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高考数学北师大版必修5学案:学案23 正弦定理和余弦定理


第六章

第五章 解三角形 学案 23 正弦定理和余弦定理

导学目标: 1.利用正弦定理、 余弦定理进行边角转化, 进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、 余弦定理, 并能解决一些简单的三角形度量问题.

自主梳理 1.三角形的有关性质 (1)在△ABC 中,A+B+C=________; (2)a+b____c

,a-b<c; (3)a>b?sin A____sin B?A____B; 1 1 1 (4)三角形面积公式:S△ABC= ah= absin C= acsin B=_________________; 2 2 2 (5)在三角形中有:sin 2A=sin 2B?A=B 或________________?三角形为等腰或直角三角形; A+B C sin(A+B)=sin C,sin =cos . 2 2 2.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 2 a =____________, ________________ 内容 b2=____________, =2R c2=____________. ①a=__________, b=__________, c=__________; ②sin A=________, cos A=________________; 变形 sin B=________, cos B=________________; 形式 sin C=________; cos C=_______________. ③a∶b∶c=__________; a+b+c a ④ = sin A+sin B+sin C sin A ①已知两角和任一边,求另一角和其他 两条边. ①已知三边,求各角; 解决 ②已知两边和其中一边的对角,求另一 ②已知两边和它们的夹角, 求第三边和 的问题 其他两个角 . 边和其他两角. 自我检测 1.(2010· 上海)若△ABC 的三个内角满足 sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,则△ABC( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 2.(2010· 天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C=2 3sin B,则 A 等于 ( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 3.(2011· 烟台模拟)在△ABC 中,A=60° ,b=1,△ABC 的面积为 3,则边 a 的值为( ) A.2 7 B. 21 C. 13 D.3 4.(2010· 山东)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2,b=2, sin B+cos B= 2,则角 A 的大小为________. 2π 5.(2010· 北京)在△ABC 中,若 b=1,c= 3,C= ,则 a=________. 3

探究点一 正弦定理的应用 例 1 (1)在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° ,求角 A、C 和边 c; (2)在△ABC 中,a=8,B=60° ,C=75° ,求边 b 和 c.

1 变式迁移 1 (1)在△ABC 中,若 tan A= ,C=150° ,BC=1,则 AB=________; 3 (2)在△ABC 中,若 a=50,b=25 6,A=45° ,则 B=________. 探究点二 余弦定理的应用 例 2 (2011· 咸宁月考)已知 a、b、c 分别是△ABC 中角 A、B、C 的对边,且 a2+c2-b2=ac. (1)求角 B 的大小; (2)若 c=3a,求 tan A 的值.

2π 变式迁移 2 在△ABC 中,a、b、c 分别为 A、B、C 的对边,B= ,b= 13,a+c=4,求 a. 3

探究点三 正、余弦定理的综合应用 例 3 在△ABC 中,a、b、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B), 试判断该三角形的形状.

AC cos B 变式迁移 3 (2010· 天津)在△ABC 中, = . AB cos C (1)证明:B=C; π? 1 (2)若 cos A=- ,求 sin? ?4B+3?的值. 3

1.解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用,用到三角变换的基本方法,同时它是对正、余弦定理,三 角形面积公式等的综合应用. 2.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而求出其他的边和角时,有 可能出现一解、两解或无解的情况,应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况,作出正确取舍. 3.在解三角形中的三角变换问题时,要注意两点:一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理,二是要用到 三角变换、三角恒等变形的原则和方法.“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2010· 湖北)在△ABC 中,a=15,b=10,A=60° ,则 cos B 等于 2 2 2 2 6 6 A.- B. C.- D. 3 3 3 3 ( )

→ → 2.在△ABC 中 AB=3,AC=2,BC= 10 ,则AB ? AC等于 ( ) 3 2 2 3 A.- B.- C. D. 2 3 3 2 c - b A 3.在△ABC 中,sin2 = (a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边),则△ABC 的形状为( ) 2 2c A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 4.(2011· 聊城模拟)在△ABC 中,若 A=60° ,BC=4 3,AC=4 2,则角 B 的大小为( ) A.30° B.45° C.135° D.45° 或 135° 5.(2010· 湖南)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若 C=120° , c= 2a,则 ( ) A.a>b B.a<b C.a=b D.a 与 b 的大小关系不能确定 1 2 3 4 5 题号 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.在△ABC 中,B=60° ,b2=ac,则△ABC 的形状为________________. 7.(2010· 广东)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3,A+C=2B,则 sin C=________. 8.(2011· 龙岩模拟)在锐角△ABC 中,AD⊥BC,垂足为 D,且 BD∶DC∶AD=2∶3∶6,则∠BAC 的大小为 ________. 三、解答题(共 38 分) 9.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos (1)求△ABC 的面积; (2)若 b+c=6,求 a 的值.

A 2 5 →→ ,ABAC=3. ? 2 5

10.(12 分)(2010· 陕西)在△ABC 中,已知 B=45° ,D 是 BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长.

11.(14 分)(2010· 重庆)设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 3b2+3c2-3a2=4 2bc. (1)求 sin A 的值; π? ? π? 2sin? ?A+4?sin?B+C+4? (2)求 的值. 1-cos 2A

答案

自主梳理

1 π a b c 1. (1)π (2)> (3)> > (4) bcsin A (5)A+B= 2. = = b2+c2-2bccos A a2+c2-2accos B 2 2 sin A sin B sin C b2+c2-a2 a2+c2-b2 a b c a2+b2-2abcos C ①2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C ② ③sin A∶sin B∶sin C 2R 2R 2R 2bc 2ac a2+b2-c2 2ab 自我检测 1.C 2.A 3.C π 4. 5.1 6

课堂活动区 例 1 解题导引 已知三角形的两边和其中一边的对角,可利用正弦定理求其他的角和边,但要注意对解的情 况进行判断,这类问题往往有一解、两解、无解三种情况.具体判断方法如下:在△ABC 中.已知 a、b 和 A,求 B.若 A 为锐角,①当 a≥b 时,有一解;②当 a=bsin A 时,有一解;③当 bsin A<a<b 时,有两解;④当 a<bsin A 时, 无解.若 A 为直角或钝角,①当 a>b 时,有一解;②当 a≤b 时,无解. a b 3 解 (1)由正弦定理 = 得,sin A= . sin A sin B 2 ∵a>b,∴A>B,∴A=60° 或 A=120° . 当 A=60° 时,C=180° -45° -60° =75° , 6+ 2 bsin C c= = ; sin B 2 当 A=120° 时,C=180° -45° -120° =15° , 6- 2 bsin C c= = . sin B 2 6+ 2 综上,A=60° ,C=75° ,c= , 2 6- 2 或 A=120° ,C=15° ,c= . 2 (2)∵B=60° ,C=75° ,∴A=45° . a b c 由正弦定理 = = , sin A sin B sin C a· sin B a· sin C 得 b= =4 6,c= =4 3+4. sin A sin A ∴b=4 6,c=4 3+4. 10 变式迁移 1 (1) (2)60° 或 120° 2 1 解析 (1)∵在△ABC 中,tan A= ,C=150° , 3 1 ∴A 为锐角,∴sin A= . 10 又∵BC=1. BC· sin C 10 ∴根据正弦定理得 AB= = . sin A 2 a b (2)由 b>a,得 B>A,由 = , sin A sin B bsin A 25 6 2 3 得 sin B= = × = , a 50 2 2 ∵0° <B<180° ∴B=60° 或 B=120° . 2 例 2 解 (1)∵a +c2-b2=ac, a2+c2-b2 1 ∴cos B= = . 2ac 2 π ∵0<B<π,∴B= . 3 (2)方法一 将 c=3a 代入 a2+c2-b2=ac,得 b= 7a. b2+c2-a2 5 7 由余弦定理,得 cos A= = . 2bc 14 ∵0<A<π, 21 ∴sin A= 1-cos2A= , 14 sin A 3 ∴tan A= = . cos A 5 方法二 将 c=3a 代入 a2+c2-b2=ac, 得 b= 7a. 由正弦定理,得 sin B= 7sin A.

π 21 由(1)知,B= ,∴sin A= . 3 14 又 b= 7a>a,∴B>A, 5 7 ∴cos A= 1-sin2A= . 14 sin A 3 ∴tan A= = . cos A 5 方法三 ∵c=3a,由正弦定理,得 sin C=3sin A. π 2π ∵B= ,∴C=π-(A+B)= -A, 3 3 2π ∴sin( -A)=3sin A, 3 2π 2π ∴sin cos A-cos sin A=3sin A, 3 3 3 1 ∴ cos A+ sin A=3sin A, 2 2 ∴5sin A= 3cos A, sin A 3 ∴tan A= = . cos A 5 变式迁移 2 解 由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B 2 =a2+c2-2accos π 3 =a2+c2+ac=(a+c)2-ac. 又∵a+c=4,b= 13,∴ac=3, ?a+c=4 ? 联立? ,解得 a=1,c=3,或 a=3,c=1. ?ac=3 ? ∴a 等于 1 或 3. 例 3 解题导引 利用正弦定理或余弦定理进行边角互化,转化为边边关系或角角关系. 解 方法一 ∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B) ?a2[sin(A-B)-sin(A+B)] =b2[-sin(A+B)-sin(A-B)], ∴2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A, 由正弦定理,得 sin2Acos Asin B=sin2Bcos Bsin A, ∴sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0, ∴sin 2A=sin 2B,由 0<2A<2π,0<2B<2π, 得 2A=2B 或 2A=π-2B, 即△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 方法二 同方法一可得 2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A, 由正、余弦定理,即得 b2+c2-a2 2 a2+c2-b2 2 a b× =b a× , 2bc 2ac 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴a (b +c -a )=b (a +c -b ), 即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0, ∴a=b 或 c2=a2+b2, ∴三角形为等腰三角形或直角三角形. a b c 变式迁移 3 解题导引 在正弦定理 = = =2R 中, 2R 是指什么?a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin sin A sin B sin C C 的作用是什么? (1)证明 在△ABC 中,由正弦定理及已知得 sin B cos B = . sin C cos C 于是 sin Bcos C-cos Bsin C=0, 即 sin(B-C)=0. 因为-π<B-C<π,从而 B-C=0. 所以 B=C.

(2)解 由 A+B+C=π 和(1)得 A=π-2B, 1 故 cos 2B=-cos(π-2B)=-cos A= . 3 2 2 又 0<2B<π,于是 sin 2B= 1-cos22B= . 3 4 2 从而 sin 4B=2sin 2Bcos 2B= , 9 7 cos 4B=cos22B-sin22B=- . 9 π ? 所以 sin? ?4B+3? π π =sin 4Bcos +cos 4Bsin 3 3 4 2-7 3 = . 18 课后练习区 1.D 2.D 3.B 4.B 5.A 6.等边三角形 解析 ∵b2=a2+c2-2accos B, ∴ac=a2+c2-ac, ∴(a-c)2=0, ∴a=c,又 B=60° , ∴△ABC 为等边三角形. 7.1 解析 由 A+C=2B 及 A+B+C=180° 知,B=60° . 1 3 由正弦定理知, = , sin A sin 60° 1 即 sin A= . 2 由 a<b 知,A<B,∴A=30° , C=180° -A-B=180° -30° -60° =90° , ∴sin C=sin 90° =1. π 8. 4 解析 设∠BAD=α,∠DAC=β, 1 1 则 tan α= ,tan β= , 3 2 tan α+tan β ∴tan∠BAC=tan(α+β)= 1-tan αtan β 1 1 + 3 2 = =1. 1 1 1- × 3 2 π ∵∠BAC 为锐角,∴∠BAC 的大小为 . 4 A 2 5 9.解 (1)因为 cos = , 2 5 A 3 4 所以 cos A=2cos2 -1= ,sin A= .……………………………………………………(4 分) 2 5 5 → → 又由AB· AC=3 得 bccos A=3,所以 bc=5, 1 因此 S△ABC= bcsin A=2.…………………………………………………………………(8 分) 2 (2)由(1)知,bc=5,又 b+c=6, 16 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2- bc=20,所以 a=2 5.………(12 分) 5 10.解

在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得, AD2+DC2-AC2 cos∠ADC= 2AD· DC 100+36-196 1 = =- ,…………………………………………………………………(6 分) 2 2×10×6 ∴∠ADC=120° ,∠ADB=60° .…………………………………………………………(8 分) 在△ABD 中,AD=10,B=45° , ∠ADB=60° , AB AD 由正弦定理得 = , sin∠ADB sin B AD· sin∠ADB 10sin 60° ∴AB= = sin B sin 45° 3 10× 2 = =5 6.…………………………………………………………………………(12 分) 2 2 (1)∵3b2+3c2-3a2=4 2bc, 4 2 ∴b2+c2-a2= bc. 3 b2+c2-a2 2 2 由余弦定理得,cos A= = ,……………………………………………(4 分) 2bc 3 1 又 0<A<π,故 sin A= 1-cos2A= .……………………………………………………(6 分) 3 π π ? ? ? 2sin? ?A+4?sin?π-A+4? (2)原式= ………………………………………………………(8 分) 1-cos 2A π? ? π? 2sin? ?A+4?sin?A-4? = 2sin2A 2 2 2 2 2? sin A+ cos A?? sin A- cos A? 2 2 ?2 ?? 2 ? = …………………………………………(11 分) 2 2sin A sin2A-cos2A 7 = =- . 2sin2A 2 π π 2sin?A+ ?sin?B+C+ ? 4 4 7 所以 =- .……………………………………………………(14 分) 2 1-cos 2A 11.解


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