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处理一元二次方程根的分布问题的一般方法


数形结合处理二次方程根的分布问题的一般方法
设 f(x)=a 可依照三个二次 x +bx+c(a≠0),则 f(x)=0 即一元二次方程的实根分布问题,
2

间的关系按下述步骤解决: ⑴画出符合题设要求(即 f(x)=0 的实根分布情形)的所有不同类型的抛物线; ⑵分析概括上述抛物线的图形特征并将它转化为相应的不等式组(分别从开口方向, 与 x 轴的交点,对称轴,端点与特殊点位置等角度综合考虑) ; ⑶简化上述不等式组并求解,以得到原问题的解答。
2 2

附:有关二次方程 a
2

x +bx+c=0(a≠0)实根分布问题的数与形对应结论(设 f(x)=a x +bx+c)

设方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的不等两根为 x1 , x2 且 x1 ? x2 ,相应的二次函数为

f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? 0 ,方程的根即为二次函数图象与 x 轴的交点,它们的分布情况见下
面各表(每种情况对应的均是充要条件)

表一: (两根与 0 的大小比较即根的正负情况)
分 布 情 况
两个负根即两根都小于 0 两个正根即两根都大于 0 一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0 ? x1 ? 0 ? x2 ?

? x1 ? 0, x2 ? 0?

? x1 ? 0, x2 ? 0?

a>0

大 致 图 象

a<0

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?0 ? ? 2a ? ?a ? f ? 0 ? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?0 ? ? 2a ? ?a ? f ? 0 ? ? 0 ?

a ? f ?0? ? 0

表二: (两根与 k 的大小比较)
分 布 情 况
两根都小于 k 即 两根都大于 k 即 一个根小于 k ,一个大于 k 即

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k ? x2

a?0


大 致 图 象 (

k

k

k

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? f ?k ? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? f ?k ? ? 0 ?

f ?k ? ? 0

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? 2a ? ? f ?k ? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?k ?? 2a ? ? f ?k ? ? 0 ?

f ?k ? ? 0

综 合 结 论 ( 不 讨 论

a

? ??0 ? b ? ?k ? ? ? 2a ?a ? f ? k ? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?k ? ? ? 2a ?a ? f ? k ? ? 0 ?

a ? f ?k ? ? 0



表三: (根在区间上的分布)
分 布 情 况
两根都在 ?m, n ? 内 仅一根在 ?m, n ? 内 (另一根不为 m,n) 两根分别 ?m, n ? 与 两根分别在区间

? p, q ? 内,

?m, n ? 外

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? ? f ? p? ? 0 ? f ?q? ? 0 ?

? f ?m? ? 0 ? ? ? f ?n? ? 0 ?

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?
? ?? ? 0 ? ? f (m)f (n)>0 ? b ?m <- <n 2a ?

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ? m? ? 0 ? ? f ? n? ? 0 ? ? f ? p? ? 0 ? f ?q? ? 0 ?

? f ?m? ? 0 ? ? ? f ?n? ? 0 ?

综 合 结 论 ( 不 讨 论

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ?m ? f ?n ? ? 0 ? ? ? f ? p ? f ?q ? ? 0 ?

f (m)f (n)>0

a



对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: (1)两根有且仅有一根在 ?m, n ? 内有以下特殊情况:

1? 若 f ? m? ? 0 或 f ? n ? ? 0 ,则此时 f ? m??f ? n ? ? 0 不成立,但对于这种情况是知道了
m 方程有一根为 m 或 n ,可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间 ?m, n ? 内,从而可以 求出参数的值。如方程 mx ? ? m ? 2? x ? 2 ? 0 在区间 ?1,3? 上有一根,因为 f ?1? ? 0 ,所
2

以 mx2 ? ? m ? 2? x ? 2 ? ? x ?1?? mx ? 2? ,另一根为 求;

2 2 2 ? 3 得 ? m ? 2 即为所 ,由 1 ? m 3 m

2? 方程有且只有一解,且这个解在区间 ?m, n ? 内,即 ? ? 0 ,此时由 ? ? 0 可以求出参数
的值, 然后再将参数的值带入方程, 求出相应的根, 检验根是否在给定的区间内, 如若不在, 舍去相应的参数。如方程 x ? 4mx ? 2m ? 6 ? 0 有且一根在区间 ? ?3,0? 内,求 m 的取值范
2

围。 分析: ①由 f ? ?3??f ? 0? ? 0 即 ?14m ? 15?? m ? 3? ? 0 得出 ?3 ? m ? ? 即 16m ? 4 ? 2m ? 6? ? 0 得出 m ? ?1 或 m ?
2

15 ; ②由 ? ? 0 14

3 ,当 m ? ?1 时,根 x ? ?2 ? ? ?3,0? ,即 2 3 3 m ? ?1 满足题意;当 m ? 时,根 x ? 3 ? ? ?3,0? ,故 m ? 不满足题意;综上分析,得 2 2 15 出 ?3 ? m ? ? 或 m ? ?1 14
例 1、已知二次方程 ? 2m ?1? x ? 2mx ? ? m ?1? ? 0 有一正根和一负根,求 m 的取值范围。
2

解: 由

? 2m ?1??f ? 0? ? 0



? 2m ? 1 m ? 1? ?? ?

, 0 从而得 ?

1 ? m ? 1 即为所求的范围。 2

?a ? b ? c ? 例 2 已知实数 a 、 b 、 c 满足 ? a ? b ? c ? 1 ,求 a ? b 的取值范围. ?a 2 ? b2 ? c 2 ? 1 ?

解:由已知得 a ? b ? 1 ? c 且
ab ? (a ? b)2 ? (a 2 ? b2 ) (1 ? c)2 ? (1 ? c 2 ) ? ? c2 ? c . 2 2

所以 a , b 是一元二次方程 x2 ? (1 ? c) x ? (c2 ? c) ? 0 的两根. 由 a ? b ? c 知 问题可转化为方程 x2 ? (1 ? c) x ? (c2 ? c) ? 0 的二根都大于 c . 令 f ( x) ? x2 ? (1 ? c) x ? (c2 ? c) ,则有:

?1 ? c ? 2 ?c ? 即 ? f (c ) ? 0 ?? ? (c ? 1) 2 ? 4(c 2 ? c) ? 0 ? ?

?1 ? c ? 2c ? 2 ?3c ? 2c ? 0 , ?3c 2 ? 2c ? 1 ? 0 ?

1 4 求得 ? ? c ? 0 ,因此 a ? b ? (1, ) . 3 3

例 3 已知点 A(0, 4) 、 B(4, 0) .若抛物线 y ? x2 ? mx ? m ? 1 与线段 AB (不包括端 点 A 及 B )有两个不同的交点, m 的取值范围是 则 (1997 上海数学竞赛) x y 解: 显然直线 AB 的方程为 ? ? 1(0 ? x ? 4) 即 y ? 4 ? x 4 4 将它代入抛物线方程并整理得 x2 ? (1 ? m) x ? (m ? 3) ? 0 . 设 f ( x) ? x2 ? (1 ? m) x ? (m ? 3) 问题转化函数 y ? f ( x) 的图象和 x 轴在 0 到 4 之间有两个不同的交点 即方程 x2 ? (1 ? m) x ? (m ? 3) ? 0 在 (0, 4) 上有两个不相等的实根. 所以

?? ? (1 ? m)2 ? 4(m ? 3) ? 0 ? ? f (0) ? m ? 3 ? 0 ? ? f (4) ? 16 ? 4(m ? 1) ? m ? 3 ? 0 ? ?0 ? m ? 1 ? 4. ? ? 2 17 解得 m 的取值范围是 3 ? m ? . 3

根的分布练习题
题 1: 已知二次函数 y ? ? m ? 2? x ? ? 2m ? 4? x ? ?3m ? 3? 与 x 轴有两个交点, 一个大于 1,
2

一个小于 1,求实数 m 的取值范围。 题 2:已知方程 2x ? ? m ? 1? x ? m ? 0 有两个不等正实根,求实数 m 的取值范围。
2

题 3:已知二次方程 mx ? ? 2m ? 3? x ? 4 ? 0 只有一个正根且这个根小于 1,求实数 m 的取
2

值范围。 题 4:已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0 (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围 (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围
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附练习题答案: 题 1: ?2 ? m ?
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1 1 :;题 2: 0 ? m ? 3 ? 2 2 或 m ? 3 ? 2 2 ;题 3: m ? ? ; 3 2

题 4 解 (1)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内 画出示意图,得
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1 ? ?m ? ? 2 ? f (0) ? 2m ? 1 ? 0, ? ? f ( ?1) ? 2 ? 0, ?m ? R , ? ? ?? 1 ? f (1) ? 4m ? 2 ? 0, ?m ? ? , ? 2 ? f ( 2 ) ? 6m ? 5 ? 0 ? ? ?m ? ? 5 ? 6 ?
∴?

y

-1

o

1

2

x

5 1 ?m?? 6 2

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(2)据抛物线与 x 轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组

? f ( 0) ? 0, ? f (1) ? 0, ? ? ? ? ? 0, ?0 ? ? m ? 1 ?

1 ? ?m ? ? 2 , ? 1 ? ? ?m ? ? , 2 ? ?m ? 1 ? 2或m ? 1 ? 2 , ?? 1 ? m ? 0. ?

y

o

1

x

(这里 0<-m<1 是因为对称轴 x=-m 应在区间(0,1)内通过) 解之得 -

1 <m<1- 2 。 2



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