+1,则数列{an}是等差数列. ③锐角三角形的三边长分别为 3,4,a,则 a 的取值范围是 ④若 Sn=2﹣2an,则{an}是等比数列 真命题的序号是__________. <a<5.
2

三、解答题 17. 设命题 p: 实数 x 满足 x2﹣4ax+3a2<0, 其中 a>0, 命题 q: 实数 x 满足 (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若?p 是?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. .

18.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 (1)求 的值;



(2)若 cosB= ,△ABC 的周长为 5,求 b 的长.

19.已知各项均不相等的等差数列{an}的前五项和 S5=20,且 a1,a3,a7 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Tn 为数列{ 的取值范围. }的前 n 项和,若存在 n∈N*,使得 Tn﹣λ an+1≥0 成立.求实数 λ

20.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢 建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的 能源消耗费用 C (单位: 万元) 与隔热层厚度 x (单位: cm) 满足关系: C (x) = (0≤x≤10) ,

若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗 费用之和. (Ⅰ)求 k 的值及 f(x)的表达式. (Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值.

21.解关于 x 的不等式 ax ﹣(2a+2)x+4>0.

2

22.定义:称 项的“均倒数”为 ,

为 n 个正数 p1,p2,?,pn 的“均倒数”.已知数列{an}的前 n

(1)求{an}的通项公式; (2)设 cn= ,试判断并说明数列{cn}的单调性;

(3)求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

2015-2016 学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高二(上)期中数学试卷(理科)

一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.下列有关命题的说法错误的是( )

A.命题“若 x2﹣3x+2=0 则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x2﹣3x+2≠0” B.“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 C.若 p∧q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D.对于命题 p:? x∈R,使得 x +x+1<0.则¬p:? x∈R,均有 x +x+1≥0
2 2

【考点】命题的真假判断与应用;四种命题间的逆否关系;必要条件、充分条件与充要条件 的判断. 【专题】综合题. 【分析】根据四种命题的定义,我们可以判断 A 的真假;根据充要条件的定义,我们可以判 断 B 的真假;根据复合命题的真值表,我们可以判断 C 的真假;根据特称命题的否定方法, 我们可以判断 D 的真假,进而得到答案. 【解答】解:命题“若 x ﹣3x+2=0 则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0”故 A 为真命题; “x=1”是“x ﹣3x+2=0”的充分不必要条件.故 B 为真命题; 若 p∧q 为假命题,则 p、q 存在至少一个假命题,但 p、q 不一定均为假命题,故 C 为假命题; 命题 p:? x∈R,使得 x +x+1<0.则非 p:? x∈R,均有 x +x+1≥0,故 D 为真命题;
2 2 2 2 2

故选 C. 【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,四种命题间的逆否关系,充要条件, 是对简单逻辑综合的考查,属于简单题型.

2.等差数列{an}中,若 a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则前 9 项的和 S9 等于( A.66 B.99 C.144 D.297

)

【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】计算题.

【分析】根据等差数列的通项公式化简 a1+a4+a7=39 和 a3+a6+a9=27,分别得到①和②,用②﹣ ①得到 d 的值,把 d 的值代入①即可求出 a1,根据首项和公差即可求出前 9 项的和 S9 的值. 【解答】解:由 a1+a4+a7=3a1+9d=39,得 a1+3d=13①, 由 a3+a6+a9=3a1+15d=27,得 a1+5d=9②, ②﹣①得 d=﹣2,把 d=﹣2 代入①得到 a1=19, 则前 9 项的和 S9=9×19+ 故选 B. 【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前 n 项和的公式化简求值,是一道中 档题. ×(﹣2)=99.

3.已知条件 p:x>1,q: A.充分不必要条件

,则 p 是 q 的(

)

B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】根据充分必要条件的定义,分别证明其充分性和必要性,从而得到答案. 【解答】解:由 x>1,推出 <1,p 是 q 的充分条件, 由 <1,得 故选:A. 【点评】本题考查了充分必要条件,考查了不等式的解法,是一道基础题. <0,解得:x<0 或 x>1.不是必要条件,

4. 已知命题 p: ? x∈R, 使得 x+ <2, 命题 q: ? x∈R, x2+x+1>0, 下列命题为真的是( A.p∧q B. (¬p)∧q C.p∧(¬q) D. (¬p)∧(¬q)

)

【考点】复合命题的真假. 【专题】简易逻辑. 【分析】本题的关键是判定命题 p:? x∈R,使得 的真假,在利用复合命题的真假判定. ,命题

【解答】解:对于命题 p:? x∈R,使得 当 x<0 时,命题 p 成立,命题 p 为真 命题 显然 ∴根据复合命题的真假判定, , ,命题 q 为真



p∧q 为真, (¬p)∧q 为假,p∧(¬q)为假, (¬p)∧(¬q)为假 【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定,解决的办法是先判断组成复合命题的简 单命题的真假,再根据真值表进行判断.

5. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1=﹣11, a4+a6=﹣6, 则当 Sn 取最小值时, n 等于( A.6 B.7 C.8 D.9

)

【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】条件已提供了首项,故用“a1,d”法,再转化为关于 n 的二次函数解得. 【解答】解:设该数列的公差为 d,则 a4+a6=2a1+8d=2×(﹣11)+8d=﹣6,解得 d=2, 所以 故选 A. 【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用,考查二次函数最值的求法 及计算能力. , 所以当 n=6 时, Sn 取最小值.

6.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若

=3,则

=(

)

A.2

B.

C.

D.3

【考点】等比数列的前 n 项和. 【分析】首先由等比数列前 n 项和公式列方程,并解得 q3,然后再次利用等比数列前 n 项和 公式则求得答案.

【解答】解:设公比为 q,则

=

=

=1+q3=3,

所以 q =2, 所以 = = = .

3

故选 B. 【点评】本题考查等比数列前 n 项和公式.

7.下列说法正确的是( A.函数 y=x+ 的最小值为 2 B.函数 y=sinx+ C.函数 y=|x|+ D.函数 y=lgx+

)

(0<x<π )的最小值为 2 的最小值为 2 的最小值为 2

【考点】基本不等式. 【专题】导数的综合应用;不等式的解法及应用. 【分析】A.x<0 时无最小值; B.令 sinx=t,由 0<x<π ,可得 sinx∈(0,1) ,即 t∈(0,1],令 f(t)=t+ ,利用导 数研究函数的单调性极值与最值即可得出; C.令|x|=t>0,令 f(t)=t+ ,利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出; D.当 0<x<1 时,lgx<0,无最小值. 【解答】解:A.x<0 时无最小值; B.令 sinx=t,∵0<x<π ,∴sinx∈(0,1) ,即 t∈(0,1],令 f(t)=t+ ,f′(t)=1



=

<0,∴函数 f(t)在 t∈(0,1]上单调递减,∴f(t)≥f(1)=3.因此不

正确.

C.令|x|=t>0,令 f(t)=t+ ,f′(t)=1﹣ 数 f(t)在 t∈(0, ]上单调递减,在 t∈

=

=

,∴函

B. C. D.

【考点】简单线性规划. 【专题】计算题;不等式的解法及应用;直线与圆. 【分析】化简得 u=3+ ,其中 k= 表示 P(x,y) 、Q(﹣1,3)两点连线的斜率.画

出如图可行域,得到如图所示的△ABC 及其内部的区域,运动点 P 得到 PQ 斜率的最大、最小 值,即可得到 u= 【解答】解:∵u= ∴u=3+k,而 k= 的值范围. =3+ ,

表示直线 P、Q 连线的斜率,

其中 P(x,y) ,Q(﹣1,3) .

作出不等式组

表示的平面区域,

得到如图所示的△ABC 及其内部的区域 其中 A(1,2) ,B(4,2) ,C(3,1) 设 P(x,y)为区域内的动点,运动点 P, 可得当 P 与 A 点重合时,kPQ=﹣ 达到最小值;当 P 与 B 点重合时,kPQ=﹣ 达到最大值 ∴u=3+k 的最大值为﹣ +3= 因此,u= 故选:A 的值范围是 ;最小值为﹣ +3=

【点评】本题给出二元一次不等式组,求 u=

的取值范围.着重考查了直线的斜率公式、

二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于中档题.

12.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 S17>0,S18<0,则 的项为( A. B. ) C. D.

中最大

【考点】等差数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由题意可得 a9>0,a10<0,由此可知 <0,即可得出答案. 【解答】解:∵等差数列{an}中,S17>0,且 S18<0 即 S17=17a9>0,S18=9(a10+a9)<0 ∴a10+a9<0,a9>0,∴a10<0, ∴等差数列{an}为递减数列, 故可知 a1,a2,?,a9 为正,a10,a11?为负; ∴S1,S2,?,S17 为正,S18,S19,?为负, ∴ >0, >0,?, <0, <0,?, <0, >0, >0,?, <0, <0,?,

又∵S1<S2<?<S9,a1>a2>?>a9, ∴ 故选 D 【点评】本题考查学生灵活运用等差数列的前 n 项和的公式化简求值,掌握等差数列的性质, 属中档题. 中最大的项为

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)

13.已知 a>0,b>0,ab﹣(a+b)=1,求 a+b 的最小值为 2+2 【考点】基本不等式. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】利用基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:∵a>0,b>0,ab﹣(a+b)=1, ∴1+a+b=ab ,



化为(a+b)2﹣4(a+b)﹣4≥0, 解得 ,当且仅当 a=b=1+ . 时取等号.

∴a+b 的最小值为 2+2 故答案为:2+2 .

【点评】本题考查了基本不等式的性质,考查了计算能力,属于基础题.

14.变量 x、y 满足线性约束条件

,则使目标函数 z=ax+y(a>0)取得最大值的最

优解有无数个,则 a 的值为 2. 【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,要使目标函数的最优解有无数 个,则目标函数和其中一条直线平行,然后根据条件即可求出 a 的值. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 由 z=ax+y(a>0)得 y=﹣ax+z, ∵a>0,∴目标函数的斜率 k=﹣a<0. 平移直线 y=﹣ax+z, 由图象可知当直线 y=﹣ax+z 和直线 2x+y=2 平行时,此时目标函数取得最大值时最优解有无 数多个, 此时﹣a=﹣2,即 a=2. 故答案为:2.

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法.

15.已知{an}是等比数列,

,则 a1a2+a2a3+?+anan+1=



【考点】数列的求和;等比数列的通项公式. 【专题】计算题. 【分析】首先根据 a2 和 a5 求出公比 q,根据数列{anan+1}每项的特点发现仍是等比数列,根据 等比数列求和公式可得出答案. 【解答】解:由 ,解得 .

数列{anan+1}仍是等比数列:其首项是 a1a2=8,公比为 ,

所以,

故答案为



【点评】本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用.应善于从题设条件中发现规 律,充分挖掘有效信息.

16.下列命题中: ①△ABC 中,A>B?sinA>sinB ②数列{an}的前 n 项和 Sn=n2﹣2n+1,则数列{an}是等差数列. ③锐角三角形的三边长分别为 3,4,a,则 a 的取值范围是 ④若 Sn=2﹣2an,则{an}是等比数列 真命题的序号是①③④. <a<5.

【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】方程思想;转化思想;数学模型法;简易逻辑. 【分析】 ①△ABC 中, 利用正弦定理与三角形的边角大小关系可得: A>B?a>b?sinA>sinB, 即可判断出正误; ②由 Sn=n2﹣2n+1,可得 an= ,即可判断出正误;

③若 a 是最大边,则 32+42>a2,解得 a;若 4 是最大边,则 32+a2>42,解得 a,即可判断出正 误. ④由 Sn=2﹣2an,可得 an= ,即可判断出正误.

【解答】解:①△ABC 中,A>B?a>b?sinA>sinB,正确; ②数列{an}的前 n 项和 Sn=n2﹣2n+1,可得 an= ,因此数列{an}不是等差数列.
2 2 2

③锐角三角形的三边长分别为 3,4,a,若 a 是最大边,则 3 +4 >a ,解得 a<5;若 4 是最 大边,则 3 +a >4 ,解得 ④若 Sn=2﹣2an,可得 an= 真命题的序号是 ①③④. 故答案为:①③④ 【点评】本题考查了正弦定理、数列的前 n 项和公式与通项公式、三角形三边大小关系、命 题真假的判定方法,考查了推理能力,属于中档题.
2 2 2

,则 a 的取值范围是

<a<5,正确.

,可知首项与公比都为 ,因此{an}是等比数列,正确.

三、解答题 17. 设命题 p: 实数 x 满足 x2﹣4ax+3a2<0, 其中 a>0, 命题 q: 实数 x 满足 (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若?p 是?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 【考点】复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. .

【分析】 (1)现将 a=1 代入命题 p,然后解出 p 和 q,又 p∧q 为真,所以 p 真且 q 真,求解 实数 a 的取值范围; (2)先由¬p 是¬q 的充分不必要条件得到 q 是 p 的充分不必要条件,然 后化简命题,求解实数 a 的范围. 【解答】解: (1)当 a=1 时,p:{x|1<x<3},q:{x|2<x≤3},又 p∧q 为真,所以 p 真且 q 真, 由 得 2<x<3,所以实数 x 的取值范围为(2,3)

(2)因为¬p 是¬q 的充分不必要条件,所以 q 是 p 的充分不必要条件,

又 p:{x|a<x<3a}(a>0) ,q:{x|2<x≤3},所以

解得 1<a≤2,

所以实数 a 的取值范围是(1,2] 【点评】充要条件要抓住“大能推小,小不能推大”规律去推导.

18.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 (1)求 的值;



(2)若 cosB= ,△ABC 的周长为 5,求 b 的长. 【考点】正弦定理的应用;余弦定理. 【专题】三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 【分析】 (1)利用正弦定理化简等式的右边,然后整理,利用两角和的正弦函数求出 值. (2)利用(1)可知 c=2a,结合余弦定理,三角形的周长,即可求出 b 的值. 【解答】解: (1)因为 所以 的

即:cosAsinB﹣2sinBcosC=2sinCcosB﹣cosBsinA 所以 sin(A+B)=2sin(B+C) ,即 sinC=2sinA 所以 =2

(2)由(1)可知 c=2a?① a+b+c=5?②

b =a +c ﹣2accosB?③ cosB= ?④ 解①②③④可得 a=1,b=c=2; 所以 b=2 【点评】本题是中档题,考查正弦定理、余弦定理的应用、两角和的三角函数的应用,函数 与方程的思想,考查计算能力,常考题型.

2

2

2

19.已知各项均不相等的等差数列{an}的前五项和 S5=20,且 a1,a3,a7 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Tn 为数列{ 的取值范围. 【考点】数列的求和. 【专题】等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 【分析】 (1)设数列{an}的公差为 d,运用等差数列的求和公式和等比数列的性质,解方程可 得 a1=2,d=1,再由等差数列的通项即可得到; (2)运用裂项相消求和,求得 Tn,再由参数分离和基本不等式即可得到所求范围. 【解答】解: (1)设数列{an}的公差为 d,由已知得 }的前 n 项和,若存在 n∈N*,使得 Tn﹣λ an+1≥0 成立.求实数 λ

即为





,由 d≠0,即有



故 an=2+n﹣1=n+1; (2) ∴
*

=

=

﹣ = ﹣ = ,

∵存在 n∈N ,使得 Tn﹣λ an+1≥0 成立, ∴存在 n∈N*,使得 ﹣λ (n+2)≥0 成立,

即λ ≤ 即有 λ ≤max, 而 =

有解,



=

,n=2 时取等号





【点评】本题考查等差数列的通项和求和公式的运用,同时考查等比数列的性质,以及数列 的求和方法:裂项相消求和,运用参数分离和基本不等式是解题的关键.

20.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢 建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的 能源消耗费用 C (单位: 万元) 与隔热层厚度 x (单位: cm) 满足关系: C (x) = (0≤x≤10) ,

若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗 费用之和. (Ⅰ)求 k 的值及 f(x)的表达式. (Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值. 【考点】函数模型的选择与应用;利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】应用题. 【分析】 (I)由建筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满 足关系:C(x)= 得 C(0)=8,得 k=40,进而得到 ,若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.我们可 .建造费用为 C1(x)=6x,则根据隔热层建

造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x) ,我们不难得到 f(x)的表达式. (II)由(1)中所求的 f(x)的表达式,我们利用导数法,求出函数 f(x)的单调性,然 后根据函数单调性易求出总费用 f(x)的最小值. 【解答】解: (Ⅰ)设隔热层厚度为 xcm,由题设,每年能源消耗费用为 再由 C(0)=8,得 k=40, 因此 . .

而建造费用为 C1(x)=6x,

最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为

(Ⅱ)

,令 f'(x)=0,即



解得 x=5,

(舍去) .

当 0<x<5 时,f′(x)<0,当 5<x<10 时,f′(x)>0,故 x=5 是 f(x)的最小值点, 对应的最小值为 .

当隔热层修建 5cm 厚时,总费用达到最小值为 70 万元. 【点评】函数的实际应用题,我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程,在建模时要注 意实际情况对自变量 x 取值范围的限制,解模时也要实际问题实际考虑.将实际的最大(小) 化问题,利用函数模型,转化为求函数的最大(小)是最优化问题中,最常见的思路之一.

21.解关于 x 的不等式 ax2﹣(2a+2)x+4>0. 【考点】一元二次不等式的解法. 【专题】计算题;分类讨论;分类法;不等式的解法及应用. 【分析】已知不等式左边分解因式后,分 a=0 与 a≠0 两种情况求出解集即可. 【解答】解:不等式 ax ﹣(2a+2)x+4>0, 因式分解得: (ax﹣2) (x﹣2)>0, 若 a=0,不等式化为﹣2(x﹣2)>0,则解集为{x|x<2}; 若 a≠0 时,方程(ax﹣2) (x﹣2)=0 的两根分别为 ,2, ①若 a<0,则 <2,此时解集为{x| <x<2}; ②若 0<a<1,则 >2,此时解集为{x|x<2 或 x> }; ③若 a=1,则不等式化为(x﹣2)2>0,此时解集为{x|x≠2}; ④若 a>1,则 <2,此时解集为{x|x>2 或 x< }. 【点评】此题考查了一元二次不等式的解法,利用了分类讨论的思想,熟练掌握运算法则是 解本题的关键.
2

22.定义:称 项的“均倒数”为 ,

为 n 个正数 p1,p2,?,pn 的“均倒数”.已知数列{an}的前 n

(1)求{an}的通项公式; (2)设 cn= ,试判断并说明数列{cn}的单调性;

(3)求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 【考点】数列的求和;数列的函数特性;数列递推式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (1)易知数列{an}的前 n 项 Sn=n2+2n,利用 Sn﹣Sn﹣1 可知当 n≥2 时的通项公式,进而 可得结论; (2)通过 an=2n+1 可知 cn= (3)通过 cn= ,利用作差法计算即得结论;

,写出 Sn、3Sn 的表达式,利用错位相减法计算即得结论.
2

【解答】解: (1)设数列{an}的前 n 项为 Sn,依题意有 Sn=n +2n, 当 n=1 时,a1=S1=3; 当 n≥2 时时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n+1; 综上,an=2n+1; (2)∵an=2n+1, ∴cn= = ,cn+1= ,

∵cn+1﹣cn=



=﹣

<0,

∴数列{cn}是递减数列; (3)∵cn= ∴Sn=3? 3Sn=3? +5? +5? , +7? +7? +?+(2n﹣1)? +?+(2n﹣1)? + +?+ + +(2n+1)? +(2n+1)? , ,

两式相减得:2Sn=3+2(

)﹣(2n+1)?

=3+

﹣(2n+1)?

=4﹣ ∴Sn=2﹣

, .

【点评】本题考查数列的通项及前 n 项和、数列的单调性,考查运算求解能力,注意解题方 法的积累,属于中档题.


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