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盐城市2010-2011学年度高三年级第一次调研考试


盐城市 2010/2011 学年度高三年级第一次调研考试 数 学 试 题
(总分 160 分,考试时间 120 分钟)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题 纸的指定位置上. 1.已知集合 P ? ? ? 4, ? 2, 0, 2, 4 ? , Q ? ? x | ? 1 ? x ? 3? ,则 P

? Q ? 2.若复数 z1 ? 3 ? 4 i , z 2 ? 1 ? 2 i ( i 是虚数单位),则 z 1 ? z 2 = 3.命题: ? x ? R , sin x ? 2 的否定是 ▲ . ▲ . 开始 开始 S←1,k←1 开始 k←k+1 开始 S←S+2k 否 ▲ .

4.某单位有职工 100 人,其中不到 35 岁的有 45 人,35 岁到 49 岁的有 25 人,50 岁及以上的有 30 人.现在用分层抽样的方法抽取 20 人进行问卷调查, 则 35 岁到 49 岁的应抽取 ▲ 人. 5. 从长度分别为 2,3,4,5 的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可 以构成三角形的概率是 ▲ . 6.运行如图所示的程序框图,则输出 的 结 果 S= ▲ . 3? 2 ) ? 2 2 sin x 的最小正周期为 7.函数 y ? co s( 2 x ? ▲ .
4

8.观察下列几个三角恒等式: ① tan 10 tan 20 ? tan 20 tan 60 ? tan 60 tan 10 ? 1 ;
? ? ? ? ? ?

k>4? 是 输出 S 结束
第6题

② tan 5 tan 100 ? tan 100 tan( ? 15 ) ? tan ( ? 1 5 ) tan 5 ? 1 ;
? ? ? ? ? ?

③ tan 13 tan 35 ? tan 35 tan 42 ? tan 42 tan 13 ? 1 .
? ? ? ? ? ?

一般地,若 tan ? , tan ? , tan ? 都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为 ▲ .
2 2

9.已知点 P ( a , b ) 关于直线 l 的对称点为 P ?( b ? 1, a ? 1) ,则圆 C : x ? y ? 6 x ? 2 y ? 0 关于 直线 l 对称的圆 C ? 的方程为 ▲ .

? y ? x ?1 ? 10.设 x , y 满足约束条件 ? y ? 2 x ? 1 ,若目标函数 z ? a b x ? y ? a ? 0 , b ? 0 ? 的最大值为 ? x ? 0, y ? 0 ?

35,则 a ? b 的最小值为



.

11. 已知平面 ? , ? , ? ,直线 l , m 满足: ? ? ? , ? ? ? ? m , ? ? ? ? l , l ? m ,那么① m ? ? ; ②
l ? ? ;③ ? ? ? ;④ ? ? ? .可由上述条件可推出的结论有



(请将你认为正

确的结论的序号都填上). 12.在 ? A B C 中, ? A C B ? 60 , sin A : sin B ? 8 : 5 ,则以 A , B 为焦点且过点 C 的椭圆的离
?

心 为

率 ▲ .

13. 已知{ a n }是公差不为0的等差数列,{ b n } 是等比数列,其中 a1 ? 2, b1 ? 1, a 2 ? b 2 , 2 a 4 ? b3 , 且存在常数α、β ,使得 a n = lo g ? b n ? ? 对每一个正整数 n 都成立,则 ? = 14
f( ?
?



. 数


x
2


x
3


xx
42


x
3

x) ? 1 , xg? x ) ? 1 ? x ? ( ? ?? ? ??? ? ? ,设 2 3 42 3 4 2011 2 F ( x ) ? f ( x ? 3) ? g ( x ? 3) ,且函数 F ( x ) 的零点均在区间 [ a , b ]( a ? b , a , b ? Z ) 内,则
b ? a 的最小值为

x

4

x

2011 2

x

0

? 0



.

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.(本小题满分 14 分) y 如图, O 为坐标原点,点 A , B , C 均在 ? O 上,点 A ( , ) ,点 B 在
5 5 3 4

B

A

第二象限,点 C (1, 0) . (Ⅰ)设 ? C O A ? ? ,求 sin 2? 的值; (Ⅱ)若 ? AO B 为等边三角形,求点 B 的坐标. O C x

第 15 题

16.(本小题满分 14 分) 在直三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 中, ? ABC ? 90 , E 、 F 分别为
0

A B

C

A1 C 1 、 B1 C 1 的中点, D 为棱 C C 1 上任一点.

(Ⅰ)求证:直线 E F ∥平面 A B D ; (Ⅱ)求证:平面 A B D ⊥平面 B C C 1 B1 . D

A1 17.(本小题满分 16 分) 已知抛物线 C : y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的准线为 l ,焦点为 F . ? M 的圆心在
2

E F B1
第 16 题

C1

x 轴的正半轴上,且与 y 轴相切.过原点 O 作倾斜角为

?
3

的直线 n ,交 l

于点 A ,交 ? M 于另一点 B ,且 A O ? O B ? 2 .

(Ⅰ)求 ? M 和抛物线 C 的方程;

(Ⅱ)若 P 为抛物线 C 上的动点,求 P M ? P F 的最小值; (Ⅲ)过 l 上的动点 Q 向 ? M 作切线,切点为 S , T ,求证:直线 ST 恒 过一个定点,并求该定点的坐标.

???? ??? ? ?

y l B · FM

O A

x

第 17 题

18.(本小题满分 14 分) 因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环保部门的 建议,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放 a (1 ? a ? 4,且 a ? R ) 个单位的药剂,它在水中释放的浓度 y (克/升)随着时间 x (天)变化
? 16 ? 1 (0 ? x ? 4 ) ?8 ? x ? 的函数关系式近似为 y ? a ? f ( x ) ,其中 f ( x ) ? ? .若多次投放,则某 1 ? 5 ? x (4 ? x ? 1 0 ) ? ? 2

一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水 中药剂的浓度不低于 4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用. (Ⅰ)若一次投放 4 个单位的药剂,则有效治污时间可达几天? (Ⅱ)若第一次投放 2 个单位的药剂,6 天后再投放 a 个单位的药剂,要使接下来的 4 天 中能够持续有效治污,试求 a 的最小值(精确到 0.1,参考数据: 2 取 1.4).

19.(本小题满分 16 分) 已知数列 ? a n ? 满足 a1 ? 2, 前 n 项和为 S n , a n ? 1 ? ?
? p a n ? n ? 1( n 为 奇 数 ) ? ? an ? 2 n (n为 偶 数 )

.

(Ⅰ)若数列 ? b n ? 满足 b n ? a 2 n ? a 2 n ? 1 ( n ? 1) ,试求数列 ? b n ? 前 n 项和 T n ; (Ⅱ)若数列 ? c n ? 满足 c n ? a 2 n ,试判断 ? c n ? 是否为等比数列,并说明理由; (Ⅲ)当 p ?
1 2

时,问是否存在 n ? N ,使得 ( S 2 n ? 1 ? 1 0 )c 2 n ? 1 ,若存在,求出所有的 n 的
*

值;若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? a | ln x ? 1 | , g ( x ) ? x | x ? a | ? 2 ? 2 ln 2, a ? 0 .
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在区间 [1, e ] 上的最大值; (Ⅱ)若 f ( x ) ?
3 2 a , x ? [1, ? ? ) 恒成立,求 a 的取值范围;

(Ⅲ)对任意 x1 ? [1, ? ? ) ,总存在惟一的 x 2 ? [2, ? ? ) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 成立,求 a 的取值 ... 范围.

数学附加题部分
(本部分满分 40 分,考试时间 30 分钟)
21.[选做题] 在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在 答题纸的指定区域内. A.(选修 4—1:几何证明选讲) 如图, A B 是⊙ O 的直径, C , F 是⊙ O 上的两点, O C ? A B ,过点 F 作⊙ O 的切线 F D 交 A B 的延长线于点 D .连结 C F 交 A B 于点 E . C 求证: D E 2 ? D B ? D A . E A O F B. (选修 4—2:矩阵与变换) 求矩阵 ?
?2 ?1 1? ? 2?

B

D

第 21-A 题

的特征值及对应的特征向量.

C. (选修 4—4:坐标系与参数方程)
? x ? ? 3 t ? 2, ? 5 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 sin ? ,直线 l 的参数方程是 ? (t 4 ?y ? t 5 ?

为参数) .

(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与 x 轴的交点是 M , N 是曲线 C 上一动点,求 M N 的最大值.

D.(选修 4—5:不等式选讲) 已知 m ? 0, a, b ? R ,求证:

?

a ? mb 1? m

?

2

?

a ? mb 1? m
2

2

.

[必做题] 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22. (本小题满分 10 分) 设 m , n ? N , f ( x ) ? (1 ? 2 x ) ? (1 ? x ) .
m n

( Ⅰ ) 当 m ? n =2011
a 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a 2 0 1 1 ;

时 , 记 f ( x ) ? a 0 ? a1 x ? a 2 x ? ? ? ? ? a 2 0 1 1 x
2

2011

, 求

(Ⅱ)若 f ( x ) 展开式中 x 的系数是 20,则当 m 、 n 变化时,试求 x 系数的最小值.
2

23. (本小题满分 10 分) 有一种闯三关游戏规则规定如下:用抛掷正四面体型骰子(各面上分别有 1,2,3,4 点数的质地均匀的正四面体)决定是否过关,在闯第 n ( n ? 1, 2, 3) 关时,需要抛掷 n 次 骰子,当 n 次骰子面朝下的点数之和大于 n 时,则算闯此关成功,并且继续闯关,否则停 止闯关. 每次抛掷骰子相互独立. (Ⅰ)求仅闯过第一关的概率; (Ⅱ)记成功闯过的关数为 ? ,求 ? 的分布列和期望.
2

盐城市 2010/2011 学年度高三年级第一次调研考试 数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.

1. ? 0, 2 ? 6.61 8. 7. ?

2. 2 ? 2 i

3. ? x ? R , sin x ? 2

4.5

5.

3 4

当 ? ? ? ? ? ? 90 时 , tan ? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? tan ? ? 1
? 2 2

9. 12.
7 13

( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 10

10.8

11.②④

13.4 14.9 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分. 15 . 解 : (
24 25









co s ? ?

3 5

, sin ? ?

4 5

,





sin 2? ? 2 sin ? co s ? ?

………………………………6 分
?

( Ⅱ ) 因 为 ?A O B 等 边 三 角 形 , 所 以 ? AO C ? 60 为
c o? s O C B ?
? 3?4 3 10

, 所 以

c ? sA ( O ?C o

?

6 0

)

……………………………………………………………………………………

…………10 分 同
( 3? 1 4 0


? 3 ,

,

sin ? B O C ?
4 3

4?3 3 10

,





A









) ………………………………14 分 1 0

3

16 .( Ⅰ ) 证 明 : 因 为 E 、 F
E F / / A1 B1 / / A B ………………………4 分

分 别 为 A1 C 1 、 B1 C 1 的 中 点 , 所 以 , 所 以 直 线
EF



EF ? 面 ABD , AB ? 面 ABD







A B D ………………………………………7 分

(Ⅱ)因为三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 为直三棱柱,所以 A B ? B B 1 ,又 A B ? B C , 而 又
B B1 ? 面 B C C 1 B1

, ,

BC ? 面

B C C 1 B1

, 且 面

B B1 ? B C ? B

, 所 以 平 面

A B ? 面 B C C 1 B1 ………… 11 分 AB ? 面 ABD




1 2



ABD



B C C 1 B1 …………………………………………………14 分

17 . 解 : Ⅰ ) 因 为 (
y ? 4 x ……… 2 分
2

p 2

? OA ?c o s 6 0 ?

?

2 ?

?

1即 p ? 2 , 所 以 抛 物 线 C 的 方 程 为 ,

设 ? M
2 2

的 半 径 为 r , 则 r ?

OB 2

?

1 co s 6 0
?

? 2 , 所 以 ? M

的 方 程 为

( x ? 2) ? y ? 4 ……………… 5 分
P( ? x, y ( Ⅱ ) 设 ,) ???? ??? ? ? 2 2 2 P M ? P F ? (2 ? x , ? y )(1 ? x , ? y ) = x ? 3 x ? 2 ? y ? x ? x ? 2 ……8 分 ???? ??? ? ? x ?0 PM ? PF 所 以 当 时 , 有 最 小 值 ( 则x 0



2 ……………………………………………………………10 分 ( Ⅲ ) 以 点 Q 这 圆 心 ,QS 为 半 径 作 ? Q , 则 线 段 ST 即 为 ? Q 与 ? M 的 公 共 弦………………… 11 分

设 点
2

Q (?
2

则 t ,, ) 1
2

QS

2

? QM

2

?4?t ?5
2

, 所 以 1

? Q

的 方 程 为 分 为

( x ? 1) ? ( y ? t ) ? t ? 5



3

而 直 线 QS 的 方 程 3 x ? ty ? 2 ? 0 (*)………………………………………………………………14 分



2 ? ?x ? 因为 ? 3 一 定 是 方 程 (*) 的 解 , 所 以 直 线 QS 恒 过 一 个 定 点 , 且 该 定 点 坐 标 为 ?y ? 0 ?

(

2 3

, 0 ) ……………16 分

18

















a ? 4

,





? 64 ? 4 (0 ? x ? 4 ) ? y ? ?8 ? x …………………………………………………1 分 ? 20 ? 2 x(4 ? x ? 10) ?

则 当

0? x?4

时 , 由

64 8? x

?4? 4

, 解 得

x?0

, 所 以 此 时

0 ? x ? 4 …………………………………… 3 分



4 ? x ? 10



,



20 ? 2 x ? 4

,





x?8

,









4 ? x ? 8 ………………………………………5 分

综合,得 0 ? x ? 8 ,若一次投放 4 个单位的制剂,则有效治污时间可达 8 天………………………… 6 分 ( Ⅱ 时, y ? 2 ? (5 ? =1 0 ? x ?
1 2
16a 14 ? x





6? x?

1

x) ? a(

16 8 ? ( x ? 6)

? 1) ……………………………………………9 分
16a 14 ? x ? a ? 4 ,因为 1 4 ? x ? [ 4, 8] ,而 1 ? a ? 4 ,

? a = (1 4 ? x ) ?

? 所 以 4 a ? [ 4 , 故 ]当 且 仅 当 1 4 x ? , 8 8 a ? a ? 4 ………………………12 分

a 4

时 ,y

有 最 小 值 为 的 最 小 值 为

令 8 a ?a?4?4

4 , 解 得 2 ?

1 6 ? 2 ? , 所 4以 a

a

2 4 ? 1 6 2 ? 1 .6 ………………14 分

19 . 解 :( Ⅰ ) 据 题 意 得 b n ? a 2 n ? a 2 n ? 1 ? ? 4 n , 所 以 ? b n ? 成 等 差 数 列 , 故
T n ? ? 2 n ? 2 n ……………4 分
2

(Ⅱ)当 p ?

1 2

时 , 数 列 ?cn ? 成 等 比 数 列 ; 当 p ?

1 2

时 , 数 列 ?cn ? 不 为 等 比 数

列……………………5 分 理由如下:因为 c n ? 1 ? a 2 n ? 2 ? pa 2 n ?1 ? 2 n ? p ( ? a 2 n ? 4 n ) ? 2 n ? ? p c n ? 4 p n ? 2 n , 所以 当
c n ?1 cn ? ?p? 2 n (1 ? 2 p ) cn
1 2 1 2

,故当 p ? 数

时,数列 ? c n ? 是首项为 1,公比为 ?

等比数列; 比 数

p ?

1 2



,



?cn ?







列 ………………………………………………………………… 9 分

( 时, a 2 n ? c n ? ( ? 因
1 2 )


n ?1


1 2 )
n ?1



p ?

1 2

, a 2 n ?1 ? bn ? a 2 n ? ? 4 n ? ( ?

………………………………10 分 为

S 2 n ? ? a ? b ? b ? ... ? b n = ? 2 n ? 2 n ? 2 ( n ? 1 ) …………………………………………… 1
2

12 分
? ( S 2 n ? 1 ? 1 0 ) c 2 n ? 1 ,? 4 n ? 4 n ? 1 6 ? 4 ,设 f ( x ) ? 4 ? 4 x ? 4 x ? 1 6 ( x ? 2 ) ,
2 n

x

2



x g ( x ) ? f ? ( x ) ? 4 ln 4 ? 8 x ? 4

2 x , ? g ?( x ) ? (ln 4) 4 ? 8 ? 0

( x ? 2)

, 且

g ( 2 ) ? f ?( 2 ) ? 0 , ? f ( x ) 在 [ 2, ? ? ) 递增,且 f (3)? 0, f (1) ? 0 ,
?













n ?3

使



(S 2n? ?
1 x

1

c 1

n

?0

2

)成

1

立……………………………………………………16 分
2 20.解: (Ⅰ)当 a ? 1 , x ? [1, e ] 时 f ( x ) ? x ? ln x ? 1 , f ? ( x ) ? 2 x ?

? f ? (1) ? 1 ,


f(
m


?) x
a

f (x)
?
2 x



[1, e ]





,





f( e) e ………………………………………………………4 分

2 (Ⅱ)①当 x ? e 时, f ( x ) ? x ? a ln x ? a , f ? ( x ) ? 2 x ?

a x

,? a ? 0 ,? f ( x ) ? 0 恒 当 时 ,

成立,
? f (x)


2

[ e , ?? )









,



x ? e

ym

?i f ( e ) ? e …………………………………………5 分 n

2 ②当 1 ? x ? e 时, f ( x ) ? x ? a ln x ? a , f ? ( x ) ? 2 x ?

a x

?

2 x

(x ?

a 2

)( x ?

a 2

),

(i)当 增 函

a 2

? 1, 即 0 ? a ? 2 时, f ? ( x ) 在 x ? (1, e ) 时为正数,所以 f ( x ) 在区间 [1, e ) 上为



,
2





x ?1





ym

?i 1 ?n a









f (1) ? f ( e ) ? e ………………………………………………………7 分

(ii)当 1 ?

a 2

2 ? e ,即 2 ? a ? 2 e 时,f ? ( x ) 在 x ? (1,

a 2

) 时为负数, 在间 x ? ( , e ] 上为增函数,故当 x ?

a 2

,e) 时 a 2

为正数,所以 f ( x ) 在区间 [1,
y min ? 3a 2 ? a 2 ln a 2
2

a 2

) 上为减函数,在 (

a 2

时, 时







f(

a 2

) ? f ( e ) ? e ……………………………………………………………………………

………8 分 (iii)当 减
ym
a 2
2 ? e ,即 a ? 2e 时, f ? ( x ) 在 x ? (1, e ) 时为负数,所以 f ( x ) 在区间[1,e]上为


2









x ? e





? f ( e ) ? e ……………………………………………………………………………… i n

9分 综 上











y ? f ( x)











? 1 ? a ,0 ? a ? 2 ? 3a a a 2 y min ? ? ? ln , 2 ? a ? 2 e ……………………………10 分 2 2 2 ? 2 2 e , a ? 2e ? 3 3 a a 3 2 所 以 当 1 ? a ? a 时 , 得 0 ? a ? 2 ; 当 a ? ln ? a ( 2 ? a ? 2 e ) 时 , 无 解 ; 当 2 2 2 2 2
e ?
2

3 2

a

2 ( a ? 2e ) 时 , 得 a ?

2 3

e 不成立.

综上,所求 a 的取值范围是

0 ? a ? 2 …………………………………………11 分

(Ⅲ)①当 0 ? a ? 2 时, g ( x ) 在 [ 2, ? ? ) 单调递增,由 g (2)? 6 ? 2 a ? 2 ln 2 ? 1 ? a , 得
5 3 ? 2 3 ln 2 ? a ? 2 …………………………………………………………………………………

……12 分 ②当 1 ? 得
a 2
a 2 ? a 2 a 2 ln a 2 ) , h ? ( t ) ? 2 ? ln t ? 0(1 ? t ? 2) ,
h (2) ? 0

? 2 时, g ( x ) 在 [ 2, ? ? ) 先减后增,由 g ( 2)? 2 a ? 2 ? 2 ln 2 ?
? 2 ? 2 ln 2 ? 0

3a 2

?

a 2

ln

a 2

, 设

,

h ( t ) ? t ? t ln t ? 2 ? 2 ln 2 ( t ?

所 以

h (t )

单 调 递 增 且
a

, 所 以

h (t ? )

0 恒 成 立 得

2 ? a ? 4 ……………………………………14 分

③当 2 ?

a 2

? e 时, f ( x ) 在 [ 2 ,
2

] 递增,在 [
? a 2 ln a 2

a 2

, a ] 递减,

在 [ a , ? ? ) 递增,所以由 g ( ) ?
2

a

2 3a
2

y

,
2



a

2

?

3a 2

?

a 2

ln

a 2

? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,设 m ( t ) ? t ? 3 t ? t ln t ? 2 ? 2 ln 2 ,
2

a 2

a

x

4

则 m ? ( t ) ? 2 t ? 2 ? ln t ? 0( t ? (2, e ) ,所以 m ( t ) 递增,且 m ( 2 ) ? 0 , 所以 m ( t ) ? 0 恒成立,无解. ④当 a ? 2 e 时, f ( x ) 在 [ 2 , ] 递增,在 [
2

a

a 2

, a ] 递减,在 [ a , ? ? ) 递增,

2

所以由 g ( ) ? e 得
2

a

a

2

? e ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 无解.
2

4
5 2 3 ln 2, 4 ) 3

综上,所求 a 的取值范围是 a ? [ ?

………………………16 分

数学附加题部分
21. A.证明: 连结 OF,因为 DF 切⊙O 于 F, 所以∠OFD=90°,所以∠OFC+∠CFD=90°.

因为 OC=OF,所以∠OCF=∠OFC,又因为 CO⊥AB 于 O, 所 以 ∠ OCF+ ∠ CEO=90°………………………………………………………………………………5 分 所 以 ∠ CFD= ∠ CEO= ∠ DEF , 所 以 DF=DE, 因 为 DF 是 ⊙ O 的 切 线 , 所 以 2 DF =DB·DA. 所 以 2 DE =DB·DA…………………………………………………………………………………… 10 分 B. 解 : 特 征 多 项 式
f (? ) ?

? ?2
?1

?1

? ?2

? (? ? 2) ? 1 ? ? ? 4 ? ? 3
2 2

………………………………3 分 将 ?1
? 1 代入特征方程组,得 ?

由 f ( ? ) ? 0 ,解得 ?1 ? 1, ? 2 ? 3 ……6 分
? x? y?0
? 1 ?

? ? x ? y ? 0, ?? x ? y ? 0

, 可 取 ? ? 为 属 于 特 征 值 ? ? ? 1? 量………………………………………8 分 同理,当 ? 2 征向量. 综上所述,矩阵 ? 属
?1 ? ? ? ?1 ?
2

1

=1

的 一 个 特 征 向

?3

时,由 ?

? x ? y ? 0, ?? x ? y ? 0

? x? y ? 0

,所以可取 ? ? 为属于特征值 ? 2 1
? ?

?1 ?

?3

的一个特

?2 ?1

1? ? 2?

有两个特征值 ?1 ? 1, ? 2 ? 3 ; 属于 ?1 的 一 个 特

? 1 的一个特征向量为 ?

? 1 ? ? ? ? 1?





?2 ? 3









……………………………………………………………………10 分 C.
2


2

: (







线

C






C













? ? 2 ? sin ?

……………………………………………2 分 的 直 角 坐 标 方 程 为 …………4 分

又 x ? y ? ? 2 , x ? ? cos ? , y ? ? sin ? , 所 以 曲 线
x ? y ? 2y ? 0
2 2

( Ⅱ ) 将 直 线
4 y ? ? ( x ? 2) 3

l

的 参 数 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程 , 得

………………………………………6 分
? 2

令 y ? 0 ,得 x 半
MC ? 5

,即 M 点的坐标为(2,0). 又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为(1,0), 径
r ?1





…………………………………………………………………………………8 以
5 ? 1 ……………………………………………………………………

分 所
MN ≤ MC ? r ?

………10 分 D. 因 为 m ? 0 , 所 以 1 ? m ? 0 , 所 以 要 证
(a ? m b ? ( 1 m ) a ? ) ? (
2 2

? a1 ?? m b ? m
2

2

?

a ? mb 1? m
2

2

, 即 证

m b ) ,
2
2

即证

m (a ? 2ab ? b ) ? 0
2

,即 证

(a ? b) ? 0
2

,而

(a ? b ) ?

0显

然成立, 故

?

a ? mb 1? m

?

2

?

a ? mb 1? m
2

2

…10 分
2011

22.解: (Ⅰ)令 x ? ? 1 ,得 a 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a 2 0 1 1 = (1 ? 2 ) …………4 分
1 1

? (1 ? 1)
2

2011

? ? 1 ……………
2 2 2

(Ⅱ)因为 2 C m ? C n ? 2 m ? n ? 2 0 ,所以 n ? 20 ? 2 m ,则 x 的系数为 2 C m ? C n
? 4? m ( m ? 1) 2 ? n ( n ? 1) 2 ? 2m ? 2m ?
2

1 2

( 2 0 ? 2 m )(1 9 ? 2 m ) = 4 m ? 41m ? 190
2



…………7 分 所 以 当 m ? 5, n ? 10 时 , f ( x ) 展 开 式 中 x
2

的 系 数最 小 , 最小 值 为 A, 则

85…………………………10 分 23. 解 :( Ⅰ ) 记 “ 仅 闯 过 第 一 关 的 概 率 ” 这 一 事 件 为
P ( A) ? 3 ? 3 ? 9 64

……………………4 分 题 意
9

4 16






1 4





,

?









0,1,2,3,



p (? ? 0 ) ? 273

, p (? ? 1) ?

, p (? ? 2) ?

64 3 13 8 39 ? ? ? , p (? ? 3) ? ? ,即随机变量 ? 的概率分布列为: 512 4 16 64 512

3 13 56 ? ? 4 16 64

?
p

0
1 4

1
9 64

2
273 512

3
39 512

………………… …………8 分 所 以, E ? ? 0 ? …10
1 4 ? 1? 9 64 ? 2? 273 512 ? 3? 39 512 ? 735 512

……………………………………………


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